Estudio de funciones racionales hiperholoformas con valores en un algebra Clifford

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RESUMEN

La riqueza de la teor´ıa de funciones de una variable compleja es una motivaci´on natural que nos lleva a buscar otra similar para un ´algebra que sea una generalizaci´on del

´algebra de los n´umeros complejos. El an´alisis cuaterni´onico y para dimensiones mayores el an´alisis de Clifford, son extensiones cl´asicas del an´alisis complejo.

El prop´osito de esta investigaci´on es definir y encontrar propiedades del concepto de funci´on racional para las funciones hiperholomorfas y las funciones regulares cuyos dominios son vecindades abiertas del origen de Rⁿ⁺¹ y R^n+1−u (u∈ N, 1 ≤ u < n) respectivamente y con valores en un ´algebra de Clifford Cl0,n.

En [2], Alpay, Shapiro y Volok presentan el concepto de funci´on racional hiperholo- morfa en el marco del an´alisis cuaterni´onico es decir, trabajan con funciones f de- finidas en dominios de R⁴ que contiene al origen, con valores en H ≃ Cl0,2 y tales que D[f ] :=

X3 k=0

ek

∂f

∂xk

= 0, aqu´ı el n´umero de variables y funciones componentes es cuatro. Siguiendo su planteamiento nosotros definimos a las funciones racionales hiper- holomorfas y a las funciones racionales regulares en la teor´ıa del an´alisis de Clifford, por lo tanto primero se consideran funciones que tienen por dominios vecindades abiertas del Rⁿ⁺¹ que contienen al origen, con valores en Cl0,n (para todo n) y que componen el n´ucleo del operador de Cauchy-Riemann D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

, en este caso el n´umero de funciones componentes es 2ⁿ y el n´umero de variables es n + 1. En segundo lugar se trabaja con funciones que tienen por dominios vecindades abiertas del origen de R^n+1−u (u∈ N, 1 ≤ u < n), con valores en Cl^0,n y constituyen el n´ucleo del operador de Dirac eD_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

.

Aunque existe una analog´ıa entre el an´alisis cuaterni´onico y el an´alisis de Clifford

´estos son formalmente diferentes, por lo que los resultados de esta investigaci´on y los resultados de [2] son complementarios.

Los primeros problemas que se presentan en el desarrollo de esta tesis son los siguientes:

a. Dado que el ´algebra de Clifford Cl0,n no es conmutativa para n > 1, entonces:

Todas las potencias de la variable x = x0e0+ x1e1+· · · + xⁿen no son hiperholo- morfas.

El producto puntual y el cociente de dos funciones hiperholomorfas en general no es una funci´on hiperholomorfa.

b. El ´algebra de Clifford Cl_0,n tiene divisores de cero, para n > 2.

vii

El problema de que la variable x = Xn

k=0

xkek no sea hiperholomorfa (para n > 1) lo resolvi´o R. Fueter [8] quien defini´o las variables elementales hiperholomorfas ζℓ(x) :=

xℓ − e^ℓx0, ℓ ∈ {1, . . . , n}; los polinomios obtenidos de ellas al usar el producto simetrizado se conocen como polinomios de Fueter. Con estos polinomios expresamos el desarrollo de Taylor de las funciones hiperholomorfas definidas en vecindades abiertas del origen. La operaci´on que usamos para multiplicar funciones hiperholomorfas es el producto de Cauchy Kovalevskaya (el CK producto ⊙) y la inversa de una funci´on hiperholomorfa (cuando exista) es la CK inversa.

Al trabajar con funciones regulares tenemos problemas an´alogos a los enunciados an- teriormente para funciones hiperholomorfas. Para solucionar que ninguna potencia de la variable x = xueu+· · · + xⁿen (1≤ u < n ) es regular nosotros definimos a las variables regulares ˜ζk(x) := xueuek+ xk, k∈ {u + 1, . . . , n}. Adem´as encontramos un CK producto ˜⊙ entre funciones regulares.

Para citar la teor´ıa de funciones hiperholomorfas racionales que se desarrolla bajo el operador de Cauchy-Riemann D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

y las variables hiperholomorfas ζk(x) :=

xk− x0ek, k ∈ {1, . . . , n} usaremos la notaci´on T F R CR.

Para la teor´ıa de funciones regulares racionales que se trabaja bajo el operador de Dirac e

D_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

y las variables regulares ˜ζk(x) := xueuek+ xk, k ∈ {u + 1, . . . , n}

escribiremos T F R De_u.

A causa de que las funciones regulares no dependen de las variables x₀, . . . , xu−1 po- demos considerarlas como funciones hiperholomorfas, sin que esto implique que la T F R De_u sea una subteor´ıa de la T F R CR (aunque los m´etodos que se emplean en su desarrollo sean semejantes).

El hecho de que las variables regulares ˜ζk(x) son hiperholomorfas y linealmente in- dependientes nos hizo pensar en una base para los polinomios homog´eneos hiperho- lomorfos de grado uno que incluyera a dichas variables, la base que encontramos fue {ˆζ^k(x) := xueuek+ xk | k ∈ {0, . . . , u − 1, u + 1, . . . , n}}. Al usar esta nueva base y el operador de Cauchy-Riemann D, surge para cada u∈ {1, . . . , n − 1} una nueva teor´ıa para funciones hiperholomorfas racionales que abreviamos T F R CRdu. Cada uno de los resultados que encontramos en la T F R CR tiene su versi´on en la T F R dCRu, con la ventaja que en esta segunda teor´ıa se pueden escribir de forma tal que si las funciones hiperholomorfas involucradas no dependen de las variables x0, . . . , xu−1, en- tonces obtenemos el resultado an´alogo al que existe en la T F R De_u. Por lo que con la T F R CRdu se dota a la clase de las funciones h.h. con n− 1 estructuras, de modo que tenemos consistencia entre los resultados que obtenemos para las funciones h.h. y todas sus subclases.

viii

ABSTRACT

The richness of functions of one complex variable theory is a natural motivation to its multidimensional generalization based on functions valued in an appropriate generali- zation of the algebra of complex numbers.

The quaternionic analysis, and for higher dimensions, Clifford analysis are classical extensions of the complex analysis.

The aim of this research is to define and to examine properties of the concepts of hy- perholomorphic rational functions and of regular rational functions from open neigh- borhoods of the origin in Rⁿ⁺¹ and R^n+1−u (u∈ N, 1 ≤ u < n ) respectively into the Clifford algebra Cl_0,n.

Alpay, Shapiro and Volok, in [2], introduce the hiperholomorphic rational functions con- cept in the setting of quaternionic analysis, this means that they work with functions from domains containing the origin in R⁴into H ≃ C, such that D[f] :=

X3 k=0

ek

∂f

∂xk

= 0.

In this case the number of variables and functions is four. We follow the strategy of the above paper to define hyperholomorphic rational functions and regular rational functions in the theory of Clifford analysis, therefore we consider functions from do- mains containing the origin in Rⁿ⁺¹ into Cl_0,n (for all n ∈ N) and in the kernel of the operator Cauchy-Riemann D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

, in this case the number of component functions is 2ⁿand the number of variables is n + 1. Then we work with functions from open neighborhoods of the origin in R^n+1−u (u∈ N, 1 ≤ u < n) to Cl^0,nand in the kernel of the generalized Dirac operator eD_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

.

Even though there is an analogy between quaternionic analysis and Clifford analysis they are formally different, thus the results of this work and the conclusions of [2] are complementary.

The main difficulties to overcome are the following:

a. Due to the noncommutative of the Clifford real algebra for n > 1, then:

· All powers of the variable x = x⁰e0+ x1e1+· · · + xⁿen are not hiperholomorphic.

· The point wise product and the quotient of two hyperholomorphic functions are not in general hiperholomorphic.

b. The Clifford algebra Cl0,n has divisors of zero, for n > 2.

The problem that the variable x = Xn

k=0

xkek is not hiperholomorphic (for n > 1) was solved by R. Fueter [8], who introduced the hiperholomorphic variables ζℓ(x) :=

xℓ− e^ℓx₀, ℓ ∈ {1, . . . , n}; the polynomials obtained from them by symmetrized multi- powers are known today as the Fueter polynomials. With these polynomials we express the Taylor expansion of the hiperholomorphic functions defined in open neighborhoods of the origin. The operation that we use for the multiplication of hiperholomorphic

ix

functions is the Cauchy-Kovalevskaya product (the CK product ⊙) and the inverse functions of a hiperholomorphic function (when it exists) is the CK inverse.

When we work with regular functions we have similar problems like the ones noticed above for hiperholomorphic functions. Because the powers of the variable x = xueu+

· · · + xⁿen (1 ≤ u < n) are not regular, we define the regular variables eζk(x) :=

xueuek+xk, k ∈ {u+1, . . . , n}. Furthermore we find a CK product e⊙ between regular functions.

We refer to the rational hiperholomorphic functions theory for the Cauchy-Riemann operator D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

, and with the hiperholomorphic variables ζk(x) := xk − x0ek, k ∈ {1, . . . , n}, as T F R CR:

For rational regular functions theory for the generalized Dirac operator eD_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

, and with the regular variables eζk(x) := xueuek + xk, k ∈ {u + 1, . . . , n}, we write T F R Df_u.

Observe that the regular functions can be seen as hiperholomorphic functions which do not depend on the variables x0, . . . , xu−1, this means that T F R De_u is a sub- theory of T F R CR. Because of the regular variables eζk(x) are hiperholomorphic and linearly independent we are led to think about another base for the homogeneous hiperholomorphic polynomials of degree one that include these variables.

The base that we found was{bζk(x) := xueuek+ xk | k ∈ {0, . . . , u − 1, u + 1, . . . , n}}.

When we use this new base and the Cauchy-Riemann operator D, a new theory of rational hiperholomorphic functions arise for each u ∈ {1, . . . , n}, that we abbrevia- te as T F R CRdu. Each one of these results found in T F R CR has its version in T F R dCRu, the advantage of the second theory is that if the functions do not de- pend on the variables x0, . . . , xu−1, then we get the previous result found in T F R De_u. Therefore with T F R CRdu we provide to the kind of hiperholomorphic functions with n− 1 structures, so we have consistency between the results obtained for the hiperho- lomorphic functions and its sub-classes.

x

OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es definir y encontrar propiedades para el concepto de funci´on racional en el contexto del an´alisis de Clifford que sean una generalizaci´on del que ya se tiene para funciones racionales en el an´alisis complejo.

Lo anterior se logr´o al poder encontrar definiciones, propiedades y caracterizaciones para funciones racionales hiperholomorfas y funciones racionales regulares definidas en vecindades del origen de Rⁿ⁺¹ y R^n+1−u, 1≤ u < n respectivamente y con valores en el ´algebra de Clifford Cl_0,n, surgiendo las siguientes tres teor´ıas:

La teor´ıa de funciones racionales hiperholomorfas que representamos por T F R CR, crece bajo el operador de Cauchy-Riemann D y las variables (ya conocidas) de Fueter.

La teor´ıa de funciones racionales regulares T F R De_u, se desarrolla bajo el operador de Dirac eD_u y las variables regulares que se encontraron de acuerdo a las caracter´ısticas del operador de Dirac.

El hecho de que las variables regulares de la T F R De_u son tambi´en variables hiperho- lomorfas y linealmente independientes, nos permiti´o hallar variables hiperholomorfas distintas a las variables cl´asicas de Fueter (estas ´ultimas son las que se usan general- mente en el an´alisis de Clifford). Al trabajar con las nuevas variables y el operador de Cauchy-Riemann surge una segunda teor´ıa para funciones racionales hiperholomorfas que denotamos por T F R dCRu, de suerte que cada uno de los resultados que encon- tramos en la T F R CR tiene su versi´on en la T F R CRdu, pero con la ventaja que en esta ´ultima teor´ıa se pueden escribir de manera que si las funciones involucradas no dependen de las primeras variables, entonces obtenemos el resultado an´alogo al que se hab´ıa encontrado en la T F R De_u.

De los resultados obtenidos en esta investigaci´on se han publicado dos art´ıculos en revistas internacionales y uno m´as est´a en proceso de terminarse.

xi

´ Indice de los s´ımbolos m´ as usados en este trabajo.

A denota el ´algebra de Clifford Cl0,n. (2.1.) A_k el subespacio de los k vectores de A. (2.1.)

a^A(Ω) el A m´odulo de las funciones A-valuadas que tienen la propiedad de la analiticidad real en Ω. (2.6.2)

|a⁰| la norma de Clifford del elemento a∈ A. (2.3.)

α α := (α1, . . . , αm) un multi-´ındice de tama˜no m, con α1, . . . , αm enteros no negativos.

|α| |α| := α1+· · · + α^m, α! α! := α1!· · · α^m!.

B(0, 1) la bola unitaria de R^m centrada en el origen.

Cl_0,n el ´algebra real de Clifford de dimensi´on 2ⁿ. (2.1.) Cl0,0 ≃ R el ´algebra de los reales. (2.1.1)

Cl0,1 ≃ C el ´algebra de los complejos. (2.1.1) Cl_0,2 ≃ R el ´algebra de los cuaternios. (2.1.1)

C^k(Ω, A) el A-m´odulo de las funciones A-valuadas cuyas funciones componentes pertenecen a C^k(Ω, R) (2.4.)

CK Cauchy-Kovalevskaya.

D D:=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

, el operador de Cauchy-Riemann. (2.4)

D el conjugado del operador D. (2.4) xii

△Rⁿ⁺¹ △Rⁿ⁺¹ :=

Xn s=0

∂²

∂x²_s, el operador de Laplace en Rⁿ⁺¹. (2.6.1)

Dµ el conjunto de todos los ordenamientos distinguibles de µ. (2.7.3 )

∂^µ ∂^µ := ∂^|µ|

∂x^µ₀⁰∂x^µ₁¹ · . . . · ∂x^µnn, (x0, x₁, . . . , xn)∈ Rⁿ⁺¹ y µ:= (µ0, µ1, . . . , µn). (3.2.3)

e

D_u De_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

el operador generalizado de Dirac (5.1.)

e¯

D_u el conjugado del operador eD_u. (5.1.)

△R^(n+1)−u △R^(n+1)−u :=

Xn s=u

∂²

∂x²_s el operador de Laplace en R^n+1−u, con u∈ N, 1≤ u < n. (5.1.3)

eA eA= ei₁,i₂,...,i_k = ei₁ · eⁱ2 · . . . · eⁱk, A = (i1, i₂, . . . , ik) un elemento b´asico del ´algebra de Clifford A. (2.1.)

ˆ

eA eˆA:= (−1)^keA, si |A| = k. (2.2.)

¯

eA e¯A:= (ˆeA)^∗ = (e^∗_A)^∧. (2.2.)

e^∗_A e^∗_A:= eik · . . . · eⁱ1, si eA := ei1 · . . . · eⁱk el conjugado de eA. (2.2.) fA : Ω→ R una funci´on componente de la funci´on A-valuada f =X

A

eAfA. (2.4.)

f¯ f¯:=X

A

¯

eAfA el conjugado de la funci´on f =X

A

eAfA. (2.4.)

f^∗ es la CK extensi´on de la funci´on ˜f. (2.9.5) fAµ fAµ := 1

|µ|!∂^µ[fA](0), µ:= (µ0, µ₁, . . . , µn). (3.2.3) f^⊙k f^⊙k:= f| ⊙ . . . ⊙ f{z }

k−veces

, k∈ N. (3.3.4)

xiii

F^−⊙ la matriz CK inversa de la matriz F . (4.2.3) f^⊙k˜ f^⊙k˜ := f ˜|⊙ . . . ˜{z⊙f}

k−veces

, k ∈ N. (5.5.4)

f^⊛ la CKR extensi´on de la funci´on ˜f. (5.6.6) f^⊛ la CKR extensi´on de la funci´on ˜f. (5.6.6) F^{− ˜⊙} la matriz CKR inversa de la matriz F . (5.7.9) f^⊛ˆ la CK ˆ⊙ extensi´on de la funci´on ˆf. (6.5.5) ℓ.h.h. ℓ-hiperholomorfa. (2.5.1)

ℓ.r ℓ-regular. (5.1.1)

M_A(Ω) el A-m´odulo derecho de todas las funciones ℓ.h.h. en Ω. (2.5.3) M_p×q(A) La colecci´on de todas las matrices M := (mij) de tama˜no p× q,

tales que ∀i ∈ N^p y ∀j ∈ N^q, mij ∈ A. (4.1.)

M_p×q(Ω, A) La colecci´on de todas las matrices F = (fij) de tama˜no p× q tales que ∀i ∈ N^p y ∀j ∈ N^q, fij ∈ M^A(Ω). (4.1.)

M_p×q(0, A) M_p×q(0, A) :={F : Ω → M^p×q(A) | Ω ∈ V(0) y F es ℓ.h.h. en Ω}. (4.3.9) M(0, A) M(0, A) := {f : Ω → A | Ω ∈ V(0) y f es ℓ.h.h. en Ω}. (4.3.9)

N_n N_n :={1, 2, . . . , n}. (2.1.) e

N^u_n Ne^u_n :={u + 1, . . . , n}, 1 ≤ u < n. (5.1.5) b

N^u_n Nb^u_n :={0, 1, 2, . . . , n} − {u}, 1 ≤ u < n. (6.1.1)

O_k k ∈ eN^u

n. (5.2.3)

O_ν O_ν := Oν_u+1◦ O^νu+2◦ . . . ◦ O^νn, ν := (νu+1, ν_u+2, . . . , νn), donde O0 es el operador identidad y para νℓ 6= 0, O^νℓ := O^ν_ℓ^ℓ. (5.2.3)

P_k(A) el A-m´odulo derecho de todos los polinomios homog´eneos de grado k ℓ.h.h. en Rⁿ⁺¹ (2.7.7)

xiv

e

P_k(A) el A-m´odulo derecho de todos los polinomios homog´eneos de grado k r.ℓ.en R^(n+1)−u (5.3.2)

R_k k∈ Nⁿ, los operadores de retracci´on. (3.2.)

R_ν R_ν := Rν₁ ◦ R^ν2 ◦ . . . ◦ R^νn, ν:= (ν1, ν₂, . . . , νn), donde R0 es el operador identidad y para νℓ 6= 0, R^νℓ := R^ν_ℓ^ℓ. (3.2.5)

R_A el anillo de las funciones racionales ℓ.h.h. en el origen. (4.4.1) r.h.o racional ℓ-hiperholomorfa en el origen. (4.4.1)

R_A(Ω) el A-m´odulo derecho de todas las funciones ℓ-regulares en Ω. (5.1.1) R(0, A) R(0, A) :={f : Ω → A | Ω ∈ eV(0) y f es ℓ.r. en Ω }. (5.5.) R_p×q(Ω, A) la colecci´on de todas las matrices funci´on F = (fij) de tama˜no p× q

tales que∀i ∈ N^p y ∀j ∈ N^q, fij ∈ R^A(Ω). (5.7.)

R_p×q(0, A) R_p×q(0, A) :={F : Ω → M^p×q(A) | Ω ∈ eV(0) y F es ℓ.r. en Ω}. (5.7.) b

R_A el anillo de las funciones racionales ℓ.h.h. en la T F R CRdu. (6.7.1) σⁿ_k la colecci´on de todos los conjuntos no ordenados de k elementos que

pertenecen a Nn. (2.7.) (Sn,◦) el grupo sim´etrico (2.8.)

eσⁿk la colecci´on de todos los conjuntos no ordenados con k elementos que pertenecen a eN^u

n. (5.3.)

bσⁿk la colecci´on de todos los conjuntos no ordenados con k elementos que pertenecen a bN^u

n. (6.2. )

σ(s)^t_k la colecci´on de todos los conjuntos no ordenados con k elementos (a1, . . . , ak), tales que s≤ a^ℓ ≤ t, para todo ℓ ∈ N^k. (6.2.3)

T F R CR Teor´ıa de funciones racionales ℓ.h.h. para el operador de Cauchy-Riemann Dy las variables ζℓ(x), ℓ ∈ Nⁿ.

T F R De_u Teor´ıa de funciones racionales ℓ.r. para el operador de Dirac eD_u y las variables eζℓ, ℓ ∈ eN^u_n.

xv

T F R dCRu Teor´ıa de funciones racionales ℓ.h.h. para el operador de Cauchy-Riemann Dy las variables bζℓ(x), ℓ ∈ bN^u_n.

Va₁,...,a_k (a1, . . . , ak)∈ σⁿk los polinomios que forman la base para el A-m´odulo derecho Pk(A) en T F R CR (2.7.)

V(0) V(0) :={V ⊂ Rⁿ⁺¹ | V es un dominio tal que 0 ∈ V y V ⊂ B(0, 1)}. (4.2) Vea1,...,ak (a1, . . . , ak)∈ eσⁿk los polinomios que forman la base para el A-m´odulo derecho

e

P_k(A) en T F R De_u. (5.3.) e

V(0) eV(0) :={V ⊂ R^(n+1)−u | V es un dominio tal que 0 ∈ V y V ⊂ B(0, 1)}. (5.4.) Vb(a1,...,ak) (a1, . . . , ak)∈ bσⁿk los polinomios que forman la base para el A-m´o dulo derecho

P_k(A) en T F R dCRu. (6.2.)

x^µ x^µ := x^µ₀⁰x^µ₁¹ · . . . · x^µnⁿ, x := (x0, x1, . . . , xn)∈ Rⁿ⁺¹ y µ := (µ0, µ1, . . . , µn).

(3.2.3)

ζℓ(x) ζℓ(x) := xℓ− e^ℓx0, ℓ∈ Nⁿ, las variables ℓ.h.h. de Fueter. (2.7.) ζ^ν ζ^ν := ζ₁^×ν1 × ζ2^×ν2 × · · · × ζn^×νn, ν := (ν1, ν2, . . . , νn) los polinomios de

Fueter. (2.8.7)

ζeℓ(x) ζeℓ(x) := xueueℓ+ xℓ, ℓ∈ eN^u_n, 1≤ u < n las variables ℓ.r. en la T F R De_u. (5.2.1)

ζe^ν ζe^ν := eζ_u+1^×νu+1× · · · × eζ_n^×νn, ν := (νu+1, . . . , νn), 1 ≤ u < n. (5.4.1)

ζbℓ(x) ζbℓ(x) := xueueℓ+ xℓ, ℓ∈ bNⁿ_n, 1≤ u < n las variables ℓ.h.h. en la T F R dCRu. (6.1.1)

a₁× · · · × aⁿ a₁× · · · × aⁿ:= 1 n!

X

σ∈Sn

a_σ(1)a_σ(2)· . . . · aσ(n) el producto sim´etrico de los elementos a1, . . . , an. (2.8.1)

a^×m a^×m := a|× · · · × a{z }

m-veces

. (2.8.5)

a^µ a^µ:= a|1× · · · × a{z }¹

µ1

× · · · × a|ⁿ× · · · × a{z ⁿ}

µn

=: a^×µ₁ ¹ × · · · × a^×µn ⁿ, µ:= (µ1, µ2, . . . , µn). (2.8.5)

xvi

⊙ el CK⊙ producto entre funciones ℓ.h.h. (3.3.1)

⊙ el CKR producto entre funciones ℓ.r.˜ (5.5.1)

⊙ el CK ˆˆ ⊙ producto entre funciones ℓ.h.h. (6.4)

xvii

xviii

´ Indice general

1. Introducci´on. 3

1.1. Desarrollo del problema. . . 3

1.2. Descripci´on del contenido de este trabajo. . . 4

1.3. Frutos obtenidos de la investigaci´on realizada. . . 6

2. Funciones hiperholomorfas. 9 2.1. N´umeros de Clifford. . . 9

2.2. Involuciones. . . 11

2.3. Propiedades de las involuciones. . . 12

2.4. El operador de Cauchy Riemann D. . . 13

2.5. Funciones hiperholomorfas. . . 14

2.6. El operador de Laplace. . . 15

2.7. La base de Fueter para los polinomios homog´eneos. . . 17

2.8. El producto sim´etrico y sus propiedades. . . 24

2.9. El teorema de extensi´on de Cauchy-Kovalevskaya. . . 29

3. El producto Cauchy-Kovalevskaya. 31 3.1. El problema de Gleason para funciones hiperholomorfas con valores en una ´algebra de Clifford. . . 31

3.2. Series de Taylor. . . 34

3.3. El CK producto ⊙. . . 41

4. Funciones racionales hiperholomorfas. 49 4.1. El CK producto ⊙ para matrices de funciones hiperholomorfas. . . 49

4.2. El CK⊙ inverso de una matriz funci´on. . . 51

4.3. El anillo M[0, A]. . . 53

4.4. Funciones racionales hiperholomorfas. . . 56

4.5. El problema de Gleason en el contexto hiperholomorfo. . . 57

4.6. M´odulos resolventes-invariantes. . . 58

4.7. Matrices de funciones que admiten una realizaci´on. . . 62

4.8. El ´algebra de Clifford Cl0,1. . . 71

4.8.1. Series de Taylor para funciones holomorfas. . . 72

4.8.2. El inverso de una matriz funci´on. . . 74

2 ´INDICE GENERAL

4.8.3. Funciones racionales holomorfas. . . 75

5. Teor´ıa de funciones racionales regulares para el operador de Dirac. 77 5.1. Definici´on y propiedades del operador de Dirac. . . 77

5.2. El problema de Gleason para el operador de Dirac. . . 79

5.3. Polinomios homog´eneos regulares en xu+1, . . . , xn. . . 82

5.4. Expansi´on de Taylor para funciones regulares. . . 86

5.5. El CKR producto e⊙. . . 88

5.5.1. Propiedades del producto e⊙. . . 90

5.6. La CKR extensi´on. . . 92

5.7. El CKR producto para matrices de funciones regulares. . . 97

5.8. Funciones racionales regulares. . . 99

5.9. El problema de Gleason en el contexto de funciones regulares. . . 100

5.10. M´odulos regulares resolventes-invariantes. . . 101

5.11. Matrices de funciones regulares que admiten una realizaci´on. . . 104

6. Teor´ıa de funciones racionales ℓ.h.h. basada en CR y las variables bζℓ. 109 6.1. Las variables hiperholomorfas bζℓ. . . 110

6.1.1. Propiedades. . . 112

6.2. Otra base para Pk(A). . . 113

6.3. Expansi´on de Taylor de una funci´on ℓ.h.h. representada por las variables ζbk. . . 118

6.4. El producto b⊙. . . 122

6.4.1. Propiedades del producto b⊙. . . 124

6.5. La CK b⊙ extensi´on. . . 125

6.6. El problema de Gleason en el contexto hiperholomorfo, para las variables ζbℓ. . . 131

6.7. Funciones racionales hiperholomorfas para el operador CR y las variables ζbk. . . 132

6.8. El ´algebra de Cliford Cl0,1 y la variable bζ0. . . 135

7. Sobre posibles desarrollos del concepto de funci´on racional. 137 7.1. Utilizaci´on iterada de la f´ormula de Taylor para n = 3. . . 137

7.2. Utilizaci´on iterada de la f´ormula de Taylor. . . 145

7.3. Relaci´on entre los productos ˜⊙ y ˆ⊙. . . 155

7.3.1. Bases para P1(A). . . 157

7.3.2. El operador

ε

^n. . . . 158

8. Conclusiones. 159

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on.

1.1. Desarrollo del problema.

Los an´alisis cuaterni´onico y de Clifford son extensiones cl´asicas del an´alsis complejo.

El primero se desarrolla con funciones definidas en doiminios de R⁴, con valores en los cuaternios H≃ Cl^0,2 y que pertenecen al n´ucleo del operador de Cauchy-Riemann D:=

X3 k=0

ek

∂

∂xk

. Las variables de Fueter en este caso son tres, ζℓ(x) := xℓ− x0eℓ, ℓ ∈ {1, 2, 3}.

En el an´alisis de Clifford se consideran funciones definidas en dominios de Rⁿ⁺¹, con valores en el ´algebra de Clifford Cl_0,n, n∈ N y que componen el n´ucleo del operador de Cauchy-Riemann D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

. Para el caso n = 2, Cl_0,2 ≃ H y tenemos dos variables de Fueter ζ1(x) := x1− x⁰e1 y ζ2(x) := x2 − x⁰e2. En general el n´umero de variables de Fueter y funciones componentes son respectivamente n y 2ⁿ.

El problema de encontrar una generalizaci´on para el concepto de funci´on racional que existe en el an´alisis complejo al contexto del an´alisis de Clifford, se resolvi´o en tres etapas:

La primera se denomina Teor´ıa de funciones racionales hiperholomorfas T F R CR y su desarrollo se encuentra en los Cap´ıtulos 2, 3, 4. En esta parte trabajamos con el ope- rador de Cauchy-Riemann D y los conceptos cl´asicos del an´alisis de Clifford: variables de Fueter ζℓ := xℓ− x0eℓ, ℓ ∈ {1, . . . , n}, la CK extensi´on y el CK producto ⊙ entre funciones hiperholomorfas [3]. Aqu´ı adem´as de encontrar una definici´on adecuada para las funciones racionales hiperholomorfas definidas en vecindades abiertas del origen de Rⁿ⁺¹, se dan dos caracterizaciones para tales funciones; en particular una de ellas nos brinda una f´ormula para escribir a los elementos del anillo de funciones racionales en la T F R CR.

La segunda etapa la llamamos Teor´ıa de funciones racionales regulares T F R De_u, su desarrollo est´a en el Cap´ıtulo 5 y se trabaja bajo el operador generalizado de Dirac

e

D_u, 1 ≤ u < n. En esta etapa, debido a que no se encuentran en el material de

4 Introducci´on.

consulta, fue necesario en primer lugar descubrir las variables regulares adecuadas.

Se lograron obtener las variables regulares eζℓ := xueueℓ + xℓ, ℓ ∈ {u + 1, . . . , n}

de forma natural, al resolver el Problema de Gleason para el caso regular. Enseguida nos enfrentamos al problema de definir un producto entre funciones regulares, el que hallamos lo denominamos CKR producto ˜⊙, lo anterior lo obtuvimos cuando pudimos hallar qui´en deber´ıa de ser la CK extensi´on para las funciones definidas en dominios de R^n−u.

Una vez que se tuvo definido el anillo de las funciones regulares cuyos dominios son vecindades abiertas del origen de R^(n+1)−u, pudimos describir a los elementos que for- man el anillo de las funciones racionales regulares definidas en vecindades abiertas del origen de R^(n+1)−u y al igual que en la primera parte, se encontr´o una f´ormula para escribir a estas funciones racionales regulares.

El Cap´ıtulo 6 contiene la tercera etapa, ´esta nace al adaptar el m´etodo que se us´o para encontrar las variables regulares eζℓ, ℓ ∈ {u + 1, . . . , n}, al caso hiperholomorfo que se desarroll´o en la T F R CR. Es as´ı como surge una segunda teor´ıa para funciones racionales hiperholomorfas definidas en vecindades abiertas del origen de Rⁿ⁺¹, la cual denotamos por T F R CRdu, 1 ≤ u < n, se trabaja bajo el operador de Cauchy- Riemann D y las nuevas variables hiperholmorfas bζℓ(x) := xueueℓ+xℓ, ℓ∈ {0, . . . , u−

1, u + 1, . . . , n}. Una de las ventajas que tenemos cuando se trabaja con la T F R dCRu

es que todos los resultados que obtuvimos en la T F R CR tienen su versi´on en la T F R dCRu y est´an escritos de forma tal que si las funciones involucradas no dependen de las variables x0, . . . , xu−1, entonces obtenemos el resultado an´alogo al que ya exist´ıa en la T F R De_u.

1.2. Descripci´ on del contenido de este trabajo.

Cap´ıtulo 2. Se presentan los conceptos b´asicos de ´algebras de Clifford Cl0,n. Por ser un cap´ıtulo introductor no se realizan todas las demostraciones de los enunciados que aqu´ı se encuentran. Estudiamos a las funciones hiperholomorfas (ℓ.h.h.) definidas en dominios de Rⁿ⁺¹ y con valores en Cl_0,n. Estas funciones forman el n´ucleo del operador de Cauchy-Riemann D :=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

. Se demuestra que este operador fac-

toriza al operador de Laplace △^Rn+1 :=

Xn k=0

∂²

∂x²_k y como consecuencia de lo anterior obtenemos que toda funci´on ℓ.h.h. es una funci´on que tiene la propiedad de la analiti- cidad real. Se considera a las variables elementales (de Fueter) ζk(x) := xk− e^kxk, k ∈ {1, . . . , n} las cuales son ℓ.h.h. en Rⁿ⁺¹; con ellas definimos a los polinomios de Fueter que fueron introducidos por R. Delangue [5]. Se presenta tambi´en otra forma de escribir a estos polinomios por medio del llamado “producto sim´etrico”, esta ´ultima fue desarrollada por H. Malonek [15]. Analizamos el teorema de la extensi´on de

1.2. Descripci´on del contenido de este trabajo. 5 Cauchy- Kovalevskaya, este teorema nos permite generar funciones ℓ.h.h. a partir de funciones que tienen la propiedad de la analiticidad real. Cabe mencionar que todos los resultados que forman este cap´ıtulo se encuentran en [3], [7], [12] y [15].

Cap´ıtulo 3.Se investiga el comportamiento local cerca del origen de funciones ℓ.h.h. Se plantea y resuelve el problema de Gleason para funciones ℓ.h.h. definidas en vecindades abiertas del origen y con valores en un ´algebra de Clifford. Al aplicar de forma iterada la soluci´on que se encontr´o al problema de Gleason se construye la expansi´on de Taylor de esta clase de funciones: el armaz´on para esta construcci´on son los polinomios de Fueter. Se define a trav´es del teorema de extensi´on de Cauchy-Kovalesvskaya un producto entre funciones ℓ.h.h que se llama el CK producto ⊙. Este producto junto con la suma usual de funciones dota al conjunto de todas las funciones que son ℓ.h.h.

en vecindades abiertas del origen de una estructura de anillo unitario no conmutativo.

Cap´ıtulo 4. Contiene algunos de los principales resultados del presente trabajo. Se considera el anillo de matrices formadas por funciones que son ℓ.h.h. en vecindades abiertas del origen, el producto en este anillo se define a trav´es del CK⊙ producto introducido en el cap´ıtulo anterior. Se dan las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz funci´on sea CK invertible. Adem´as las definiciones de matriz funci´on racional ℓ.h.h. y matriz funci´on realizable, se demuestra que estos dos conceptos son equivalentes y que el hecho de que R sea una matriz funci´on racional tambi´en es equivalente a poder construir un m´odulo resolvente- invariante de dimensi´on finita donde para todo vector columna v, el problema de Gleason para Rv tiene soluci´on en el m´odulo. En resumen tenemos tres caracterizaciones del concepto de funci´on racional, la primera en t´erminos de productos y cocientes de polinomios, la segunda en t´erminos de realizaciones y la tercera en t´erminos de m´odulos resolventes-invariantes. La teor´ıa de funciones ℓ.h.h. racionales que se presenta en este cap´ıtulo bajo el operador de Cauchy-Riemann D y las variables ζk(x) := xk− x0ek la citaremos con las siglas T F R CR.

Cap´ıtulo 5. Para n, u ∈ N con 1 ≤ u < n se define el operador de Dirac e

D_u :=

Xn k=u

ek

∂

∂xk

. Las funciones con dominios en R^n+1−u, con valores en Cl0,n y que forman el n´ucleo de eD_u las llamamos regulares (ℓ.r.). Se demuestra que el operador de Dirac factoriza al operador de Laplace△^Rn+1−u :=

Xn k=u

∂²

∂x²_k. Se plantea y demuestra el problema de Gleason para funciones ℓ.r., la soluci´on que se encuentra nos permite introducir de forma natural a las variables regulares ˜ζk(x) := xueuek + xk, k ∈ {u + 1, . . . , n}. Con ellas y usando el producto simetrizado se define una base para los polinomios homog´eneos regulares de grado g, para cada g ∈ N. Con estas bases se escribe el expansi´on de Taylor para funciones ℓ.r definidas en vecindades abiertas del origen. Se dota al conjunto de todas las funciones ℓ.r. que tienen dominios que contienen al origen de una estructura de anillo unitario no conmutativo con la suma usual entre funciones y definiendo un producto ˜⊙ por medio de las expansiones de Taylor de los factores. Por otra parte se encuentra y se demuestra la versi´on del teorema

6 Introducci´on.

de extensi´on de Cauchy-Kovalevskaya para funciones ℓ.r., empleando este teorema se obtiene un CK producto ⊚ para funciones ℓ.r. y se demuestra que para funciones ℓ.r. definidas en vecindades del origen su producto ˜⊙ coincide en una vecindad del origen con su CK producto ⊚. Se da el concepto de funci´on racional ℓ.r. en vecindades abiertas del origen y procediendo de forma similar al Cap´ıtulo 4, encontramos tres caracterizaciones para las funciones regulares racionales. La teor´ıa que se origina en este cap´ıtulo la llamaremos teor´ıa de las funciones regulares racionales, para abreviar escribimos T F R De_u.

Aunque los m´etodos que usamos para el desarrollo de las teor´ıas T F R CR y T F R De_u son similares y la colecci´on de las funciones ℓ.r. son una subclase de las funciones ℓ.h.h., no podemos deducir de forma inmediata los resultados de T F R De_u de los establecidos en T F R CR.

Cap´ıtulo 6. Se trabaja con el operador de Cauchy-Riemann D y para u ∈ N, 1≤ u < n se encuentran n-variables ℓ.h.h. ˆζ^k(x) := xueuek+ xk con k ∈ {0, . . . , u −1, u + 1, . . . , n}. Con estas nuevas variables y por medio del producto simetrizado se definen a los polinomios ˆζ^νˆ. As´ı como los polinomios de Fueter fueron los cimientos para la T F R CR, con los polinomios ˆζ^ˆν se edifica una nueva teor´ıa para las funciones racionales ℓ.h.h. definidas en vecindades del origen que denotaremos por T F R dCRu. Por lo que en este cap´ıtulo se construyen n− 1 teor´ıas an´alogas a la T F R CR, con la ventaja que al restringir las funciones involucradas en un resultado de la T F R CRdu

al espacio R^n+1−u, obtenemos el mismo resultado que ya exist´ıa en la T F R De_u. Cap´ıtulo 7. En este cap´titulo se disertan algunos de los resultados que obtuvimos en los Cap´ıtulos 4, 5 y 6. Vamos a utilizar de manera iterativa la f´ormula para escribir la expansi´on de Taylor que encontramos para funciones ℓ.h.h. en vecindades abiertas del origen de Rⁿ⁺¹y con los valores en Cl0,n en la T F R CRdu, para u ∈ {1, . . . , n − 1}.

Tambi´en se da una nueva base para el A-m´odulo derecho de todos lo polinomios A- valuados ℓ.h.h. homog´eneos de grado uno en Rⁿ⁺¹. Se define al operador

ε

n, n > 1 y lo comparamos con el operador de Dirac eD₁ para n = 2. Se demuestra que el anillo de las funciones racionales regulares debe ser un subanillo del anillo de las funciones racionales ℓ.h.h.

1.3. Frutos obtenidos de la investigaci´ on realizada.

Dado que una de las metas en la elaboraci´on de la tesis es el de difundir, someter a revisi´on y discusi´on con la comunidad cient´ıfica los resultados originales que se van obteniendo, se enuncia a continuaci´on los art´ıculos que se han publicado y los trabajos que se presentaron.

D. Alpay, F.M. Correa-Romero, M.E. Luna-Elizarrar´as, M. Shapiro, Hyperho- lomorphic rational functions: the Clifford analysis case, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol. 52, No. 1, January 2007, 59-78.

1.3. Frutos obtenidos de la investigaci´on realizada. 7 D. Alpay, F.M. Correa-Romero, M.E. Luna-Elizarrar´as, M. Shapiro, Fonctions rationnelles et probl`eme de Gleason associ´es `a l’op´erateur de Dirac. C.R. Acad.

Sci. Paris, Vol. 343, No. 5, 2006, 291-382.

9^a Reuni´on Nacional Acad´emica de F´ısica y Matem´aticas, llevada a cabo en la ESFM-IPN del 11 al 14 de mayo de 2004. “Sobre series de Taylor cuaterni´onicas”.

XXXVII Congreso Nacional de la Sociedad Matem´atica Mexicana, con sede en la Universidad Aut´onoma de Baja California ; Ensenada, B.C. en octubre de 2004.

“El m´etodo de Gleason aplicado a series de Taylor cuaterni´onicas”.

10^a Reuni´on Nacional Acad´emica de F´ısica y Matem´aticas, llevada a cabo en la ESFM-IPN del 11 al 13 de mayo de 2005. “El problema de Gleason para funciones hiperholomorfas con valores en un ´algebra de Clifford” y “Funciones racionales hiperholomorfas”.

1^er Taller Internacional de Matem´aticas Aplicadas (APPLIEDMATH), realizado en la Ciudad de M´exico, Instituto Polit´ecnico Nacional, del 21 al 23 de septiembre de 2005. “Funciones racionales hiperholomorfas con valores en un ´algebra de Clifford”.

XXXVIII Congreso Nacional de la Sociedad Matem´atica Mexicana, con sede en el Instituto Polit´ecnico Nacional, Unidad Profesional Adolfo L´opez Mateos, del 23 al 28 de octubre de 2005. “Funciones racionales y funciones realizables con valores en un ´algebra de Clifford”.

11^a Reuni´on Nacional Acad´emica de F´ısica y Matem´aticas, llevada a cabo en la ESFM-IPN del 8 al 12 de mayo de 2006. “Una nueva representaci´on de la serie de Taylor de una funci´on hiperholomorfa”.

Taller Interinstitucional “An´alisis: Norte-Sur 06” CINVESTAV-IPN, del 22 al 24 de noviembre de 2006. “ Una nueva representaci´on de las series de Taylor del an´alisis de Clifford”.

M´exico, D.F., abril de 2007.

8 Introducci´on.

Cap´ıtulo 2

Funciones hiperholomorfas.

En este cap´ıtulo se tratan los t´opicos b´asicos que necesitaremos para el desarrollo de nuestro tema de investigaci´on. Por ser de car´acter introductorio s´olo se escribieron las demostraciones que consideramos ´utiles para aclarar los conceptos de estudio, as´ı como las que no se encuentran o est´an incompletas en la literatura de consulta.

Vamos a trabajar con funciones hiperholomorfas definidas en dominios de Rⁿ⁺¹ y con valores en un ´algebra de Clifford Cl0,n. Estas funciones forman el n´ucleo del operador de Cauchy Riemann D, el cual como se demostrar´a factoriza al operador de Laplace

△^Rn+1.

Se define el producto sim´etrico que se usar´a a su vez para definir a los polinomios de Fueter. Se demuestra el teorema de extensi´on de Cauchy Kovalevskaya que nos permite construir funciones hiperholomorfas a partir de funciones que tienen la propiedad de la analiticidad real. Todos los temas y resultados del presente cap´ıtulo se encuentran en [3], [7], [12], [15] y [18].

2.1. N´ umeros de Clifford.

En esta secci´on se da una introducci´on al concepto de ´algebras de Clifford (reales) Cln = Cl_0,n; aunque breve es todo el material que se necesitar´a sobre este tema para leer el presente trabajo.

Para n ∈ N, sea Nⁿ := {1, 2, . . . , n} y sea {e1, . . . , en} una base ortonormal del R-espacio lineal Rⁿ, a trav´es de la cual un ´algebra real asociativa que contenga copias de R y Rⁿ se construir´a.

Consideremos el espacio lineal real A con base

{e^A= ei1,i2,...,ik| A = (i¹, i2, . . . , ik)⊂ Nⁿ, 1≤ i¹ < i2 < . . . < ik ≤ n}.

Para A =∅, definimos e^∅ =: e₀ y e_(j)=: ej con j ∈ Nⁿ.

Un producto· sobre A se define para que cumpla las siguientes reglas.

P₁) e²_i =−e0 con i ∈ Nⁿ,

10 Funciones hiperholomorfas.

P2) ei· e^j + ej · eⁱ = 0 con i 6= j, i, j ∈ Nⁿ,

P3) para 1 ≤ i¹ < . . . < ik ≤ n eⁱ1 · eⁱ2 · . . . · eⁱk = ei1,i2,...,ik,

P₄) ∀A ∈ P(Nⁿ) e₀ · e^A= eA· e0 = eA, donde P(Nn) :={A| A ⊂ Nⁿ}.

Entonces

eA= ei₁,i₂,...,ik = ei₁ · eⁱ2 · . . . · eⁱk.

As´ı tenemos que A es un ´algebra asociativa pero no conmutativa (n > 1) sobre R y se denomina el ´algebra (universal) de Clifford, los elementos de A se llaman n´umeros de Clifford y dim(A) = 2ⁿ. Tambi´en escribiremos A como Cl_0,ncuando necesitemos hacer

´enfasis en el natural n.

Si a es una elemento de A, entonces se puede escribir como a = P

AaAeA, donde aA∈ R.

Para hacer menos complicada nuestra notaci´on omitiremos el s´ımbolo · en la multipli- caci´on.

Los detalles de la existencia del producto · : A × A → A y sus propiedades se pueden ver en [3] y [7].

2.1.1 Ejemplos.

1. Cl0,0 en este caso la base consiste s´olo del elemento identidad e0, entonces Cl0,0 ≃ R.

2. Cl0,1 es un ´algebra generada por e0 y e1 con e²₁ =−e0, entonces Cl0,1 ≃ C.

3. Cl0,2 los elementos e0, e1, e2, e12 forman una base para Cl0,2 y Cl0,2 ≃ H.

Si calculamos e1e12 = e1e1e2 =−e2, e12e1 = e1e2e1 = e2, e2e12 = e2e1e2 = e1

y e₁₂e₂ = e₁e₂e₂ =−e1, entonces e₁₂ anticonmuta con e₁ y e₂. Adem´as e₁₂e₁₂= e1e2e1e2 =−e¹e1e2e2 =−e⁰.

Sea k ∈ {0, 1, . . . , n}, definimos A^k := {a ∈ A| a = X

|A|=k

aAeA}, entonces se cum- ple que Ak es un subespacio lineal del espacio lineal real A y una base para Ak es {e^A| |A| = k}.

Los elementos de Ak se llaman k-vectores, teni´endose:

2.2. Involuciones. 11

k = 0 cero-vectores o escalares, a = X

|A|=0

aAeA= aA.

k = 1 1-vectores, son elementos de Rⁿ. k = 2 2-vectores, a =X

i<j

aijeiej.

· · ·

k = n n-vectores o seudoescalares, a = a_12...ne₁· e2· . . . · eⁿ.

En especial para a = a0+ a1e1+ . . . + anen ∈ A⁰⊕ A¹ escribimos Sc(a) := a₀ y V ec(a) := a₁e₁+ . . . + anen,

a los elementos de A0⊕A1les llamaremos paravectores; siendo dim(A0) = 1 y dim(A1) = n, A₀ se puede identificar con R y A1 con Rⁿ.

Una propiedad importante es que cada a ∈ A⁰ ⊕ A¹ ⊂ A, con a 6= 0 tiene inverso multiplicativo

a⁻¹ =− a

kak², kak² :=

Xn ℓ=1

a²_ℓ,

sin embargo para n > 2 Cl0,n no es un ´algebra de divisi´on.

2.1.2 Ejemplo. Sean a = 1 + e1e2e3, b = 1− e¹e2e3 ∈ Cl^0,3 tenemos ab = 0.

2.2. Involuciones.

2.2.1 Definici´on. Definiremos tres involuciones sobre A, primero lo haremos con los elementos b´asicos eA y luego se extender´a a todo A usando la linealidad real.

1. La primera I1 : a→ ˆa se define a trav´es de ˆe^A := (−1)^keA, si |A| = k.

2. La segunda I2 : a→ a^∗, llamada inversi´on est´a dada al definir e^∗_A:= eik· . . . · eⁱ1, si eA= ei1 · . . . · eⁱk.

3. La tercera I3 : a→ ¯a, llamada conjugaci´on est´a definida como la composici´on de I1◦ I2 = I2◦ I1, es decir ¯eA:= (ˆeA)^∗ = (e^∗_A)^∧.

2.2.2 Observaci´on. Si |A| = k, entonces e^∗A = (−1)^12k(k−1)eA.

12 Funciones hiperholomorfas.

Sabemos que eℓem =−e^meℓ, para ℓ6= m. Entonces eik · . . . · eⁱ1 = −eⁱk · . . . · eⁱ3ei1ei2

= (−1)⁽¹⁺²⁾eik · . . . · eⁱ4ei1ei2ei3

. . .

= (−1)1+2+···+(k−1)ei1ei2 · . . . · eⁱk

= (−1)^12k(k−1)eA. Por lo tanto ¯eA= (−1)^12k(k+1)eA.

2.3. Propiedades de las involuciones.

Sean a =X

A

aAeA, b =X

A

bAeA elementos de A y λ∈ R.

1. (λa + b)^∧ = λˆa + ˆb.

2. (ab)^∧ = ˆaˆb.

3. ˆˆa = a.

4. La funci´on a → ˆa definida sobre A es un automorfismo . 5. (λa + b)^∗ = λa^∗+ b^∗.

6. (ab)^∗ = b^∗a^∗. 7. a^∗∗= a.

8. La funci´on a → a^∗ es un anti-automorfismo.

9. (λa + b) = λ¯a + ¯b.

10. ab = ¯b¯a.

11. ¯a = a.

Sea a = P

AaAeA un n´umero de Clifford, el coeficiente aA de la eA-componente lo denotaremos por [a]A. En particular el coeficiente a0 de la e0-componente se escribe [a]₀.

Dados a, b∈ A definimos su producto interno como (a, b)0 := 2ⁿ[a¯b]0 = 2ⁿX

A

aAbA

y se cumple

(a, b)₀ = (b, a)₀ = (¯a, ¯b)₀ = (¯b, ¯a)₀.

2.4. El operador de Cauchy Riemann D. 13

De aqu´ı podemos definir una norma sobre A por

|a|0 :=p

(a, a)0 = 2ⁿ²p

[a¯a]0 = 2ⁿ²(X

A

a²_A)¹².

2.3.1 Observaci´on. Como ∀A ⊂ Nⁿ se tiene eAeA= eAeA= e0, entonces

|e^A|0 = 2ⁿ² 6= 1.

2.4. El operador de Cauchy Riemann D.

Consideremos el espacio euclidiano Rⁿ⁺¹, dado x = (x0, x1. . . , ..., xn)∈ Rⁿ⁺¹ lo pode- mos escribir como (x0, x), donde x := (x1, . . . , xn) est´a en el hiperplano x0 = 0, al que identificamos con Rⁿ.

Para x y x elementos de Rⁿ⁺¹ y Rⁿ respectivamente escribimos

x = Xn

l=0

elxl , x =¯ Xn

l=0

¯

elxl y x= Xn

l=1

elxl.

Sea Ω un subconjunto de Rⁿ⁺¹, las funciones f definidas en Ω y con valores en el

´algebra de Clifford A son de la forma f =X

A

eAfA,

donde las funciones componentes fA: Ω→ R son funciones de valores reales (R-valuadas).

Una funci´on f =X

A

eAfA se dice que es la funci´on cero (en Ω), si∀A ∈ A y

∀x ∈ Ω, f^A(x) = 0.

El conjugado de la funci´on f es la funci´on ¯f dada por f :=¯ X

A

¯ eAfA. Para k∈ N ∪ {0} y Ω dominio de Rⁿ⁺¹, sea

C^k(Ω, A) := 

f : Ω→ A|∀A las funciones componentes cumplen f^A∈ C^k(Ω, R)}.

Sobre C¹(Ω, A) definimos el operador de Cauchy-Riemann D por

D:=

Xn k=0

ek

∂

∂xk

,

14 Funciones hiperholomorfas.

el cual actua por la izquierda Dℓ o por la derecha Dr de acuerdo a las reglas siguientes:

D_ℓ[f ] :=X

k,A

ekeA

∂fA

∂xk

y Dr[f ] :=X

k,A

eAek

∂fA

∂xk

.

El conjugado del operador D es el operador definido por ¯D:=

Xn k=0

¯ ek

∂

∂xk

.

2.5. Funciones hiperholomorfas.

Sabemos que las funciones holomorfas definidas en un dominio Ω ⊂ C son los ele- mentos del n´ucleo del operador

∂ =¯ ∂

∂x + i ∂

∂y restringidos a Ω.

Las funciones holomorfas de una variable compleja tienen una generalizaci´on natural en el contexto de funciones definidas en un dominio de Rⁿ⁺¹ y con valores en un ´algebra de Clifford , cuando remplazamos el operado ¯∂ por el operador D, las soluciones de la ecuaci´on D[f ] = 0 son lo que llamaremos funciones hiperholomorfas.

2.5.1 Definici´on. Una funci´on f ∈ C¹(Ω, A) se dice hiperholomorfa por la izquierda (derecha) o ℓ-hiperholomorfa (r-hiperholomorfa) en Ω y lo abreviaremos por ℓ.h.h.

(r.h.h.) si se cumple Dℓ[f ] = 0 ( Dr[f ] = 0 ) en Ω.

2.5.2 Observaci´on. Si f ∈ C¹(Ω, A) es ℓ.h.h., entonces X

k,A

ekeA

∂fA

∂xk

= 0

la anterior expresi´on es equivalente a un sistema lineal homog´eneo de 2ⁿ ecuaciones diferenciales parciales de primer orden con coeficientes constantes.

2.5.3 Proposici´on. Sean M_A(Ω) := {f ∈ C¹(Ω, A)|f es ℓ-hiperholomorfa en Ω}

y^AM(Ω) :={f ∈ C¹(Ω, A)|f es r-hiperholomorfa en Ω}, entonces M^A(Ω) y ^AM(Ω) son un A-m´odulo derecho y un A-m´odulo izquierdo respectivamente.

Demostraci´on. En efecto para f = X

A

eAfA, g = X

A

eAgA ∈ M^A(Ω) y a ∈ A tenemos.

2.6. El operador de Laplace. 15

a) Dℓ[f + g] =X

k,A

ekeA

∂

∂xk

[fA+ gA] =X

k,A

ekeA

∂fA

∂xk

+X

k,A

ekeA

∂gA

∂xk

= 0 ⇒

f + g∈ M^A(Ω).

b) Dℓ[f· a] =X

k,A

ekeA

∂

∂xk

[f · a] =X

k,A

ekeA

∂f

∂xk · a = 0 ⇒ f · a ∈ M^A(Ω).

La demostraci´on de que ^AM(Ω) es un A-m´odulo izquierdo es an´aloga a la anterior.

 2.5.4 Definici´on. Dado Ω⊂ Rⁿ⁺¹, sobre el conjunto de todas las funciones definidas en Ω y con valores en el ´algebra de Clifford A, definimos el operador Z por

Z[f ] = ¯f , y lo llamaremos el operador conjugaci´on.

2.5.5 Proposici´on. Sea Ω un dominio de Rⁿ⁺¹, sobre C¹(Ω, A) los operadores Dr y D_ℓ cumplen: Z◦ D^ℓ◦ Z = ¯D_r y Z◦ D^r◦ Z = ¯D_ℓ.

Demostraci´on. Sea f ∈ C¹(Ω, A).

Z◦ D^ℓ◦ Z[f] = Z ◦ D^ℓ[ ¯f] = Z◦ D^ℓ[X

A

¯

eAfA] = Z[X

k,A

ek¯eA

∂fA

∂xk

] =X

k,A

eke¯A

∂fA

∂xk

= X

k,A

eAe¯k

∂fA

∂xk

= ¯D_r[f ]⇒ Z ◦ D^ℓ◦ Z = ¯D_r.

De forma an´aloga se demuestra la otra igualdad.

 Por lo anterior basta estudiar las propiedades del operador izquierdo Dℓpara conocer las propiedades del operador derecho Dr. Aqu´ı trabajaremos los resultados con el operador de Cauchy-Riemann izquierdo y para facilitar la notaci´on escribiremos D en vez de Dℓ. 2.5.6 Observaci´on. Sea f ∈ C¹(Ω, A), entonces f es ℓ.h.h.en Ω ⇐⇒ ¯f es r.h.h.

en Ω.

2.6. El operador de Laplace.

2.6.1 Proposici´on. Sea Ω un dominio de Rⁿ⁺¹, sobre C²(Ω, A) los operadores D◦ D y D◦ D cumplen

D◦ ¯D= ¯D◦ D = ∆^Rn+1.

Es decir el operador de Cauchy-Riemann factoriza al operador de Laplace ∆Rⁿ⁺¹.