UNIDAD 3: LA ARGUMENTACIÓN LÓGICA
1.
Definición.
La lógica es la parte de la Filosofía que estudia la verdad o falsedad de nuestro pensamiento, atendiendo a su estructura formal y no a su contenido.
La estructura de un pensamiento es la forma por medio de la que se relacionan los elementos que lo constituyen.
2. Lenguaje natural y lenguaje formal.
Nuestro pensamiento se expresa por medio del lenguaje. Si la Lógica es el estudio de las estructura de nuestro pensamiento, es también el estudio de la estructura de su lenguaje.
Un lenguaje formal es un lenguaje que expresa relaciones y simbologías, más exacto y más fácil de manejar que el lenguaje natural, con el que hablamos y que utilizamos cotidianamente, aprendido de generación en generación.
El lenguaje formal sustituye los términos y las relaciones del lenguaje natural, para poder realizar con ellos una serie de operaciones. El lenguaje formal tiene la ventaja de ser más exacto, más preciso y más fácil de manejar (con mayor operatividad) que el lenguaje natural.
La mayoría de las ciencias utilizan un lenguaje formal en mayor o menor medida. Es decir, utilizan un conjunto de símbolos, que funcionan según unas determinadas leyes y en virtud de una serie de códigos. La Lógica posee también un lenguaje formal.
Cuando podemos, utilizando el lenguaje, realizar una serie de operaciones, podemos decir que ese lenguaje es un CÁLCULO. La Lógica permite realizar una serie de operaciones: por tanto, existe un cálculo formal lógico.
3. El lenguaje formal lógico.
Toda lengua puede estudiarse desde tres puntos de vista diferentes:
2. Nivel sintáctico: Es la relación existente entre los signos.
3. Nivel pragmático: Es la relación entre los signos y su puesta en práctica por los hablantes.
La ciencia que estudia los signos desde estos tres puntos de vista se denomina
SEMIÓTICA.
3.1. Semántica del lenguaje formal lógico: Es el estudio del significado de los signos
lógicos.
Los términos o símbolos que estudia la Lógica, y que pertenecen a su lenguaje, pueden ser de dos tipos:
1. Categoremáticos (variables lógicas): Son aquellos signos que representan proposiciones o juicios con sentido gramatical, que afirman o niegan algo por sí mismos; es decir, o bien son verdaderos, o bien son falsos. Por ejemplo, sería un término categoremático “Luis está hambriento”, pero no son términos categoremáticos “Luis”, “hambriento”, “está”, “¿Está hambriento Luis?”
En el lenguaje formal lógico los términos categoremáticos se representan con las últimas letras del alfabeto a partir de la “p”: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y z.
Los términos categoremáticos se denominan proposiciones lógicas.
2. Sincategoremáticos (constantes lógicas): Son aquellos signos que no son ni verdaderos ni falsos por sí mismos, ya que ni afirman ni niegan nada sobre la realidad. Sólo poseen significado cuando van junto a términos categoremáticos. Son los siguientes:
Negación: “no”, que se representa por “ ¬ “ Conjunción: “y”, que se representa por “ ^ “ Disyunción: “o”, que se representa por “ “
Condicional: “si…,entonces…”, que se representa por “ → “
Bicondicional: “…si, y sólo si…”, que se representa por “ ↔ “
Los términos categoremáticos y sincategoremáticos representan proposiciones o enlaces entre proposiciones. Las proposiciones pueden ser:
a) Proposiciones atómicas: Cuando aparece una sola afirmación o negación. Por ejemplo: “p” o “ ¬ p”.
b) Proposiciones moleculares: Cuando aparece más de una proposición atómica unida a otra u otras, por medio de uno o más términos sincategoremáticos. Por ejemplo: “Luis es ambicioso o Pedro es bueno y Antonio no es amable” “p q ^ ¬ r”. Esta proposición molecular estaría compuesto par tres atómicas:
p= Luis es ambicioso. q= Pedro es bueno.
¬ r = Antonio no es amable.
Las proposiciones moleculares están compuestas por proposiciones atómicas y por una serie de términos sincategoremáticos que denominaremos conectivas.
Al proceso mediante el que traducimos uno o más juicios del lenguaje natural al lenguaje formal, se denomina formalización.
Cada proposición atómica ha de ser necesariamente verdadera o falsa, sin que pueda existir nunca término medio y sin que ninguna proposición pueda ser a la vez verdadera y falsa.
El valor de verdad (ser verdadera o falsa) de las proposiciones
moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen y de las conectivas que las enlazan.
El número de valores de verdad posibles que posee una proposición molecular depende de la fórmula 2ⁿ, donde “n” es el número de proposiciones atómicas distintas que componen la proposición molecular.
Para averiguar los posibles valores de verdad que posee una proposición determinada, existe un procedimiento denominado tabla de verdad. Una tabla de verdad es el resultado de las combinaciones de los valores de verdad atómicos para llegar a saber los valores de verdad moleculares. Las tablas de verdad correspondientes a las conectivas son:
p q p q p q p ^ q p q p →q p q p ↔q
V V V V V V V V V V V V V F V V F F V F F V F F F V V F V F F V V F V F
F F F F F F F F V F F V
Para realizar las tablas de verdad hay que buscar, en primer lugar el número de valores de verdad que ha de llevar cada una de las proposiciones atómicas en combinación con los valores de verdad de las otras, a las que van unidas, mediante la fórmula “2ⁿ”. En el caso de que no existan paréntesis ni corchetes, se realizarán (de izquierda a derecha) los siguientes signos sincategoremáticos y las proposiciones a las que unen por el siguiente orden:
1. Disyunción 2. Conjunción. 3. Condicional. 4. Bicondicional.
En el caso de que existan paréntesis y corchetes, se realizarán primero las conectivas que están dentro de los paréntesis pertenecientes a los corchetes; más tarde, los paréntesis sin corchetes y, al final, aquellos símbolos externos a los paréntesis y corchetes. Siempre de izquierda a derecha y siguiendo el orden, anteriormente citado, en cuanto a las conectivas.
3.2. Sintaxis del lenguaje formal lógico: Es el estudio de la relación que se establece entre los signos del lenguaje formal lógico.
El lenguaje formal lógico constituye un cálculo: pueden producirse unos signos a partir de otros mediante la aplicación de una serie de reglas.
A la producción de unas proposiciones (tanto atómicas como moleculares) a partir de otras proposiciones previas, que ya conocemos como verdaderas, se denomina deducción.
Las proposiciones de las que partimos, y que conocemos previamente como verdaderas, se denominan premisas. Las proposiciones nuevas que producimos se denominan conclusiones.
Podemos distinguir varios tipos de líneas en una deducción: a) Líneas libres: Son aquéllas que poseen a la
lógico). Se consideran también líneas libres a aquellas que tienen a su izquierda un número y un interrogante tachado. b) Líneas interrogadas: Son aquéllas que
tienen a su izquierda una interrogación. No se les pueden aplicar las reglas del cálculo lógico y, por lo tanto, no son utilizables. No sabemos si son verdaderas o falsas hasta que no se hayan demostrado. En ese caso, se tachará la interrogación y pasarán a ser líneas libres.
c) Líneas marcadas: Son aquéllas que poseen a su izquierda una línea vertical.
No sabemos si son verdaderas o falsas y no pueden ser utilizables (no se les pueden aplicar las reglas del cálculo lógico).
Una deducción es aquel conjunto de líneas en el que la conclusión que nos hemos interrogado está tachada y todas las líneas posteriores están marcadas.
¿Por qué se marcan todas las líneas posteriores a la interrogación?
Porque para realizar una deducción, podemos utilizar dos métodos:
1º. Método directo: Se considera demostrad una proposición cuando se deduce aplicando las reglas del cálculo lógico a otro conjunto de proposiciones. Una vez que aparece como línea libre la proposición por la que nos hemos interrogado, se tacha la interrogación y se marcan todas las líneas siguientes, incluida la línea libre en la que ha aparecido la conclusión, que nos habíamos interrogado previamente, hasta que exista otra línea interrogada, en su caso.
2º. Método indirecto o de reducción al absurdo:
Consideramos como línea libre la negación de la línea que queremos demostrar y aplicamos las reglas del cálculo lógico hasta que aparezca una contradicción cualquiera. Consideramos que aparece una contradicción cuando se presentan como líneas libres una proposición y su negación. En ese caso, podemos tachar la interrogación y marcar todas las líneas libres posteriores hasta la próxima línea interrogada, en su caso.
Existirán proposiciones que se producen por el método indirecto y que resultan de una premisa que hemos considerado verdadera, pero que es falsa. Esta es la razón por la que aparecen como líneas marcadas, ya que no sabemos si son verdaderas o falsas.
Podemos distinguir cuatro grandes tipos o partes generales de la Lógica:
1ª. Lógica proposicional o de enunciados: Es la parte de la Lógica que hemos estudiado hasta ahora. La lógica proposicional estudia las proposiciones sin analizar. Las proposiciones son los elementos últimos sobre los que opera esta parte de la Lógica. Una proposición es un enunciado que afirma o niega algo y que , por tanto, puede ser verdadera o falsa.. Proposiciones son, por ejemplo, “los chimpancés son mamíferos”, “los gatos no son perros”, etc.
2ª. Lógica de predicados: La lógica de predicados estudia éstos desde un punto de vista intensional (cuando el enunciado se interpreta como una atribución de una propiedad a un sujeto: al afirmar que María es inteligente estamos atribuyendo a aquélla una propiedad, la propiedad de ser inteligente.
3ª. Lógica de clases: Si tomamos el punto de vista de la extensión, los enunciados se interpretarán como operaciones con clases o conjuntos. Así, el enunciado “todos los chimpancés son mamíferos” significará que la clase o conjunto de los chimpancés está incluida en la clase de los mamíferos. La lógica de clases adopta el punto de vista extensional.
4ª. Lógica de relaciones: Una relación es un predicado peculiar que se atribuye a un individuo no absolutamente, sino por comparación con otro: en el enunciado “los chimpancés son más inteligentes que los perros”, la frase “más inteligentes que” expresa una relación. La lógica de relaciones se ocupa de los predicados que establecen una o más relaciones.
5. Lógica de clases. El silogismo
5.1. Concepto de clase: Intuitivamente, suele definirse una clase como una pluralidad de objetos o individuos que poseen alguna propiedad en común. Así, la clase de los hombres es el conjunto de los individuos que poseen la propiedad o característica de ser hombres.
En lógica, las clases suelen simbolizarse con las letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C, D, E…
5.2. Pertenencia de un individuo a una clase: Si un individuo es miembro (o elemento) de una clase, se dice que pertenece a tal clase; si no lo es, se dice que no pertenece a tal clase. Pertenencia y no pertenencia son, pues, relaciones entre individuos y clases.
pertenencia se simboliza con el signo: Por ejemplo, x A (que se lee: x no pertenece a la clase A)
5.3. Relaciones entre clases: Entre dos clases, A y B, pueden tener lugar las relaciones siguientes:
1. Todos los miembros de la clase A son también miembros de la clase B, y viceversa. En tal caso diremos que se trata de clases idénticas o iguales. La identidad o igualdad de clases se simboliza con el signo =. Por ejemplo, A = B (que se lee: la clase A es idéntica, o igual, a la clase B). La no igualdad (no identidad) de clases se simboliza con el signo: = . Así, A = B ( que se lee: la clase A no es igual, no es idéntica, a la clase B).
2. No hay ningún individuo que sea, a la vez, miembro de las dos clases. Esto sucede, por ejemplo, con la clase de los hombres y la de los árboles: ningún hombre es árbol y ningún árbol es hombre. Se trata de clases disyuntas.
3. Aun no siendo idénticas las clases, sin embargo hay algunos individuos que pertenecen a ambas. Estos sucede, por ejemplo, con la clase de los políticos y la clase de los extremeños: no todos los políticos son extremeños, no todos los extremeños son políticos; pero hay individuos que pertenecen a ambas clases: los políticos extremeños. Se trata de clases distintas.
4. Todos los elementos de la clase A son también elementos de la clase B, pero no viceversa. Esto sucede, por ejemplo, con la clase de los hombres y la clase de los mamíferos: todos los hombres son mamíferos, pero no todos los mamíferos son hombres. En este caso se dice que la clase A está incluida en la clase B. La relación de inclusión se simboliza con el signo : Por ejemplo, A B (que se lee: la clase A está incluida en la clase B).
5.4. Clase nula o vacía: Se denomina clase nula o vacía la clase que no tiene ningún elemento. La clase vacía se simboliza con el signo: V.
5.5. Operaciones con clases: Con clases se pueden realizar diversas operaciones. Las más importantes son las siguientes:
1. Suma lógica. La suma, o unión lógica de dos clases, A y B, es la clase de todos los elementos, que pertenecen a A, a B o a ambas. La suma lógica de la clase de los políticos y de la clase de los extremeños está compuesta por todos los políticos y además, por todos los extremeños. La suma lógica se simboliza por medio del signo: . Por ejemplo, A B.
extremeños está constituida por los políticos extremeños. El producto lógico o intersección se simboliza por medio del signo: . Por ejemplo, A B.
3. Diferencia lógica. La diferencia lógica de dos clases, A y B, está compuesta por todos los elementos de la clase A que no pertenecen a la clase B. En nuestro ejemplo, si A es la clase de los políticos y B es la clase de los extremeños, la diferencia lógica estará compuesta por todos los políticos que no son extremeños. La diferencia lógica se simboliza por medio del signo: - . Por ejemplo, A – B.
4. Complemento de una clase. El complemento de una clase, A, está compuesto por todos los individuos que no pertenecen a ella. Si A es la clase de los extremeños, su complemento estará compuesto por todos los individuos que no son extremeños. Para especificar el complemento de una clase es necesario referirse a una clase más general que las englobe. Esta clase más general se denomina clase universal. Si la clase universal o de referencia es la clase de los españoles, el complemento de la clase de los extremeños será el conjunto de los españoles que no son extremeños. El complemento de una clase se simboliza por una raya sobre la letra que simboliza a tal clase. Así A significa: complemento de la clase A.
5.6. Proposiciones y clases: Las proposiciones suelen clasificarse en cuanto a su cantidad y a su cualidad.
a) Atendiendo a su cantidad, las proposiciones se dividen en universales y particulares.
Una proposición es universal cuando lo que afirma o niega se extiende a todos los individuos de la clase significada por el sujeto. Las proposiciones “todos los hombres son mamíferos” y “ningún insecto es vertebrado” son universales porque se refieren, respectivamente, a todos los individuos de la clase de los hombres y a todos los individuos de la clase de los insectos.
Una proposición es particular cuando lo que afirma o niega no se extiende a todos, sino a alguno o algunos de los individuos de la clase significada por el sujeto. Así, las proposiciones “algunos políticos son extremeños” y “algunos vertebrados no son mamíferos” se refieren a algunos (no a todos) de los políticos y a algunos de los vertebrados.
b) Por su cualidad, las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas.
A= Universal afirmativa. “Todos los hombres son mamíferos”. E= Universal negativa. “Ningún insecto es vertebrado”.
I= Particular afirmativa. “Algunos políticos son extremeños”. O= Particular negativa. “Algunos vertebrados no son mamíferos”.
5.7. Las proposiciones como relaciones con clases.
a) Proposiciones universales afirmativas. La proposición “todos los hombres son mamíferos” significa:
1. Que todos los individuos que pertenecen a la clase del sujeto (la clase de los hombres) pertenecen también a la clase del predicado (la clase de los mamíferos). Si A es la clase de los hombres y B es la clase de los mamíferos, podemos simbolizar la proposición en términos de inclusión: A C B.
2. “Todos los hombres son mamíferos” significa, igualmente, que no hay ningún individuo que pertenezca a la clase de los hombres y que no pertenezca a la clase de los mamíferos. Por lo tanto, la clase de los hombres que no son mamíferos, la diferencia lógica A- B carece de miembros, es una clase vacía: A – B = V.
b) Proposiciones universales negativas. La proposición “Ningún insecto es vertebrado” significa que no hay ningún miembro de la clase de los insectos que sea miembro de la clase de los vertebrados. Si A es la clase de los insectos y B es la clase de los vertebrados, nuestra proposición significa que la intersección de ambas clases carece de miembros, es una clase vacía: A B = V
de ambas clases tiene algún miembro y, por tanto, no es vacía: A B ≠ V
d) Proposiciones particulares negativas. La proposición “algunos vertebrados no son mamíferos” significa que algún miembro (uno al menos) de la clase de los vertebrados no es miembro de la clase de los mamíferos. Si A es la clase de los vertebrados y B es la clase de los mamíferos, la proposición significa que la diferencia lógica A – B no es vacía: A – B ≠ V.
5.8. Distribución de los términos de las proposiciones. En una proposición, los términos –sujeto y predicado- están o no están distribuidos. Se dice que un término está distribuido cuando en la proposición se hace referencia a todos los individuos de la clase correspondiente. En caso contrario (cuando no se hace referencia a todos los miembros de la clase correspondiente), se dice que el término no está distribuido:
a) El sujeto de la proposición. La distribución o no del sujeto está relacionada con la cantidad de la proposición, independientemente de la cualidad de la misma:
respectivamente, a todos los individuos de la clase de los hombres y a todos los individuos de la clase de los insectos. 2. En las proposiciones particulares (I, O) el sujeto no está
distribuido. “Algunos políticos son extremeños” y “algunos vertebrados no son mamíferos” se extienden, respectivamente, a algunos individuos (no todos) de la clase de los políticos y a algunos individuos (no todos) de la clase de los vertebrados.
b) El predicado de la proposición. La distribución o no del predicado está relacionada con la cualidad de la proposición, independientemente de la cantidad de ésta:
1. En las proposiciones afirmativas (A, I) el predicado no está distribuido. La proposición “todos los hombres son mamíferos” (A) significa que todos los hombres son algunos de los mamíferos (hay mamíferos que no son hombres: no se extiende, pues, a todos los miembros de la clase del predicado. La proposición “algunos políticos son extremeños” (I) significa, de igual modo, que algunos políticos son algunos de los extremeños (hay extremeños que no son políticos) y, por tanto, no se extiende a todos los individuos de la clase del predicado.
2. En las proposiciones negativas (E, O) el predicado está distribuido. La proposición “ningún insecto es vertebrado” significa que ningún insecto es ninguno de los vertebrado. Del mismo modo, “algunos vertebrados no son mamíferos” significa que tales vertebrados no son ninguno de los miembros pertenecientes a la clase de los mamíferos.
Tipo de proposición Sujeto Predicado
Universal afirmativa (A)
Universal negativa (B)
Particular afirmativa (E) Particular negativa (I)
Distribuido Distribuido No distribuido No distribuido
No
distribuido Distribuido No
distribuido Distribuido
5.9. El silogismo.
a) Elementos y estructura del silogismo. El silogismo es un razonamiento que consta de tres proposiciones (dos premisas y una conclusión) en las cuales se relacionan tres términos.: Todos los músicos son artistas.
Ningún hipopótamo es artista.
Ningún hipopótamo es músico.
En este ejemplo, los tres términos son “artista (s)”, “hipopótamo(s)” y “músico (s)”.
Se llama término medio aquel que se repite en las premisas y no aparece en la conclusión.
Se llama término mayor aquel que aparece como predicado en la conclusión, independientemente del papel que desempeñe en la premisa de la que forma parte.
Se llama término menor aquel que aparece como sujeto de la conclusión.
Se llama premisa mayor aquella en la que está el término mayor y premisa menor aquella en la que está el término menor.
5.10. Las reglas del silogismo. Un silogismo es válido o correcto cuando se ajusta a las siguientes reglas:
1. Respecto del término medio: el término medio ha de estar distribuido en una- y solamente en una- de las premisas.
2. Respecto de los términos mayor y menor: tanto el término mayor como el término menor: a) han de estar distribuidos en la conclusión si están distribuidos en las premisas; b) no han de estar distribuidos en la conclusión si no están distribuidos en las premisas.
3. Respecto de la conclusión: a) si las dos premisas son afirmativas, la conclusión ha de ser afirmativa; b) si las dos premisas son negativas, no puede extraerse conclusión alguna; c) si una premisa es afirmativa y la otra negativa, la conclusión ha de ser negativa.
5.11. Representación del silogismo por medio de diagramas de Venn. Anteriormente, hemos representado los diversos tipos de proposiciones mediante diagramas de Venn.
Estos diagramas pueden utilizarse también para representar un silogismo y comprobar, por medio de su representación, si el silogismo es válido o no es válido.
Para ello se procederá del siguiente modo:
a) Puesto que los proposiciones y las clases que intervienen en un silogismo son tres, recurriremos a tres círculos dispuestos del siguiente modo:
M
b) A continuación representaremos las dos premisas. Si una de ellas es universal y la otra es particular, es preferible comenzar representando la universal.
