funciones de múltiples variables, cálculo
diferencial y cálculo integral
Cátedra de Matemática II
Clase 11
1 Producto cruz, planos y rectas enR3 Producto cruz
Índice
1 Producto cruz, planos y rectas enR3
Producto cruz
Producto cruz
Definición del producto cruz enR3
SolamenteenR3tenemos otro producto entre vectores.
Definición
Elproducto cruzentreu∈R3yv∈R3 es un vector únicou×vque cumple:
I) (u×v)•u=0 y(u×v)•v=0
II) ku×vk = kukkvksinθ
III) u,vyu×vforman unaterna
Producto cruz
Definición del producto cruz enR3
SolamenteenR3tenemos otro producto entre vectores.
Definición
Elproducto cruzentreu∈R3yv∈R3 es un vector únicou×vque cumple:
I) (u×v)•u=0 y(u×v)•v=0
II) ku×vk = kukkvksinθ
Producto cruz
Definición del producto cruz enR3
SolamenteenR3tenemos otro producto entre vectores.
Definición
Elproducto cruzentreu∈R3yv∈R3 es un vector únicou×vque cumple:
I) (u×v)•u=0 y(u×v)•v=0 II) ku×vk = kukkvksinθ
Producto cruz
Definición del producto cruz enR3
SolamenteenR3tenemos otro producto entre vectores.
Definición
Elproducto cruzentreu∈R3yv∈R3 es un vector únicou×vque cumple:
I) (u×v)•u=0 y(u×v)•v=0 II) ku×vk = kukkvksinθ
Producto cruz
Propiedades útiles del producto cruz
a) u,vyu×vcumplen laregla de la mano derecha.
b) Siuyvson paralelos, entonces
u×v=0.
Producto cruz
Propiedades útiles del producto cruz
a) u,vyu×vcumplen laregla de la mano derecha.
b) Siuyvson paralelos, entonces u×v=0.
Producto cruz
Propiedades útiles del producto cruz
a) u,vyu×vcumplen laregla de la mano derecha.
b) Siuyvson paralelos, entonces
u×v=0.
Producto cruz
Cálculo de las componentes del producto cruz
Siu=u1i+u2j+u3ky
v=v1i+v2j+v3k, entonces
u×v=(u2v3−u3v2)i+
(u3v1−u1v3)j+
(u1v2−u2v1)k
=
u2v3−u3v2 u3v1−u1v3 u1v2−u2v1
En Sage se escribe
# w=u×v
Producto cruz
Cálculo de las componentes del producto cruz
Siu=u1i+u2j+u3ky
v=v1i+v2j+v3k, entonces
u×v=(u2v3−u3v2)i+
(u3v1−u1v3)j+
(u1v2−u2v1)k
=
u2v3−u3v2 u3v1−u1v3 u1v2−u2v1
En Sage se escribe
# w=u×v
Producto cruz
Cálculo de las componentes del producto cruz
Ejemplo
a) Los productos puntos de la base canónica son
i×i=0 i×j=k j×i= −k j×j=0 j×k=i k×j= −i k×k=0 k×i=j i×k= −j
b) Siu=2i+j−3kyv= −2j+5k
(2i+j−3k)×(−2j+5k)=¡
(1)(5)−(−2)(−3)¢
i+
¡
(−3)(0)−(2)(5)¢
j+
¡
(2)(−2)−(1)(0)¢
k
Producto cruz
Cálculo de las componentes del producto cruz
Ejemplo
a) Los productos puntos de la base canónica son
i×i=0 i×j=k j×i= −k
j×j=0 j×k=i k×j= −i
k×k=0 k×i=j i×k= −j
b) Siu=2i+j−3kyv= −2j+5k
(2i+j−3k)×(−2j+5k)=¡
(1)(5)−(−2)(−3)¢ i+ ¡
(−3)(0)−(2)(5)¢ j+ ¡
(2)(−2)−(1)(0)¢ k
Producto cruz
Propiedades del producto cruzEl producto cruz cumple:
(I) u×u=0
(II) u×v= −v×u(anticonmutativo) (III) (u+v)×w=u×w+v×w
(IV) u×(v+w)=u×v+u×w
(V) (cu)×v=u×(cv)=c(u×v)
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Normalmente los elementos de un determinante solo pueden ser números.
Pero también podemos utilizar vectores enuna sola fila.
Siu=u1i+u2j+u3kyv=v1i+v2j+v3k, entonces
u×v=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
u1 u2 u3 v1 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯
u2 u3 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ i− ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u3 v1 v3
¯ ¯ ¯ ¯ j+ ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u2 v1 v2
¯ ¯ ¯ ¯ k
=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k
=
u2v3−u3v2 u3v1−u1v3 u1v2−u2v1
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Normalmente los elementos de un determinante solo pueden ser números.
Pero también podemos utilizar vectores enuna sola fila.
Siu=u1i+u2j+u3kyv=v1i+v2j+v3k, entonces
u×v=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
u1 u2 u3 v1 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯
u2 u3 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ i− ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u3 v1 v3
¯ ¯ ¯ ¯ j+ ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u2 v1 v2
¯ ¯ ¯ ¯ k
=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k
=
u2v3−u3v2 u3v1−u1v3 u1v2−u2v1
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Normalmente los elementos de un determinante solo pueden ser números.
Pero también podemos utilizar vectores enuna sola fila.
Siu=u1i+u2j+u3kyv=v1i+v2j+v3k, entonces
u×v=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯
u2 u3
v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ i− ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u3
v1 v3
¯ ¯ ¯ ¯ j+ ¯ ¯ ¯ ¯
u1 u2
v1 v2
¯ ¯ ¯ ¯ k
=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k
=
u2v3−u3v2
u3v1−u1v3
u1v2−u2v1
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Ejemplo
Encontrar el áreaS del triángulo cuyos vértices son los puntos A=(1;1;0),B=(3;0;2)yC=(0;−1;1).
Dos lados del triángulo son −−→
AB=2i−j+2k y −−→AC= −i−2j+k
El áreaSresulta S=12
° ° °
−−→ AB×−−→AC°°
°
=12
° ° ° ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
2 −1 2 −1 −2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ° ° ° ° ° °
=12°°3i−4j−5k ° °=12
p
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Ejemplo
Encontrar el áreaS del triángulo cuyos vértices son los puntos A=(1;1;0),B=(3;0;2)yC=(0;−1;1).
Dos lados del triángulo son −−→
AB=2i−j+2k y −−→AC= −i−2j+k
El áreaSresulta S=12
° ° °
−−→ AB×−−→AC°°
°
=12
° ° ° ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
2 −1 2 −1 −2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ° ° ° ° ° °
=12°°3i−4j−5k ° °=12
p
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Ejemplo
Encontrar el áreaS del triángulo cuyos vértices son los puntos A=(1;1;0),B=(3;0;2)yC=(0;−1;1).
Dos lados del triángulo son −−→
AB=2i−j+2k y −−→AC= −i−2j+k
El áreaSresulta
S=12 ° ° °
−−→
AB×−−→AC°° °
=12 ° ° ° ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
2 −1 2 −1 −2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ° ° ° ° ° °
=12°°3i−4j−5k° °=12
p
Producto cruz
El producto cruz como un determinante
Ejemplo
Encontrar el áreaS del triángulo cuyos vértices son los puntos A=(1;1;0),B=(3;0;2)yC=(0;−1;1).
En Sage se escribe
# S=12°° °
−−→
AB×−−→AC°° ° A = vector((1,1,0)) B = vector((3,0,2)) C = vector((0,-1,1)) AB = B-A
AC = C-A
S = 1/2*(AB.cross_product(AC)).norm()
Índice
1 Producto cruz, planos y rectas enR3
Producto cruz
Planos en el espacio tridimensionalR3
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Sean=n1i+n2j+n3kun
vectorno nulo.
Existe unúnicoplanoque pasa porP0y es⊥an.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Sean=n1i+n2j+n3kun
vectorno nulo.
Existe unúnicoplanoque pasa porP0y es⊥an.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Sean=n1i+n2j+n3kun vectorno nulo.
Existe unúnicoplanoque pasa porP0y es⊥an.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Sean=n1i+n2j+n3kun vectorno nulo.
Existe unúnicoplanoque pasa porP0y es⊥an.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Sean=n1i+n2j+n3kun vectorno nulo.
Existe unúnicoplanoque pasa porP0y es⊥an.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoElplanoestá formado por todos los puntosPpara los cuales−−−→P0P es⊥an.
SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0 r−r0será⊥an
si y solo si
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoElplanoestá formado por todos los puntosPpara los cuales−−−→P0P es⊥an. SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0 r−r0será⊥an
si y solo si
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoElplanoestá formado por todos los puntosPpara los cuales−−−→P0P es⊥an. SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0
r−r0será⊥an si y solo si
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoEcuación vectorial del plano
n•(r−r0)=0
Ecuación escalar del plano
n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0
o también
Planos en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación punto–normal de un planoEcuación vectorial del plano
n•(r−r0)=0
Ecuación escalar del plano
n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0
o también
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
a) La ecuación 2x−3y−4z=0 representa un plano que pasa por el origen, y que es normal (⊥) al vectorn=2i−3j−4k.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
a) La ecuación 2x−3y−4z=0 representa un plano que pasa por el origen, y que es normal (⊥) al vectorn=2i−3j−4k.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
La ecuación 2x+y+3z=6 representa un plano con normal n=2i+j+3k.
Siy=z=0, la ecuación resultax=3, y entonces(3;0;0)∈ al plano.
Este es el punto de intersección con el ejex.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
La ecuación 2x+y+3z=6 representa un plano con normal n=2i+j+3k.
Siy=z=0, la ecuación resultax=3, y entonces(3;0;0)∈ al plano.
Este es el punto de intersección con el ejex.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
La ecuación 2x+y+3z=6 representa un plano con normal n=2i+j+3k.
Siy=z=0, la ecuación resultax=3, y entonces(3;0;0)∈ al plano.
Este es el punto de intersección con el ejex.
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
La ecuación 2x+y+3z=6 representa un plano con normal n=2i+j+3k.
Siy=z=0, la ecuación resultax=3, y entonces(3;0;0)∈ al plano.
Este es el punto de intersección con el ejex.
Six=z=0 la intersección con el ejey resulta(0;6;0)
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Reconociendo y escribiendo ecuaciones de planosEjemplo
La ecuación 2x+y+3z=6 representa un plano con normal n=2i+j+3k.
Siy=z=0, la ecuación resultax=3, y entonces(3;0;0)∈ al plano.
Este es el punto de intersección con el ejex.
Six=z=0 la intersección con el ejey resulta(0;6;0)
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Graficar un plano en Sage (código con comentarios)# 2x+y+3z=6
x, y = var("x y") # variables x,y
# los ejes de coordenadas...
X = arrow((0,0,0),(4,0,0),thickness=1.5,rgbcolor=(0.1,0.1,0.1)) Y = arrow((0,0,0),(0,7,0),thickness=1.5,rgbcolor=(0.1,0.1,0.1)) Z = arrow((0,0,0),(0,0,4),thickness=1.5,rgbcolor=(0.1,0.1,0.1))
P_0 = vector((3,0,0)) # P0=(3;0;0) n = vector((2,1,3)) # n=(2;1;3)
n_1 = n[0]; n_2 = n[1]; n_3=n[2] # n=(n1;n2;n3) nP_0 = n.dot_product(P_0) # n•P0
z = (nP_0 - n_1*x - n_2*y)/n_3 # z=n•P0−nn13x−n2y
punto = point(P_0,size=20,color="red") # P0
normal = arrow(P_0,P_0+n,thickness=1.5,color="green") # n
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Plano determinado por tres puntosEjemplo
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1;1;0),Q=(0;2;1)yR=(3;2;−1).
Necesitamos un vectorn⊥al plano. . .
ndebe ser⊥a los vectores−−→PQ= −i+j+ky−−→PR=2i+j−k. Entonces podemos usar el producto cruz
n=−−→PQ×−−→PR=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
−1 1 1
2 1 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −2i+j−3k
Si elegimos el puntoP resulta
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Plano determinado por tres puntosEjemplo
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1;1;0),Q=(0;2;1)yR=(3;2;−1).
Necesitamos un vectorn⊥al plano. . .
ndebe ser⊥a los vectores−−→PQ= −i+j+ky−−→PR=2i+j−k. Entonces podemos usar el producto cruz
n=−−→PQ×−−→PR=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
−1 1 1
2 1 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −2i+j−3k
Si elegimos el puntoP resulta
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Plano determinado por tres puntosEjemplo
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1;1;0),Q=(0;2;1)yR=(3;2;−1).
Necesitamos un vectorn⊥al plano. . .
ndebe ser⊥a los vectores−−→PQ= −i+j+ky−−→PR=2i+j−k. Entonces podemos usar el producto cruz
n=−−→PQ×−−→PR=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
−1 1 1
2 1 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −2i+j−3k
Si elegimos el puntoP resulta
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Plano determinado por tres puntosEjemplo
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1;1;0),Q=(0;2;1)yR=(3;2;−1).
Necesitamos un vectorn⊥al plano. . .
ndebe ser⊥a los vectores−−→PQ= −i+j+ky−−→PR=2i+j−k. Entonces podemos usar el producto cruz
n=−−→PQ×−−→PR= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
−1 1 1
2 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −2i+j−3k
Si elegimos el puntoP resulta
Planos en el espacio tridimensional
R
3 Plano determinado por tres puntosEjemplo
Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1;1;0),Q=(0;2;1)yR=(3;2;−1).
Necesitamos un vectorn⊥al plano. . .
ndebe ser⊥a los vectores−−→PQ= −i+j+ky−−→PR=2i+j−k. Entonces podemos usar el producto cruz
n=−−→PQ×−−→PR= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
i j k
−1 1 1
2 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= −2i+j−3k
Si elegimos el puntoP resulta
Índice
1 Producto cruz, planos y rectas enR3
Producto cruz
Planos en el espacio tridimensionalR3
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Seav=ai+bj+ckun vectorno nulo.
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Seav=ai+bj+ckun vectorno nulo.
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Seav=ai+bj+ckun vectorno nulo.
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaSeaP0=(x0;y0;z0)un punto deR3.
Su vector posición será
r0=x0i+y0j+z0k
Seav=ai+bj+ckun vectorno nulo.
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaLalínea rectaestá formada por todos los puntosPpara los cuales −−−→
P0Pes∥av.
SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0 r−r0será∥avsi y solo si
r=r0+tv
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaLalínea rectaestá formada por todos los puntosPpara los cuales −−−→
P0Pes∥av.
SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0
r−r0será∥avsi y solo si
r=r0+tv
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaLalínea rectaestá formada por todos los puntosPpara los cuales −−−→
P0Pes∥av.
SiP=(x;y;z)tiene vector posiciónr=xi+yj+zk, resulta que−−−→P0P=r−r0
r−r0será∥avsi y solo si
r=r0+tv
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaEcuación vectorial de la recta
r=r0+tv
cont∈R.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaEcuación vectorial de la recta
r=r0+tv
cont∈R.
Ecuaciones paramétricas de la recta
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
Líneas rectas en el espacio tridimensional
R
3 La ecuación paramétrica de una línea rectaEjemplo
Las ecuaciones
x=2+t y=3 z= −4t
cont∈(−∞;∞)
