APLICACIONES DE LAS MATRICES Y
APLICACIONES DE LAS MATRICES Y
DETERMINANTES A LA ECONOMIA
DETERMINANTES A LA ECONOMIA
INTRODUCCION
INTRODUCCION
La
La mamatemtematatizaizaciocion n de de la la ecoeconomnomía ía se se rerealializa za a a tratravés vés dedel l conconcepcepto to dede núme
número real, que ro real, que nos permitnos permite e asigasignar un nar un valovalor r numénumérico —cuantifrico —cuantifcarcar—— cualq
cualquier uier magnmagnitud itud ecoeconómicnómica. a. Una Una rerealidaalidad d econeconómicómica a puede puede trattratarsearse matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de de
descscriribibirlrla a memedidianante te mamagngnititududes es nunumémériricacas s cucuo o cocompmporortatamimienento to rrelelaaccioionenes s mmututuauas s popodedemmoos s esesttududiaiar r !!prpreeciciooss, , ssaalalarrioios, s, rrédédititoos,s, probabilidades, tasas de in"ación, de desempleo, benefcios, costes, etc.#. probabilidades, tasas de in"ación, de desempleo, benefcios, costes, etc.#. $in embargo, es mu raro que un problema venga determinado por un único $in embargo, es mu raro que un problema venga determinado por un único dato numérico. Lo usual es que
dato numérico. Lo usual es que sea necesario traba%ar simultáneamsea necesario traba%ar simultáneamente conente con muc&os datos. 'n este tema veremos los conceptos básicos para traba%ar muc&os datos. 'n este tema veremos los conceptos básicos para traba%ar sistemáticamente con (bloques) de números.
sistemáticamente con (bloques) de números.
*uando los sistemas de ecuaciones lineales son e+tensos, maormente se *uando los sistemas de ecuaciones lineales son e+tensos, maormente se utiliza matrices por su
utiliza matrices por su acilidad de mane%o. Las acilidad de mane%o. Las matrices son ordenamientomatrices son ordenamientoss de datos se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones de datos se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones !lineales#, sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas !lineales#, sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones dierenciales de derivadas parciales. -demás, las matrices de ecuaciones dierenciales de derivadas parciales. -demás, las matrices también aparecen de orma natural en geometría, estadística, economía, también aparecen de orma natural en geometría, estadística, economía, inormá
inormática, ísica, tica, ísica, etc.etc.
'l álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. $in 'l álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. $in em
embabarrgogo, , pupuesesto to quque e mumuc&c&as as rrelelacacioionenes s ececononómómicicas as pupuededen en seserr apro+imadas mediante ecuaciones lineales otras pueden ser convertidas a apro+imadas mediante ecuaciones lineales otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.
1.- MATRIZ: DEFINICION
$e llama matriz de orden mn a todo con%unto rectangular de elementos
a
ijdespués en m líneas &orizontales !flas# n verticales !columnas# de la orma/
-breviadamente suele e+presarse en la orma - 01ai%2, con i 03, 4,..., m5 %
03, 4, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fla !i# el segundo la columna !%#. 6or e%emplo, el elemento a47será el elemento de la fla 4 columna 7.
MATRICES IGUALES
8os matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
1.2.- ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
:amos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con recuencia debido a su utilidad, de los que es conveniente recordar su nombre.
1.2.1.- SEGÚN LA FORMA
Matriz co!"#a:
's una matriz que solo tiene una columna, es decir, n 03 por tanto es de orden m + 3.;atriz fla/ 's una matriz que solo tiene una fla, es decir m 03 por tanto
es de orden 3+ n. 's decir, -0 !a33a34... a3n#. 6or e%emplo/ - !3,<#
13 4 =<2
Matriz cuadrada
:
's aquella que tiene el mismo número de flas que de columnas, es decir m 0 n. 'n estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, no n + n !aunque es lo mismo#. Los elementos ai% con i 0 %, osea ai% orman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, los
La diagonal principal está ormada por 1 3 3 ?2 la diagonal secundaria por 1 @ 3 <2
Matriz traspusta:
8ada una matriz -, su matriz se representa por -t, lacual se obtiene cambiando flas por columnas. La primera fla de - es la primera columna de -t, la segunda fla de - es la segunda columna de -t
así sucesivamente. 8e la defnición se deduce que, si - es de orden m + n, entonces -tes de orden n + m.
Matriz si!"trica:
Una matriz cuadrada - es simétrica si - 0 - t, es decir,si a %0 a %
Matriz a#tisi!"trica:
Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si - 0 A-t, es decir ai%0=a %i.1.2.2.- SEGÚN LOS ELEMENTOS
Matriz #u$a
es aquella que todos sus elementos son @ se representa por @.Matriz dia%&#a$:
's una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.Matriz sca$ar:
's una matriz diagonal !, en consecuencia, una matriz cuadrada# con todos los elementos de la diagonal iguales.Matriz u#idad & id#tidad:
's una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 3. $e denota por el símboloI
oI
n.Matriz Tria#%u$ar:
's una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos/Tria#$!ar S!%&rior: $i los elementos que están por deba%o de la diagonal principal son todos nulos. 's decir, a% 0@, i B %.
Tria#$!ar I#'&rior: $i los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. 's decir, a% 0 @, % B i.
1.(.- OPERACIONES CON MATRICES
1.(.1.- TRASPOSICION
8ada una matriz de orden m+n, - 0 1 ai%2, se llama matriz traspuesta de -
se representa por -t, a la matriz que se obtiene cambiando las flas por las
columnas !o viceversa# en la matriz -. 's decir/
Pro%i&)a)&* )& a tra*%o*ici+# )& "atric&*
3.= 8ada una ;atriz -, siempre e+iste una traspuesta además es única.
4.= !-C#C0 -.
1.(.2 SUMAS Y DIFERENCIAS
La suma de dos matrices - 0 1 ai% 2, 9 0 1 bi% 2 de la misma dimensión, es otra matriz $ 0 1 si% 2 de la misma dimensión que los sumandos con término genérico $i% 0 ai% > bi%. 6or tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensión. La suma de las matrices - 9 se denota por ->9.
Propiedades de la suma de Matrices
3. - > !9 > *# 0 !->9# >*
4. - > 9 0 9 > - !propiedad conmutativa# <. - > @ 0 - !@ es la matriz nula#
D. La matriz A-, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de -, recibe el nombre de matriz opuesta de -, a que - > !A-# 0 @.
7. La dierencia de matrices - 9 se representa se defne como/ - A 9.
1.(.(.- PRODUCTO DE UNA MATRIZ CON UN ESCALAR
,NUMERO
'l producto de una matriz - 0 1 ai% 2 por un número real E es otra matriz
de la misma dimensión que - tal que cada elemento bi% de 9 se obtiene multiplicando ai% por E, es decir, bi% 0 Eai%.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
3. E !- > 9# 0 E - > E 9 !propiedad distributiva 3F# 4. !E > &# - 0 E - > & - !propiedad distributiva 4F# <. E !& -# 0 !E &# - !propiedad asociativa mi+ta# D. 3G- 0 - !elemento unidad#
Propiedades simplificativas
3. - > * 0 9 > * H - 0 9.
4. E - 0 E 9 H - 0 9 si E es distinto de @. <. E - 0 & - H & 0 E si - es distinto de @.
1.(..- PRODUCTOS DE MATRICES
8adas dos matrices - 9, su producto es otra matriz 6 cuos
elementos se obtienen multiplicando las flas de - por las columnas de 9. 8e manera más ormal, los elementos de 6 son de la orma/
6i% 0 I ai% . bi%
$e requiere que el número de columnas de - debe coincidir con el número de flas de 9 para que esta multiplicación sea posible. -sí, si
- tiene dimensión
"
+#
9 dimensión #+%, la matriz 6 será de orden/ "+%. 's decir/'n otras palabras, el elemento que se encuentra en la fla i la columna % de la matriz *0-9 se obtiene multiplicando los elementos de la fla i de - por la columna % de 9 sumando los resultados.
So!ci+#:
6rimero, se comprueba que se pueda realizar el producto -9. 6uesto que el número de columnas de - es igual al número de flas de 9, entonces la operación es actible. La matriz resultante tendrá la dimensión 4+<, es decir, 4 flas < columnas.Luego, el elemento de la fla 3 columna 3 de -9 !es decir, c33# proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3 de - por otro elemento de la columna 3 de 9, de la multiplicación/
'l elemento de la fla 3 la columna 4 de -9 !o lo cual es igual, *# será igual a la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3
de - con otro elemento de la columna 4 de 9/
'l elemento de la fla 3 la columna < de * proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fla 3 de - con otro elemento de la columna < de 9/
-sí, sucesivamente se obtiene/
Pro%i&)a)&* )& %ro)!cto )& "atric&*
3. -G!9G*# 0 !-G9# G*4. 'l producto de matrices en general no es conmutativo !-9 no necesariamente es igual a 9-#.
<. $i - es una matriz cuadrada de orden # se tiene -GJn 0 JnG- 0 -. D. 8ada una matriz cuadrada - de orden n, no siempre e+iste otra matriz 9 tal que -G9
/
9G-/
Jn. $i e+iste dic&a matriz 9, se dice que es la matriz inversa de - se representa por - A 3.7. 'l producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir/ -G !9 > *# / -G9 > -G*
Co#*&c!&#cia* )& a* %ro%i&)a)&*
3. $i -G90 @ no implica que -0@ ó 90@. 4. $i -G90-G* no implica que 9 0 *.
D. 'n general !->9# G!-A9# 0 -4A94, a que -G9 K 9G-.
2.- DETERMINANTES
Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz, su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en análisis.
2.1.-
C0c!o )& )&t&r"i#a#t&* )& +r)&#&* 1 2 (
Orden 1 x 1: 's ácil comprobar que aplicando la defnición/ - 0 a33 H
det !-# 0 a33.
Or)&# 2 3 2:
se toma el producto de los dos elementos de ladiagonal principal se substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.
Or)&# ( 3 (: R&$a )& Sarro*:
solo para matrices de orden <+< se suele usar la egla de $arrus, que consiste en un esquema gráfco para los productos positivos otro para los negativos/o lo que es igual/
det!-# 0 !a33a44 a<< >a34 a4< a<3 > a3< a43a<4# = !a3< a44 a<3 >a34 a43a<< >a33a4< a<4#
2.2.- C0c!o )& !# D&t&r"i#a#t& )& or)&# #3#:
)&*arroo %or "&#or&*
$e una matriz de orden <+< como/
-&ora bien, se defne el determinante de la matriz - mediante la órmula/
M lo que es igual
det !-# 0 a33det!-33# A a43det!-43# > a<3det!-<3#
'n realidad, la e+presión !4.3# tiene múltiples generalizaciones por lo que es necesario ormalizarlas. Ninalmente, para el caso de una matriz !cuadrada# de orden n + n el determinante será/
