4.1 De nici on de aplicaci on lineal,ejemplos y propiedades 4.2 N ucleo e imagen de una aplicaci on lineal

(1)

Tema 4. APLICACIONES LINEALES

4.1 De¯nici¶on de aplicaci¶on lineal, ejemplos y propiedades 4.2 N¶ucleo e imagen de una aplicaci¶on lineal

4.3 Operaciones elementales con aplicaciones lineales 4.4 Matrices asociadas a una aplicaci¶on lineal

(2)

4 APLICACIONES LINEALES

4.1 DEFINICI ¶ON DE APLICACI ¶ON LINEAL, EJEMPLOS Y PROPIEDADES

NOTA: Se considerar¶an ¶unicamente espacios vectoriales ¯nitamente

generados.

4.1.1 DEFINICI ¶ON

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on.

f es una aplicaci¶on lineal si y s¶olo si:

² 8 u; v 2 U f(u + v) = f(u) + f(v). ² 8 u 2 U 8 ¸ 2 IK f(¸u) = ¸f(u).

4.1.2 PROPOSICI ¶ON

Si _{U; V son espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on, entonces:

f lineal _{() 8u; v 2 U 8¸; ¹ 2 IK f(¸u+¹v) = ¸f(u)+¹f(v):}

Si _{U; V son espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on, entonces la imagen por f de cualquier combinaci¶on

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lineal de vectores es la combinaci¶on lineal de las im¶agenes: 8n 2 IN 8u1; : : : ; un 2 U 8¸1; : : : ; ¸n 2 IK f( n X i=1¸iui) = n X i=1¸if (ui): 4.1.4 DEFINICI ¶ON

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on lineal.

1. f es un monomor¯smo si y s¶olo si f es inyectiva. 2. f es un epimor¯smo si y s¶olo si f es suprayectiva. 3. f es un isomor¯smo si y s¶olo si f es biyectiva. 4. f es un endomor¯smo si y s¶olo si _{U = V.}

5. f es un automor¯smo si y s¶olo si f es un endomor¯smo biyec-tivo. 4.1.5 EJEMPLOS 1. La aplicaci¶on identidad id_U : _{U ¡! U} u _{7¡! u} es un automor¯smo. 2. La aplicaci¶on nula f : _{U ¡! U} u _{7¡! 0}_U es un endomor¯smo.

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3. La aplicaci¶on proyecci¶on i-¶esima

pi : IRn ¡! IR

(x1; : : : ; xn) 7¡! xi

es un epimor¯smo.

4. Si _{U es un espacio vectorial sobre un cuerpo IK con dim U = n} y _{B es una base de U, entonces la aplicaci¶on que a cada vector} de x _{2 U le asocia el vector de IK}n cuyas componentes son las coordenadas de x en la base _{B = fu}1; : : : ; ung

f : _{U ¡! IK}n x _{7¡! x}_B es un isomor¯smo.

NOTA: x_B = (x₁; : : : ; x_n) () x = x₁u₁ +¢ ¢ ¢ x_nu_n.

5. Sea IK un cuerpo. La aplicaci¶on que a cada vector de IKn le asocia la matriz columna formada por las componentes de dicho vector f : IKn _{¡! M}n_£1(IK) (x1; : : : ; xn) 7¡! 0 B B B B B @ x1 ... xn 1 C C C C C A es un isomor¯smo.

NOTA: Este hecho da pie a que los vectores de IKn se

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4.1.6 PROPIEDADES

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on lineal. Se veri¯ca:

1. f (0_U) = 0_V.

2. _{8 u 2 U f(¡u) = ¡f(u).}

3. _{8 u; v 2 U f(u ¡ v) = f(u) ¡ f(v).}

4. Si u1; : : : ; un 2 U son linealmente dependientes, entonces

f (u1); : : : ; f (un) son linealmente dependientes.

5. Si u1; : : : ; un 2 U, f es inyectiva y u1; : : : ; un son linealmente

independientes, entonces f (u1); : : : ; f (un) son linealmente

in-dependientes.

4.2 N ¶UCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACI ¶ON LINEAL

4.2.1 DEFINICI ¶ON

² Se denomina imagen de f al conjunto

Im f = f (_{U) = fv 2 V j 9u 2 U v = f(u)g:} ² Se denomina n¶ucleo de f al conjunto

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4.2.2 PROPIEDADES

1. Si _{S es un subespacio vectorial de U, entonces f(S) es un} subespacio vectorial de _V.

2. Si _{S es un subespacio vectorial de V, entonces f}¡1(_{S) es un} subespacio vectorial de _U.

3. Los conjuntos Ker f y Im f son subespacios vectoriales de _U y _{V, respectivamente.}

4. La imagen de un sistema generador de _{U es un sistema} gene-rador de Im f .

5. Si f es un isomor¯smo y _{B = fu}1; : : : ; ung es una base de U,

entonces _ff(u1); : : : ; f (un)g es una base de V.

6. f es inyectiva si y s¶olo si Ker f = _f0_U_g.

4.2.3 TEOREMA

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y una base} B = fu1; : : : ; ung de U. Dados v1; : : : ; vn 2 V, existe una

apli-caci¶on lineal f : _{U ¡! V, y s¶olo una, que cumple} 8 i 2 f1; : : : ; ng f(ui) = vi:

Esta aplicaci¶on viene de¯nida por f (x) = x1v1+¢ ¢ ¢+xnvn, donde

x = x1u1 +¢ ¢ ¢ + xnun.

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1. f inyectiva _{() v}1; : : : ; vn linealmente independientes.

2. f suprayectiva _{() fv}1; : : : ; vng sistema generador de V.

3. f isomor¯smo _{() fv}1; : : : ; vng base de V.

4.2.4 DEFINICI ¶ON

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on lineal. Se denomina rango de f , y se denota por rg f , a la dimensi¶on del subespacio imagen, es decir,

rg f = dim Im f:

4.2.5 TEOREMA

Si _{U; V son espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f : U ¡! V} una aplicaci¶on lineal, entonces

dim_{U = dim Ker f + dim Im f:}

4.2.6 COROLARIO

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, con dim U = n} y dim_{V = m, y f : U ¡! V una aplicaci¶on lineal. Se veri¯ca:}

1. f inyectiva _{() rg f = n.} 2. f suprayectiva _{() rg f = m.} 3. f isomor¯smo _{() rg f = n = m.}

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4.3 OPERACIONES ELEMENTALES CON APLICACIONES LINEALES

4.3.1 DEFINICI ¶ON

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Se de¯ne:} ² Conjunto de aplicaciones lineales de U en V

L(U; V) = ff : U ¡! V j f aplicaci¶on linealg: ² Conjunto de endomor¯smos de U

End(_{U) = ff : U ¡! U j f aplicaci¶on linealg:} En el conjunto _{L(U; V) se de¯nen dos operaciones:}

² Suma: f + g : U ¡! V

L(U; V) £ L(U; V) ¡! L(U; V)+ (f; g) _{7¡! f + g} de forma que

8 u 2 U (f + g)(u) = f(u) + g(u):

² Producto por un elemento del cuerpo: ¸ ¢ f : U ¡! V IK_{£ L(U; V)} _{¡! L(U; V)}²

(¸; f ) _{7¡! ¸ ¢ f} de forma que

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(_{L(U; V); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK.}

Sean _{U; V; W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK.} Si f _{2 L(U; V) y g 2 L(V; W), entonces g ± f 2 L(U; W).}

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y f 2 L(U; V).} Si f es biyectiva, entonces f¡1 _{2 L(V; U).}

4.4 MATRICES ASOCIADAS A UNA APLICACI ¶ON LINEAL

Sean _{U; V} espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B = fu1; : : : ; ung, B0 = fv1; : : : ; vmg bases de U y V,

respec-tivamente, y f _{2 L(U; V).}

Por ser _B0 base de _{V y f(u}1); : : : ; f (un) 2 V, existen aij 2 IK con

i _{2 f1; : : : ; mg, j 2 f1; : : : ; ng tales que}

f (u1) = a11v1 +¢ ¢ ¢ + am1vm

. . . . f (un) = a1nv1 + ¢ ¢ ¢ + amnvm:

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Por tanto, sus componentes o coordenadas en la base _B0 son: f (u1)_B0 = (a11; : : : ; am1)

. . . . f (un)_B0 = (a1n; : : : ; amn):

Sea x _{2 U con coordenadas en la base B, x}_B = (x1; : : : ; xn); como

f (x) _{2 V y B}0 es base de _{V, existen y}1; : : : ; ym 2 IK de forma que

f (x) B0 = (y1; : : : ; ym). Entonces f (x) = f (x1u1 +¢ ¢ ¢ + xnun) = x1f (u1) + ¢ ¢ ¢ + xnf (un) = x1(a11v1 +¢ ¢ ¢ + am1vm) + ¢ ¢ ¢ + xn(a1nv1 +¢ ¢ ¢ + amnvm) = (x1a11 +¢ ¢ ¢ + xna1n)v1 +¢ ¢ ¢ + (x1am1 +¢ ¢ ¢ + xnamn)vm: Luego y1 = x1a11 + x2a12 +¢ ¢ ¢ + xna1n ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ym = x1am1 + x2am2 +¢ ¢ ¢ + xnamn: En forma matricial: 0 B B B B B @ y1 ... ym 1 C C C C C A = 0 B B B B B @ a11 ¢ ¢ ¢ a1n . . . . am1 ¢ ¢ ¢ amn 1 C C C C C A 0 B B B B B @ x1 ... xn 1 C C C C C A:

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Denotaremos por _{M(f; B; B}0) a la matriz de _Mm£n(IK) obtenida

en la expresi¶on anterior. Esta matriz recibe el nombre de matriz aso-ciada a f en las bases _{B y B}0.

NOTA: M(f; B; B0) = µ f (u1)_B0j ¢ ¢ ¢ jf(un)_B0 ¶ : f (x) B0 = M(f; B; B 0_)x B: 4.4.1 TEOREMA

Sean _{U; V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dim U = n,} dim_{V = m y B; B}0 bases de _{U y V, respectivamente. La aplicaci¶on}

f _{7¡! M(f; B; B}0) es un isomor¯smo.

4.4.2 TEOREMA

Sean _{U; V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y B; B}0, B00 bases de _{U; V y W, respectivamente, con dim U = n. Si} f _{2 L(U; V) y g 2 L(V; W), entonces:}

1. _{M(g ± f; B; B}00) = _{M(g; B}0;_B00)_{M(f; B; B}0). 2. _M(id_U;_{B; B) = I}n.

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Sean _{U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y B, B}0 bases de _{U y V, respectivamente. Si f 2 L(U; V), entonces}

rg f = rg(_{M(f; B; B}0)):

4.5 CAMBIO DE BASE

Sean _{U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B = fu}1; : : : ; ung,

B0 = _fu0₁; : : : ; u0_n_{g bases de U y x 2 U con coordenadas en dichas} bases: x_B = (x1; : : : ; xn) y x_B0 = (x0₁; : : : ; x0_n).

Podemos obtener la relaci¶on existente entre las coordenadas de x en estas dos bases a partir de las matrices asociadas a la aplicaci¶on id_U en dichas bases: x_B0 = id_U(x) B0 = M(idU;B; B 0_)x B x_B = id_U(x)_B = _M(id_U;_B0;_B)x B0 NOTA: M(id U;B0;B) = M(idU;B; B0)¡1.

4.5.1 CAMBIO DE BASE EN MATRICES DE APLICACIONES LINEALES

Sean _{U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B, C bases de} U y B0;_C0 bases de _{V. Si f 2 L(U; V), entonces:}

B U ¡!f V B0

# id_U id_V "

C U ¡!f V C0

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NOTA: Si U = V, B = B0 y C = C0, entonces: B U ¡!f U B # id U idU " C U ¡!f U C M(f; B; B) = M(id_U;_{B; C)}¡1_{M(f; C; C)M(id}_U;_{B; C):} 4.5.2 DEFINICI ¶ON

Sean IK un cuerpo y M; N _{2 M}n_£n(IK). Se dice que M es

semejante a N si y s¶olo si existe P _{2 M}n_£n(IK) inversible tal

que M = P¡1N P .

NOTA: La relaci¶on de semejanza de matrices es de equivalencia

(re°exiva, sim¶etrica y transitiva).

Sean IK un cuerpo y M; N _{2 M}n£n(IK). Si M y N son semejantes

entre s¶³, entonces: 1. det M = det N. 2. tr M = tr N . 3. rg M = rg N .

(14)

Si _{U es un espacio vectorial, B, B}0 bases de _{U y f 2 End(U),} entonces _{M(f; B; B) y M(f; B}0;_B0) son semejantes entre s¶³.

4.5.5 COROLARIO

Si _{U es un espacio vectorial, B, B}0 bases de _{U y f 2 End(U),} entonces:

1. det_{M(f; B; B) = det M(f; B}0;_B0). 2. tr_{M(f; B; B) = tr M(f; B}0;_B0).