Intervalos de confianza
6.1. Notaci´on de percentiles . . . . 2
6.2. Introducci´on . . . . 4
6.3. Intervalos para una poblaci´on . . . . 7
6.3.1. Intervalos para μ y para σ2 de una variable normal . . . . 7
6.3.2. Intervalos para una proporci´on p . . . . 10
6.3.3. Intervalo aproximado para la media de una poblaci´on ge-neral . . . 12
6.3.4. Intervalos aproximados basados en normalidad asint´otica de estimadores . . . 14
6.3.5. Datos (normales) apareados: diferencia de medias . . . 16
6.4. Intervalos para dos poblaciones independientes . . . . 17
6.4.1. Caso de dos variables normales . . . 17
6.4.2. Caso de dos proporciones . . . 21
6.5. Resumen: intervalos de confianza m´as habituales . . . . . 23
6.5.1. Intervalos I de confianza 1− α para UNA distribuci´on . . 23 6.5.2. Intervalos I de confianza 1− α para DOS distribuciones 23
Seguimos, en este cap´ıtulo, embarcados en la tarea de estimar el par´ametro θ de una variable X con funci´on de densidad/masa f (x; θ) a partir de muestras de la variable de cierto tama˜no.
En el cap´ıtulo 5 anterior vimos c´omo obtener estimaciones ˆθ del par´ametro θ a partir de una juiciosa elecci´on de estimadores adecuados al modelo en cuesti´on.
En este cap´ıtulo veremos c´omo construir intervalos I = (a, b) de manera que el verdadero (y desconocido) valor de θ con el que se produjo la muestra pertenezca a I con alta confianza.
La construcci´on expl´ıcita de estos intervalos suele ser complicada, y de hecho s´olo analizaremos (en detalle, y con ´exito) el caso en el que X es una variable nor-mal, apoy´andonos en el teorema 4.7 de Fisher-Cochran. Para el resto de los casos,
tendremos que conformarnos con construir intervalos aproximados, apoy´andonos en resultados asint´oticos. Las secciones 6.3 y 6.4 contienen todos los detalles para los casos de una ´unica poblaci´on, y de dos poblaciones, respectivamente.
A modo de resumen, la secci´on 6.5 contiene las f´ormulas de los intervalos de confianza m´as habituales, en t´erminos de percentiles de diversos modelos est´andar, que presentamos en la secci´on 6.1 siguiente.
6.1.
Notaci´
on de percentiles
En lo que sigue aparecer´an repetidamente percentiles de cuatro modelos b´asicos: la normal (est´andar), la chi cuadrado, la t de Student y la F de Fisher–Snedecor (v´eanse sus definiciones y propiedades en la secci´on 3.3.1). Resumimos a continuaci´on la notaci´on para referirnos a sus percentiles.
A. Percentiles de la normal est´andar
Sea Z una variableN (0, 1) (una normal est´andar). Para α∈ (0, 1/2] llamamos zα al n´umero real tal que
P(Z > zα) = 1− Φ(zα) = α .
El n´umero zα deja, a su derecha, ´area α (bajo la gr´ afi-ca de la funci´on de densidad de la N (0, 1)). V´ease la figura. El par´ametro α denota una probabilidad, gene-ralmente peque˜na, que se suele escribir en porcentaje.
Los valores m´as habituales son α = 5 %, α = 1 % y α = 0.1 %. De su definici´on se deduce que que zα viene dado por
Φ(zα) = 1− α, esto es, zα = Φ−1(1− α)
En Excel, zα se calcula con la f´ormula =distr.norm.estand.inv(1-α), o bien con =inv.norm.estand(1-α).
Aparecer´an muy habitualmente, en lo que sigue, percentiles zα/2. La raz´on es que, si Z∼ N (0, 1), por simetr´ıa,
P(|Z| > zα/2) = 2 P(Z > zα/2) = α =⇒ P(|Z| ≤ zα/2) = 1− α. Obs´ervese que zα > 0 para α ∈ (0, 1/2], que
z1/2 = 0, y que zα → +∞ cuando α → 0+. La tabla adjunta recoge algunos valores (aproxi-mados) de zα (y de zα/2) para los valores m´as habituales de α.
α zα zα/2
5 % 1.645 1.960 1 % 2.326 2.576 0.1 % 3.090 3.291
B. Percentiles de la t de Student con n grados de libertad Sea Z una stu(n) (t de Student con n grados de
libertad, n ≥ 1). Para α ∈ (0, 1/2], denotamos por
t{n;α} al valor tal que
P(Z > t{n ; α}) = α .
En Excel, estos percentiles t{n;α} se calculan1 como =inv.t(1-α;n).
Por simetr´ıa, se cumple que
P(Z <−t{n ; α}) = α y que P(|Z| < t{n ; α/2}) = 1− α .
Como en el caso de la normal est´andar anterior, se tiene que t{n;α} > 0 para α ∈ (0, 1/2], que t{n;1/2} = 0, y que t{n;α}→ +∞ cuando α → 0+.
En la siguiente tabla se exhiben algunos valores de estos percentiles para unos cuantos valores de α y n:
α t{2,α} t{3,α} t{4,α} t{50,α} t{500,α}
5 % 2.920 2.353 2.132 1.676 1.648 1 % 6.965 4.541 3.747 2.403 2.334 0.1 % 22.327 10.215 7.173 3.261 3.107
Comp´arense con los correspondientes percentiles en la normal est´andar: si el n´ ume-ro n de grados de libertad muy grande, son pr´acticamente iguales (ejercicio 6.9).
C. Percentiles de la χ2
n
Sea Z una χ2n (chi cuadrado con n grados de libertad). Para α ∈ (0, 1), denotamos χ2{n,α} al valor tal que
P(Z > χ2{n;α}) = α .
En Excel, el percentil χ2{n,α} se calcula2 como =inv.chicuad(1-α;n).
N´otese que la distribuci´on de una χ2n no es sim´etrica, como en los dos casos anteriores. M´as adelante usaremos que, para cualquier α∈ (0, 1),
P(χ2{n;1−α/2}< Z < χ2{n;α/2}) = 1− α .
1En versiones antiguas de Excel, con la instrucci´on =distr.t.inv(2α;n). 2
D. Percentiles de la F de Fisher–Snedecor con n y m grados de li-bertad
Sea Z una Fn,m (una F con n y m grados de libertad). Para α ∈ (0, 1), denotamos por
F{n,m;α} al valor tal que
P(Z > F{n,m ; α}) = α .
En Excel, los percentiles F{n,m;α} se calculan3 como =inv.f(1-α;n;m).
Obs´ervese que
P(F{n,m ; 1−α/2} < Z < F{n,m ; α/2}) = 1− α , y tambi´en que, por la definici´on de la distribuci´on F (secci´on 3.3.2),
F{n,m ; 1−α} = F 1 {m,n ; α}.
Ê
Nota 6.1.1. Recu´erdese que si X ∼ Fn,m, entonces 1/X ∼ Fm,n. Esto sale de la propia definici´on
de laF de Fisher (apartado 3.3.2). De manera que P(Z > F{n,m ; α}) =α =⇒ P 1 Z < 1 F{n,m ; α} =α, y por tanto 1/F{n,m ; α}es el percentilα de una Fm,n.
6.2.
Introducci´
on
Como ilustraci´on del concepto de intervalo de confianza, empezaremos con el caso “te´orico” del intervalo para la media μ de una variable X ∼ N (μ, σ2) suponiendo que σ2 es conocida4.
An´alisis probabilista (en activa). Para la muestra aleatoria (X1, . . . , Xn) de X
sabemos que X = 1 n n i=1
Xi se distribuye como una N (μ, σ2/n) . Por consiguiente, para cualquier z > 0 se tiene, tipificando, que
P |X − μ| ≥ z√σn= PX − μ σ/√n ≥ z = P(|Z| ≥ z) , donde Z ∼ N (0, 1).
3En versiones antiguas de Excel, =distr.f.inv(α;n;m).
As´ı que, si para un α ∈ (0, 1/2] tomamos z = zα/2 y denotamos de nuevo por Z a una normal est´andar, tenemos que
P |X − μ| ≥ zα/2√σn= P(|Z| ≥ zα/2) = α , es decir, () P μ − zα/2√σn < X < μ + zα/2√σn = 1− α .
Esto es, con probabilidad elevada, de 1− α, muy pr´oxima a 1, se ha de cumplir que la media muestral X se sit´ua en el intervalo
μ − zα/2√σn, μ + zα/2√σn.
Preparando el terreno, reescribimos () como sigue:
() P
X − zα/2√σn < μ < X + zα/2√σn= 1− α, situando a μ en el papel central que tendr´a en el siguiente an´alisis.
Inferencia estad´ıstica (en pasiva). Nuestro inter´es ahora es la siguiente cuesti´on de inferencia estad´ıstica. Sabemos que X ∼ N (μ, σ2). La varianza σ2 es conocida, pero la media μ es desconocida. Disponemos de una realizaci´on (x1, . . . , xn) concreta
de (X1, . . . , Xn).
Si α es peque˜no, pongamos, α = 1 %, la discusi´on anterior nos dice que en el 99 % de las realizaciones x de valores de X se ha de dar que
(†) x − zα/2√σ
n < μ < x + zα/2 σ √n.
En otros t´erminos, tenemos confianza alta (no seguridad plena) de que se cum-pla (†); evaluamos esa confianza como del 99 %.
En general, decimos que tenemos confianza 1− α de que el valor desconocido de μ cumpla
μ ∈x − zα/2√σn, x + zα/2√σn A priori: probabilidad de realizaciones; a posteriori, confianza en intervalo de estimaci´on.
Al intervalo
x − zα/2√σn, x + zα/2√σn
se le dice intervalo de confianza al (1−α) para la media μ (de una normal, con σ2 conocida); tenemos confianza (1−α) de que contenga al verdadero, pero desconocido, valor de μ. Obs´ervese que el intervalo de confianza depende de la muestra emp´ırica, y que de hecho est´a centrado en la media muestral x.
A veces se escribe, abreviadamente,
μ = x ± zα/2√σn, con confianza (1− α) A la cantidad
2 zα/2√σ
n
nos referiremos como el tama˜no del intervalo de confianza; o quiz´as a esa misma cantidad, sin el factor 2 y tomando como referencia la media muestral: una cantidad
zα/2σ/√n hacia la derecha, y otro tanto hacia la izquierda.
Por supuesto, cuanto menor sea ese intervalo m´as relevante ser´a: m´as precisi´on sobre la estimaci´on de μ. Ceteris paribus,
cuando menor sea α, es decir, cuanta m´as confianza 1− α queramos tener, mayor ser´a el intervalo de confianza;
cuanto mayor sea σ, mayor ser´a el intervalo de confianza (esto es natural, porque σ grande significa que los valores de X – y por tanto los de X, aunque menos – est´an muy dispersos);
cuanto mayor sea n, menor ser´a el intervalo de confianza.
Tama˜no de la muestra
Seguimos con este ejemplo b´asico en el que queremos estimar μ de una variable aleatoria X ∼ N (μ, σ2), donde σ2 es conocido.
Vamos a calcular qu´e tama˜no n debe tener una muestra de X para obtener un intervalo que contenga a μ con confianza de (1−α) y con un error m´aximo de δ. Este ´
ultimo requisito significa que queremos que el tama˜no del intervalo no exceda 2δ, es decir,
() zα/2√σ
n ≤δ .
Buscamos n para que se cumpla (). Aqu´ı σ es un par´ametro conocido y α ha sido prefijado. El tama˜no n ha de cumplir
n ≥zα/2σ δ
2 A menor α, o mayor σ, o menor δ, mayor ser´a n.
Ejemplo 6.2.1. Ilustraci´on num´erica de intervalo de confianza para μ deN (μ, σ2)
con σ2 conocida.
Digamos que σ = 2 y que la muestra de tama˜no n = 100 tiene una media muestral de 1.2. La tabla:
α 5 % 1 % 0.1 %
nos da los siguientes intervalos de confianza:
confianza intervalo error relativo
95 % μ ∈ (0.808, 1.592), 1.2± 0.392 ±32.67 % 99 % μ ∈ (0.685, 1.715), 1.2± 0.515 ±42.93 % 99.9 % μ ∈ (0.542, 1.858), 1.2± 0.658 ±54.84 %
Supongamos que ahora queremos calcular el tama˜no (m´ınimo) de la muestra que garantiza que el error en la estimaci´on de μ (esto es, el tama˜no del intervalo) no supere un cierto nivel δ prefijado con cierto nivel de confianza. La siguiente tabla recoge algunos de esos tama˜nos muestrales m´ınimos para un par de valores de δ y algunos niveles de confianza:
confianza δ = 0.1 δ = 0.01 95 % n ≥ 1 537 n ≥ 153 658 99 % n ≥ 2 654 n ≥ 265 396 99.9 % n ≥ 4 331 n ≥ 433 103
N´otese c´omo, para que el intervalo de confianza baje un factor 10, necesitamos
muestras de tama˜no 100 veces mayor. ♣
6.3.
Intervalos para una poblaci´
on
El ejemplo anterior nos va a servir de gu´ıa en el an´alisis de unos cuantos casos m´as: en la secci´on 6.3.1 estudiaremos el caso en el que X es una variable normal
N (μ, σ2), con el objetivo de obtener intervalos de confianza para los par´ametros μ
y σ2, y utilizando los an´alisis de las variables media y cuasivarianza muestrales de cap´ıtulos anteriores, en particular la secci´on 4.5.1.
Para otro tipo de variables, supondremos que el tama˜no de la muestra es su-ficientemente grande, y apelaremos a resultados de normalidad asint´otica, como el teorema central del l´ımite, para establecer intervalos de confianza aproximados para los par´ametros de inter´es (secciones 6.3.2–6.3.4).
6.3.1. Intervalos para μ y para σ2 de una variable normal
Suponemos aqu´ı que μ y σ2 son ambas, como es natural, desconocidas. En lo que sigue, la muestra de X tendr´a tama˜no n y designaremos simplemente con X y S2 las variables media muestral y cuasivarianza muestral (en lugar de los m´as aparatosos X(n) y S(n)2 ).
A. Intervalo para μ
a) An´alisis probabilista. Usamos (proposici´on 4.8) que
X − μ
As´ı que P |X − μ| ≥ t{n−1,α/2}√Sn= α, es decir, P X − t{n−1,α/2}√Sn ≤μ ≤ X + t{n−1,α/2}√Sn = 1− α.
b) Inferencia estad´ıstica. Dada una realizaci´on muestral (x1, . . . , xn) con media
muestral x y cuasidesviaci´on t´ıpica muestral s, tenemos confianza 1− α de que
μ ∈x − t{n−1,α/2}√sn, x + t{n−1,α/2}√sn
En esta expresi´on, n es el tama˜no de la muestra (dada por el dise˜no del experimento),
x y s por la muestra en s´ı, y α (y por tanto zα/2) lo fija el usuario.
c) Ilustraci´on num´erica. Realizamos el siguiente experimento: sorteamos muestras
de tama˜no n = 30 de una normal con par´ametros μ = 2 y σ2= 9. Fijado α = 5 %, el percentil de la t correspondiente resulta ser t{29;2.5 %} = 2.045. As´ı que el intervalo de confianza al 95 % es de la forma
(x− 0.373 s, x + 0.373 s),
donde x y s designan la media y la cuasidesviaci´on t´ıpica de cada muestra.
Como s ha de ser del orden de 3 (pues σ = 3), la anchura t´ıpica del intervalo de confianza est´a en torno a 1.1. Esos intervalos de confianza est´an centrados en torno a la media muestral, que se asemejar´a en general a 2.
Ahora, aproximadamente en el 95 % de las veces que repitamos el experi-mento, el verdadero valor de μ (que es 2 en este caso) deber´a estar incluido en el intervalo de confianza. En la figura de la derecha hemos representado los resultados de 20 experimentos: la l´ınea horizontal es el nivel 2; cada intervalo
de confianza se dibuja en vertical, con un punto rojo para indicar la media mues-tral. Entre ellos, esperamos encontrar aproximadamente un intervalo5 que no incluya el μ = 2.
B. Intervalo para σ2
a) An´alisis probabilista. Usamos (teorema 4.7) que
(n− 1)S2
σ2 ∼ χ 2
n−1.
5¡Vaya!, en el dibujo aparece justamente uno, el sexto desde la izquierda. ¿De verdad que no han
As´ı que P χ2 {n−1;1−α/2}≤ (n− 1)S2 σ2 ≤ χ 2 {n−1;α/2} = 1− α. O, en otros t´erminos, P (n− 1)S2 χ2 {n−1;α/2} ≤ σ 2 ≤ (n− 1)S2 χ2 {n−1;1−α/2} = 1− α.
b) Inferencia estad´ıstica. Dada una muestra emp´ırica (x1, . . . , xn) con
cuasiva-rianza muestral s2, el intervalo (n− 1) χ2 {n−1; α/2} s2, (n− 1) χ2 {n−1;1−α/2} s2
contiene a σ2 con confianza de 1− α.
Ê
Nota 6.3.1. Ser´ıa m´as natural obtener un intervalo de la forma (s2(1− ε), s2(1 +ε)). Pongamos que α < 50 %. Por el teorema del l´ımite central,
χ2 n− n √ 2n ≈ N (0, 1) . De manera que χ2 n≈ n + √ 2n N (0, 1) y, por tanto, χ2{n;α}≈ n +√2n zα, de donde χ2 {n;α} n ≈ 1 + 2 nzα y χ2n {n;α} ≈ 1 − 2 nzα. Adem´as χ2 {n;1−α} n ≈ 1 − 2 nzα y n χ2 {n;1−α} ≈ 1 + 2 nzα.
Paran grande, el siguiente intervalo:
s2
1−2/n zα/2, s21 +2/n zα/2
contiene aσ2 con confianza de 1− α.
El caso de la normal, tratado en esta secci´on, es muy especial, porque gracias al teorema 4.7 de Fisher–Cochran, y a la proposici´on 4.8, que es consecuencia del primero, tenemos informaci´on precisa sobre la distribuci´on de los estimadores X y S2, sea cual sea el tama˜no de la muestra. Es decir, los intervalos de confianza para μ y σ2 escritos antes son exactos, en el sentido de que no se apoyan en resultados de
tipo asint´otico, y son v´alidos para todo n.
En muy pocas ocasiones m´as seremos capaces de establecer con la misma precisi´on la distribuci´on del estimador de inter´es (vea el lector al respecto los ejercicios 6.11– 6.13 para el caso de m´ınimos o m´aximos), y ser´a necesario recurrir a estimaciones asint´oticas generales, que vamos a ir desgranando en las siguientes secciones.
6.3.2. Intervalos para una proporci´on p
En este caso, nX es bin(n, p). Podr´ıamos intentar usar este hecho para obtener un intervalo de confianza para p. V´ease la nota 6.3.2.
Pero procedemos de la siguiente manera, anticipando argumentos que generali-zaremos en las secciones 6.3.3 y 6.3.4.
a) An´alisis probabilista. Suponemos que n es grande y aproximamos (teorema
del l´ımite central):
X ≈ Nd p, p(1 − p)/n , o bien X − p p(1 − p)/n d ≈ N0, 1 . As´ı que P − zα/2 p(1−p) n ≤ X − p ≤ zα/2 p(1−p) n ≈ 1 − α , y por tanto P X − zα/2 p(1−p) n ≤ p ≤ X + zα/2 p(1−p) n ≈ 1 − α .
b) Inferencia estad´ıstica. La expresi´on anterior nos dir´ıa que tenemos confianza aproximadamente 1− α de que el intervalo
x − zα/2 p(1−p)n , x + zα/2 p(1−p)n
contenga al par´ametro p. Pero claro, tal cual est´a, este intervalo no dice nada y no es ´util, porque el propio intervalo depende del valor desconocido p.
Para soslayar esta dificultad, lo m´as habitual es reemplazar, en el t´ermino de error zα/2p(1 − p)/n, el par´ametro desconocido p por su estimaci´on x, lo que nos deja un intervalo de confianza 1− α para p como el que sigue:
p = x ± zα/2
x(1 − x) n
Como alternativa (conservadora) podemos observar que p(1− p) ≤ 1/4, sea cual sea el valor desconocido de p, y usar el intervalo
x − zα/2 1 4n, x + zα/2 1 4n ,
Tama˜no de muestra
Si queremos que el error cometido con el intervalo sea menor que un margen de error dado, digamos δ, debemos tomar n tal que
zα/2
x(1 − x) n ≤ δ
Esta decisi´on sobre n es previa a tomar la muestra, de manera que x est´a por determinar, y la f´ormula anterior no es ´util. Tenemos dos alternativas:
1) Si disponemos de una estimaci´on previa (provisional) de p, digamos p0, usamos ese valor en lugar de x en esta expresi´on del error y requerimos
zα/2 p0(1− p0) n ≤ δ , es decir, n ≥ z2 α/2 δ2 p0(1− p0) .
2) En caso contrario, nos ponemos en el peor caso usando que x(1− x) ≤ 1/4 (puesto que aqu´ı x est´a entre 0 y 1), y requerimos (conservadoramente)
zα/2 1 4n ≤ δ , es decir, n ≥ z2 α/2 4 δ2 .
Ejemplo 6.3.1. Un ejemplo num´erico de intervalos de confianza para p.
Supongamos que la muestra tiene tama˜no n = 100, y que registramos 43 unos y 57 ceros. La media muestral es 43 %. Los intervalos de confianza para α = 5 % son
43 % ± 8.14 % si usamos la alternativa con las medias muestrales; 43 % ± 8.22 % si usamos la alternativa “conservadora”.
Si la muestra fuera de tama˜no n = 10 000, siguiendo con media muestral de 43 %, los intervalos de confianza para α = 5 % ser´ıan
43 % ± 0.814 % si usamos la alternativa con las medias muestrales; 43 % ± 0.822 % si usamos la alternativa “conservadora”.
N´otese que con una muestra 100 veces mayor “ganamos” un decimal de precisi´on.♣ Ejemplo 6.3.2. Un ejemplo num´erico de tama˜nos de muestra.
Queremos determinar el tama˜no (m´ınimo) de la muestra que garantiza que el error al estimar p sea menor que un cierto δ con confianza del 95 %. Tendr´ıamos
n ≥ 97 para δ = 10 %;
usando el m´etodo 2) de arriba. Mientras que, si dispusi´eramos de una muestra pre-liminar, quiz´as peque˜na, de la que hubi´eramos deducido una estimaci´on p0 = 6 %, entonces tendr´ıamos n≥ 22 para δ = 10 %, y n ≥ 2 167 para δ = 1 %. N´otese c´omo
se reduce el tama˜no de muestra requerido. ♣
Ê
Nota 6.3.2. Podr´ıamos intentar usar que nX es una bin(n, p).
En ese caso, determinar´ıamos bn;p;α, entero y ´optimo, tal queP(bin(n, p) > bn;p;α) ≤ α/2 y
cn;p;α, entero y ´optimo tal queP(bin(n, p) < cn;p;α)≤ α/2.
El intervalo de confianza 1− α que obtendr´ıamos, siendo x la proporci´on de unos en la muestra, ser´ıa
cn;p;α
n ≤ x − p ≤ bn;p;α
n ,
pero ahora bn;p;α y cn;p;α dependen intrincadamente de n y α y, sobre todo, del par´ametro p a estimar.
Ê
Nota 6.3.3. Podr´ıamos (con af´an de precisi´on algebraica) despejar p en la inecuaci´on de segundo grado
p ≤ x + zα/2
p(1−p) n ,
para obtener una cota superior dep que depender´a de x, zα/2 yn. Y, an´alogamente, despejar p en la inecuaci´on
p ≥ x − zα/2
p(1−p) n ,
para obtener una cota inferior dep. Pero se consigue una ganancia p´ırrica, pues recordemos que no hemos cuantificado la bondad de la aproximaci´on de partida deX a una normal.
6.3.3. Intervalo aproximado para la media de una poblaci´on general Supongamos que X tiene funci´on de densidad/masa f (x; θ), con un ´unico par´ ame-tro θ. Queremos dar un intervalo de confianza para el par´ametro μ = Eθ(X), la media de X. Explicitamos la dependencia de θ escribiendo μ(θ).
La varianza Vθ(X) es asimismo una cierta f´ormula de θ, pongamos v(θ) = Vθ(X), por abreviar y para explicitar su dependencia de θ.
a) An´alisis probabilista. Suponemos n grande. El teorema del l´ımite central nos
dice que
X ≈ Nd μ(θ), v(θ)/n , esto es, X − μ(θ)
v(θ)/n d
≈ N (0, 1),
lo que nos dar´ıa que
P X − zα/2 v(θ) n ≤μ(θ) ≤ X + zα/2 v(θ) n ≈ 1 − α .
b) Inferencia estad´ıstica. El intervalo obtenido para la media, usando la expresi´on anterior, depender´ıa de θ, que es desconocido. Si x es una realizaci´on de la media muestral, entendemos que
Esto debe permitir despejar una cierta aproximaci´on de θ, digamos ˆθ (como se hac´ıa en el m´etodo de estimaci´on por momentos), lo que a su vez nos da una estimaci´on
v(ˆθ).
El intervalo con confianza (aproximadamente) 1− α para μ ser´ıa x − zα/2 v(ˆθ)/n, x + zα/2 v(ˆθ)/n
Esto es, obs´ervese, justamente lo que hac´ıamos en el caso de X∼ ber(p), para el que μ(p) = p y v(p) = p(1−p). Aqu´ı estimamos ˆp = x, lo que nos da v(ˆp) = x(1−x), que permite construir el intervalo de confianza para la media p.
Veamos unos cuantos ejemplos.
Ejemplo 6.3.3. Intervalo de confianza para λ si X ∼ Poiss(λ).
Con la notaci´on anterior, μ(λ) = v(λ) = λ. La estimaci´on ˆλ = x nos lleva al intervalo de confianza (aproximado)
x − zα/2√1n√x, x + zα/2√1n√x
para la media λ (que en este caso coincide con el par´ametro). ♣ Ejemplo 6.3.4. Intervalo de confianza para la esperanza de X∼ exp(λ).
Recordemos que μ(λ) = 1/λ y v(λ) = 1/λ2. Si tenemos una realizaci´on de la
media muestral x, planteamos
1
λ = μ(λ) = x ,
para obtener la estimaci´on ˆλ = 1/x, y de ah´ı la estimaci´on (en t´erminos de x) para la varianza
v(ˆλ) = x2.
As´ı que el intervalo (aproximado) para E(X) con confianza 1− α ser´ıa
x − zα/2√1n x , x + zα/2 √1n x.
♣
Ejemplo 6.3.5. Intervalo de confianza para la esperanza de X∼ Ray(θ).
Recordemos que μ(θ) = πθ/2 y que v(θ) = (2 − π/2) θ. De una realizaci´on de la media muestral x, usando que μ(θ)≈ x, estimamos
ˆ
θ = 2 π x2,
y de ah´ı, a su vez, v(ˆθ) =2−π 2 ˆ θ =4 π −1 x2.
As´ı que el intervalo (aproximado) para E(X) con confianza 1− α ser´ıa
x ± zα/2√xn4/π− 1 .
♣
6.3.4. Intervalos aproximados basados en normalidad asint´otica de estimadores
En la secci´on anterior hemos obtenido intervalos de confianza aproximados para la media de la distribuci´on usando el teorema del l´ımite central para el estimador X cuando n, el tama˜no de la muestra, es grande.
La misma estrategia se puede utilizar si disponemos de resultados de normalidad asint´otica para el estimador del par´ametro de inter´es de la distribuci´on que se haya escogido. Usaremos aqu´ı, en especial, los resultados de las secciones 5.4.1 y 5.4.2.
Supongamos que tenemos una variable aleatoria X con funci´on de densidad
f (x; θ). Llamemos, como en la secci´on anterior, Eθ(X) = μ(θ) y Vθ(X) = v(θ). Digamos que Tn := Tn(X1, . . . , Xn) es un estimador de θ para el que se verifica
un resultado de normalidad asint´otica del tipo
√n (T
n− θ)−−−→d
n→∞ N (0, w(θ)), donde w(θ) es una cierta funci´on de θ.
El estimador Tn podr´ıa ser
la misma media muestral X(n), si es que μ(θ) = θ; en este caso w(θ) ser´ıa simplemente la varianza v(θ);
o del tipo Tn = g(X(n)), para una cierta funci´on g, como los que se obtienen
por el m´etodo de momentos; en este caso, la funci´on w(θ) vendr´ıa dada por
w(θ) = |g(μ(θ)|2v(θ), como nos dice el m´etodo delta, siempre que la funci´on g
cumpla las condiciones del teorema 5.14 (o del corolario 5.15);
o un estimador de m´axima verosimilitud, en cuyo caso tendr´ıamos que w(θ) = 1/IX(θ) (secci´on 5.4.2).
En cualquier caso, tendr´ıamos que
Tn− θ
w(θ)/n d
≈ N (0, 1) ,
lo que nos llevar´ıa, con los argumentos habituales, a que
P Tn− zα/2 w(θ)/n ≤ θ ≤ Tn+ zα/2 w(θ)/n≈ 1 − α .
Obs´ervese que si, por ejemplo, el par´ametro θ fuera positivo y se tuviera que w(θ) =
Kθ2, donde K es cierta constante, entonces en la expresi´on anterior podr´ıamos
si-tuar θ en un intervalo que solo depende del estimador:
1− α ≈ P Tn− zα/2 Kθ2/n ≤ θ ≤ Tn+ z α/2 Kθ2/n = P 1 1 + zα/2K/n· Tn≤ θ ≤ 1 1− zα/2K/n · Tn .
Si no fuera el caso, proceder´ıamos como ya hemos hecho en secciones anteriores. Dada la muestra emp´ırica (x1, . . . , xn), calcular´ıamos la estimaci´on ˆθ = T (x1, . . . , xn),
que usar´ıamos para escribir el intervalo de confianza (aproximadamente) 1−α para θ como ˆ θ − zα/2 w(ˆθ)/n ≤ θ ≤ ˆθ + zα/2 w(ˆθ)/n.
Veamos un par de ejemplos.
Ejemplo 6.3.6. Intervalo de confianza para el par´ametro θ de X ∼ Ray(θ). El estimador m´aximo veros´ımil de θ es
emvn(X1, . . . , Xn) =
1 2X2(n).
El n´umero de informaci´on es, en este caso, Iθ(X) = 4/θ2. Esto nos dice que w(θ) =
θ2/4, y por tanto () P emvn− zα/2 θ 2n ≤ θ ≤ emvn+ zα/2 θ 2n ≈ 1 − α , es decir, despejando, () P 1 1 + zα/2 2√n · emvn≤ θ ≤ 1 1−zα/2 2√n · emvn ≈ 1 − α.
Sea ahora (x1, . . . , xn) una muestra emp´ırica de X, que nos da la estimaci´on ˆ
θ = (x2/2)1/2 del par´ametro θ. Utilizando (), el intervalo de (aproximadamente)
confianza 1− α ser´ıa 1 1 +zα/2 2√n ˆ θ , 1 1−zα/2 2√n ˆ θ ,
mientras que usando () directamente, tendr´ıamos 1− zα/2 2√n ˆ θ , 1 + zα/2 2√n ˆ θ.
Obs´ervese que 1 1 + zα/2 2√n = 1− zα/2 zα/2+ 2√n y 1 1− zα/2 2√n = 1 + zα/2 2√n − zα/2.
As´ı que los dos intervalos no son exactamente iguales, pero s´ı son muy parecidos
Ejemplo 6.3.7. Intervalo de confianza para λ en X ∼ exp(λ).
Consideramos el estimador Tn = 1/X(n). Como vimos en el ejemplo 5.4.8, √
n (Tn− λ) converge en distribuci´on a N0, λ2 . Esto nos da que, para n grande,
P
Tn− zα/2√λn ≤λ ≤ Tn+ zα/2√λn
≈ 1 − α.
Sea ahora (x1, . . . , xn) una muestra emp´ırica de X, que nos da la estimaci´on ˆ
λ = 1/x del par´ametro λ. Se tendr´ıa entonces, estimando λ como 1/x, que el intervalo
1 x −zα/2 1 x √n, 1 x + zα/2 1 x √n ,
contiene a λ con (aproximadamente) confianza 1− α. ♣
6.3.5. Datos (normales) apareados: diferencia de medias
Finalizamos esta secci´on, antes de entrar en el an´alisis del caso de intervalos de confianza para dos poblaciones (secci´on 6.4), y de hecho para diferenciarla de aqu´el, tratando la siguiente situaci´on.
Pongamos que, en una cierta poblaci´on, y para cada individuo, registramos la tensi´on arterial antes (X) y despu´es (Y ) de administrar una cierta droga. Interesa establecer un intervalo de confianza para la diferencia de las medias μX − μY.
Modelamos el par (X, Y ) con una normal bidimensional. La variable W = X−Y es una variable normal, y de ella nos interesa estimar su media, pues μW = μX− μY.
La varianza de W involucra la de X, la de Y y adem´as el coeficiente de correlaci´on entre X e Y . En general, X e Y son dependientes y ese coeficiente de correlaci´on ser´a distinto de 0. Pero, afortunadamente, no se requiere informaci´on alguna sobre V(W ). Si tenemos la muestra emp´ırica (x1, y1), . . . , (xn, yn) , formamos una muestra (w1, . . . , wn) de W tomando las diferencias:
wj = xj− yj, j = 1, . . . , n.
Tras calcular w y sw para esta muestra, y usando los resultados de la secci´on 6.3.1, concluimos que el intervalo
w − t{n−1 ; α/2} √swn, w + t{n−1 ; α/2}√swn
contiene a μX− μY con confianza de 1− α.
Obs´ervese que este intervalo se calcula usando (´unicamente) la media muestral w de los wj y la cuasivarianza muestral sw de los wj.
6.4.
Intervalos para dos poblaciones independientes
Nos interesamos ahora por la siguiente situaci´on: tenemos dos poblaciones, en las que medimos una cierta caracter´ıstica, por ejemplo la altura, el cociente intelectual, la renta per c´apita, etc. Digamos que la variable X representa esa caracter´ıstica en la primera poblaci´on, y que Y lo hace en la segunda. Suponemos, como resulta natural, que X e Y son independientes.
Para establecer intervalos de confianza para, por ejemplo, la diferencia entre la media de X y la de Y , tomamos muestras de tama˜no n1 en la poblaci´on 1, y de tama˜no n2 en la segunda. Vamos a tratar en detalle el caso en el que X e Y son normales (secci´on 6.4.1), e ilustraremos c´omo se analizar´ıan otras situaciones con el caso en el que X e Y con variables Bernoulli (secci´on 6.4.2), apelando a resultados de normalidad asint´otica.
6.4.1. Caso de dos variables normales
Tenemos dos poblaciones en las que hacemos mediciones independientes de can-tidades que siguen distribuciones normales.
En la primera poblaci´on tenemos que X ∼ N (μ1, σ12). El tama˜no muestral en esta poblaci´on es n1, esto es, tenemos n1 clones (X1, X2, . . . , Xn1).
En la segunda poblaci´on tenemos Y ∼ N (μ2, σ22). El tama˜no muestral en esta poblaci´on es n2, esto es, tenemos n2 clones (Y1, Y2, . . . , Yn2).
Adem´as, las extracciones de muestras en las dos poblaciones son independientes unas de otras, es decir, las Xj y las Yk son independientes.
Tenemos las medias muestrales X y Y , las cuasivarianzas muestrales S12 y S22. Obs´ervese que estas cuatro variables aleatorias son independientes.
En el an´alisis que sigue aparecer´an dos estad´ısticos adicionales: a) una suerte de estad´ıstico cuasivarianza promedio:
(6.1) Sp2= (n1− 1)S
2
1 + (n2− 1)S22 n1− 1 + n2− 1 ,
que para el caso n1= n2 resulta ser la media aritm´etica de S12 y S22;
b) y la siguiente combinaci´on de S12 y S22: (6.2) S 2= S 2 1 n1 +S 2 2 n2 .
A. Intervalo para diferencia de medias
Queremos estimar μ1− μ2. La variable X− Y es una normal con par´ametros
X − Y d = N μ1− μ2,σ21 n1 + σ2 2 n2
es decir X − Y − (μ1− μ2) σ2 1/n1+ σ22/n2 d = N (0, 1) . Caso 1. σ1 y σ2 conocidas
Si conocemos los valores de σ1 y σ2, bien porque es razonable suponerlos a partir
de c´alculos anteriores, bien por contraste te´orico, entonces el intervalo para μ1− μ2 con confianza 1− α ser´ıa
μ1− μ2= (x− y) ± zα/2 σ2 1 n1 +σ 2 2 n2
Nos ponemos ahora en la situaci´on, m´as realista, en la que no conocemos los
valores de σ1 y σ2.
Por Fisher–Cochran, teorema 4.7, tenemos que
(n1− 1)S12 d
= σ12χ2n1−1 y (n2− 1)S22 d
= σ22χ2n2−1. Las dos χ2 que aqu´ı aparecen son independientes.
Si sumamos las dos expresiones anteriores, obtenemos
(n1− 1)S21+ (n2− 1)S22 d
= σ12χ2n1−1+ σ22χ2n2−1, as´ı que, usando la definici´on de Sp2 de (6.1),
() [(n1− 1) + (n2− 1)] Sp2 = σd 21χ2n1−1+ σ
2
2χ2n2−1.
Caso 2. σ1 y σ2 desconocidas, pero iguales
Digamos que σ1= σ2 = σ. Es decir, que aunque las varianzas son desconocidas, podemos suponer que son iguales. Entonces () queda
[(n1− 1) + (n2− 1)] Sp2 = σd 2(χn1−1+ χn2−1)
d
= σ2χ2n1−1+n2−1, puesto que las dos variables χ2 son independientes. Esto nos da que
Sp = σd
χ2
n1−1+n2−1
n1− 1 + n2− 1.
Adem´as, en este caso,
X − Y d = N μ1− μ2, σ2 1 n1 + 1 n2 .
Finalmente, como X−Y es independiente de la χ2que especifica a Sp(por Fisher– Cochran y la independencia de los clones de X con los clones de Y ) se tiene que
(X− Y ) − (μ1− μ2)
Sp1/n1+ 1/n2
∼ stu(n1− 1 + n2− 1) .
Ê
Nota 6.4.1. Basta observar que, llamando Z a una N (0, 1) y W a una χ2
n1+n2−2, (X − Y ) − (μ1− μ2) Sp1/n1+ 1/n2 = (X−Y )−(μ1−μ2) σ√1/n1+1/n2−2 W/(n1+n2− 2) d = Z W/(n1+n2− 2) .
Esto nos dice que, para α fijo,
1− α = P (X− Y ) − t{n1+n2−2 ; α/2} Sp 1 n1 + 1 n2 ≤ μ1− μ2 ≤ (X − Y ) + t{n1+n2−2 ; α/2}Sp 1 n1 + 1 n2 .
De donde, dadas unas muestras emp´ıricas (x1, . . . , xn1) e (y1, . . . , yn2), cuyas
medias muestrales son x e y, respectivamente, y cuyas cuasivarianzas muestrales son
s2
1 y s22, obtenemos el siguiente intervalo para μ1− μ2 con confianza de 1− α: μ1− μ2 = (x− y) ± t{n1−1+n2−1 ; α/2}sp 1 n1 + 1 n2 con s2 p = (n1− 1)s 2 1+ (n2− 1)s22 n1− 1 + n2− 1 . Caso 3. σ1 y σ2 desconocidas
Nos ponemos, finalmente, en la situaci´on general en la que σ1 y σ2 son descono-cidas, pero adem´as no podemos suponer a priori que σ1= σ2.
Ahora, desafortunadamente, no podemos sacar un factor com´un en (). Veamos c´omo podemos argumentar. El estad´ıstico
S2 = S12 n1 +S 2 2 n2
es un estimador insesgado de σ21/n1 + σ22/n2, y es independiente de X− Y , lo que
invita considerar el estad´ıstico
(X− Y ) − (μ1− μ2) S2 1/n1+ S22/n2 = (X− Y − (μ1− μ2)) S .
Adem´as, S2 es una combinaci´on lineal con coeficientes positivos de las variables
X2
1, X22, . . . , Xn21, Y
2
1, Y22, . . . , Yn22. Conv´enzase el lector repasando la demostraci´on del
teorema 4.7 de Fisher-Cochran.
Aproximamos entonces S2 por un m´ultiplo de una χ2
g con un cierto n´umero de grados de libertad g: pongamos
(†) S 2 = S 2 1 n1 + S2 2 n2 d ≈ Λχg2g .
(donde hemos dividido la χ2gpor sus grados anticipando su papel en una t de Student por venir).
¿Qu´e valores deber´ıamos asignar a Λ y a g? Si igualamos esperanzas en (†), tendr´ıamos que
σ2 1 n1 +σ 2 2 n2 ≈ Λ ,
puesto que E(χ2g) = g. Y si igualamos varianzas en (†), tendr´ıamos que
σ4 1 n2 1(n1− 1) + σ 4 2 n2 2(n2− 1) ≈ Λ2 g ,
pues S12 y S22 son independientes y V(χ2g) = 2g. La conclusi´on es que Λ≈ σ 2 1 n1 + σ2 2 n2 y g ≈ σ2 1 n1 + σ2 2 n2 2 σ4 1 n2 1(n1−1) + σ4 2 n2 2(n2−1)
Esto nos dar´ıa que
S2 d≈ σ21 n1 + σ2 2 n2 χ2 g g
y (casi finalmente) que
(X− Y ) − (μ1− μ2) S2 1/n1+ S22/n2 d ≈ (X− Y ) − (μ1− μ2) σ12/n1+ σ22/n2 χ2g/g ,
que es una t de Student con g grados de libertad, pues el par (S12, S22) es independiente del par (X, Y ).
Parece que con esto ya tendr´ıamos suficiente, pero obs´ervese que el valor dado para g no es un entero (esto no es grave), y, sobre todo, que depende de las des-conocidas σ12 y σ22. Obtenemos un valor sensato de g aproximando σ12 y σ22 por sus estimaciones s21 y s22, y buscando el entero m´as pr´oximo:
g = entero m´as pr´oximo a
s2 1 n1 + s2 2 n2 2 (s2 1/n1)2 (n1−1) + (s2 2/n2)2 (n2−1)
El intervalo para μ1− μ2 con confianza (1− α) resulta entonces μ1− μ2 = x− y ± t{g;α/2} s2 1 n1 + s2 2 n2
B. Intervalo para cociente de varianzas El argumento aqu´ı es bien directo. Como
(n1− 1)S12 = σd 12χ2n1−1 y (n2− 1)S22 = σd 22χ2n2−1, y adem´as S21 y S22 son independientes, tenemos que
S2 1/σ12 S2 2/σ22 d = χ 2 n1−1/(n1− 1) χ2 n2−1/(n2− 1) ∼ Fn1−1,n2−1.
As´ı que, con probabilidad (1− α), se tiene que
F{n1−1,n2−1;1−α/2}≤ S12/σ21 S2
2/σ22
≤ F{n1−1,n2−1;α/2},
lo que nos da el siguiente intervalo con confianza 1− α para el cociente σ21/σ22:
1 F{n1−1,n2−1;α/2} s2 1 s2 2 , 1 F{n1−1,n2−1;1−α/2} s2 1 s2 2
6.4.2. Caso de dos proporciones
Tenemos dos poblaciones independientes de las que nos interesa comparar las proporciones con las que se da una determinada caracter´ıstica.
En la primera, tenemos X ∼ Ber(p1) y una muestra de tama˜no n1. Los clones son X1, . . . , Xn1.
En la segunda, tenemos Y ∼ Ber(p2) y una muestra de tama˜no n2. Los clones
son Y1, . . . , Yn2.
Las variables X1, . . . , Xn1, Y1, . . . , Yn2 son independientes.
Nos interesa estimar p1− p2.
Atendemos s´olo al caso en que n1 y n2 son grandes para apelar al teorema del l´ımite central (o a la aproximaci´on de la binomial por la normal).
Tenemos que
X ≈ p1d +p1(1− p1)/n1NX y que Y d
dondeNX yNY son normales est´andar independientes. Por tanto, X − Y ≈ p1d − p2+ p1(1− p1) n1 +p2(1− p2) n2 N
dondeN es una normal est´andar.
Con esto obtendr´ıamos un intervalo para p1 − p2, centrado en x− y, pero en
cuyo error aparecer´ıan de nuevo p1 y p2. Con el mismo truco/aproximaci´on del caso de estimaci´on de la proporci´on de una sola poblaci´on, es decir, reemplazando (en el error s´olo) p1 por x y p2 por y, obtenemos el intervalo de confianza 1− α siguiente:
p1− p2 = x− y ± zα/2 x(1 − x) n1 +y(1 − y) n2
6.5.
Resumen: intervalos de confianza m´
as habituales
6.5.1. Intervalos I de confianza 1 − α para UNA distribuci´onDenotamos por x a la media y s2 a la cuasivarianza de la muestra (x1, . . . , xn) de tama˜no n de la variable X. Los intervalos que siguen son con confianza 1− α.
Normal N (μ, σ2)
A. Intervalos para la media μ
Caso 1. Suponiendo que σ2 es conocida:
X − μ σ/√n d =N (0, 1) −→ Intervalo: I = x ± zα/2√σn . Caso 2. Si σ2 es desconocida: X − μ S/√n d = tn−1 −→ Intervalo: I = x ± t{n−1 ; α/2} √sn
B. Intervalo para la varianza σ2 Estimador: (n−1) S 2 σ2 d = χ2n−1 −→ Intervalo: I = (n−1) s2 χ2 {n−1; α/2} , (n−1) s2 χ2 {n−1; 1−α/2}
Proporci´on p Para n grande,
X − p p(1−p)/n d ≈ N (0, 1) −→ Intervalo: I =x ± zα/2 x (1−x) n
Poisson (λ) Para n grande,
X − λ λ/n d ≈ N (0, 1) −→ Intervalo: I =x ± zα/2 x n
6.5.2. Intervalos I de confianza 1 − α para DOS distribuciones Dos normales, X1 = N (μ1, σ12), X2 = N (μ2, σ22)
Datos:
muestra de tama˜no n1de la variable X1, con media muestral x1y cuasivarianza muestral s21.
muestra de tama˜no n2de la variable X2, con media muestral x2y cuasivarianza
muestral s22.
Para la diferencia de medias μ1− μ2:
si σ1, σ2 conocidas: I =x1− x2 ± zα/2 σ2 1 n1 + σ2 2 n2 si σ1, σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2: I =x1− x2 ± t{n1+n2−2; α/2}· sp 1 n1 + 1 n2 donde s2 p = (n1− 1)s 2 1+ (n2− 1)s22 (n1− 1) + (n2− 1) . si σ1, σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2: I =x1− x2 ± t{f; α/2} s21 n1 + s2 2 n2
donde f es el entero m´as pr´oximo a s2 1/n1+ s22/n2 2 (s2 1/n1)2 n1−1 + (s2 2/n2)2 n2−1 .
Para el cociente de varianzas σ21/σ22:
I = s2 1/s22 F{n1−1 , n2−1 ; α/2} , s2 1/s22 F{n1−1 , n2−1 ; 1−α/2} Comparaci´on de proporciones p1, p2 Datos:
muestra de tama˜no n1 de la variable X1 ∼ ber(p1), media muestral x1. muestra de tama˜no n2 de la variable X2 ∼ ber(p2), media muestral x2. Tanto n1 como n2 son grandes.
Para p1 − p2: I =x1− x2 ± zα/2 x1(1−x1) n1 + x2(1−x2) n2
