TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE

1

TEMA 2

CÁLCULO DIFERENCIAL

DE UNA VARIABLE

TEMA 2

CÁLCULO DIFERENCIAL

DE UNA VARIABLE

Derivada de una función en un punto

Dicho límite recibe el nombre de derivada de en

   

_

_





 0 0 0

lim

x

x

x

f

x

f

x x

Sea y un punto interior de Se dice que es derivable en si existe

     D f : x0 D f f x₀ 0 x Notas

1) Notaremos la derivada de en como

 

0

   

0 0

 

x0 x d y d x y x x d f d x f     f x0

2) La derivada de en también puede expresarse comof x0

 

   



  

h

x

f

h

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

h x x h x x 0 0 0 0 0 0

lim

lim

0 0















   

Recta tangente y normal

 

x

₀

f

 

x

₀

x

x

₀



f

y









Sea una función derivable en f x0

en el punto . Hallar las rectas tangente y normal Solución

Hallar, utilizando la definición de derivada, la derivada de la función Ejemplo (1 Hoja 2A)

 

2

x

x

f



x

₀



3

a la gráfica de en dicho punto.

_f

 

_x

Solución

¿ Es derivable en el punto la función ? Ejemplo (2 Hoja 2A)

0

0



x

f

 

x



x

Ejercicio (1 Hoja 2B)

Ejercicio (2 Hoja 2B)

Sea una función acotada en un entorno de . Estudiar si son derivables en el punto las siguientes funciones

en el punto . Hallar las rectas tangente y normal Hallar, utilizando la definición de derivada, la derivada de la función

 

x

L

x

f



n

1

0



x

a la gráfica de en dicho punto

f

 

x

g

x



0

0



x

 

x

x

g

 

x

h



 

x

x

g

 

x

f



2

Derivada infinita

   

_

_

_{ }

_

_







lim

0 0 0

x

x

x

f

x

f

x x

Sea y un punto interior de Se dice que tiene derivada infinita en si

     D f : x0 D f x₀ Derivadas laterales

Derivada lateral por la derecha

 

   



  

h

x

f

h

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

h x x 0 0 0 0 0 0

lim

lim

0















  _  

Derivada lateral por la izquierda

 

   



  

h

x

f

h

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

h x x 0 0 0 0 0 0

lim

lim

0















  _  

es derivable en . En este caso  Teorema f x₀



   













0 0

f

x

x

f

 

_

_

   



_

_





x

₀

f

x

₀

f

x

₀

f

Solución

Estudiar la derivabilidad de la función en el punto Ejemplo (3 Apartado b) Hoja 2A)

0



x

 

_x

3

_x

f



Solución

Estudiar, en los puntos y , la derivabilidad de la función Ejemplo (3 Apartado a) Hoja 2A)

 

































0

0

1

1

1

2

2

x

si

x

sen

x

si

x

x

si

x

x

f

1





x

x



0

en y

Ejercicio (3 Hoja 2B)

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican

1





x

























1

1

1

1

)

1

(

4

1

)

(

2

x

si

x

x

si

x

x

x

f



























0

0

0

1

)

(

2

x

si

x

si

x

sen

x

x

f

en

_x



₀







































1

si

2

1

1

0

si

1

0

si

1

1

)

(

2 2

x

x

x

x

x

x

x

Log

x

f

en y

_x



₀

_x



₁

1



x

Ejercicio

 



2

 



Continuidad y derivabilidad Teorema

Si es derivable en entonces es continua en f

x

₀ f

x

₀

en el punto Solución

Estudiar la derivabilidad de la función Ejemplo (4 Apartado b) Hoja 2A)

 















0

0

1

x

si

x

sen

x

si

x

x

f

0  x

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función



























0

0

0

1

)

(

x

si

x

si

x

sen

x

x

f

en el punto x0 Solución

Reglas de derivación g f g f  )    (

Derivada de una suma

f c f

c )   (

Derivada de una constante por una función Derivada de un producto g f g f g f  )     ( Derivada de un cociente 2 g g f g f g f             Regla de la cadena Si entonces h

 

x  g



f

 

x



 

x g



f

 

x

  

f x h    Función derivada

Sea . Se llama f :D derivada de af

       D f :

 

x f D x  

Solución

Hallar la derivada de las siguientes funciones Ejemplo (5 Hoja 2A)

 













0

0

2

x

si

x

sen

x

si

x

x

f

 

_        x x Log x f 3 2

 

x

arctg

x

f



 

x

x

x

f



Hallar el ángulo que forman las curvas e en el punto de abscisa

1

2



 x

y

y



L

n

x

1  x Ejercicio (4 Hoja 2B)

El ángulo que forman dos curvas en su punto de corte es el ángulo que forman las rectas tangentes a las curvas en dicho punto.

Si es una función con derivada primera continua en y tal que y , entonces en algún punto del intervalo la recta tangente a la curva es paralela al eje .

Ejercicio (5 Hoja 2B)

Hallar la derivada de las siguientes funciones

 

x

arcsen

x

f



 

 

2

4

1

2

2

x

arctg

x

Log

x

x

f







 

senx

a

x

f



Ejercicio (6 Hoja 2B)

Hallar, utilizando la derivada de la función inversa, la derivada de la función

 

x



2

x



x

2



4

f

 















_

0

0

1

x

si

e

x

si

x

x

f

_x Ejercicio (8 Hoja 2B)

Dígase, justificando la respuesta, si son cierta ó falsa las siguientes proposiciones:

Ejercicio (7 Hoja 2B)

Hallar las rectas tangente y normal a cada unas de las siguientes curvas en los puntos que se indican:

 







 

x

f



0

,

13



 

1





3



f

f



 

2



4



0

,

13



 

x

f

y



X

No existe una función par con derivada primera continua en y periódica de periodo que verifique .

 

x

f



2 

Aproximación de una función mediante su recta tangente Si y está “cerca” de entonces f x

 

₀ 0 x x₀

     

x

f

x

₀

f

x

₀

x

x

₀



f









utilizando rectas tangente a curvas adecuadas Solución

Hallar el valor aproximado de Ejemplo (6 Hoja 2A)

02

.

1

0013

´

1

n

L

Ejercicio (9 Hoja 2B)

Hallar el valor aproximado de , y , utilizando rectas tangentes a curvas adecuadas.

4

06

´

Derivadas sucesivas Sea f f : Derivada primera de      D f : f f f ) : Derivada segunda de (     f f f ) : Derivada tercera de (    

Se llama derivada n-ésima de f a

) ( 1) )  n  n f f

Cálculo de la derivada n-esima

Solución

Hallar la derivada n-ésima de las siguientes funciones: Ejemplo (7 Hoja 2A)

 

a

x

x

f





1

 

1

1

2





x

x

f

 

x

sen

x

f



Ejercicio (10 Hoja 2B)

Hallar la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

 

6

5

2

25

2

9

2 3 2













x

x

x

x

x

x

f

 

x

a

L

a

f



x n

 

x

 

x

x

f



2

cos

5

cos

f

 

x



ch

2

x



sh

2

x

3

1

)

(

x

L

x

f



n



x

x

f





1

1

)

(

Función derivable en un conjunto

Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de

f A

A

Teorema de Rolle

Sea una función continua en y derivable en tal que .Entonces existe tal que c

 

a,b

f

 

a,b

 

0  c f ) ( ) (a f b f 

 

a,b

Aplicación del teorema de Rolle al estudio de las raíces de una función

Sea una función derivable en un intervalo f I

Entre dos raíces reales distintas de en existe al menos una raíz real de su derivada

f I

Si tiene raíces reales distintas en entonces tiene como mucho raíces reales distintas en

n

f  I f

1 

Solución

Hallar el número de raíces reales del polinomio Ejemplo (9 Hoja 2A)

 

2

1

2 3 4









x

x

x

x

P

Localizar dichas raíces en intervalos disjuntos de longitud 1

Demostrar que la ecuación tiene una única solución real. Ejemplo (10 Hoja 2A)

x

e

x

 1



Solución Solución

Sea . Demostrar que la función tiene al Ejemplo (8 Hoja 2A)

  

₂



13

_



_

₄2



18 1 1     x x x senx x h

menos una raíz en el intervalo

 

x h

Ejercicio (12 Hoja 2B)

Demostrar que la ecuación tiene una única solución. ¿ Cuál es la parte entera de la misma ?

 

x



x

5



x



9

g

Ejercicio (14 Hoja 2B)

Probar que la ecuación

0

2







x

e

x

L

x

n

tiene una única solución real en

₀

 x





Ejercicio (15 Hoja 2B) 0

x

x

x





3

Hallar el número de raíces reales de la función

Ejercicio (11 Hoja 2B)

Sea

 

x



sen





x



1



x



2

 

2

x



3



x



4



2





cos





x



1

 

2

x



2



x



3

 

3

x



4







1

f

Demostrar que existe un punto en el que se verifica

f

 x

 

₀



0

Ejercicio (13 Hoja 2B)

Hallar el número de puntos de corte de las gráficas de las funciones

 

x

e

x

f





y y localizar las abscisas de

g

 

x



cos

x



e

x



2

x



1

dichos puntos de corte en intervalos de longitud 1.

Teorema del valor medio (Lagrange)

Sea una función continua en y derivable en Entonces existe tal que c

 

a,b

f

 

a,b

 

   

a b a f b f c f    

 

a,b

Sean dos funciones continuas en y derivables en . Entonces existe tal que

Teorema de Cauchy

 

a b c , g f y

 

 

g

   

   

b g a a f b f c g c f     

 

a,b

 

a,b Ejercicio

Probar el teorema de Cauchy aplicando el teorema de Rolle a la función

       

x f x



g b g a

      

g x



f b f a



h    

Regla de L’ Hopital

Sean funciones derivables en un entorno reducido de tales que g f y 0 x

 

lim

 

0 lim 0 0    x f x x x g x x Existe

 

 

x g x f x x    ₀ lim Entonces

 

 

g

 

 

x x f x g x f x x x x      ₀ lim₀ lim

Solución

Calcular los siguientes límites Ejemplo (11 Hoja 2A)

 

 

x e x e x x x _{cos 3} 2 cos lim ₅ 2 0   

 

 x tg x x tg 2 4 lim  



1



1 lim  3          sen _x Ln x x x x xLn x 0 lim  12 8 4 3 lim _{3 2} 2 3 2       _{x x x} x x x Ejercicio (16 Hoja 2B)



1



1 lim 9 1    _{sen x} x x

Calcular los siguientes límites

        _x x x cot 1 lim 0

 

2 1 0 lim x x ch x



arctg x



Lnx x 2 lim   



 

_{ }

_{ }

      _    3 2 1 2 lim sen x L x e x sh n x x

Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de en Ejemplo (12 Apartado a) Hoja 2A)

Solución

  



x

e

x

x

f





2

x



0

Ejercicio (17 Apartado a) Hoja 2B)

  



Polinomio de Taylor de una función en un punto

Sea una función veces derivable en un punto . Se llama polinomio de Taylor de orden de en a 0 x f      D f : 0 x

 

 



  



  

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P 2 0 ₀ 0 0 0 0 0 ! ! 2 ) (        _  Nota

El polinomio de Taylor de grado 1 de en es f

Se trata de la recta tangente a la gráfica de en f

 

x

0 x

 

0

 

0 0



1(x) f x f x x x P     0 x n n

Propiedad

Si es el polinomio de Taylor de orden de en entonces f ) (x P_n

n

0 x

   

x0 f x0 P_n  

_{ }



_{ }

n k x f x P_nk ₀  k ₀  1,, Nota

Si entonces recibe el nombre de polinomio de Mc-Laurin

0

0

x P_n(x)

Hallar el polinomio de Taylor de orden de en y Ejemplo (12 Apartado b) Hoja 2A)

Solución

 

x

e

x

f



x



0

n

x



1

Ejercicio (17 Apartado b) Hoja 2B)

Propiedades es un infinitésimo en x₀

 

x R_n

 



R x



n Orden _n 

Si está “cerca” de podemos aproximar

Nota

 

x P

 

x f  _n 0 x x

 

x R_n Error cometido : Resto de una función

Se llama resto de orden

n

de en a f

 

x f x P

 

x R_n  ( ) _n 0 x Notación

 







n



n x O x x

R   ₀ : Infinitésimo de orden mayor que en

n

x0 Fórmula de Lagrange para el resto

Teorema

Sea una función veces derivable en un punto y

el polinomio de Taylor de orden de en . Entonces 0 x

n

f f

n

x0 ) (x P_n

 

 





0 lim 0 0     n n x x _{x x} x P x f

Fórmula (Desarrollo) de Taylor de una función en un punto

 

x R

 

x P x f( ) _n  _n Nota

Si la expresión recibe el nombre de

desarrollo de Mc-Laurin 0 0  x _f(x)_Pn

 

_x _Rn

 

_x

 

_{  }

_



2 1



1 2 5 3 ! 1 2 1 ! 5 ! 3           n n n x O n x x x x x sen 

Principales desarrollos de Mc-Laurin

 

_{   }

 

n n n x O n x x x x 2 2 4 2 ! 2 1 ! 4 ! 2 1 cos       

 

_

_



2 1



1 2 5 3 ! 1 2 ! 5 ! 3          n n x O n x x x x x sh 

 

n n x x O n x x x x e        ! ! 3 ! 2 1 3 2  





 

 

n n n x O n x x x x x Log        1  3 2 1 3 2 1 

 

 



2 1



1 2 5 3 1 2 1 5 3           n n n x O n x x x x x arctg _

 

_{ }

 

n n x O n x x x x ch 2 2 4 2 ! 2 ! 4 ! 2 1      _

Aplicaciones de la Fórmula de Taylor Cálculo aproximado

Los pasos a seguir serán

 

x P

 

x f  _n

 

x R_n Estimar el error cometido

Notas

1) Para el calculo aproximado utilizaremos polinomios de Mc-Laurin

2) Para estimar el error cometido hay utilizar la fórmula de Lagrange para el resto

Solución

Calcular con un error menor que Ejemplo (13 Hoja 2A)

0001 0

e

Solución

Calcular de forma aproximada utilizando el polinomio de Mc-Laurin de orden 2 de . Estimar el error cometido.

Ejemplo (14 Hoja 2A)

02 1

 

x x f  1

Ejercicio (18 Hoja 2B)

Calcular de forma aproximada utilizando el polinomio de Mc-Laurin de orden 2 de . Estimar el error cometido.

3 _803

 

_x 3 _{8 x}

f  

Ejercicio (19 Hoja 2B)

Calcular de forma aproximada utilizando el polinomio de Mc-Laurin de orden 5 de . Estimar el error cometido.

 

1 2

sen

 

x senx f 

Cálculo de límites

Utilizaremos desarrollos de Mc-Laurin de la forma

 

 

n n x O x P x f( )  Propiedades

     

n n n x O x O x O   CO

   

xn O xn Si entonces

     

n m n x O x O x O   n m

     

n m n m x O x O x O   Si

 

 

 



_{ }

 

n n n x O x n f x f x f f x f         ! 0 ! 2 0 0 0 ) ( 2 

es el desarrollo de Mc-Laurin de orden de entonces el desarrollo de Mc-Laurin de orden de la funcion

es

n

f

n

m



N m A Ax f( m) ,  , 

 

 

 



 

n mn

 

mn n m m m x O x A n f x A f Ax f f Ax f           ! 0 ! 2 0 0 0 ) ( 2 2  Nota

 

f n Orden  PP

 

f  A



x  x



n

Si es un infinitésimo en y es el primer término

no nulo del desarrollo de Taylor de en entonces

 

x f x0





n x x A  ₀

 

x f x₀

Solución

Calcular los siguientes límites Ejemplo (15 Hoja 2A)

3 0 lim x x x sen x  



xL x



tg x senx x n x 0 ₂ 3 lim   

 



tg x shx



x x x x cos 1 1 lim 4 4 0     4 2 0 2 cos 2 lim x x x x    Solución

Hallar el desarrollo de Mc-Laurin de orden 12 de la función Ejemplo

 

 

3 cos x x f 

 

4 1 x x f  

Solución

Hallar el orden y la parte principal de los siguientes infinitésimos Ejemplo (16 Hoja 2A)

 

x x sen x f  





2 2 1 1 ) ( 3 x x x L e x f  x  n     f (x) x3 tg3x

en según los distintos valores del número natural

Ejercicio (20 Hoja 2B)

Calcular los siguientes límites

Ejercicio (23 Hoja 2B)

Calcular el orden y la parte principal de los siguientes infinitésimos en

 







 

₂



113 2 4 3 2 0 ₁ 2 1 2 lim x tg L x arctg x sh x sen x x x x n x       

 

2 1 2 x e x f  x   f (x) xtg x2senx 2 cos ) (x e x x x f  senx    Ejercicio (24 Hoja 2B)

 

x  Ln sen

 

xn  xn2 n8 18 1 f n

Calcular el orden y la parte principal del infinitésimo

2 cos

)

(x  xe axbx2 

f x

en según los distintos valores de los parámetros x 0 a,b

Calcular el orden y la parte principal del infinitésimo

0  x







e L x



xsenx xtg x chx n x sen x _{1 1} 2 cos lim ₂ 2 0      0  x

Hallar el valor de , y para que se verifique que

Ejercicio (21 Hoja 2B)

Se considera la función

Estudiar la continuidad de la función en el punto según los x₀ 0

 











 



              0 si 1 1 5 6 6 0 si 1 8 4 2 3 x x x L x arctg x x senx x e A x f _n x ) (x f Ejercicio (22 Hoja 2B)

Sea una función con derivada tercera continua y sea la funcióng:

 

_

 

_

arctgx e x x sen x g x e x f x sen x 1 1 2 1 2 2 3      

 

0 g g

 

0 g 

 

0 lim

 

1  f x Se pide:

distintos valores del parámetro real

A

Estudiar la derivabilidad de la función en el punto según los f (x) x₀ 0

Crecimiento y decrecimiento de una función

Sea e un intervalo contenido en I D

es creciente (estrictamente creciente) en si para con se verifica ( ) I y x   ,

x



y

f(x) f(y) I f ) ( ) (x f y f       D f :

es decreciente (estrictamente decreciente) en si para con se verifica ( ) I y x   ,

x



y

f(x) f(y) I f ) ( ) (x f y f  Teorema

Sea una función derivable en un intervalo f I

I x x f( )0 ,   es creciente en si y solo si f I I x x f( )0 ,   es decreciente en si y solo si f I Si entonces es estrictamente creciente en I x x f( )0 ,   f

I

Si entonces es estrictamente decreciente en I x x f( )0 ,   f

I

Nota

Para estudiar el crecimiento de un función hay que estudiar el signo de la primera derivada. Los posibles cambios de signo de se producen en puntos f  tales que   x f x( )0

tales que no es derivable en

 

Extremos relativos y absolutos de una función Extremo relativo

Extremo absoluto

Una función tiene un máximo (mínimo)

relativo en si existe un entorno de tal que

( ) para D x₀ I

   

x f x0 f  xDI      D f : 0 x

   

x f x₀ f  Nota

Un extremo relativo es un máximo ó mínimo relativo Una función tiene un máximo (mínimo)

absoluto en x₀D si f

   

x  f x₀ ( ) paraxD      D f :

   

x f x0 f  Nota

Un extremo absoluto es un máximo ó mínimo absoluto Teorema

Si es una función derivable en un extremo relativo entonces

f x0

 

₀ 0  x

f

Candidatos a extremos relativos. Puntos críticos tales que   x f x( )0  

Caracterización de los extremos relativos de una función Criterio de la primera derivada

Sea una función continua en un punto critico f x₀

entonces tiene un mínimo relativo en Si existe tal que  0







   (x) 0 x x₀,x₀ f



0 , 0



0 ) (x x x x f     f x₀

entonces tiene un máximo relativo en Si existe tal que  0



0 , 0



0 ) (x x x x f    







   (x) 0 x x₀,x₀ f f x₀

entonces no tiene extremo relativo en

Si existe tal que ó para 0 f x( )0 _x



_x0_,x0



_x0

f x₀ 0 ) (   x f Solución

Hallar los extremos relativos de la función Ejemplo (17 Apartado a) Hoja 2A)

 





x e x x x f  2 3 1

Estudio de las derivadas de orden superior

Sea un punto critico de tal que . Supongamos que es la primera derivada no nula de en fn

 

x₀

f 0 x _{( ) 0} 0   x f f x0 Si es par y entonces tiene un mínimo relativo en  0 ) (x₀  f n n 0 x f

Si es par y entonces tiene un máximo relativo en  0 ) (x₀  f n n 0 x f

Si es impar entonces no tiene extremo relativo en n f x₀

Criterio de la derivada segunda

Sea un punto critico de tal que x0 f f x( 0)0

Si entonces tiene un mínimo relativo en f  x( ₀)0 f x0 Si entonces tiene un máximo relativo en f  x( ₀)0 f x0

Solución

Hallar los extremos relativos de la función Ejemplo

 

x  x5 15x3 1

 

















0

2

0

2

x

si

x

x

x

si

x

x

f

Solución

Estudiar el crecimiento y hallar los extremos relativos de la función Ejemplo (17 Apartado b) Hoja 2A)

Ejercicio (25 Hoja 2B)

Estudiar el crecimiento y hallar los extremos relativos de las siguientes funciones

 

x e x f x 1  

 





























1

2

1

0

0

6

x

si

x

x

si

x

x

si

x

x

f

  



x x x f    1 2 4 Ejercicio (26 Hoja 2B)

Sea y sea una función derivable y estrictamente decreciente f

 

x  xex2 g

 

x

en , verificando que . Hallar razonadamente el número 0 x  g

   

0  g 13 0

Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado

tales que

 

a b

x , f x( )0

tales que no es derivable en

 

a b

x , _f

_x

Los extremos del intervalo a y b

Sea una función continua en un intervalo cerrado Los puntos críticos donde puede alcanzar el máximo y el mínimo absoluto en son

 

x

f

 

a,b

f

 

a,b

Solución

Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función Ejemplo (18 Apartado a) Hoja 2A)

 





















0

2

3

0

2

2

x

si

x

x

x

si

x

x

f

en el intervalo



2, 4



Ejercicio (27 Hoja 2B)

Sea derivable tal que con f :

f



 

x



0

,



x





f

 

3





5

6

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función

g

 

x



f



5

f

 

x



3



f

 

x



2



Ejercicio (28 Hoja 2B)

Hallar los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican

 

en



1 ,1



1 1 2      x x x x f

 

en



2

,

2



2

1

2

1

2























x

si

x

x

si

x

x

f

 

x cos





x 3





4x en

 

0 ,1 f  



 Solución

Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función Ejemplo (18 Apartado b) Hoja 2A)

 

x



x

2



x



3

g

Problemas de optimización

Pasos para resolver un problema de optimización

Identificar la magnitud a la que tenemos que calcular el máximo ó el mínimo y obtener la expresión de

H

H

Usar las condiciones del problema para expresar en función de una sola variable

H

Hallar el máximo ó mínimo de H

Solución

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado Ejemplo (19 Hoja 2A)

sobre el eje y esta inscrito en el triángulo determinado por lasX rectas , e y0 y x y42x

Solución

Hallar el radio y la altura de un cilindro circular inscrito en una esfera de Ejemplo (20 Hoja 2A)

radio que tenga volumen máximo.R

El ángulo del sector verifica .

Ejercicio (29 Hoja 2B)

Un triángulo equilátero tiene dos vértices en los puntos y . Sea un triángulo inscrito en el triangulo de modo que uno de sus lados sea paralelo al eje . Se pide probar que el área del triángulo es

siempre menor ó igual que del área del triángulo

1 T

4

1

 

1 ,0



1 ,0



2 T T₁ X T₂ 1 T Ejercicio (30 Hoja 2B)

Se dispone de un alambre de 52 centímetros de largo. Se pide hallar el radio del sector circular de área máxima cuyo perímetro sea dicho alambre. Considérense los casos siguientes:



0







2 0







El ángulo del sector verifica .



Determinar las dimensiones de un cilindro circular de volumen para que su área total sea mínima.

Ejercicio (31 Hoja 2B)

Un explorador esta situado en el punto y debe llegar al punto

debiendo aprovisionarse de agua en un rio cuyo curso tiene por ecuación

 

0 ,1

 

1 ,1

 

0,1 , 0      





y x Ejercicio (32 Hoja 2B) V

(véase figura ). Sabiendo que los tramos recorridos desde los puntos y al rio son segmentos rectilíneos, hallar la máxima y

 

0 ,1

 

1 ,1

la mínima distancia que puede recorrer el explorador.

Hallar el radio y la altura de un cilindro circular inscrito en una esfera de radio que tenga área lateral máxima.R

Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Función cóncava y convexa

Punto de inflexión

Se dice que una función es cóncava

(convexa) en un intervalo si para el segmento que une los puntos y queda por debajo (encima) de la gráfica de D I       D f : I b a   ,



a

,

f

(

a

)





b

,

f

(

b

)



f

Se dice que es un punto de inflexión de si cambia de concavidad en dicho punto.

f

f Dom

x₀ f

Sea una función dos veces derivable en un intervalo Teorema

f I

Si entonces es convexa en f (x)0 xI f I Si entonces es cóncava en f (x)0 xI f I

Teorema

Sea una función suficientemente derivable en un punto Si la primera derivada no nula, posterior a la primera, de

en el punto es impar entonces tiene un punto de inflexión en

f x0

0

x f x0

Solución

Estudiar la concavidad y convexidad y hallar los puntos de inflexión de la función Ejemplo (21 Hoja 2A)

 

x



x

3



3

x

2



x



1

f

Solución

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función que tiene derivada segunda continua en y tal que la gráfica de está representada en la figura adjunta.

Ejemplo (22 Hoja 2A)

 

x

f 

 

x

Hallar las raíces reales de la función .

Hallar en la parte principal de . .

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función .

Ejercicio (33 Hoja 2B)

Sea una función tal que y para . Se pide: .

 

x f f

 

0  0 f

  

x  shxx



3

 

x f Ejercicio (34 Hoja 2B)

Sea una función suficientemente derivable en y tal que los primeros términos del polinomio de Taylor de en son . Se pide hallar razonadamente el número real para que la función

_a

    

x f x x



asen xtg x g  21cos  2 2

Ejercicio (35 Hoja 2B)

Sea donde es un número natural. Se pide:

  

1



2 3

1

3 2







    n x x x x n

e

x

x

f

 n











x

 

x f  0  x x2 x4  x5

tenga un punto de inflexión en

x



0

0



x

 

x

f

y



x



0

 

x f

Determinar si la curva tiene en un máximo relativo, un mínimo relativo ó un punto de inflexión.

 

x f

 

x f

Para representar gráficamente una función hay que seguir los siguientes pasos

f

Representación gráfica de una función de una variable

Calcular el dominio f

Hallar los puntos de corte con los ejes f

Estudiar las simetrías de f Hallar las asíntotas de

f Estudiar la continuidad de

Estudiar el crecimiento de f

Hallar los extremos relativos de f

Estudiar la concavidad y convexidad de f Hallar los puntos de inflexión de f

Solución

Representar la gráfica de la función Ejemplo (23 Hoja 2A)

 

x

xe

x

f



Ejercicio (36 Hoja 2B)

Representar las gráficas de las siguientes funciones:

 

x x L x f  n

f

 

x



x

2

e

1x

 





















0

si

1

0

si

2 1

x

x

x

x

xe

x

f

x