Tema 4 exponentes y polinomios

Profesora: Jeanneth Galeano Peñaloza

Coordinadora: Margarita Ospina

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá

Departamento de Matemáticas

Parte I

Leyes de los Exponentes

Si n es un entero positivo y a es un número real, se define

a

n

=

a

_·

a

_·

a

_{· · ·}

a

|

{z

}

n veces

,

Si a

₆

=

0, como a

_·

1

_a

=

1 escribimos a

−

1

₌

1

a

y a

−

n

₌

1

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Para m,

n enteros positivos, a

₆

=

0,

b

₆

=

0

a

m

_a

n

₌

_a

m+n

a

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Para m,

n enteros positivos, a

₆

=

0,

b

₆

=

0

a

m

_a

n

₌

_a

m+n

a

a

=

a

m

−

n

⋆

a

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Para m,

n enteros positivos, a

₆

=

0,

b

₆

=

0

a

m

_a

n

₌

_a

m+n

a

a

=

a

m

−

n

⋆

a

a

=

a

0

=

1

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Para m,

n enteros positivos, a

₆

=

0,

b

₆

=

0

a

m

_a

n

₌

_a

m+n

a

a

=

a

m

−

n

⋆

a

a

=

a

0

=

1

(

a

m

)

n

₌

_a

mn

Leyes de los Exponentes

Propiedades

Para m,

n enteros positivos, a

₆

=

0,

b

₆

=

0

a

m

_a

n

₌

_a

m+n

a

a

=

a

m

−

n

⋆

a

a

=

a

0

=

1

(

a

m

)

n

₌

_a

mn

(

ab

)

n

₌

_a

n

_b

n

a

b

n

Radicales

Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un número real.

Si a

>

0, entonces

√

_{a es el número real positivo b tal que}

b

n

=

a.

Si a

<

0 y n es impar, entonces

√

_{a es el número real}

negativo b tal que b

n

=

a.

Propiedades de los radicales

(

√

_a

)

n

=

a,

si

√

_{a es un}

número real

Propiedades de los radicales

(

√

_a

)

n

=

a,

si

√

_{a es un}

número real

n

√

a

n

₌

_{a, si a}

_≥

₀

(

√

25

)

2

=

25

Propiedades de los radicales

(

√

_a

)

n

=

a,

si

√

_{a es un}

número real

n

√

a

n

₌

_{a, si a}

_≥

₀

√

a

n

₌

_{a, si a}

_<

_{0 y n es}

impar

(

√

25

)

2

=

25

√

2

3

₌

₂

3

p

Propiedades de los radicales

(

√

_a

)

n

=

a,

si

√

_{a es un}

número real

n

√

a

n

₌

_{a, si a}

_≥

₀

√

a

n

₌

_{a, si a}

_<

_{0 y n es}

impar

n

√

a

n

₌

_|

_a

_|

_{, si a}

_<

_{0 y n es}

par

(

√

25

)

2

=

25

√

2

3

₌

₂

3

p

(

₋

2

)

3

₌

₋

₂

2

p

Propiedades de los radicales

n

√

ab

=

√

_a

√

b

√

36

=

√

Propiedades de los radicales

n

√

ab

=

√

_a

√

b

q

a

b

=

√

a

√

b

√

36

=

√

Propiedades de los radicales

n

√

ab

=

√

_a

√

b

q

a

b

=

√

a

√

b

p

√

a

=

√

_a

2

√

36

=

√

4

_×

9

=

√

4

√

9

q

36

49

=

√

36

√

49

p

√

Propiedades de los radicales

n

√

ab

=

√

_a

√

b

q

a

b

=

√

a

√

b

p

√

a

=

√

_a

2

√

36

=

√

4

_×

9

=

√

4

√

9

q

36

49

=

√

36

√

49

p

√

64

=

√

64

OJO Si n es par y a y b son negativos

√

ab existe, pero

√

_{a y}

√

Propiedades de los radicales

n

√

ab

=

√

_a

√

b

q

a

b

=

√

a

√

b

p

√

a

=

√

_a

2

√

36

=

√

4

_×

9

=

√

4

√

9

q

36

49

=

√

36

√

49

p

√

64

=

√

64

OJO Si n es par y a y b son negativos

√

ab existe, pero

√

_{a y}

√

b no existen.

Exponentes racionales

Con el fin de dar significado al símbolo a

1

/

n

de manera que sea

consistente con las leyes descritas anteriormente,

(

a

1

/

n

)

n

=

a

(

1

/

n)n

=

a

1

=

a

entonces, según la definición de raíz n-ésima

a

1

/

n

=

√

a.

En general, para m/n un número racional, con n

>

1 y a un

número real tenemos

a

m

/

n

_{= (}

√

_a

Ejemplo

Simplificar

4

5

_×

6

3

9

2

_×

₁₀

4

=

(

2

2

)

5

_×

(

2

_×

3

)

3

(

3

2

₎

2

_×

₍

₅

_×

₂

₎

4

=

2

10

_×

₂

3

_×

₃

3

3

4

_×

₅

4

_×

₂

4

=

2

13

_×

₃

3

3

4

_×

₅

4

_×

₂

4

=

2

9

Ejercicio

Simplifique las siguientes expresiones.

1

(

3

×

5

)

×

4

2

×

3

3

5

9

2

2

×

5

4

3

√

8

_×

8

2

·

√

Parte II

Polinomios

Definición

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma

p

(

x

) :=

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

1

x

+

a

0

donde a

n

,

a

n

−

1

, . . . ,

a

1

,

a

0

son reales, x representa una

variable y n es un número natural.

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

p

(

x

) =

2x

2

+

5x

₋

4 se conoce como polinomio cuadrático

Si n

=

0, p

(

x

) =

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

5, se llama polinomio

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

p

(

x

) =

2x

2

+

5x

₋

4 se conoce como polinomio cuadrático

Si n

=

0, p

(

x

) =

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

5, se llama polinomio

constante

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

p

(

x

) =

2x

2

+

5x

₋

4 se conoce como polinomio cuadrático

Si n

=

0, p

(

x

) =

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

5, se llama polinomio

constante

3

√

x

+

3x

2

+

5 NO es un polinomio,

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

p

(

x

) =

2x

2

+

5x

₋

4 se conoce como polinomio cuadrático

Si n

=

0, p

(

x

) =

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

5, se llama polinomio

constante

Polinomios

Ejemplo

Si n

=

1, p

(

x

) =

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

3x

+

2 se llama

polinomio lineal

Si n

=

2, p

(

x

) =

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

, por ejemplo

p

(

x

) =

2x

2

+

5x

₋

4 se conoce como polinomio cuadrático

Si n

=

0, p

(

x

) =

a

0

, por ejemplo p

(

x

) =

5, se llama polinomio

constante

Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,

multiplicación y división, simplemente procedemos teniendo en

cuenta que son sumas y productos de números reales.

Por ejemplo, al realizar la suma

(

2x

+

3

) + (

x

2

₋

_x

₊

₂

₎

_{, usando}

las propiedades asociativa y conmutativa de números reales y

factorizando la variable tenemos:

(

2x

+

3

) + (

x

2

₋

x

+

2

) =

x

2

+ (

2x

₋

x

) + (

3

+

2

)

Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,

multiplicación y división, simplemente procedemos teniendo en

cuenta que son sumas y productos de números reales.

Por ejemplo, al realizar la suma

(

2x

+

3

) + (

x

2

₋

_x

₊

₂

₎

_{, usando}

las propiedades asociativa y conmutativa de números reales y

factorizando la variable tenemos:

Operaciones entre polinomios

Diferencia

De forma análoga con la diferencia:

(

2x

+

3

)

₋

(

x

2

₋

x

+

2

) =

₋

x

2

+ (

2x

₋

(

₋

x

)) + (

3

₋

2

)

=

₋

x

2

+ (

2

+

1

)

x

+

1

Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(

2x

+

3

)(

x

2

₋

x

+

2

) =

2x

(

x

2

₋

x

+

2

) +

3

(

x

2

₋

x

+

2

)

=

2x

3

₋

2x

2

+

4x

+

3x

2

₋

3x

+

6

=

2x

3

+

x

2

+

x

+

6

Operaciones entre polinomios

Factorización

Si un polinomio p

(

x

)

se puede expresar como producto de

polinomios de menor grado, decimos que el polinomio se

encuentra factorizado. Por ejemplo

Operaciones entre polinomios

Productos notables

(

a

+

b

)

2

₌

_a

2

₊

_2ab

₊

_b

2

(

a

₋

b

)

2

₌

_a

2

₋

_2ab

₊

_b

2

(

a

₋

b

)(

a

+

b

) =

a

2

₋

_b

2

(

a

+

b

)

3

=

a

3

+

3a

2

b

+

3ab

2

+

b

3

Operaciones entre polinomios

Factorización

a

2

₋

b

2

= (

a

₋

b

)(

a

+

b

)

a

3

₋

b

3

= (

a

₋

b

)(

a

2

+

ab

+

b

2

)

Operaciones entre polinomios

Operaciones entre polinomios

División

Recordemos que en números reales:

5

32

6

2

luego:

Operaciones entre polinomios

División

En forma análoga para polinomios:

x

+

1

x

₋

2

x

2

₋

x

+

2

−

x

2

₋

_x

−

2x

+

2

2x

+

2

4

División de Polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Si p

(

x

)

y s

(

x

)

son polinomios donde el grado de p

(

x

)

es mayor

o igual que el grado de s

(

x

)

y si s

(

x

)

₆

=

0, entonces existen

polinomios q

(

x

)

y r

(

x

)

tales que

p

(

x

) =

s

(

x

)

_·

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

el grado de r

(

x

)

es menor que el grado de s

(

x

)

. El polinomio

División de Polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Si p

(

x

)

y s

(

x

)

son polinomios donde el grado de p

(

x

)

es mayor

o igual que el grado de s

(

x

)

y si s

(

x

)

₆

=

0, entonces existen

polinomios q

(

x

)

y r

(

x

)

tales que

p

(

x

) =

s

(

x

)

_·

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

el grado de r

(

x

)

es menor que el grado de s

(

x

)

. El polinomio

División de Polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Si p

(

x

)

y s

(

x

)

son polinomios donde el grado de p

(

x

)

es mayor

o igual que el grado de s

(

x

)

y si s

(

x

)

₆

=

0, entonces existen

polinomios q

(

x

)

y r

(

x

)

tales que

p

(

x

) =

s

(

x

)

_·

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

el grado de r

(

x

)

es menor que el grado de s

(

x

)

.

El polinomio

División de Polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Si p

(

x

)

y s

(

x

)

son polinomios donde el grado de p

(

x

)

es mayor

o igual que el grado de s

(

x

)

y si s

(

x

)

₆

=

0, entonces existen

polinomios q

(

x

)

y r

(

x

)

tales que

p

(

x

) =

s

(

x

)

_·

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

División de Polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

En el ejemplo anterior

x

2

₋

x

+

2

|

{z

}

p(x)

= (

x

₋

2

)

| {z }

s(x)

(

x

+

1

)

| {z }

q(x)

+

4

División de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s

(

x

)

es de la forma

(

x

₋

c

)

, donde c es un número real. Entonces,

p

(

x

) = (

x

₋

c

)

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

donde el grado de r

(

x

)

debe ser menor que el grado de x

₋

c,

es decir menor que 1. Luego, r

(

x

)

debe ser un polinomio

constante, así que

División de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s

(

x

)

es de la forma

(

x

₋

c

)

, donde c es un número real. Entonces,

p

(

x

) = (

x

₋

c

)

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

donde el grado de r

(

x

)

debe ser menor que el grado de x

₋

c,

es decir menor que 1.

Luego, r

(

x

)

debe ser un polinomio

constante, así que

División de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s

(

x

)

es de la forma

(

x

₋

c

)

, donde c es un número real. Entonces,

p

(

x

) = (

x

₋

c

)

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

donde el grado de r

(

x

)

debe ser menor que el grado de x

₋

c,

es decir menor que 1. Luego, r

(

x

)

debe ser un polinomio

constante, así que

División de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s

(

x

)

es de la forma

(

x

₋

c

)

, donde c es un número real. Entonces,

p

(

x

) = (

x

₋

c

)

q

(

x

) +

r

(

x

)

,

donde el grado de r

(

x

)

debe ser menor que el grado de x

₋

c,

es decir menor que 1. Luego, r

(

x

)

debe ser un polinomio

constante, así que

Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p en el valor real c tenemos que

p

(

c

) = (

c

₋

c

)

q

(

c

) +

d

=

d,

es decir, el residuo en esta división es p(

c

) =

d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(

x

)

se divide entre x

₋

c, entonces el residuo

Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p en el valor real c tenemos que

p

(

c

) = (

c

₋

c

)

q

(

c

) +

d

=

d,

es decir, el residuo en esta división es p

(

c

) =

d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(

x

)

se divide entre x

₋

c, entonces el residuo

Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p en el valor real c tenemos que

p

(

c

) = (

c

₋

c

)

q

(

c

) +

d

=

d,

es decir, el residuo en esta división es p

(

c

) =

d .

Teorema del residuo

Teorema del residuo

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p

(

x

) =

3x

3

₋

2x

₋

4 se divide entre

x

+

2, sin hacer la división.

p

(

₋

2

) =

3

(

₋

2

)

3

₋

2

(

₋

2

)

₋

4

=

₋

24.

¿Qué sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la división es exacta y el polinomio queda

factorizado.

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p

(

x

) =

3x

3

₋

2x

₋

4 se divide entre

x

+

2, sin hacer la división.

p

(

₋

2

) =

3

(

₋

2

)

3

₋

2

(

₋

2

)

₋

4

=

₋

24.

¿Qué sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la división es exacta y el polinomio queda

factorizado.

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p

(

x

) =

3x

3

₋

2x

₋

4 se divide entre

x

+

2, sin hacer la división.

p

(

₋

2

) =

3

(

₋

2

)

3

₋

2

(

₋

2

)

₋

4

=

₋

24.

¿Qué sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la división es exacta y el polinomio queda

factorizado.

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p

(

x

) =

3x

3

₋

2x

₋

4 se divide entre

x

+

2, sin hacer la división.

p

(

₋

2

) =

3

(

₋

2

)

3

₋

2

(

₋

2

)

₋

4

=

₋

24.

¿Qué sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la división es exacta y el polinomio queda

factorizado.

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p

(

x

) =

3x

3

₋

2x

₋

4 se divide entre

x

+

2, sin hacer la división.

p

(

₋

2

) =

3

(

₋

2

)

3

₋

2

(

₋

2

)

₋

4

=

₋

24.

¿Qué sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la división es exacta y el polinomio queda

factorizado.

División de Polinomios

Ejemplo

Pruebe que x

+

3 es factor x

3

₊

_x

2

₋

_2x

₊

_12.

El residuo es

División de Polinomios

Ejemplo

Pruebe que x

+

3 es factor x

3

₊

_x

2

₋

_2x

₊

_12.

El residuo es

Ceros de un polinomio

Definición

Los ceros de un polinomio

p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

1

x

+

a

0

o las raíces de la ecuación polinómica p

(

x

) =

0 son los valores

a

_∈

R

tales que

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Los ceros del polinomio p

(

x

) =

x

2

₋

5x

+

6 son 2 y 3, pues

p

(

2

) = (

2

)

2

₋

₅

₍

₂

_{) +}

₆

₌

_{0 y p}

₍

₃

_{) = (}

₃

₎

2

₋

₅

₍

₃

_{) +}

₆

₌

_0,

usando el teorema del factor tenemos:

Ceros de un polinomio

Definición

Si el polinomio p

(

x

)

puede factorizarse como

p

(

x

) = (

x

₋

a

)

m

q

(

x

)

,

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Si p

(

x

) = (

x

₋

3

)

2

₍

_x

₊

₂

₎₍

_x

₋

₁

₎

5

_{, decimos que}

División de Polinomios

Ejemplo

¿Cómo encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como

ceros a 2,

₋

3,

5?

p

(

x

) = (

x

₋

2

)(

x

+

3

)(

x

₋

5

)

= (

x

2

+

x

₋

6

)(

x

₋

5

)

División de Polinomios

Ejemplo

¿Cómo encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como

ceros a 2,

₋

3,

5?

p

(

x

) = (

x

₋

2

)(

x

+

3

)(

x

₋

5

)

= (

x

2

+

x

₋

6

)(

x

₋

5

)

División de Polinomios

Ejemplo

¿Cómo encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como

ceros a 2,

₋

3,

5?

p

(

x

) = (

x

₋

2

)(

x

+

3

)(

x

₋

5

)

= (

x

2

+

x

₋

6

)(

x

₋

5

)

División de Polinomios

Ejemplo

¿Cómo encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como

ceros a 2,

₋

3,

5?

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

-22

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

-22

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

-22

52

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

-22

52

División Sintética

Existe un método más rápido para dividir un polinomio p

(

x

)

entre x

₋

c con c un número real, la división sintética.

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

4x

4

+

x

3

₋

3x

2

₋

4x

+

5 entre

x

+

2

.

4

1

-3

-4

5

-2

-8

14

-22

52

4

-7

11

-26

57

|{z}

residuo

Entonces,

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

-45

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

-45

1

-3

-9

-2

-15

0

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

-45

1

-3

-9

-2

-15

0

|{z}

residuo

Entonces,

División Sintética

Ejemplo

Dividir p

(

x

) =

x

5

₋

6x

4

+

25x

2

₋

9x

+

45 entre

x

₋

3

.

1

-6

0

25

-9

45

3

3

-9

-27

-6

-45

1

-3

-9

-2

-15

0

|{z}

residuo

Entonces,

División Sintética

¿Qué significa que el residuo sea cero?

Que el polinomio quedó factorizado, en este caso, en uno lineal

y uno de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el

mismo método, pero con qué valores se hace la división

División Sintética

¿Qué significa que el residuo sea cero?

Que el polinomio quedó factorizado, en este caso, en uno lineal

y uno de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el

mismo método, pero con qué valores se hace la división

División Sintética

¿Qué significa que el residuo sea cero?

Que el polinomio quedó factorizado, en este caso, en uno lineal

y uno de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el

mismo método, pero con qué valores se hace la división

Ceros

racionales

de un polinomio

Sea p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

un

polinomio con coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a

0

.

Sea q un entero, divisor de a

n

.

Ceros

racionales

de un polinomio

Sea p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

un

polinomio con coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a

0

.

Sea q un entero, divisor de a

n

.

Ceros

racionales

de un polinomio

Sea p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

un

polinomio con coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a

0

.

Sea q un entero, divisor de a

n

.

Ceros

racionales

de un polinomio

Sea p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

₋

1

x

n

−

1

+

· · ·

+

a

2

x

2

+

a

1

x

+

a

0

un

polinomio con coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a

0

.

Sea q un entero, divisor de a

n

.