INGENIERIA CIVIL I.T. Obras Públicas / Ing. Caminos

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INGENIERIA CIVIL I.T. Obras Públicas / Ing. Caminos

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af`lmfr

 Repasar los dominios de deformación y su  relación con la posición del eje neutro

 Plantear las ecuaciones básicas empleadas en el  cálculo de solicitaciones normales

 Plantear los diversos casos de cálculo de 

secciones en función de la solicitación existente

 Definir los conceptos de cuantías mínimas  geométrica y mecánica, y su determinación

l_gbqfslp

1. El cálculo de secciones 2. Cálculo a tracción

3. Cálculo a flexión

4. Cálculo a compresión 5. Cuantías mínimas

`lkqbkfalp

 Ecuaciones básicas a emplear:

 Equilibrio de Fuerzas:

N _d = f _cd b _y ∙ y + U _s1 + U _s2

 Equilibrio de Momentos:

N _d ∙ e ₁ = f _cd b _y ∙ y (d ‐ y/2) + U _s2 (d – d’)

NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp

x d

d’

b_y

A_s1 A_s2

SECCIÓN

ε_s1

ε_s2 ε_c

‐

+

Deformaciones

σ_s1

σ_s2

‐

+

Tensiones Acero

U

U

Esfuerzos

f_cd

e₁

N

 Debe distinguirse entre:  [Art. 42.1.4]

 Dimensionamiento (o “Cálculo”):

 Datos: N _d ,M _d (e=M _d  / N _d )

 Incógnitas:  x, U _s1 , U _s2

 Comprobación (o “Verificación”):

 Datos: U _s1 , U _s2

 Incógnitas:  x, N _u , e ₁ (ó M _u )

 Simplificaciones de cálculo:  [Anejo 7 EHE]

 Sección rectangular  b _y = b = cte

 Recubrimientos iguales: d ₁ = d ₂ = d’, con d’/d ≤ 0,20

NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp

NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp

POSICIÓN DEL EJE NEUTRO Y 

SECCIÓN COMPRIMIDA EN CADA DOMINIO

x ≤x

= 0,259d

Dominio 1 Dominio 2

x ≤ 0

x ≤ x

= 0,63d

Dominio 3

x ≤ d x ≤ h

Dominio 4/4a

x ≥ h

Dominio 5

d

x

x

 Casos de diseño a analizar:

 Caso I: Tracción (Dominio 1)

 Caso I.a – Tracción simple

 Caso I.b – Tracción compuesta

 Caso II: Flexión (Dominios 2, 3 y 4)

 Caso II.a – Flexión simple

 Caso II.b – Flexión compuesta

 Caso III: Compresión (Dominio 5)

 Caso III.a – Compresión compuesta

 Caso III.b – Compresión simple

NK=bi=`ži`ril=ab=pb``flkbp

 Caso I.a: Tracción simple

OK=`ži`ril=^=qo^``fþk

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: A _s1 , A _s2

 Condición de diseño:

ε _s1 = ε _s2  A _s1 = A _s2

 Ecuaciones de cálculo:

1 2 1 2

d s s s yd s yd

N  U  U  A f  A f

1 2

2 2

2

d s yd

s s d

N U A f

U U U N

   

  

N

x   ‐ ∞

U

ε

= 0,010 ε

= 0,010

Deformaciones Esfuerzos

U

ESQUEMA DE SECCIÓN

 Caso I.b: Tracción compuesta

OK=`ži`ril=^=qo^``fþk

 Condición caso: e ≤ (d–d’)/2

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: A _s1 , A _s2 , σ _s2

 Ecuaciones de cálculo:

1 2 1 2 2

2 2

' ( ')

2

d s s s yd s s

d s s

N U U A f A

N d d e A d d





   

  

       

1 2

2 2

2 '

2 '

d d

s d s

d d

s s yd

N M

U N U

d d

N M

U A f

d d

   



   



ESQUEMA DE SECCIÓN

N

x

d’ U

U

[(d‐d’)/2]‐e ε

= 0,010

ε

Deformaciones Esfuerzos e

(d ‐d’)/2

d

 Caso II.a: Flexión simple

PK=`ži`ril=^=cibufþk

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , U _s2 , y

 Subcasos de cálculo:

 Dominio 2: Hormigón poco  aprovechado, rotura poco dúctil

 Dominio 3: El más habitual, rotura dúctil

 Dominio 4: Acero a tracción  desaprovechado (σ

< f

)

1 2

2

( ')

2

s cd s

d cd s

U f b y U

M f b y d y U d d

   

 

       

 

ESQUEMA DE SECCIÓN

M

d

d’ U

U

ε

ε

Deformaciones Esfuerzos

y f

x

d  –d ’ d  –y /2

 Concepto de Momento Límite (M _lim ):

PK=`ži`ril=^=cibufþk

 Definición:

Valor máximo del momento de  cálculo M

para el cual la sección  trabaja en Dominio 3 (x ≤ x

)

 Cálculo de M _lim :

de donde se obtiene:

lim lim lim

lim lim

2 lim

2

0,63 0,5

0,375

cd

cd

M f b y d y

x d y d

M f bd

 

       

  

 

d U 0

M _lim  , 375  ₀

ESQUEMA DE SECCIÓN

M

d

U

Deformaciones Esfuerzos

y

=  0,5d f

x

=  0,63d

ε = 0,0035

ε

= 0,002

d  ‐ y

/2

 Subcaso II.a.1: Flexión simple en Dominio 2

PK=`ži`ril=^=cibufþk

 Condición subcaso (x ≤ x _cri ):

M _d ≤ M _cri = 0,186·U ₀ ·d

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , y

 Ecuaciones de cálculo:

1

2

s cd

d cd

U f b y M f b y d y

  

 

        

1 0

0

1‐ 1‐ 2

s

U U M

U d

 

    

 

ESQUEMA DE SECCIÓN

M

d

U

Deformaciones Esfuerzos

y ≤  y

f

x ≤  x

ε ≤ 0,0035

ε

= 0,010

d  ‐ y/2

 Subcaso II.a.2: Flexión simple en Dominio 3

PK=`ži`ril=^=cibufþk

 Condición subcaso (x ≤ x _lim ):

M _cri ≤ M _d ≤ M _lim = 0,375·U ₀ ·d

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , y

 Ecuaciones de cálculo:

1

2

s cd

d cd

U f b y M f b y d y

  

 

      

 

1 0

0

1‐ 1‐ 2

s

U U M

U d

 

    

 

ESQUEMA DE SECCIÓN

M

d

U

Deformaciones Esfuerzos

y ≤  y

f

x ≤  x

ε = 0,0035

ε

d  ‐ y/2

 Subcaso II.a.3: Flexión simple en Dominio 4

PK=`ži`ril=^=cibufþk

 Condición subcaso (x > x _lim ):

M _d > M _lim = 0,375·U ₀ ·d

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , U _s2

 Ecuaciones de cálculo (y = y _lim ):

   

 

         

1 lim 2

lim lim 2

( ')

2

s cd s

d cd s

U f b y U

M f b y d y U d d

2 lim

1 0 2

' 0,5

s d

s s

M M

U d d

U U U

 



  

ESQUEMA DE SECCIÓN

M

d

U

y

=  0,5d f

x

=  0,63d

ε = 0,0035

ε

= 0,002

U

Deformaciones Esfuerzos

d  –d ’

 Flexión compuesta. Teorema de Ehlers

d

d’ U

U

ε

ε

Deformaciones Esfuerzos

ESQUEMA DE SECCIÓN

y f

x

N

e

d  –h /2

ε = 0,0035

e

PK=`ži`ril=^=cibufþk

=

Flexión simple M

= N

∙ e

N

e

=e+d‐h/2

N

+

Axil sobre U

U’

= N

N

+

=

U’

M

 Caso II.b: Flexión compuesta

d

d’ U

U

ε

ε

y f

x

M

= N

e

ε = 0,0035

ESQUEMA DE SECCIÓN

Deformaciones Esfuerzos

PK=`ži`ril=^=cibufþk

N

 Condición de caso:

U _s1 = U _e1 – N _d ≥ 0 [Tracción]

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , U _s2 , y

 Subcasos de cálculo:

 M _e ≤ M _lim  U _s2 = 0

 M _e > M _lim  U _s2 ≠ 0

1 2

2

( ')

2

e cd s

e cd s

U f b y U

M f b y d y U d d

   

 

         

 Subcaso II.b.1: Flexión compuesta  ^(M _e ^≤ M _lim ⁾

d

d’

U

ε

ε

y f

x

M

= N

e

ε = 0,0035

ESQUEMA DE SECCIÓN

Deformaciones Esfuerzos

PK=`ži`ril=^=cibufþk

N

 Condición de subcaso:

M _e = N _d ·e ₁ ≤ M _lim = 0,375U ₀ d

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , y

 Ecuaciones de cálculo:

1

2

e cd

e cd

U f b y M f b y d y

  

 

       

1 0

0

1‐ 1‐ 2

s

U U M

U d

 

      

d

d’ U

U

ε

ε

y  =  0,5d

f

x  =  x

M

= N

e

ε = 0,0035

ESQUEMA DE SECCIÓN

Deformaciones Esfuerzos

 Subcaso II.b.2: Flexión compuesta  ^(M _e ^> M _lim ⁾ 

PK=`ži`ril=^=cibufþk

N

 Condición de caso:

M _e =N _d ·e ₁ > M _lim = 0,375·U ₀ ·d

 Equilibrio de la sección (y=y _lim ):

 Incógnitas: U _s1 , U _s2

 Ecuaciones de cálculo:

1 0 2

0 2

0,5

0,375 ( ')

e s

e s

U U U

M U d U d d

  

   

1 0 2

lim 2

0,5 '

s s

e s

U U U

U M M

d d

  

 



 Caso III.a: Compresión compuesta

Deformaciones Esfuerzos

N

x

e

y  =  h

ε

ε

d  ‐ h/2

d

U

U

M

= N

∙ e

d’

ESQUEMA DE SECCIÓN

 

 

  

 

 



 

2 d h d U h - N M'

QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk

 Condición de caso:

U _s1 = U _e1 – N _d < 0 ^[Compr.]

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , U _s2 , y

 Subcasos de cálculo:

 M _d < M’ _d  U _s1 ≠ 0

 M _d ≥ M’ _d  U _s1 = 0

0 1 2

0 1

‐ ( ')

2

d s s

d d s

N U h U U d

h h

M N U d U d d d

  

  

         

 Subcaso III.a.1: Compr. compuesta  ^(M _d ^< M’ _d ⁾

QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: U _s1 , U _s2

 Ecuaciones de cálculo:

0 1 2

0 1

‐ ( ')

2

d s s

d d s

N U h U U d

h h

M N U d U d d d

  

  

      

  

1 0

2 0

2 0,5 2

2 0,5 2

d d

s

d d

s

N h M

U U

d d h

N h M

U U

d d h

   



   

Deformaciones Esfuerzos 

N

x  ≥  1,25  h

e

y  =  h

ε

ε

d  ‐ h/2

d

U

U

M

= N

∙ e

d’

ESQUEMA DE SECCIÓN

 

 

  

 

 



 

2

d h

d

U h

-

N

M'

 Subcaso III.a.2: Compr. compuesta  ^(M _d ^≥ M’ _d ⁾

QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk

Deformaciones Esfuerzos

ESQUEMA DE SECCIÓN

N

e

y  <  h

ε

ε

d

M

= N

∙ e U

x  <  1,25  h

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: y, U _s2

 Ecuaciones de cálculo:

0 2

2

2

d s

d d

N U y U d

h y y

M N d U d

d

 

   

           

1

2 0 2

0

0

1 1 1 2 2

( )

s

d d

s d

U

N d h M

U N U h d

d U h d



     

   

     

            

 

 

 Caso III.b: Compresión simple

QK=`ži`ril=^=`ljmobpfþk

Deformaciones Esfuerzos

ESQUEMA DE SECCIÓN

N

x  ∞

U

ε

= 0,002 ε

= 0,002

U

 Equilibrio de la sección:

 Incógnitas: A _s1 , A _s2

 Condiciones de diseño:

ε _c = ε _s = 0,002  f _yd ≤ 400 ^MPa ε _s1 = ε _s2  A _s1 = A _s2

 Ecuaciones de cálculo:

1 2

d c cd s yd s yd

N  A f  A f  A f

0

1 2

2 2

2

d c s yd

d c

s s

N U U U A f

N U

U U U

    

   

 Armadura longitudinal que debe disponerse como  mínimo dentro de la sección

 Existen dos tipos de cuantías mínimas:

 Mecánica (ω _min ):

 Evita la rotura frágil (agria) de la sección

 Geométrica (ρ _min ): 

 Minimiza la posible fisuración por acciones térmicas y/o  por retracción del hormigón

 Además, facilita el montaje de la armadura

 Normalmente se expresa como un ‰ de la sección bruta  de hormigón (A _c )

RK=`r^kqð^p=jðkfj^p

 Cuantías mecánicas mínimas:  [Art. 42.3.2]

 Armadura mínima de tracción en flexión:

RK=`r^kqð^p=jðkfj^p

1 1

1

1 1

1 1

;

0,8 1,5

10 10

0,20

t t

t

t t t

t t t

ck cd

t

s t cd

M I

W W d

M N z W

W W

N z h

f f

U N W f

h





 



 

 

 

  

 

U

M

‐ σ

Esfuerzos con  armadura mínima

N

Esfuerzos sin  armadura mínima

M

σ_t

= f

‐ σ

N

N

Sección A

G

d

z  =  0,8 ∙h

 Cuantías mecánicas mínimas:

 Flexión simple y compuesta:  [Art. 42.3.2]

 Armadura traccionada:

 Sección cualquiera: U _s1 = A _s ∙ f _yd ≥ W ₁ /(0,8∙h)∙f _ctm,fl

 Sección rectangular: U _s1 = A _s ∙ f _yd ≥ 0,04∙U _c

 Armadura comprimida: 

 Flexión compuesta: U _s2 = A’ _s ∙ f _yd ≥ 0,05 N _d

 Compresión simple o compuesta:  [Art. 42.3.3]

 Comp. Cª (por cara): 0,5 f _cd ∙ A _c > A’ _s,cara ∙ f _yc,d ≥ 0,05 N _d

 Compresión simple: f _cd A _c > A’ _s,total ∙ f _yc,d ≥ 0,10 N _d

RK=`r^kqð^p=jðkfj^p

 Cuantías geométricas mínimas (‰):  [Tabla 42.3.5]

RK=`r^kqð^p=jðkfj^p

Tipo de elemento estructural Tipo de acero B 400 B 500

Pilares 4,0 4,0

Losas 

2,0 1,8

Vigas 

3,3 2,8

Muros 

Armadura horizontal 4,0 3,2 Armadura vertical 1,2 0,9

(1) Cuantía mínima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras. Para losas de cimentación y zapatas armadas, se adoptará la mitad de estos valores en cada dirección, dispuestos en la cara inferior.

(4) Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada. (A_s2=0.30∙A_s1,mín)

(5) La cuantía mínima vertical es la correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada. (A_s2=0.30 A_s1,mín)

En el caso de muros con espesores ≥ 50 cm, se considerará un área efectiva de espesor máximo 50 cm.

distribuidos en 25 cm. a cada lado, ignorando la zona central que queda entre estas capas superficiales