Deflectometría con ayuda de una pantalla tipo Hartmann para medir sistemas ópticos convergentes

Deflectometría con ayuda de

una pantalla tipo Hartmann

para medir sistemas ópticos

convergentes

por

Andrea Fernanda Muñoz Potosi

Tesis sometida como requisito parcial

para obtener el grado de

DOCTORADO EN CIENCIAS EN EL ÁREA

DE ÓPTICA

en el

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y

Electrónica

Octubre 2016

Tonantzintla, Puebla

Supervisada por:

Dr. Fermín Salomón Granados Agustín

c

INAOE 2016

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir

y distribuir copias en su totalidad o en

Agradecimientos

Al Intituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica IN AOE junto al Consejo

Nacional de Ciencia y Técnologia CON ACY T por otorgarme la oportunidad de cursar

mis estudios de posgrado y permitirme utilizar a sus instalaciones para realizar mi trabajo.

A México y Santa María Tonantzintla por permitirme aprender, conocer y disfrutar

durante seis maravillosos años de mi vida.

A mis padres y mi hermana, gracias por enseñarme que después de la tormenta siempre

viene la calma, por ser el motor de mi vida y por apoyarme incondicionalmente. A mi familia, por el cariño y confianza que me han brindado en todo momento, pero sobre todo,

por estar cada uno a su manera, respaldándome para alcanzar mis objetivos. Gracias por soportar tantas ausencias.

A Luis Gabriel Valdivieso González, por tu amor, gracias por ser mi soporte en todo momento y por permitir que sigamos construyendo ese sueño que iniciamos.

Al Doctor Fermín Salomón Granados Agustín, mi más sincera gratitud por su con-fianza, paciencia y disposición en todo momento. Mi mayor agradecimiento por haber

sugerido y aceptado dirigir este trabajo y enseñarme a disfrutar de él.

A mis profesores, por su enseñanzas, gracias por su valioso apoyo, comentarios y

sugerencias.

A mis amigos, por tantos momentos compartidos, por tantas enseñanzas de vida,

refle-xiones y por tanto cariño; sin ustedes mi estancia en éste lugar no hubiera sido la misma.

4

...Como alguien escribió algún día: ”Tal como ocurre en otras ciudades del mundo,

incluso las del país natal, una persona al visitar un lugar siempre se lleva consigo algo de ese sitio; como un acto majestuoso de comunión(común-unión), donde se deja un poco

de lo que se tiene y se toma algo para sustituirlo. La magia estaba hecha. El contacto se había establecido. Nadie era ya el mismo. El encantamiento había surtido efecto”. Gracias

Índice general

Agradecimientos 3

1. Introducción General 21

2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 24

2.1. Deflectometría. . . 25

2.2. Prueba de Hartmann . . . 26

3. Análisis teórico de la propuesta 30

3.1. Caso 1: Análisis de rayos centrales . . . 31

3.1.1. Determinación del vector normal a la superficie . . . 31

3.1.2. Determinación del vector tangente a la trayectoria de muestreo

sobre la superficie . . . 33

3.2. Caso 2: Análisis de rayos inferiores . . . 38

3.3. Caso 3: Análisis de rayos superiores . . . 39

4. Superficie esférica con deformación local. 41

5. Análisis teórico de errores en el arreglo experimental propuesto 53

5.1. Cálculo del punto de intersección de los rayos incidentes con la superficie

esféricaPint . . . 56

Índice general 6

5.2. Cálculo de la normal . . . 57

5.3. Cálculo del rayo reflejado . . . 57

5.4. Diferencias en el plano de observación . . . 58

5.5. Particularización de las ecuaciones para cada uno de los casos analizados 58 5.5.1. Arreglo experimental ideal . . . 58

5.5.2. Arreglo experimental ideal cuando en la superficie existe un error de posición . . . 60

5.5.3. Arreglo experimental ideal cuando la superficie tiene un error de inclinación respecto al planoXZ . . . 63

5.5.4. Arreglo experimental ideal cuando la superficie tiene un error de inclinación respecto al planoY Z . . . 65

5.5.5. Arreglo experimental ideal cuando la superficie tiene un error de focoe . . . 66

5.6. Arreglo experimental ideal cuando la superficie tiene un error de descen-tramiento respecto al plano XY(p, q) . . . 68

5.7. Análisis de las diferencias . . . 70

5.7.1. Error de posición . . . 71

5.7.2. Error de inclinación respecto al plano XZ . . . 72

5.7.3. Error de inclinación respecto al plano YZ . . . 73

5.7.4. Error de foco . . . 75

5.7.5. Error de descetramiento respecto al plano XY . . . 76

6. Influencia de errores en un arreglo experimental para la reconstrucción de la superficie analizada 78 6.1. Definiendo a los rayos incidentes . . . 79

6.2. Definiendo a los rayos reflejados . . . 79

Índice general 7

6.4. Cálculo del vector_ds~ _{. . . . 81}

6.5. Coordenada Z de la superficie . . . 81

6.6. Cálculo de diferencias. . . 82

6.7. Ajuste a la nube de puntos . . . 82

6.7.1. Imagen sintética asociada a errores de posición . . . 82

6.7.2. Imagen sintética asociada a errores de inclinación de la superficie respecto al plano XZ . . . 84

6.7.3. Imagen sintética asociada a errores de inclinación de la superficie respecto al plano YZ . . . 87

6.7.4. Imagen sintética asociada a errores de foco . . . 89

6.7.5. Imagen sintética asociada a errores de descentramiento . . . 90

7. Implementación del arreglo experimental propuesto 95 7.1. Calibración de la cámara utilizada . . . 106

8. Resultados experimentales 110 8.1. Comparación de los resultados obtenidos. . . 129

8.1.1. Análisis para la imagen experimental considerando el arreglo ex-perimental alineado . . . 129

8.1.2. Análisis para la imagen experimental considerando un error de inclinación respecto al plano XZ de la superficie analizada . . . . 131

9. Conclusiones y trabajo a futuro 133 10. Trabajos publicados 137 A. Análisis teórico para el diseño de la pantalla tipo Hartmann y las distancias F yG 166 A.1. Parámetros óptimos para el diseño de la pantalla . . . 166

Índice general 8

A.1.0.1. Distancias de ubicación de la pantalla (F) . . . 170

A.1.0.2. Cálculo del número de puntos en la pantalla (NP) . . . 171

A.1.0.3. Distancia de ubicación del plano de observación (G) . . 172

A.1.1. Cálculo del tamaño de la mancha en el plano de observación . . . 172

A.1.2. Cálculo del diámetro de los orificios de la pantalla . . . 175

A.1.2.1. AlturaAde la pantalla. . . 177

A.1.2.2. Cálculo de una distancia medida desde el eje Z hasta el

extremo inferior de un orificio en la pantalla tipo Hart-mann (C) . . . 178

A.1.2.3. Diámetro de los orificios en la pantalla tipo Hartmanns 179

B. Ecuaciones del análisis presentado en el capítulo 5 180

B.1. Análisis para un arreglo experimental ideal . . . 180

B.2. Análisis para un arreglo experimental donde la superficies esférica tiene

un error de inclinacion respecto al planoXZ . . . 185

B.3. Análisis para un arreglo experimental donde la superficies esférica tiene

un error de inclinacion respecto al planoY Z . . . 185

B.4. Análisis para un arreglo experimental con error de descentramiento

res-pecto al plano XY . . . 192

C. Análisis teórico para inclinación respecto al plano XZ y foco 198

D. Análisis teórico para inclinación respecto al plano YZ y foco 203

Índice de figuras

2.1. Prueba de deflectometría.[1] . . . 26

2.2. Esquema básico de la prueba de Hartmann. . . 28

3.1. Esquema tomado en cuenta para analizar la superficie esférica ideal. . . . 32

3.2. Esquema tomado en cuenta para calcular a la normal. . . 32

3.3. Esquema para determinar a los vectoresw~0 yw~1. . . 33

3.4. Esquema para definir al vectords~ teniendo en cuenta aw~0yw~1. . . 34

3.5. Esquema de la pantalla tipo Hartmann para las simulaciones numéricas. . 36

3.6. Diferencia entre las coordenadas Z calculadas con las ecuaciones de la circunferencia vs. deflectometría. . . 37

3.7. Pasos para el análisis del Caso 1. . . 38

3.8. Esquema para definir a_S~_{1. . . . . 38}

3.9. Esquema para definir a_S~_{2. . . . . 39}

3.10. Esquema tenido en cuenta para definir a_S~_{2. . . . . 40}

4.1. Esquema para analizar una superficie esférica ideal. . . 42

4.2. Posición de los rayos reflejados vistos en el plano de observación para una: a) superficie esférica ideal y b) superficie esférica ideal con una deforma-ción esférica, local y suave. . . 44

4.3. Esquema para calcular aPm. . . 45

Índice de figuras 10

4.4. Esquema para calcular aP4. . . 45

4.5. Esquema tenido en cuenta para calcular aP5. . . 46

4.6. Esquema donde se ejemplifica que para incrementos deθ la profundidad de la deformación disminuye. . . 51

4.7. Diferencias entre los rayos incidente y reflejado en el plano de observación para: a)d= 0.01mm, b)d= 0.1mmy c)d = 1mm. . . 51

5.1. Esquema para el análisis de una superficie esférica ideal. . . 54

5.2. Esquema que ejemplifica las características de la pantalla tipo Hartmann. 54 5.3. Esquema para calcular a la recta asociada a los rayos incidentes. . . 55

5.4. Esquema para calcular al puntoPint. . . 56

5.5. Intersección de los rayos incidentes y reflejados en el plano de observación para un arreglo experimental ideal. . . 60

5.6. Esquema que ejemplifica error de posición en un arreglo experimental. . . 60

5.7. Diferencias para error de posición cond= 0.1mm. . . 62

5.8. Diferencias para error de posición cond= 1mm. . . 62

5.9. Diferencias para error de posición cond= 10mm. . . 63

5.10. Esquema que ejemplifica error de inclinación respecto al plano XZ un ánguloβ. . . 63

5.11. Diferencias para inclinación en el plano XZ conβ = 0.1◦_{. . . . . 64}

5.12. Diferencias para inclinación en el plano XZ conβ = 1◦_{. . . . . 64}

5.13. Diferencias para inclinación en el plano XZ conβ = 10◦. . . 65

5.14. Diferencias para inclinación en el plano YZ conδ= 0.1◦. . . 66

5.15. Diferencias para inclinación en el plano YZ conδ= 1◦. . . 66

5.16. Diferencias para inclinación en el plano YZ conδ= 10◦. . . 66

5.17. Diferencias para error de foco cone= 0.001mm. . . 67

Índice de figuras 11

5.19. Diferencias para error de foco cone= 0.1mm. . . 68

5.20. Esquema que ejemplifica error de descentramiento. . . 69

5.21. Diferencias para error de descentramiento conp=q = 0.1mm. . . 70

5.22. Diferencias para error de descentramiento conp=q = 1mm. . . 70

5.23. Diferencias para error de descentramiento conp=q = 10mm. . . 70

5.24. Ajuste polinómico a las diferencias para error de posición desde d = 0.1mmhastad= 10mmen pasos de1.1mm. . . 71

5.25. Ajuste polinómico a las diferencias para error de inclinación en el plano XZ paraβ= 0.1◦ hasta_{β = 10}◦ en pasos de_1.1◦. . . 73

5.26. Ajuste polinómico a las diferencias para error de inclinación en el plano Y Z desdeδ= 0.1◦ hasta_{δ= 10}◦en pasos de_1.1◦. . . 74

5.27. Ajuste polinómico a las diferencias para error de foco desdee= 0.001mm hastae= 0.1mmen pasos de0.011mm. . . 75

5.28. Ajuste polinómico a las diferencias para error de descentramiento desde p=q= 0.1mmhastap=q = 10mmcon pasos de1.1mm. . . 76

6.1. Esquema tenido en cuenta para definir a los rayos incidentes. . . 79

6.2. Esquema tenido en cuenta para definir a los rayos reflejados: opción 1. . . 80

6.3. Esquema tenido en cuenta para definir a los rayos reflejados: opción 2. . . 80

6.4. Diferencia para un error de posiciónd= 0.1mmconsiderando aO~S. . . . 83

6.5. Diferencia para un error de posiciónd= 0.1mmconsiderando aO~I. . . . 83

6.6. Diferencia para un error de posiciónd= 1mmconsiderando a_O~_{S. . . . . 83}

6.7. Diferencia para un error de posiciónd= 1mmconsiderando a_O~_{I. . . . . 84}

6.8. Diferencia para un error de posiciónd= 10mmconsiderando aO~S. . . . 84

6.9. Diferencia para un error de posiciónd= 10mmconsiderando aO~I. . . . 84

6.10. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦ considerando_O~_{S. . . . . 85}

Índice de figuras 12

6.11. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

considerando_O~_{I. . . . . 85}

6.12. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 1◦

considerando_O~_{S. . . . . 86}

6.13. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 1◦

considerando_O~_{I. . . . . 86}

6.14. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

considerando_O~_{S. . . . . 86}

6.15. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

considerando_O~_{I. . . . . 87}

6.16. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

considerando_O~_{S. . . . . 87}

6.17. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

considerando_O~_{I. . . . . 88}

6.18. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ = 1◦

considerando_O~_{S. . . . . 88}

6.19. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ = 1◦

considerando_O~_{I. . . . . 88}

6.20. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ= 10◦

considerando_O~_{S. . . . . 89}

6.21. Diferencia para un error de inclinación respecto al plano YZ conδ= 10◦

considerando_O~_{I. . . . . 89}

6.22. Diferencia para un error de foco cuandoe= 0.001mmconsiderando aO~S. 90

6.23. Diferencia para un error de foco cuandoe= 0.001mmconsiderando aO~I. 90

6.24. Diferencia para un error de foco cuandoe= 0.01mmconsiderando a_O~_{S. 90}

6.25. Diferencia para un error de foco cuandoe= 0.01mmconsiderando aO~I. 91

Índice de figuras 13

6.27. Diferencia para un error de foco cuandoe= 0.1mmconsiderando aO~I. . 91

6.28. Diferencia para un error de descentramiento cuando p = q = 0.1mm considerando a_O~_{S. . . . . 92}

6.29. Diferencia para un error de descentramiento cuando p = q = 0.1mm considerando a_O~_{I. . . . . 92}

6.30. Diferencia para un error de descentramiento cuandop=q = 1mm consi-derando a_O~_{S. . . . . 93}

6.31. Diferencia para un error de descentramiento cuandop=q = 1mm consi-derando a_O~_{I. . . . . 93}

6.32. Diferencia para un error de descentramiento cuando p = q = 10mm considerando a_O~_{S. . . . . 93}

6.33. Diferencia para un error de descentramiento cuando p = q = 10mm considerando a_O~_{I. . . . . 94}

7.1. Arreglo experimental implementado. . . 95

7.2. Esquema de alineación del lasér con respecto a la mesa holográfica. . . . 96

7.3. Montura de la superficie esférica. . . 97

7.4. Esquema de la propuesta. . . 97

7.5. Pantalla tipo Hartmann fabricada. . . 98

7.6. Captura de la imagen en el plano de observación. . . 98

7.7. Ejemplo de ruido sal y pimienta en una imagen [2]. . . 99

7.8. Ejemplo de ruido gaussiano [2]. . . 100

7.9. Ejemplo de imagen segmentada [3]. . . 101

7.10. Ejemplo de imagen extracción de características de una imagen [4]. . . . 102

7.11. Imagen en escala de grises. . . 102

7.12. Histograma de la imagen en escala de grises, a) a lo largo de un perfil de la imagen b) zoom del valor máximo de intensidad. . . 103

Índice de figuras 14

7.13. Imagen contrastada. . . 103

7.14. Imagen segmentada. . . 104

7.15. Centroides de la imagen binarizada. . . 105

7.16. Centroides sobre la imagen inicial. . . 105

7.17. Cuadrícula utilizada. . . 107

7.18. Disposición de la cuadrícula en el arreglo experimental. . . 107

7.19. Esquinas de los cuadros del patrón utilizado. . . 108

7.20. Posiciones teóricas (puntos azules ) y calculadas (puntos rojos). . . 108

7.21. Imagen capturada del papel milimétrico. . . 109

8.1. Intersección de los rayos reflejados considerando el arreglo experimental implementado como ideal. . . 110

8.2. Centroides calculados con: a) imagen experimental, b) análisis teórico y c) unificación. . . 111

8.3. Diferencias para el arreglo experimental implementado considerando a_O~_{S. 112} 8.4. Diferencias para el arreglo experimental implementado considerando a_O~_{I. 112} 8.5. Diferencias para un error de focoe= 0.215mmconsiderando aO~I. . . . 113

8.6. Diferencias para un error de focoe= 0.215mmconsiderando aO~S. . . . 113

8.7. Intersección de los rayos reflejados cuando se indujo un error de inclina-ción respecto al plano XZ de la superficie analizada. . . 114

8.8. Centroides calculados con: a) imagen experimental, b) análisis teórico y c) unificación. . . 114

8.9. Diferencias para el arreglo experimental con error de inclinación respecto al plano XZ considerando a_O~_{I. . . . 115}

8.10. Diferencias para el arreglo experimental con error de inclinación respecto al plano XZ considerando a_O~_{S. . . . 115}

Índice de figuras 15

8.11. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

y focoe= 0.001mm. . . 116

8.12. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

y focoe= 0.01mm. . . 116

8.13. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

y focoe= 0.1mm. . . 116

8.14. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ= 1◦y

focoe= 0.001mm. . . 117

8.15. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ= 1◦y

focoe= 0.01mm. . . 117

8.16. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ= 1◦y

focoe= 0.1mm. . . 117

8.17. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

y focoe= 0.001mm. . . 118

8.18. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

y focoe= 0.01mm. . . 118

8.19. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

y focoe= 0.1mm. . . 118

8.20. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

y focoe= 0.1mmconsiderando aO~S. . . 119

8.21. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 0.1◦

y focoe= 0.1mmconsiderando aO~I. . . 119

8.22. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ= 1◦y

focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{S. . . . 120}

8.23. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ= 1◦y

Índice de figuras 16

8.24. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

y focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{S. . . . 120}

8.25. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano XZ conβ = 10◦

y focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{I. . . . 121}

8.26. Intersección de los rayos reflejados cuando se indujo un error de

inclina-ción respecto al plano YZ de la superficie analizada. . . 121

8.27. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ considerando

a_O~_{I. . . . 122}

8.28. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ considerando a_O~_{S. . . . 122}

8.29. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

y focoe= 0.001mm. . . 122

8.30. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

y focoe= 0.01mm. . . 123

8.31. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

y focoe= 0.1mm. . . 123

8.32. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 1◦_y

focoe= 0.001mm. . . 123

8.33. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 1◦_y

focoe= 0.01mm. . . 124

8.34. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 1◦_y

focoe= 0.1mm. . . 124

8.35. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ = 10◦

y focoe= 0.001mm. . . 124

8.36. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ = 10◦

Índice de figuras 17

8.37. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ = 10◦

y focoe= 0.1mm. . . 125

8.38. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

y focoe= 0.1mmconsiderando aO~S. . . 126

8.39. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 0.1◦

y focoe= 0.1mmconsiderando aO~I. . . 126

8.40. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 1◦y

focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{S. . . . 126}

8.41. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 1◦y

focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{I. . . . 127}

8.42. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ = 10◦

y focoe= 0.1mmconsiderando aO~S. . . 127

8.43. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ = 10◦

y focoe= 0.1mmconsiderando a_O~_{I. . . . 127}

8.44. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 4.2◦

y focoe= 0.1mm, considerando a_O~_{S. . . . 128}

8.45. Diferencias para errores de inclinación respecto al plano YZ conδ= 4.2◦

y focoe= 0.1mm, considerando aO~I.. . . 129

8.46. Intersección de los rayos reflejados cuando se induce un error de posición de la superficie analizada. . . 129

8.47. Diferencia para un arreglo experimental ideal considerando a_O~_{I. . . . 130}

8.48. Diferencia para un arreglo experimental ideal considerando a_O~_{S.. . . 130}

8.49. Diferencia para un arreglo experimental con inclinación respecto al plano XZ considerando a los vectores_O~_{I yO}~_{S. . . . 131}

A.1. Esquema tomado en cuenta para el diseño de la pantalla tipo Hartmann. . 167

Índice de figuras 18

A.3. Esquema de la intersección del rayo rojo con la superficie ideal. . . 168

A.4. Esquema de la intersección del rayo rojo con el plano de observación. . . 169

A.5. Esquema para el calculo deZmaxyθmax. . . 170

A.6. Esquema para el calculo deccen la pantalla tipo Hartmann.. . . 171

A.7. Esquema para el cálculo deG. . . 172

A.8. Trazado de rayos para s = 2.38mm,cc = 2s = 4.76mm, F = 600mm,

N P = 15 yG = 54.20mm. El inciso a) ejemplifica a tres rayos que

pa-san por los extremos superior (punto rojo), inferior (punto azul) y central (punto verde) de un orificio en la pantalla, el b) ejemplifica las posiciones

de intersección de los tres rayos con el plano de observación ubicado en

r+Gy c) ejemplifica el trazado de rayos para todos los puntos en la pantalla.174

A.9. Trazado de rayos para s = 2.38mm,cc = 2s = 4.76mm, F = 400mm,

N P = 10yG= 54.20mm. . . 175

A.10.Trazado de rayos para s = 2.38mm,cc = 2s = 4.76mm, F = 200mm,

N P = 4yG= 54.20mm. . . 176

A.11.Esquema utilizado. . . 176

A.12.Relaciones para determinar la altura A. El inciso a) representa a las

coor-denadas en el plano de observación y el b) la distancia de ubicación de la pantalla tipo Hartmann y c) el esquema completo. . . 177

A.13.Relaciones para determinar a la altura C. El inciso a) representa a las coor-denadas en el CCD y el b) a la distancia de ubicación de la pantalla. . . . 178

Índice de Tablas

4.1. Coordenadas para los rayos morado, rojo y negro en el plano de

observa-ción, la pantalla tipo Hartmann y la superficie esférica ideal. . . 43

4.2. Resultados numéricos para las expresiones presentadas en la tabla 4.1. . . 44

5.1. Diferencias debidas a errores de posición. . . 72

5.2. Diferencias debidas a inclinaciones respecto al planoXZ desdeβ = 0.1◦

hastaβ = 10◦_{con pasos de1.1}◦_{. . . . . 73}

5.3. Diferencias debidas a inclinaciones respecto al planoY Z desdeδ = 0.1◦

hastaδ= 10◦ con pasos de_1.1◦. . . 74

5.4. Diferencias debidas a error de foco desdee = 0.001mmhastae= 0.1mm

en pasos de0.011mm. . . 75

5.5. Diferencias debidas a error de descentramiento con p = q = 0.1mm,

p=q= 1mmyp=q= 10mm. . . 76

6.1. Diferencias mínimas y máximas para errores de inclinación, posición, foco

y descentramiento de la superficie analizada, considerando a los vectores

~

OI yO~S. . . 94

8.1. Valores obtenidos analizando a las imágenes experimentales. . . 129

8.2. Valores obtenidos analizando a las imágenes experimentales. . . 132

Índice de Tablas 20

A.1. Coordenadas de intersección de los diferentes rayos con el plano de

ob-servación, pantalla tipo Hartmann y la superficie esférica ideal. . . 169

A.2. Valores de los parámetros conocidos de la figura A.11. . . 177

A.3. Resultados de las simulaciones numéricas para undmdefinido y variacio-nes deF. . . 179

Capítulo 1

Introducción General

Actualmente, la necesidad de sistemas ópticos que proporcionen imágenes de alta

ca-lidad es muy importante debido a que sus aplicaciones en diferentes áreas científicas (as-trofísica, óptica visual, microscopía, etc.) y tecnológicas a aumentado considerablemente,

razón por la cual, la fabricación de dichos sistemas representa un gran reto en las áreas de diseño y fabricación [5]. De acuerdo a la aplicación que se desea dar al sistema ópti-co y las tolerancias deseadas, se define el ópti-costo y el tiempo de fabricación, ópti-con el fin de optimizarla se deben tener técnicas de medición las cuales deben ser precisas, confiables

y proporcionar información cuantitativa sobre la calidad de la superficie que se está ana-lizando. Es por ello, que existe la necesidad de óptimizar los procesos de caracterización

que se consiguen con las pruebas ópticas que permiten evaluar de manera precisa las pro-piedades ó las características de las componentes fabricadas, por tanto, la calidad de las

superficies elaboradas depende del avance en las técnicas de medición.

Entre las técnicas de medición se destacan las ópticas que se pueden clasificar en dos

grandes grupos: las interferométricas y geométricas. Las interferométricas más utilizadas para probar superficies planas, cóncavas o convexas son las que utilizan los interferómetros

de: Fizeau [6], Twyman-Green [7] y desplazamiento lateral (PDI) [8]. Por otro lado están

Capítulo 1. Introducción General 22

las técnicas geométricas para las cuales su implementación es más sencilla, entre las que

se destacan las pruebas de: Foucault [9], la navaja [10], Ronchi [11], Hartmann [12] y Deflectometría [13].

Por economía y facilidad de implementación, en este trabajo se propone una técnica

geométrica que por su diseño permite probar superficies esféricas reflectoras cóncavas, la cual utiliza una fuente de iluminación (lámpara de fibra de luz blanca)[14], una panta-lla tipo Hartmann y un plano de observación en el cual se captura a una imagen que se utiliza para analizar la calidad de una superficie a evaluar; la cantidad de elementos que

se necesitan para implementarla, la hacen económica y rápida en comparación a pruebas interferométricas mencionadas.

La técnica propuesta se llamaDeflectometría con ayuda de una pantalla tipo

Hart-mann para medir sistemas ópticos convergentes y el análisis se hizo desde el punto de vista de la óptica geométrica donde se consideran rayos y que las dimensiones de los objetos por donde pasa la luz son mayores que la longitud de onda con que se ilumina a

dicho objeto.

El objetivo principal de éste trabajo es presentar un método de precisión media que permita probar a un sistema óptico convergente, específicamente a una superficie esférica

reflectora cóncava, cuyo diámetro (D) y radio de curvatura (r) se conocen. Es por ello que en el capítulo 1 se presenta una revisión de los sistemas ópticos convergentes y de las

pruebas ópticas que tienen una relación directa con nuestra propuesta, que son la técnica de deflectometría [13] y las pruebas geométricas tradicionales como la prueba de Hartmann [12] porque emplea una pantalla como instrumento de medida.

En el capítulo 2, se presenta el análisis teórico de la propuesta en el cual se presenta un modelo de arreglo experimental para probar a una superficie esférica reflectora cóncava.

En el capítulo 3, se realiza el análisis teórico para una superficie esférica que tiene una deformación esférica local, se presentan las expresiones para calcular a las intersecciones

Capítulo 1. Introducción General 23

se analiza a las ecuaciones de los rayos incidentes, reflejados y las normales para un arreglo

experimental con presencia de errores de posición de la superficie analizada, inclinaciones respecto a los planos XZ e YZ, error de foco el cual esta relacionado con la diferencia

entre el radio de curvatura de la superficie de diseño y el de fabricación [15] y error de descentramiento de la superficie esférica respecto al plano XY. Teniendo en cuenta las

variaciones introducidas por dichos errores en el arreglo experimental, en el capítulo 5 se obtiene a las coordenadas asociadas a la forma de la superficie utilizando la ecuación de

la deflectometría y se analiza las variaciones entre las coordenadas obtenidas utilizando información de un arreglo experimental ideal y las obtenidas por un arreglo experimental

con presencia de los errores considerados en el capítulo anterior.

En el capítulo 6 se describe las consideraciones tomadas en cuenta para la

implemen-tación del arreglo experimental propuesto y el procesamiento de imágenes llevado a cabo para calcular las posiciones centrales de las manchas reflejadas haciendo uso de una

ima-gen capturada en el plano de observación correspondiente a la intersección de los rayos reflejados por la superficie analizada. En el capítulo 7 se muestran los resultados

experi-mentales obtenidos cuando en el arreglo experimental implementado se consideró ideal y cuando se indujo en el experimento una incliación en la superficie analizada para producir

errores de inclinación respecto a los planos XZ e YZ.

Finalmente se presentan conclusiones generales de la propuesta, el trabajo a futuro y

Capítulo 2

Sistemas ópticos convergentes y

pruebas ópticas

Los sistemas ópticos son un conjunto de superficies como lentes, espejos, prismas, etc., que separan medios homogéneos con diferentes índices de refracción, los cuales están

dis-puestos con el fin de modificar la trayectoria de los rayos de luz de un objeto respecto de su imagen. Una de sus principales funciones es la de formar imágenes y el número de

sus componentes dependen de la aplicación [16]. Un sistema óptico se denomina centrado cuando todas sus superficies ópticas tienen simetría de revolución respecto a un eje común

denominado eje óptico, en nuestra propuesta se tiene en cuenta esa consideración. Es im-portante notar que la condición de sistema óptico centrado perfecto nunca se cumple para

sistemas ópticos reales, es por ello que se deben medir y tratar de reducir las desviaciones de un sistema real respecto al ideal porque producen distorsiones en la imagen y pérdida

en su calidad.

Considerando que los rayos de luz viajan desde la izquierda hacia la derecha de un sistema de referencia, un sistema óptico es convergente cuando un haz de rayos

inciden-tes paralelos al eje óptico se refractan y convergen en un punto llamado foco. Entre las

Capítulo 2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 25

componentes de los sistemas ópticos están las lentes que clásicamente están formadas por

dos superficies, conocidas como dioptrios, de los cuales por lo menos uno es esférico y dos medios externos que la limitan. Se clasifican en convergentes ó divergentes y lo que

producen es que los rayos que inciden paralelos al eje óptico convergen en un foco situado a la derecha del origen del sistema de referencia ó a la izquierda [17].

Los sistemas ópticos van desde sistemas simples compuestos por una superficie, hasta

sistemas complejos donde la cantidad de elementos depende de la aplicación que se desea, como es el caso de los objetivos de las cámaras fotográficas. En este trabajo se realizó

el análisis para una superficie esférica reflectora cóncava cuyo radio de curvatura es r y diámetro es D los cuales son conocidos, la cual es el caso más sencillo de los sistemas

ópticos convergentes porque su parámetro de forma es el radio de curvatura r por tanto las variaciones diferentes a r, serán fácilmente identificadas. A continuación se describe

la técnica de deflectometría y la prueba de Hartmann porque están relacionadas con la propuesta.

2.1. Deflectometría

Es una técnica basada en la reflexión que sufren los rayos al incidir sobre una superficie

cuya topografía se desea obtener [1]. Esta técnica consiste en muestrear la superficie a caracterizar mediante un haz de luz y medir la desviación que sufre los rayos reflejados

por la misma, para así determinar la normal a la superficie en cada punto [1]. Como el objetivo es conocer la forma de toda la superficie, se debe tener información de muchos

puntos sobre ella, lo cual se consigue por medio de un barrido (figura2.1).

La ecuación fundamental de la deflectometría fué propuesta por Díaz [18] y está dada por :

ˆ

n_·ds~ = 0, (2.1)

Capítulo 2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 26

Figura 2.1: Prueba de deflectometría.[1]

tangente a la trayectoria de muestreo sobre la superficie. La ecuación2.1en coordenadas

cartesianas esta dada por:

ˆ

n=nxˆi+nyˆj+nzkˆ

~

ds=dxˆi+dyˆj+dzkˆ

ˆ

n_·ds~ =nxdx+nydy+nzdz = 0

(2.2)

Para resolver a la ecuación2.2se debe conocer el vector normal a la superficie en cada

punto de muestreo y el vector tangente a la trayectoria de incidencia del haz de luz.

2.2. Prueba de Hartmann

La prueba de Hartmann se emplea para medir el frente de onda o la forma de una superficie óptica, fué propuesta por Hartmann hace más de un siglo [19], es una de las pruebas geométricas más utilizadas por la simplicidad en su implementación y la sensibi-lidad que tiene para medir sistemas ópticos de diversas clases. Utiliza a una pantalla como

instrumento de selección de rayos, la hipótesis básica en la evaluación de la prueba de Hartmann, es que las pendientes del frente de onda que se está probando no cambien

Capítulo 2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 27

conoce como pantalla tipo Hartmann [6] en la pupila de salida del sistema y la superficie a evaluar es iluminada con una fuente puntual ubicada en su centro de curvatura. Como sis-tema de detección se utiliza un CCD ó plano de observación ubicado fuera del eje óptico,

en una posición fuera o dentro de foco.

Clásicamente, la distribución de los orificios en la pantalla tiene tres configuraciones

básicas: radial, espiral y cuadrada y cumple la función de seleccionar algunos rayos pro-venientes de la fuente de iluminación, los cuales después de incidir en la superficie se

reflejan y son detectados en el plano de observación [20]. En la figura2.2a) se muestra la configuración básica de la prueba de Hartmann, donde la fuente de iluminación esta

des-plazada lateralmente respecto al eje óptico del espejo y de la cual diverge un frente de onda esférico que atraviesa la pantalla tipo Hartmann, la cual cumple la función de seleccionar

unos cuantos rayos de luz (tantos como agujeros tenga la pantalla), los cuales se reflejan y llegan al plano de detección ubicado fuera del eje óptico de modo que se puedan detectar

las manchas correspondientes a la intersección de dichos rayos con el plano [21]. Sí la pantalla tipo Hartmann tiene una configuración cuadrada y la superficie bajo prueba es

perfecta, la imagen detectada en el plano de observación es la cuadrícula formada por los puntos blancos de la figura2.2 b), pero sí la superficie presenta deformaciones el patrón

será como los puntos grises [22].

Para medir el frente de onda ó la aberración del frente de onda [23], se miden las diferencias entre las posiciones centrales de los puntos del patrón de Hartmann generados por un espejo de referencia (puntos blancos) y las posiciones de los puntos medidos con

el patrón de Hartmann obtenido del espejo bajo prueba (puntos grises). Las diferencias se denominan aberración del rayo_{T A}~ _{y con base en esa cantidad se puede medir la pendiente}

local del frente de onda ó de la superficie óptica de prueba, para reconstruir en forma continua la forma del frente de onda se realiza se interpola la información obtenida de las

pendientes locales y se integra [23], [24], [20].

Capítulo 2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 28

(a) (b)

Figura 2.2: Esquema básico de la prueba de Hartmann.

[26], [27], [28], [29], entre las cuales se van a resaltar [25] y [29]. En [25], presentan un modelo matemático que permite calcular los parámetros geométricos óptimos para probar

un espejo asférico utilizando la técnica de Hartmann y una pantalla con orificios de igual tamaño y de posiciones equidistantes, además presentan un análisis de las condiciones que

limitan la aplicación de la prueba de Hartmann donde resaltan los efectos de difracción de los agujeros de la pantalla, los cuales fijan un límite para los diámetros de los mismos y la

distancia entre sus centros [16]. Otra propuesta es la presentada en [29], donde se propone el diseño de pantallas tipo Hartmann en forma de espiral que mediante la rotación de la

misma y con ayuda de la captura de una imagen para cada paso de giro, incrementa el número de puntos de muestreo en una superficie bajo prueba para aquellas zonas donde

la evaluación con una sola posición de la pantalla no lo hace posible. En esa propuesta, conociendo los vectores asociados a los rayos incidentes y midiendo a los rayos reflejados

se determinan las normales y haciendo uso de la ecuación de deflectometría se obtiene la forma de la superficie en estudio, en ese caso una superficie esférica. Los análisis

presen-tados en [25] y [29], presentan diseños de pantallas tipo Hartmann que se utilizarán para en la técnica de Hartmann. Ésta técnica considera a la distancia de ubicación de la

Capítulo 2. Sistemas ópticos convergentes y pruebas ópticas 29

en cuenta que son: la precisión y el centrado de pantalla [30] ya que un descentramiento conduce a presencia de coma, la posición de la fuente de luz utilizada para iluminar debe estar centrada correctamente para prevenir la introducción de aberraciones fuera del eje y

la perpendicularidad al eje óptico del plano de observación.

Como en nuestra propuesta la posición de ubicación de la pantalla es arbitraria, en

capítulos posteriores se presentan las consideraciones tomadas en cuenta para su diseño, donde se tienen en cuenta las distancias de ubicación de la pantalla y del plano de

obser-vación, el diámetro de la superficie a evaluar y la distancia de ubicación de la fuente de iluminación.

Capítulo 3

Análisis teórico de la propuesta

Recordando la ecuación fundamental de deflectometría ( ecuación 2.2) se sabe que

para poderla resolver se deben conocer los vectores normal y tangente a la trayectoria de muestreo, es por ello que a continuación se presenta la propuesta para el cálculo de los

mismos. Es importante resaltar que para describir el procedimiento se tomaron en cuenta tres casos particulares. El primero es llevado a cabo cuando se conoce a la superficie y

se considera esférica ideal por tanto se conocen los rayos incidentes S1, reflejados S2 y las normales N. El segundo es cuando sólo se conocen los rayos incidentes y no se

co-noce a la superficie analizada; para definir los rayos reflejados se define un vector _O~_{I, el} cual parte del origen del sistema de referencia hasta la posición extrema inferior de un

orificio en la pantalla tipo Hartmann, esto debido a que no se conoce la superficie que se esta analizando se debe calcular al vector normal y finalmente obtener la coordenada Z,

correspondiente a la zagita de la superficie por medio de cálculos numéricos utilizando la ecuación de deflectometría. El tercer y último caso es similar al segundo, la única

diferen-cia es que ahora se define un vector_O~_{S que va desde el origen del sistema de referencia} hasta la posición extrema superior de un orificio en la pantalla tipo Hartmann, con el cual

se calculan los vectores asociados a los rayos reflejados, posteriormente los vectores

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 31

males y finalmente las coordenadas Z de la superficie analizada utilizando la ecuación de

deflectometría. A continuación se describen los análisis desarrollados para cada uno de los casos.

3.1. Caso 1: Análisis de rayos centrales

Para llevar a cabo el desarollo matemático, se analizó una superficie esférica ideal con diámetroDy radio de curvaturarconocidos, la cual se iluminó con una fuente puntual de

luz blanca ubicada en el centro de curvaturar. Como la fuente, tiene una infinidad de rayos y la ecuación de deflectometría está asociada a puntos de muestro, se propuso utilizar a

una pantalla tipo Hartmann ubicada a una distancia F medida antes r. Para determinar

los rayos reflejados y calcular la normal a la superficie asociada a cada rayo, se utilizó

un plano de observación/CCD/Pantalla ubicado a una distancia Gmedida después de r,

en el cual se capturó una imagen correspondiente a la intersección de los rayos reflejados

con dicho plano. En la figura 3.1 se presenta un esquema considerando únicamente al

plano YZ. Las líneas continuas ejemplifican a los rayos que salen de la fuente puntual y

atraviesan la pantalla e inciden en la superficie y las líneas punteadas representan a los rayos reflejados que interceptan con el plano de observación. Se exageran los tamaños de

la superficie esférica ideal, la pantalla tipo Hartmann y el plano de observación, con el fin de ilustrar la propuesta.

3.1.1. Determinación del vector normal a la superficie

Considerando que se analizó una superficie esférica ideal iluminada con una fuente puntual ubicada en r, para calcular al vector nˆ se consideró que los rayos incidentesS1ˆ, reflejados _Sˆ_{2 y normales nˆ están en un mismo plano. En la figura 3.2 se presentan a los}

vectores_C~_pyC~_{poque van desde el origen del sistema de referencia situado sobre el vértice}

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 32

Figura 3.1: Esquema tomado en cuenta para analizar la superficie esférica ideal.

del rayo reflejado con el plano de observación respectivamente.

Figura 3.2: Esquema tomado en cuenta para calcular a la normal.

Utilizando la ecuación de la recta se obtuvo al vector_U~ _{que es paralelo a la recta que}

une a los puntos Cp, Cpo y está en la dirección de la normal a la superficie, entonces la

ecuación de la normal esta dada por:

ˆ

n= [(Y

′ _−Y′′_),(G+F)] p

(Y′ _−Y′′₎2_{+ (G+F)}2, (3.1)

donde las coordenadasY′′se asocian a las posiciones de los orificios en la pantalla tipo

Hartmann y las coordenadasY′con las posiciones de intersección los rayos reflejados con

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 33

de la pantalla tipo Hartmann y del plano de observación, las cuales se miden a partir der.

3.1.2. Determinación del vector tangente a la trayectoria de muestreo

sobre la superficie

Para determinar al vector_ds~ _{se considera que se realiza un muestreo contínuo sobre}

toda la superficie a evaluar, por tanto existen dos puntos uno muy cercano del otro, para los cuales se definen a sus vectores posiciónw0~ yw1~ , con los cuales su diferencia se calcula

a ds. Es importante tener en cuenta que~ ds~ es una función continua y en la propuesta lo que se tienen son puntos de muestreo sobre la superficie, por tanto el vector _ds~ _{que se}

encuentra es una aproximación. Para determinar aw0~ yw1, se consideran que se conocen~ a las posiciones centrales de dos orificios contiguos en la pantalla tipo Hartmann, con ellas

se determinan las posiciones de los rayos que pasan sobre ésta y después inciden sobre la superficie esférica ideal. El esquema tenido en cuenta, para definir al vector_ds~ _{se presenta}

en la figura3.3, donde los vectoresw0~ yw1~ se definen teniendo en cuenta a los puntos de intersección de los rayos incidentes con la superficie esférica ideal y se definen desde el

origen del sistema de referencia hasta los puntos de intersecciónw0 yw1.

Figura 3.3: Esquema para determinar a los vectoresw0~ yw1.~

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 34

figura3.4y las relaciones geométricas que los definen en las ecuaciones3.2 y3.3, donde

A0 yA1 son las coordenadas en Y de los puntosw0 yw1 respectivamente yA′

0 yA′1 son las coordenadas en Z de los puntosw0 yw1. Con la diferencia entre los vectoresw0~ yw1~ ,

se calcula al vector_{ds, cuya expresión se presenta en la ecuación}~ _3.4.

(a) Esquema para definir aw~0. (b) Esquema para definir aw~1.

Figura 3.4: Esquema para definir al vector_ds~ _{teniendo en cuenta aw0~ yw1~ .}

tanθ0 = Y

′′

0 F ,

sinθ0 = A0

r ,

cosθ0 = A

′ 0 r            ~

w0 = (A0, r₋A′

0), (3.2)

tanθ1 = Y

′′

1 F ,

sinθ1 = A1

r ,

cosθ1 = A′ 1 r            ~

w1 = (A1, r₋A′

1). (3.3)

~

ds =w~1−w~0 = (rsinθ1−rsinθ0, rcosθ0−rcosθ1), (3.4)

En las ecuación3.4,res el radio de curvatura de la superficie esférica yθ0yθ1, son los ángulos comprendidos entre el eje z y los vectoresw0~ yw1~ , respectivamente. Considerando

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 35

dz =₋ny

nz

dy,

Z =₋R ny

nz

dy,

(3.5)

donde ny y nz son las componentes del vector normal y dy se determina teniendo en

cuenta las intersecciones de los rayos incidentes con la superficie esférica ideal,idepende

del número de orificios en la pantalla (N P) que definen el muestreo que se hace a la superficie analizada.

Considerando que el muestreo que se hace sobre la superficie es de forma continua, la ecuación3.5se puede aproximar a una sumatoria, donde los terminos i-esimos dependen

del número de orificios en la pantalla tipo Hartmann:

Zi =− N P

X

i=1 nYi nZi

(∆Yi) =− N P

X

i=1 nYi nZi

(Yi+1−Yi). (3.6)

Reemplazando las relaciones correspondientes a los vectores normal y tangente, la coordenada Z obtenida utilizando la ecuación de deflectometría se expresa de la siguiente

manera:

Zi =−

1

G+F−

N P

X

i=1

[(Y′

1 −Y1′′)Y1+ (Y2′−Y2′′) (Y2−Y1) +...+ (Yi′ −Yi′′) (Yi−Yi−1)],

(3.7) donde Yi corresponde a las coordenadas en el eje Y sobre la superficie esférica ideal,

Y′

i a las coordenadas en el eje Y de intersección de los rayos reflejados con el plano de

observación yY′′

i a las posiciones centrales de los orificios en la pantalla tipo Hartmann.

De acuerdo a lo anterior, se resalta la importancia en las medidas de las distancias de ubicación de la pantalla tipo Hartmann y del plano de observación, así como también

en la exactitud de la fabricación de la pantalla tipo Hartmann y la determinación de las posiciones centrales de los rayos reflejados con el plano de observación. La propuesta se

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 36

Para definir las características óptimas de diseño de la pantalla tipo Hartmann y las

distancias de ubicación del plano de observaciónGy la pantalla F, se realizó un análisis teórico y simulaciones numéricas las cuales se presentan en el apéndice A. Teniendo en

cuenta los resultados para las simulaciones numéricas, en la figura 3.5 se presentan a manera de ejemplo, las características finales de la pantalla, considerando solamente a dos

líneas, cada una con un número de orificios N P = 14, distancia desde el centro de la pantalla hasta el primer orificio m = 12.7mmla cual se mantuvo fija porque inialmente el orificio se utilizaba para sujetar a la pantalla en el arreglo experimental, diámetro de los orificios en la pantallas = 3mm, distancia centro a centro entre orificioscc = 5mm,

distancia de ubicación de la pantalla F = 590mmy distancia del plano de observación G= 195mm.

Figura 3.5: Esquema de la pantalla tipo Hartmann para las simulaciones numéricas.

La distanciaGno corresponde al valor teórico calculado en el apéndiceAporque para

realizar la captura de la imagen correspondiente a la intersección de los rayos reflejados con el plano de observación se utilizó una cámara fotográfica con objetivo, no solamente

el sensor como se consideró para el análisis presentado. Lo anterior se realizó por que al realizar pruebas en el laboratorio al ubicar el sensor a la distancia G se observaban

superpuestos a todos los rayos reflejados por la superficie, haciendo muy díficil determinar sus correspondencias con los orificios en la pantalla.

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 37

cual permite obtener más puntos de muestreo en la superficie analizada y por ende una

mayor aproximación en el calculo del vector_{ds, en la figura}~ _{3.6se presentan las} diferen-cias entre las coordenadas Z obtenidas con deflectometría (ecuación 3.5) que se denotan

como Zdef y se presentan como puntos rojos y las coordenadas Z obtenidas utilizando

la ecuación de la circunferencia denotadas como Zcir (ecuación3.8) se presentan como

puntos azules. El error porcentual se calculan teniendo en cuenta a la ecuación3.9.

Zcir =− √

r2_−Y2_{+r, (3.8)}

E( %) =

Zcir_Z−_cirZdef

∗100, (3.9)

(a) Diferencia entre las

coordena-das Z. (b) Diferencia porcentual entre lascoordenadas Z.

Figura 3.6: Diferencia entre las coordenadas Z calculadas con las ecuaciones de la circun-ferencia vs. deflectometría.

De la figura 3.6 b) se puede analizar que a mayor distancia de separación entre los

orificios en la pantalla, es mayor el error en el calculo del vector _{ds, es por ello que el}~ porcentaje de error máximo es para el primer orificio de cada línea ya que la distancia

desde el centro de la pantalla al primer orificio es de m = 12.7mm y para los otros orificios la distanciacc = 5mm. En la figura3.7se presenta un diagrama de bloques que

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 38

Se propone la forma de la superficie: r, D.

Se calculan los vectores

~

Cp y C~p0.

Calculo de

ˆ

n utilizando la ecuación de la recta.

Se calcula ds.~ Con la

ecua-ción de la deflectometría

se calcula Z. Se calculan el

error pocenrtual (ecuación3.9)

Figura 3.7: Pasos para el análisis del Caso 1.

3.2. Caso 2: Análisis de rayos inferiores

Para definir los vectores asociados a los rayos incidentes se tiene en cuenta el esquema presentado en la figura3.8. El vector_C~_{P se define desde el origen del sistema de}

coorde-nadas de referencia hasta la posición central de un orificio en la pantalla y el vector _C~_F se define desde el origen del sistema de coordenadas de referencia hasta la ubicación de

la fuente de iluminación. El vector_S~_{1 es un vector paralelo a la recta asociada a los rayos} incidentes que se calcula como la diferencia entre_C~_{P yC}~_F.

Figura 3.8: Esquema para definir a_S~_1.

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 39

presentado en la figura 3.9, donde _O~_{I es un vector definido desde el origen del sistema}

de referencia hasta la posición extrema inferior de un orificio en la pantalla tipo Hart-mann y _C~_{rr se define desde el origen del sistema de referencia hasta las coordenadas de}

intersección de los rayos reflejados con el plano de observación.

Figura 3.9: Esquema para definir a_S2.~

Conociendo los vectores asociados a los rayos incidentes_S1~ _{y reflejadosS2}~ _{, se calculan}

los vectores normales a la superficie utilizando la ecuación3.10[29].

ˆ

n= S2~ −S1~

S~2−S~1

. (3.10)

Para definir al vector_ds~ _{se sigue el mismo procedimiento realizado para el caso 1. Con}

los vectoresˆny_ds~ _{se obtiene la coordenada Z utilizando la ecuación3.6.}

3.3. Caso 3: Análisis de rayos superiores

Para definir los vectores asociados a los rayos incidentes, se siguió el mismo proce-dimiento que en los casos anteriores, para definir a los vectores asociados a los rayos

Capítulo 3. Análisis teórico de la propuesta 40

~

OS es un vector definido desde el origen del sistema de referencia hasta la posición

ex-trema superior de un orificio en la pantalla tipo Hartmann y _C~_{rr son las coordenadas de} intersección de los rayos reflejados con el plano de observación.

Figura 3.10: Esquema tenido en cuenta para definir a_S2~ _.

Con los vectores_S1~ _yS2~ _{se calculan a las normales utilizando la ecuación3.10, para}

definir al vectords~ se sigue el mismo procedimiento realizado para los casos 1 y 2. Con los vectoresˆnyds~ se obtiene la coordenada Z utilizando la ecuación3.6.

Una vez realizado el análisis para una superficie esférica ideal que permitió calcular a las posiciones de los rayos reflejados con el plano de observación, en el siguiente

ca-pítulo se analiza a la misma superficie esférica con una deformación esférica localizada y se presenta las posiciones de los rayos reflejados con el plano de observación las

cua-les son diferentes a las calculadas con el análisis presentado en éste capítulo debidas a deformación.

Capítulo 4

Superficie esférica con deformación

local.

En éste capítulo se utiliza la técnica propuesta, para analizar una superficie esférica de diámetro Dy radio de curvaturar conocidos, la cual presenta una deformación esférica

localizada por facilidad en el análisis. Con el fin de realizar el análisis teórico, se propone un modelo de arreglo experimental en el cual se conocen: la distancia de ubicación de

la pantalla F, las posiciones de cada uno de sus orificios, la distancia de ubicación del plano de observación Gy las posiciones centrales de los rayos reflejados en el plano de

observación que se conocen por el análisis llevado a cabo para rayos centrales que pasan por los orificios de la pantalla 3.1. Con este modelo, se determina la sensibilidad de la

prueba en la cual se determinan las diferencias en el plano de observación entre rayos reflejados por una superficie esférica ideal y los reflejados por una superficie que tiene una

deformación.

En la figura4.1se presenta el esquema para analizar una superficie esférica ideal con

r y D conocidos, se consideran a tres rayos provenientes de una fuente de iluminación ubicada a una distanciar, los cuales inciden sobre un orificio de la pantalla tipo Hartmann

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 42

ubicada a una distancia F y a una distancia Gmedida a partir de rse ubica un plano de

observación donde se captura la información de la intersección de los rayos reflejados por la superficie. Como la superficie no tiene deformaciones los rayos incidentes, reflejados y

las normales recorren un mismo camino; las líneas morada, roja y negra están relacionadas con rayos que incide en el extremo superior de un orificio en la pantalla cuya altura medida

a partir del centro de la pantalla es YP2′′, en el centro del orificio con altura YP3′′ y en el extremo inferior de un orificio con altura YP1′′, respectivamente. La distancia m es

medida desde el centro de la pantalla hasta el centro del primer orificio, cccorresponde a la distancia centro a centro entre orificios,ses el diámetro de los orificios en la pantalla y

T S es la altura del plano de observación. Los puntosP1,P2 yP3 son las coordenadas de intersección de los rayos incidentes con la superficie esférica ideal.

Figura 4.1: Esquema para analizar una superficie esférica ideal.

La función que describe una superficie esférica ideal considerando al plano YZ está

dada por:

Y2+ (Z₋r)2 =r2. (4.1)

Por medio de relaciones geométricas para los rayos con la superficie esférica ideal y

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 43

y de las posiciones de sus orificios, en la tabla 4.1 se presentan las expresiones que los

relacionan.

Coordenadas Pantalla Coordenadas Superficie Coordenadas Plano Observación (Y′′_{, r−F) (Y, Z) (Y}′_{, r+G)}

Rayo morado (YP2′′, r−F)

rYP2′′ √

YP2′′2+F2

, r−_√ rF YP2′′2+F2

−GYP2′′ F , r+G

Rayo rojo (YP3′′, r−F)

rYP3′′ √

YP3′′2+F2

, r−_√ rF YP3′′2+F2

−GYP3′′ F , r+G

Rayo negro (YP1′′, r−F)

rYP1′′ √

YP1′′2+F2

, r−_√ rF YP1′′2+F2

−GYP1′′ F , r+G

Tabla 4.1: Coordenadas para los rayos morado, rojo y negro en el plano de observación, la pantalla tipo Hartmann y la superficie esférica ideal.

Como en la práctica no existen superficies esféricas ideales, a continuación se analiza una superficie con una deformación esférica localizada. Una superficie en la práctica puede

tener diferentes tipos de deformaciones, que pueden ser globales y/o locales y tener una forma arbitraria. Para acotar el problema, se va a considerar una deformación suave y

teniendo en cuenta que la técnica propuesta mide pequeñas secciones de la superficie, la deformación más fácil de modelar es una esférica local. La función que describe la

deformación esférica localizada es:

(Y ₋K)2+ (Z ₋H)2 =W2, (4.2)

donde(K, H)son las coordenadas del centro de la deformación que se supone esférica y W es su radio.

Para ejemplificar las variaciones entre las intersecciones de los rayos reflejados por

una superficie esférica ideal y las intersecciones por una superficie esférica con presencia de una deformación, en la figura4.2se muestran las posiciones de los rayos reflejados por

una superficie esférica ideal (mancha azul) y los reflejados por una superficie que tiene una deformación esférica local y suave representados por una mancha verde.

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 44

(a) (b)

Figura 4.2: Posición de los rayos reflejados vistos en el plano de observación para una: a) superficie esférica ideal y b) superficie esférica ideal con una deformación esférica, local y suave.

inciden en el orificio 14 de la pantalla, considerados en el análisis. Por medio de una

simulación numérica se reemplazaron los valores de r = 767.6mm,F = 590mm, G =

195mm, s = 3mm,m = 12.7mm,cc = 5mm,N P = 14en las ecuaciones presentadas

en la tabla4.1y los resultados se presentan en la tabla4.2.

C. Pantalla C. Superficie C. Plano Obs.

(Y′′_{, r−F) (Y, Z) (Y}′_{, r+G)} (mm, mm) (mm, mm) (mm, mm) Rayo morado (79.20,177.60) (102.12,6.82) (-26.17,962.6)

Rayo rojo (77.70,177.60) (100.22,6.57) (-25.68,962.6)

Rayo negro (76.20,177.60) (98.32,6.32) (-25.18,962.6)

Tabla 4.2: Resultados numéricos para las expresiones presentadas en la tabla4.1.

Conociendo a los puntosP1 y P2 del último orificio en la pantalla que corresponde a N P = 14, se calculó la distancia media lineal Pm cuya expresión se presentan en la

ecuación 4.3 y su esquema se muestra en la figura 4.3. También se calculó el ángulo θr

formado por un rayo que pasa por el centro de un orificio en la pantalla y el eje Z.

Pm =

Y1+Y2

2 ,

Z1+Z2

2

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 45

Figura 4.3: Esquema para calcular aPm.

θr = atan

Y3′′

F

= 0.13, (4.4)

Con el fin de garantizar que el rayo incidente a la deformación no coincida con la nor-mal en la superficie esférica ideal se define un puntoP4 que se muestra en la figura 4.4,

para calcularlo se dan valores adque está asociado con la profundidad de la deformación,

θ y se obtienen a∆Y y ∆Z, además se consideró que para que la condición antes men-cionada se cumpla θ ₆= θr, las relaciones establecidas deben cumplir con las siguientes

expresiones:

Figura 4.4: Esquema para calcular aP4.

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 46

∆Y =dsinθ, (4.6)

∆Z =dcosθ, (4.7)

P4 = (Ym+ ∆Y, Zm−∆Z), (4.8)

Comod está asociado con la profundidad de la deformación, se dió un valor a d =

1mmyθ= 0.14, por tanto las coordenadas del puntoP4 fueron:

P4 = (100.37mm,5.58mm),

Teniendo en cuenta a los puntos P1, P2 y P4 se calculó a la superficie asociada a la

deformación. Para ello, se reemplazaron a las coordenadasY,Z de los puntos(P1, P2, P4)

en la ecuación 4.2 y se obtienen a tres ecuaciones con tres incógnitas [32]. Al

solucio-narlas se obtuvo que el radio de la deformación es W = 2.34mm y las coordenadas

del centro de la circunferencia asociada a la deformación con coordenadas (K, H) =

(100.05mm,7.90mm).

El paso siguiente fué calcular las coordenadas del puntoP5 que corresponde a la

in-tersección del rayo incidente que pasa por el centro de un orificio en la pantalla con la

superficie esférica asociada a la deformación, figura4.5. Para ello se calcula la ecuación

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 47

de la recta asociada a los rayos incidentes los cuales pasan por el centro del orificio en la

pantalla, las expresiones para calcular la pendiente y la ordenada al origen se presentan en la ecuación4.9 donde Y′′

p3 es la altura del rayo que incide en el orificio 14 de la pan-talla (Tabla 4.2); la ecuación de la recta asociada a los rayos incidentes se presenta en la ecuación4.10.

minc=−

Yp3′′

F =−0.13, binc=−rminc = 101.09mm,

θinc = atanminc,

(4.9)

Por tanto la ecuación asociada a los rayos incidentes es:

Y =mincZ+binc, (4.10)

Reemplazando a la ecuación 4.10 en la ecuación 4.2, se obtiene una ecuación

cua-drática que se soluciona para obtener la coordenada Z asociada al puntoP5, que se denota comoZ5. La ecuación cuadrática tiene dos soluciones, pero como se está proponiendo que

la deformación sea esférica cóncava, la solución para que el radio de curvatura y el centro de la deformación estén a la derecha del sistema de referencia establecido para el análisis,

está dada para la solución negativa. Con el fin de solucionar a la ecuación cuadrática se definenL1, M1, N1 que son los coeficientes de la ecuación cuadrática (ecuación4.12).

L1 =m2

inc+ 1,

M1 = 2mincbinc−2mincK−2H,

N1 =b2

inc−2bincK +K2+H2+W2.

(4.11)

Y la ecuación cuadrática queda expresada de la siguiente manera:

Z5 = −

M1₋pM2

1 −4L1N1

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 48

La coordenada en Y del puntoP5 se obtuvo al reemplaza la ecuación4.12en la

ecua-ción4.10:

Y5 =Z5minc+binc, (4.13)

Al reemplazar los valores conocidos, las coordenadas paraP5 fueron:

P5 = (Y5, Z5) = (100.35mm,5.58mm). (4.14)

Para calcular el vector asociado a los rayos incidentes y su correspondiente normaliza-do, se tuvo en cuenta la posición de la fuente de iluminación y las coordenadas del punto

P5, entonces las expresiones para calcular los vectores asociados a los rayos incidentes ~

Vincy su correspondiente normalizadoVˆinc, son:

~

Vinc= (Y5, Z5−r) = (100.35mm,−762.02mm), (4.15)

ˆ

Vinc =

Vinc |Vinc|

= (0.13mm,₋0.99mm). (4.16)

Para obtener la ecuación de la recta asociada a los rayos normales, se consideraron las

coordenadas del puntoP5 y las del centro de la deformación:

mnor =

K ₋Y5

H₋Z5 =−0.13, bnor=K−Hmnor = 101.09mm,

θnor = atanmnor,

(4.17)

Por tanto la ecuación asociada a las normales fué:

Capítulo 4. Superficie esférica con deformación local. 49

El vector asociado a la normal y su correspondiente normalizado, están dados por:

~

Vnor = (K−Y5, H−Z5) = (−0.31mm,2.32mm), (4.19)

ˆ

Vnor =

Vnor |Vnor|

= (₋0.13mm,0.99mm), (4.20)

Para calcular el vector asociado al rayo reflejado, se utilizó la ecuación de la ley de reflexión en forma vectorial [33]:

ˆ

S2 = ˆS1₋2( ˆS1_·Nˆ) ˆN , (4.21)

donde_Sˆ_{1 es el vector asociado a los rayos incidentes,S}ˆ_{2el asociado a los rayos}

refle-jados y_Nˆ _{esta asociado con las normales. Numéricamente sus coordenadas fueron:}

ˆ

Vref = (−0.13mm,0.99mm), (4.22)

La pendiente y la ordenada al origen de la recta asociada al rayo reflejado fueron:

mref =

ˆ

Vref(y)

ˆ

Vref(z)

=₋0.13,

bref =Y5−mrefZ5 = 101.09mm,

θref = atanmref,

(4.23)

Y la ecuación asociada al rayo reflejado estuvo dada por la siguiente expresión:

Y =mrefZ+bref, (4.24)

Teniendo en cuenta los resultados numéricos, es importante notar que para cuantificar