SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 121 a 137

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Página 121 1. a) C = 180 − 60 − 75 = 45° b) b = ⋅ = 60 sen 4 75 sen 4,462 m c = ⋅ = 60 sen 4 45 sen 3,266 m 2. sen A = a sen B / b = 0,4 Por lo tanto, A = 23,578° → C = 126,422° c = 8,05 30 sen 5 422 , 126 sen ⋅ = cm 3. C sen 63 42 sen b 83 sen a = = C = 180 _{− 42 − 83 = 55°} a = sen 83 ⋅ = 55 sen 63 76,34 cm b = sen 42 ⋅ = 55 sen 63 51,46 cm Página 122 4. sen C = c sen B / b = 0,855 → C = 58,76° A = 180 − 20 − 58,76 = 101,24° a = b sen A / sen B = 5,735 cm

5. Un esquema de la situación es el siguiente:

! " # $%& '()*+ ,()*+ A sen BM B sen M A M sen AB = = → A sen 20 B sen M A 45 sen 60 = = Por lo tanto: 0,2357 60 45 sen 20 A sen = = → → A = 13,633° → B = 180 − 45 − 16,633 = 121,367° 452 , 72 45 sen 367 , 121 sen 60 M A = = km Página 123

6. Según la notación de la imagen al margen de la página 123 del libro de texto. Llamaremos d a la distancia entre A y H:

Triángulo CHA _{→ b}2 _{= h}2 _{+ d}2_{→ h}2 _{= b}2_{− d}2 Triángulo CHB → a2 _{= h}2 _{+ (c + d)}2

Sustituimos h2 = b2− d2 _{en la segunda expresión:} a2 = b2− d2 _{+ (c + d)}2 _{= b}2_{− d}2 _{+ c}2 _{+ d}2 _{+ 2cd = b}2 ₊ c2 + 2cd

Por otra parte, en CHA:

cos (180 − A) = d / b → d = b cos (180 − A) = −b cos A Por lo tanto: a2 = b2 + c2 + 2cd = b2 + c2− 2bc cos A Trazando la altura correspondiente desde A se procede como en el ejemplo del libro de texto y trazando la altura desde B se procede como en el caso que acabamos de realizar.

7. b2 = 9 + 4 − 24 cos 60 = 9 + 4 − 12 = 1 → b = 1 cm 8. a2 = 18,0625 + 2,1609 − 12,4575 = 17,6255 cm → a =

= 4,198 cm

Utilizaremos ahora el teorema del seno:

sen B = 1,47 ⋅ sen 78 / 4,198 = 0,3425 → B = 20,030° C = 180 − 78 − 20,030 = 81,97°

Página 124

9. b2 = 1,69 + 17,8929 − 10,998 cos 77 = 17,108 cm → → b = 4,136 cm

Aplicando ahora el teorema del seno:

sen C = 1,3 sen 77 / 4,136 = 0,306 → C = 17,834° B = 180 − 17,834 − 77 = 85,166°

10. a) c2 _{= 144 + 64 − 192 cos 150 = 374,272 → c =} = 19,346 m

Según el teorema del seno:

sen A = 12 sen 150 / 19,346 = 0,310 → A = = 18,068°

B = 180 − 18,068 − 150 = 11,932°

b) c2 = 5.184 + 3.249 − 8.208 cos (75° 47’’) = = 6.417,202398 → c = 80,107 m

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Según el teorema del seno:

sen A = 72 sen (75° 47’’) / 80,086 = 0,871 → A = = 60,575° B = 180 − 60,575 − 75° 47’’ = 43,6416° = 43° 38’’ 30’’’’ c) b2 = 14,2884 + 110,25 − 79.38 cos (38° 47’’) = = 62,660 m → b = 7,916 m

Según el teorema del seno:

sen A = 3,78 sen (38° 47’’) / 7,916 = 0,299 → A = = 17,411° C = 180 − 17,411 − 38° 47’’ = 123,8056° = 123° 48’’ 20’’’’ 11. 16 = 25 + 36 _{− 60 cos A → cos A = −45 / (−60) =} 0,75 → A = 41,410° 36 = 16 + 25 − 40 cos C → cos C = −5 / (−40) = 0,125 → C = 82,820°

82,820 / 41,410 = 2 → El ángulo C mide el doble que el ángulo A. Página 125 12. a) cos A = 0,866 112 97 8 7 2 8 7 42 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A = 30°} cos B = 0,484 64 31 8 4 2 8 4 72 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ B = 61,03°} cos C = 0,018 56 1 7 4 2 7 4 82 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ C = 89,98°} b) cos A = 0,286 112 32 7 8 2 7 8 92 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A = 73,4°} cos B = 0,524 126 66 7 9 2 7 9 82 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ B = 58,41°} cos C = 0,666 144 96 8 9 2 8 9 72 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ C = 48,19°} c) cos A = 0,6875 64 44 8 4 2 8 4 62 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A =} = 46,57° cos B = 0,875 96 84 8 6 2 8 6 42 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ B = 28,96°} cos C = 0,25 48 12 4 6 2 4 6 82 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − _→ → C = 104,48° d) cos A = 0,666 72 48 4 9 2 4 9 72 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A = 48,19°} cos B = 0,286 56 16 4 7 2 4 7 92 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 106,60° cos C = 0,905 126 114 9 7 2 9 7 42 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → C = 25,21° e) cos A = 0 120 0 5 12 2 5 12 132 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A = 90°} cos B = 0,385 130 50 5 13 2 5 13 122 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 67,38° cos C = 0,923 312 288 13 12 2 13 12 52 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − → C = 22,62°

f) No tiene solución ya que 8 + 5 = 13 < 15. Página 126 13. a) c2 = 49 + 100 − 140 cos 65 = 89,83 → c = 9,48 cm sen A = 7 sen 65 / 9,48 = 0,669 → A = 42,01° sen B = 10 sen 65 / 9,48 = 0,956 → B = 72,94° b) c2 = 121 + 169 − 286 cos 120 = 433 → c = 20,81 cm sen A = 11 sen 120 / 20,81 = 0,458 → A = 27,24° sen B = 13 sen 120 / 20,81 = 0,541 → B = 32,75° c) c2 = 225 + 64 − 240 cos 45 = 119,29 → c = 10,92 cm sen A = 15 sen 45 / 10,92 = 0,971 _{→ A = 76,24°} sen B = 8 sen 45 / 10,92 = 0,518 _{→ B = 31,20°} d) c2 = 36 + 100 − 120 cos 30 = 32,08 → c = 5,66 cm sen A = 6 sen 30 / 5,66 = 0,530 → A = 32,01° sen B = 10 sen 30 / 5,66 = 0,883 → B = 62,05° e) c2 _{= 64 + 64 − 128 cos 60 = 64 → c = 8 cm} sen A = 8 sen 60 / 8 = sen 60 → A = 60° sen B = 8 sen 60 / 8 = sen 60 → B = 60° Página 128

14. a) sen B = 115 sen (28_{° 4’’) / 82,6 = 0,655 → B}1 = = 40,92° = 40° 55’’ 12’’’’; B2 = 139,08° = 139° 4’’48’’’’ Si B1 = 40° 55’’ 12’’’’:

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C1 = 180 − 28° 4’’ − 40° 55’’ 12’’’’ = 111° 48’’’’ c = 82,6 sen (111° 48’’’’) / sen (28° 4’’) = 163,88 cm Si B2 = 139° 4’’48’’’’: C2 = 180 − 28° 4’’ − 139° 4’’48’’’’ = 12° 51’’ 12’’’’ c = 82,6 sen (12° 51’’ 12’’’’) / sen (28° 4’’) = = 39,05 cm

b) sen B = 8 sen 25° / 3 = 1,127 > 1 → No tiene solución c) sen B = 8 sen 30° / 12 = 0,333 → B1 = = 19,47°; B2 = 160,53° Si B1 = 19,47°: C1 = 180 − 30° − 19,47° = 130,53° c = 12 sen 130,53° / sen 30 = 18,24 cm Si B2 = 160,53°: C2 = 180 − 30° − 160,53° = −10,53° → No tiene solución d) sen B = 14 sen 110° / 15 = 0,877 → B1 = 61,29°; B2 = 118,71° Si B1 = 61,29°: C1 = 180 − 110° − 61,29° = 8,71° c = 15 sen 8,71 / sen 110 = 2,42 m Si B2 = 118,71°: C2 = 180 − 110° − 118,71° = −48,71° → No tiene solución e) sen B = 8 sen 30° / 4 = 1 → B = 90° Según el teorema de Pitágoras:

c2 = 82 ₋42 ₌ 64₋16₌ 48₌6,93 _m 15. C = 180 _{− 20 − 30 = 130°} a = 5 sen 20 / sen 30 = 3,42 cm c = 5 sen 130 / sen 30 = 7,66 cm Página 129 16. cos A = 0,821 308 253 14 11 2 14 11 82 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A = 34,77°} cos B = 0,0625 176 11 11 8 2 11 8 142 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − _{→ B =} = 93,58° C = 180 − 34,77 − 93,58 = 51,65° 17. a = 20 m, b = 25 m, c = 30 m cos A = 0,75 500 . 1 125 . 1 30 25 2 30 25 202 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → A = 41,41° cos B = 0,5625 200 . 1 675 30 20 2 30 20 252 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 55,77° C = 180 − 41,41 − 55,77 = 82,82° 18. Sea L el lado mayor y l el menor:

L2 = (10 / 2)2 + (14 / 2)2− 2 (10 / 2) (14 / 2) cos 120 = = 109 → L = 10,44 cm

l2 = (10 / 2)2 + (14 / 2)2− 2 (10 / 2) (14 / 2) cos (180 − 120) = 39 → l = 6,24 cm

19. Como en la actividad anterior, sea L el lado mayor y l el menor:

L2 _{= (6 / 2)}2 _{+ (5 / 2)}2_{− 2 (6 / 2) (5 / 2) cos (180 −} − 50) = 24,89 → L = 4,99 m

l2 = (6 / 2)2 _{+ (5 / 2)}2_{− 2 (6 / 2) (5 / 2) cos 50 = 5,61} → l = 2,37 m

20. Sea D la diagonal mayor y d la menor.

Los ángulos interiores del paralelogramo miden 40° y (360 − 2 ⋅ 40) / 2 = 140°.

D2 = 102 + 82− 2 ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ cos 140 = 286,57 → D = = 16,93 m

d2 = 102 + 82 − 2 ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ cos 40 = 41,43 → D = = 6,44 m

21. Después de dos horas, el primer tren se encuentra a 30 km de la estación y el segundo se encuentra a 50 km de la estación:

d2 = 302 + 502− 2 ⋅ 30 ⋅ 50 ⋅ cos 35 = 942,54 → d = = 30,70 km

22. Al cabo de tres horas, el primero se encuentra a 1.140 km del punto de partida y el segundo, a 1.260 km. El ángulo A que buscamos verifica:

cos A = 0,911 2.872.800 2.616.800 260 . 1 1140 2 260 . 1 140 . 1 5202 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → A = 24,37°

23. CAD = 180 − ACD − ADC = 54°

AD = 50 sen ACD / sen CAD = 50 sen 85 / sen 54 = = 61,57 m

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CBD = 180 − BCD − BDC = 180 − 35 − 105 = 40° BD = CD sen BCD / sen CBD = 50 sen 35 / sen 40 = = 44,62 m

BDA = BDC − ADC = 105 − 41 = 64° Por el teorema del coseno:

AB2 = AD2 + BD2− 2 ⋅ AD ⋅ BD ⋅ cos BDA = 61,572 + 44,622− 2 ⋅ 61,57 ⋅ 44,62 ⋅ cos 64 = 3.373,18 → → AB = 58,08 m

Página 130

Piensa y contesta

• El triángulo original queda dividido en tres triángulos de áreas: A1 = 2 ar A2 = 2 br A3 = 2 cr Por lo tanto: A = A1 + A2 + A3 = 2 ar + 2 br + 2 cr =

(

)

2 r c b a+ +

Esta demostración sirve para todo tipo de triángulos pues el segmento que une la intersección de la circunferencia inscrita con cada lado y el incentro siempre forma un ángulo recto con el lado correspondiente. 24. A = 2 1 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ sen (14° 28’’ 39,04’’’’) = 4 m2 25. A = 2 ⋅ 2 1 ⋅ 14 ⋅ 14 ⋅ sen 60 = 169,74 cm2 26. a) A = 2 ⋅ 2 1 ⋅ 7 ⋅ 12 ⋅ sen 30 = 42 m2

b) Los ángulos mayores del paralelogramo miden (360 − 2 ⋅30) / 2 = 150°.

Sea D la diagonal mayor y d la menor:

D2 = 72 + 122− 2 ⋅ 7 ⋅ 12 cos 150 = 338,49 → D = = 18,40 m d2 = 72 + 122 − 2 ⋅ 7 ⋅ 12 cos 30 = 47,51 → D = = 6,89 m Página 131 27. a) p = 25 cm → S = 15 39=93,67 cm2 b) p = 16 m → S = 12 6 = 29,39 m2 c) p = 24 cm → S = 12 21=54,99 cm2 d) p = 17 dm → S = 12 17=49,48 dm2 28. Si las medidas son las siguientes:

El área del triángulo es:

S = 15,5

(

15,5₋10

)(

15,5₋9

)(

15,5₋12

)

₌44,04cm2 El área del círculo es:

S’’ = _πr2 _{= 3,14 ⋅ 4 = 12,56 cm}2 Por lo tanto, el área que buscamos es: S _{− S’’ = 44,04 − 12,56 = 31,48 cm}2

Página 135

1. Teorema de los senos: C sen c B sen b A sen a = = Demostración:

Si llamamos h a la altura correspondiente al lado c: sen B = h / a → h = a sen B sen A = h / b → h = b sen A Por lo tanto: a sen B = b sen A → B sen b A sen a =

Trazando la altura h’’ correspondiente al lado b, se obtiene de forma análoga:

C sen c A sen a = Y por lo tanto, C sen c B sen b A sen a = = . 2. C sen c B sen b A sen a = = = 2r Demostración:

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# -! . /

Como CAD es recto, CD es un diámetro que pasa por O ya que COD deberá ser un ángulo de 2 ⋅ 90 = 180°. Por lo tanto:

sen D = b / 2r

Y como B = D pues son dos ángulos que abarcan el mismo arco: sen B = b / 2r → b / sen B = 2r 3. a2 = b2 + c2− 2bc cos A b2 _{= a}2 _{+ c}2_{− 2ac cos B} c2 = a2 + b2− 2ab cos C Demostración:

Sea h la altura correspondiente al lado c y sea m la proyección del lado b sobre c y n la proyección de a sobre c. Por Pitágoras: b2 = h2 + m2 a2 _{= h}2 _{+ n}2 Restando: b2− a2 _{= m}2_{− n}2

Por otra parte, c = m + n → m = c − n, por lo tanto: b2_{− a}2 _{= (c − n)}2_{− n}2_;

b2− a2 _{= c}2_{− 2cn;} b2 = a2 + c2− 2cn;

Además, cos B = n / a → n = a cos B, por lo tanto: b2 _{= a}2 _{+ c}2_{− 2ac cos B}

Se procede de forma análoga para los lados a y c. Por otra parte, si el triángulo es rectángulo, por ejemplo en B:

b2 = a2 + c2− 2ac cos B = a2 _{+ c}2

Por lo tanto, el teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno.

4. Resolver un triángulo es determinar tres de sus elementos siendo los otros tres conocidos.

1. Se conocen los tres lados → se calculan los tres ángulos usando el teorema del coseno.

2. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido

entre ellos→ se calcula el lado restante aplicando el

teorema del coseno y los ángulos, aplicando el teorema de los senos.

3. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de

ellos→ se aplica el teorema de los senos.

4. Se conocen dos ángulos y un lado → el ángulo restante se obtiene teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Aplicando el teorema de los senos se obtienen los dos lados que faltan.

5. El triángulo es único pues a = 42 > 37 = b. Resolvámoslo:

sen B = 37 sen 30 / 42 = 0,440 → B1 = 26,13° Por lo tanto, C = 180 − 30 − 26,13 = 123,87° c = 42 sen 123,87 / sen 30 = 69,75 cm

La otra posibilidad era que B = 153,87° pero como en este caso A + B = 183,87°, la solución no era válida. Por lo tanto, el triángulo es único.

6. La suma de dos de ellos debe ser mayor que el otro: 8 cm, 6 cm y 5 cm pueden ser los lados de un triángulo 3 + 4 = 7 → 3 cm, 7 cm y 4 cm no pueden. 7. a) A = a b senC 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ b) A = p⋅

(

p−a

) (

⋅ p−b

) (

⋅ p−c

)

donde p = (a + b + c) / 2.

Es la fórmula de Fórmula de Herón. 8. A = 180 − 30 − 78 = 72°

b = 4,5 sen 30 / sen 72 = 2,37 cm c = 4,5 sen 78 / sen 72 = 4,63 cm

9. sen A = 4,5 sen 35 / 10 = 0,258 → A = 14,96° es la única solución válida

C = 180 − 35 − 14,96 = 130,04° c = 10 sen 130,04 / sen 35 = 13,35 cm 10. b = 1,6 m cos A = 0,9617 8 , 12 31 , 12 4 6 , 1 2 4 6 , 1 5 , 2 2 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→

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→ A = 15,90° cos B = 0,9845 20 69 , 19 4 5 , 2 2 4 5 , 2 6 , 1 2 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 10,10° C = 180 − 15,90 − 10,10 = 154° 11.c2 = 32 + 52− 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos 80 = 28,79 → c = 5,37 m sen A = 3 sen 80 / 5,37 = 0,551 → A = 33,38° es la única solución válida

B = 180 − 80 − 33,38 = 66,62° 12. a) c2 = 102 + 122− 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 35 = 47,40 → c = = 6,89 m sen A = 10 sen 35 / 6,89 = 0,832 → A1 = 56,35°; A2 = 123,65 A1 = 56,35° → B1 = 180 − 35 − 56,35 = 88,65° A2 = 123,65° → B2 = 180 − 35 − 123,65 = 21,35° b) cos A = 0,0625 48 3 4 6 2 4 6 72 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − → A = 86,42° cos B = 0,518 56 29 4 7 2 4 7 62 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ B = 58,81°} C = 180 − 86,42 − 58,81 = 34,77° c) C = 180 − 40 − 70 = 70° a = 10 sen 70 / sen 70 = 10 m b = 10 sen 40 / sen 70 = 6,84 m d) b = 16 cm = 0,16 m a ⋅ sen B = 12 ⋅ 0,68 = 8,16 > 0,16 = b → el triángulo no existe e) C = 180 − 53 − 75 = 52° a = 30,5 sen 53 / sen 52 = 30,91 cm b = 30,5 sen 75 / sen 52 = 37,39 cm f) B = 180 _{− 48 − 68 = 64°} a = 47,2 sen 48 / sen 68 = 37,83 cm b = 47,2 sen 64 / sen 68 = 45,75 cm 13. 6 + 5 = 11 < 12 → Es imposible Actividad personal.

14. a > b y, por lo tanto, tiene una única solución

sen B = 40 sen 42 / 60 = 0,446 → B = 26,49° es la única solución válida

C = 180 − 42 − 26,49 = 111,51° c = 60 sen 111,51 / sen 42 = 83,42 cm 15. cos A = 0,0353 248 . 1 44 24 26 2 24 26 362 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − _→ → A = 92,02° cos B = 0,692 728 . 1 196 . 1 24 36 2 24 36 262 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 46,21° C = 180 − 92,02 − 46,21 = 43,77° Por otra parte:

p = (36 + 26 + 24) / 2 = 43 cm S = 43⋅

(

43−36

) (

⋅ 43−26

) (

⋅ 43−24

)

= 97.223= = 311,81 cm2 16. cos A = 0,879 712 . 5 019 . 5 68 42 2 68 42 372 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → A = 28,52° cos B = 0,840 032 . 5 229 . 4 68 37 2 68 37 422 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 32,82° C = 180 − 28,52 − 32,82 = 118,66° Por otra parte:

p = (37 + 42 + 68) / 2 = 73,5 S = 73,5⋅

(

73,5−37

) (

⋅ 73,5−42

) (

⋅ 73,5−68

)

= = 681,75 17. a2 _{= 20}2 _{+ 14}2 _{− 2 ⋅ 20 ⋅ 14 ⋅ cos 35 = 137,27 → a =} = 11,72 cm sen B = 20 sen 35 / 11,72 = 0,979 → B1 = 78,18°; B2 = 101,82° Si B1 = 78,18° → C1 = 180 − 78,18 − 35 = 66,82° Si B2 = 101,82° → C2 = 180 − 101,82 − 35 = 43,18° S = 20 14 sen35 80,30 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ cm2

18. 2 m > 1,5 m y, por lo tanto, existe una única solución Según el teorema del seno se debe cumplir:

sen B = 1,5 sen 40 / 2 = 0,482 → B = 28,82° es la única solución posible

El ángulo que falta por calcular es C = 180 − 40 − − 28,82 = 111,18°.

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El lado que falta mide c = 2 sen 111,18 / sen 40 = 2,90 m

19.d2 = 32 + 82− 2 ⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ cos 36 = 31,17 → d = 5,85 cm 20.AC2 = 62 + 92 − 2 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ cos 120 = 171 → AC =

= 13,08 km

21.El primero habrá recorrido 1,5 km y el segundo 1,75 km, por lo tanto, la distancia es:

d = 1,52 + 1,752− 2 ⋅ 1,5 ⋅ 1,75 ⋅ cos 38 = 1,18 → d = = 1,08 km Página 136 22.S = 5 5 sen26 5,480 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ cm2 ',& %)0+ %)0+

23.Después de dos horas de viaje, el primero ha recorrido 30 km y el segundo, 50 km:

d2 = 302 + 502− 2 ⋅ 30 ⋅ 50 cos 35 = 942,544 → d = 30,701 km

24.Según el teorema del coseno, el lado l que falta verifica: l2 = 422 + 562− 2 ⋅ 42 ⋅ 56 ⋅ cos 36 = 1.094,384 → l = = 33,082 m S = 42 56 sen36 691,235 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ m2

25.El otro ángulo que forman las diagonales mide (360 − 2 ⋅ 75) / 2 = 105°

Si L es el lado mayor del paralelogramo y l es el menor:

l2 = (6 / 2)2 + (14 / 2)2 − 2 (6 / 2) (14 / 2) cos 75 = = 47,130 → l = 6,865 cm

L2 = (6 / 2)2 + (14 / 2)2− 2 (6 / 2) (14 / 2) cos 105 = = 68,870 → L = 8,299 cm

Sea ahora α el ángulo mayor del paralelogramo y β el menor: cos α = 0,702 945 , 113 998 , 79 299 , 8 865 , 6 2 299 , 8 865 , 6 142 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − → α = 134,594° Por lo tanto, β = (360 − 2 ⋅ 134,594) / 2 = 45,406° 26.El otro ángulo que forman las diagonales mide (360 −

2 ⋅ 50) / 2 = 130°

Sea L es el lado mayor del paralelogramo y l el menor:

l2 = (5 / 2)2 + (6 / 2)2 − 2 (5 / 2) (6 / 2) cos 50 = = 5,608 → l = 2,368 cm

L2 = (5 / 2)2 + (6 / 2)2 − 2 (5 / 2) (6 / 2) cos 130 = = 24,892 → L = 4,989 cm

Por lo tanto, el perímetro mide 2 (2,368 + 4,989) = = 14,714 cm 27.α = 180 − 46 − 52 = 82° %'& $,& ! $)*+ 1 2 x = 4 sen 52 / sen 82 = 3,183 km y = 4 sen 46 / sen 82 = 2,906 km

28. Si O es el centro del círculo, A y B son los extremos de la cuerda de 20 cm y α es el ánguloAOB: cos _{α =} 9 1 450 50 15 15 2 15 15 202 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ α = 83,62°}

El área del triángulo OAB es: S1 = 15 15 sen83,62 111,80 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ cm2

El área del sector circular OAB es: S2 = 164,10 360 62 , 83 152 = π ⋅ ⋅ _cm2

El área de una semicircunferencia es: S3 = 353,25 2 152 = π ⋅ _cm2

El área que buscamos es:

S = S3− (S2− S1) = 353,25 − 52,30 = 300,95 cm2 29. x = 1200 sen 35 / sen 55 = 840,249 km

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y = 1200 sen 40 / sen 50 = 1.006,920 km %%& %(&

$(& 3%&%%& %(&

45'(()+

1 2

Por lo tanto, la distancia entre los aviones es: d = _1.2002 +

(

_1.006.920−_840,249

)

2 = = 1467779.222= 1.211,519 m 30. d = 8 sen 47 / sen 43 = 8,579 m

x = 8,579 sen 35 / sen 55 = 6,007 m

Por lo tanto, la altura del edificio es de 8 + 6,007 m = = 14,007 m 6)+ 3%& $3& 6)+ 1 $7& 8 %%&

31. Por una parte: d / sen 70 = x / sen 20 → d = x sen 70 / / sen 20

Por otra parte: d / sen 50 = (2 + x) / sen 40 _{→ d = (2 +} x) sen 50 / sen 40 ')+ ')+ 1 '(& $(& 8 %(& 7(& Por lo tanto:

x sen 70 / sen 20 = (2 + x) sen 50 / sen 40; x sen 70 sen 40 = (2 + x) sen 50 sen 20; 0,604x = 0,262 (2 + x) → x = 1,53 m Y entonces:

d = 1,53 sen 70 / sen 20 = 4,20 m

El árbol mide 1,53 + 2 = 3,53 m de altura y nos encontramos a 4,20 m del mismo.

32. El esquema de la situación es el siguiente:

3'& 4()0+ 47)0+ 7)0+ 1 2 9 ! " # : $

Por semejanza de triángulos, x / (x + 7) = 10 / 17 → x = 10 cm → β = 32° → α = 116°

Según el teorema de los senos:

y / sen 116 = 10 / sen 32 → y = 10 sen 116 / sen 32 = = 16,96 cm

De nuevo, por semejanza de triángulos, el lado que nos faltaba mide:

16,96 / (16,96 + z) = 10 / 17 → z = 11,872 cm Por otra parte, como x = 10 cm → ψ = 32°

Por lo tanto, aplicando el teorema de los senos podemos calcular la altura h:

h / sen 32 = 11,872 / sen 90 → h = 11,872 sen 32 = = 6,291 cm Por lo tanto: A = 6,291 84,9285 2 17 10 h 2 B b = ⋅ + = ⋅ + _cm2 33. cos 50 = 1,4 / l → l = 1,4 / cos 50 = 2,178 m 4;$)+ $(& %(&$(&

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34.Trabajamos sobre un paralelogramo de lados 36 y 80 y

diagonal mayor 112. Sea α el ángulo menor de dicho paralelogramo, el que buscamos, y sea β el mayor:

cos β = 0,8416 760 . 5 848 . 4 80 36 2 80 36 1122 2 2 − = − = ⋅ ⋅ + + − _→ → β = 147,317° α = (360 − 2 ⋅ 147,317) / 2 = 32,683°

35.Buscamos la diagonal mayor de un paralelogramo de lados 30 y 45 y ángulos 60° y (360 − 2 ⋅ 60) / 2 = = 120°.

D2 = 302 + 452− 2 ⋅ 30 ⋅ 45 cos 120 = 4.275 → D = = 65,38

La fuerza resultante es de 65,38 N.

36. ACP = 40° ya que APC es un ángulo recto. APB = 180 − 42 − 37 = 101°

PA = 12 sen 37 / sen 101 = 7,36 m Finalmente:

PC = 7,36 sen 50 / sen 40 = 8,771 La altura del árbol es de 8,771 m. 37. D2 = b2 + c2− 2bc cos A

d2 = b2 + c2− 2bc cos [(360 − 2A) / 2]

38. Tenemos un paralelogramo de lados 30 y 45 y diagonal mayor 60. 3()< $%)< ,()< ! " ,()< % & #

Si α es el ángulo mayor del paralelogramo: cos α = 4 1 45 30 2 45 30 602 2 2 − = ⋅ ⋅ + + − _{→ α = 104,48°}

El ángulo menor del paralelogramo, es decir, el que forman la fuerza de 30 N y la de 45 N es:

β = 75,52 2 48 , 104 2 360 = ⋅ − _°

Por otra parte:

sen δ = 30 sen 104,48 / 60 = 0,484 → δ = 28,95° es la única solución válida

Por lo tanto, _{φ = δ + α = 133,43° mientras que γ = 360} − φ − β = 151,05°.

39.Sea O el punto en el que se cortan los segmentos AQ y BP:

PAQ = 180 − 30 − (35 + 25) = 90° PBQ = 180 − 25 − 75 = 80° Según el teorema de los senos: PB = 20 sen 75 / sen 80 = 19,62 m Y como PAQ es un ángulo recto:

sen 30 = PA / 20 → PA = 20 sen 30 = 10 m Finalmente, según el teorema de Pitágoras: AB = PB2₋PA2 ₌ 284,9444 ₌16,88_m Página 137 40. A = 180 –– 94 = 86° a2 = 422 + 252− 2 ⋅ 42 ⋅ 25 ⋅ cos 86 → a2 _{= 2.242,511} → a = 47,355 cm sen B = 42 sen 86 / 47,355 = 0,885 → B = 62,222° es la única solución válida

C = 180 − 62,222 − 86 = 31,778° S = 42 ⋅ 25 ⋅ sen 86 / 2 = 523,721 cm2 41.C = 180 − 60 = 120° c2 = 72 + 52 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ cos 120 → a2 _{= 109 → a =} = 10,44 cm sen A = 7 sen 120 / 10,44 = 0,581 _{→ A = 35,50°} B = 60 − 35,50 = 24,5° 42.

(

B 12

)

sen 49 B sen 52 − = ; 12 sen B cos 12 cos B sen 49 B sen 52 ⋅ − ⋅ = ;

52 ⋅ cos 12 ⋅ sen B − 52 ⋅ cos B ⋅ sen 12 = 49 ⋅ sen B; 1,863675 ⋅ sen B = 10,8114079 ⋅ cos B; tg B = 5,801123; B1 = 80,22, válida → C = 68,22° → A = 31,56° a = 52 sen 31,56 / sen 80,22 = 27,617 cm S = 52 ⋅ 49 ⋅ sen 31,56 / 2 = 666,8 cm2 P = 27,617 + 52 + 49 = 128,617 cm 43.C = 180 − 94 − 36 = 50° a / sen 94 = (30 − a) / sen 36;

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a / 0,998 = (30 − a) / 0,588; a = 18,88 m → b = 11,12 m c = 11,12 sen 50 / sen 36 = 14,49 m Finalmente: S = 18,88 11,12 sen50 80,41 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ m2 44. 2r C sen c = → r 2 c C sen = Por otra parte: S = r 4 c b a r 2 c b a 2 1 C sen b a 2 1_{⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =} ⋅ ⋅ 45. B sen b A sen a = → B sen A sen b a B sen A sen b a − − = + + _→ → b a b a B sen A sen B sen A sen − + = − + 46. Por una parte:

c2 = a2 + b2− 2ab cos C ma2 = (a / 2)2 + b2− ab cos C Por lo tanto: ab cos C = (a2 + b2− c2_{) / 2} ab cos C = (a / 2)2 + b2− ma2 Tenemos entonces: (a2 + b2− c2_{) / 2 = (a / 2)}2 _{+ b}2_{− m} a2 ma = ¸ + − + − = ¹ · ¨ © § 2 c b a b 2 a 2 2 2 2 2 = + − − + = 4 c 2 b 2 a 2 b 4 a2 2 2 2 2 = _2b2 _2c2 _a2 2 1 − + 47. El esquema es el siguiente: Por lo tanto: sen α = 2r / (d + 2r)

48. Llamaremos O al punto de corte entre AC y DB: BAC = 180 − 132 − 42 = 6°

BDC = 180 − 70 − 84 = 26°

BOC = AOD = 180 − 42 − 70 = 68°

Por otra parte, según el teorema de los senos: AC = 1000 sen 132 / sen 6 = 7.109,45 m BD = 1000 sen 84 / sen 26 = 2.268,67 m CO = 1000 sen 70 / sen 68 = 1.013,49 m BO = 1000 sen 42 / sen 68 = 721,68 m Por lo tanto: AO = AC − CO = 6.095,96 m DO = BD − BO = 1.546,99 m

Finalmente, según el teorema del coseno:

AD2 = AO2 + DO2 − 2 ⋅ AO ⋅ DO ⋅ cos AOD = = 6.095,962 _{+ 1.546,99}2 _{− 2 ⋅ 6.095,96 ⋅ 1.546,99 ⋅} ⋅ 0,3746 = 32.488.658,82 → AD = 5.699,88 m Autoevaluación 1. a + b = 4 + 5 = 9 < 10 2. sen B = 12 sen 35 / 8 = 0,860 → B1 = 59,358°; B2 = = 120,624° Si B1 = 59,358° → C1 = 180 − 59,358 − 35 = 85,642° c1 = 8 sen 85,642 / sen 35 = 13,907 cm Si B2 = 120,624° → C2 = 180 − 120,624 − 35 = = 24,376° c2 = 8 sen 24,376 / sen 35 = 5,756 cm 3. cos A = 0,89583 192 172 12 8 2 12 8 62 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ A =} = 26,384° cos B = 0,805 144 116 12 6 2 12 6 82 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _{→ B = 36,336°} Por lo tanto, C = 180 − 26,384 − 36,336 = 117,28° 4. b = 36 sen 105 / sen 45 = 49,177 cm C = 180 − 45 − 105 = 30° c = 36 sen 30 / sen 45 = 25,456 cm Por lo tanto, P = 36 + 49,177 + 25,456 = 110,633 cm 90°

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5. El triángulo tiene lados de a = 14 cm, b = 25 cm y c =

= 27 cm. cos A = 0,857 350 . 1 158 . 1 27 25 2 27 25 142 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → A = 30,93° cos B = 0,397 756 300 27 14 2 27 14 252 2 2 = = ⋅ ⋅ + + − _→ → B = 66,62° C = 180 − 30,93 − 66,62 = 82,45°

6. El ángulo mayor que forman las diagonales mide 180° − 44° 50’’ = 135,16° = 135° 10’’

Si L es el lado mayor del paralelogramo y l el menor:

l2 _{= (12 / 2)}2 _{+ (14 / 2)}2_{− 2 (12 / 2) (14 / 2) cos (45°} 50’’) = 25,43 → l = 5,04 cm L2 _{= (12 / 2)}2 _{+ (14 / 2)}2_{− 2 (12 / 2) (14 / 2) cos (135°} 10’’) = 144,569 → L = 12,024 cm 7. AC = 65 sen 50 / sen 58 = 58,715 m BC = 65 sen 72 / sen 58 = 72,895 m S = 2 1 65 ⋅ 58,715 ⋅ sen 72 = 1.814,84 m2 Y como S = bh / 2 → 1.814,84 = 65h / 2 → h = = 55,841 m

La anchura del río es de 55,841 m.

8. a) sen B = 6 sen 105 / 16 = 0,3622 → B = 21,237° es la única solución posible

C = 53,763° S = 16 ⋅ 6 ⋅ sen 53,763 / 2 = 38,716 cm b) No es un triángulo pues 5 + 6 = 11. 9. a) Si a = 11 m y b = 7 m: 28 = 11 ⋅ 7 ⋅ sen C / 2 → sen C = 2 ⋅ 28 / 77 = 0,72 → C1 = 46,658°; C2 = 133,342° Si C1 = 46,658°: c12 = 112 + 72− 2 ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ cos 46,658 = 64,302 → → c1 = 8,02 m sen B1 = 7 sen 46,658 / 8,02 = 0,635 → B1 = = 39,403_{° es la única solución válida}

A1 = 180 –– 39,403 –– 46,658 = 93,939° Si C2 = 133,342°:

c22 = 112 + 72− 2 ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ cos 133,342 = 275,698 → c2= 16,604 m

sen B2 = 7 sen 133,342 / 16,604 = 0,307 → B2 = = 17,854° es la única solución válida

A2 = 180 –– 133,342 –– 17,854 = 28,804° b) En el primer caso: 658 , 46 sen 02 , 8 403 , 39 sen 7 939 , 93 sen 11 = = = 11,026 Por lo tanto, 11,026 = 2r1→ r1 = 5,51 m En el segundo caso: 342 , 133 sen 604 , 16 854 , 17 sen 7 804 , 28 sen 11 = = = 22,83 Por lo tanto, 22,83= 2r2→ r2 = 11,42 m