PRACTICA 3: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.
1 . -INTRODUCCIÓN TEÓRICA
El objeto de la experiencia será el equilibrar estática y dinámicamente un sistema de masas que gira con velocidad uniforme, sirviéndonos de una máquina para
equilibrados, “BALANCING
MACHINE “.
La figura representa un cuerpo rígido cuyos puntos A y B están fijos en el espacio mediante los soportes S y S2.
El movimiento del cuerpo rígido es entonces una rotación pura alrededor del eje AB fijo en el espacio y en el cuerpo mismo.
Como cualquier punto O del cuerpo rígido sobre el eje de rotación AB esta siempre en reposo tendremos: ext M dt L d , 0 0 ( O eje rotación) (1) Teniendo en cuenta que la relación existente entre la derivada temporal de un vector respecto a un sistema de referencia inercial y su derivada temporal respecto a un sistema móvil solidario al sólido rígido, se cumple:
0 0 I L ; z y x z zy zx yz y yx xz xy x z y x I P P P I P P P I L L L 0 0 0 (2)
Siendo I0 el tensor de Inercia del cuerpo rígido, para el punto O, y respecto a un
sistema de referencia solidario al cuerpo rígido con origen en el punto O,{o,x,y,z} tiene por representación matricial 0 I z zy zx yz y yx xz xy x I P P P I P P P I
Construyamos un sistema de referencia solidario al sólido de forma que su eje Z coincida con el eje de rotación AB y sus ejes, x e y, sean dos rectas cualesquiera perpendiculares, contenidas en el plano normal por el punto O, al eje de rotación AB y que cortan en O. Como el eje de rotación está fijo en el espacio, el cuerpo rígido no tiene movimiento de precesión alrededor del eje Z’ del sistema de referencia fijo.
d 0
dt
(3)
Por tanto, para el ángulo de Euler se verifica en todo instante que = cte., lo cual indica que la línea nodal permanece fija en el espacio, y además el ángulo de nutación θ = cte.
Además, siempre podemos tomar como tercer eje del sistema fijo el de la dirección del eje fijo, y como tercer eje del sistema móvil solidario al sólido el del eje fijo. Lo que significa un grado de libertad cuyo parámetro es Ψ (ahora no tiene sentido el eje de nodos al ser θ = 0).
La velocidad angular del cuerpo rígido es
k dt d k (4)
Siendo k el vector unitario en la dirección del eje de rotación y sentido determinado pero arbitrario.
Supongamos que sobre el cuerpo rígido sólo actúan la fuerza de la gravedad
k mg g m
y las reacciones Ry R de los soportes S1 y S2 respectivamente. Entonces: M0,ext M0 OAxROBxR
(5) donde M0 es el momento, respecto a O, de la fuerza de la gravedad.
Consideremos por comodidad que el punto O A coincide con el origen del sistema móvil y además con uno de los soportes, asi OA xRo.
Llamemos a la distancia AB = OB = h
Desarrollando por componentes las ecuaciones (2) y (4) en el sistema de referencia {O,x,y,z} móvil solidario al cuerpo rígido.
y ox yz zx P M hR P 2 (6.1) Pyz Pzx Moy hRx 2 (6.2) Iz Moz (6.3)
La ecuación (6.3) es la que rige el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor del eje fijo AB. Las ecuaciones (6.1) y (6.2) determinan los momentos, respecto al punto O, de las FUERZAS DE LIGADURA (reacciones en los soportes) necesarias para mantener el eje fijo.
De la ecuación (6.3) se desprende que debido al momento de la fuerza de gravedad respecto al eje de rotación, el cuerpo rígido adquiere una aceleración angular, y se pondrá en movimiento de rotación alrededor del eje fijo AB. Se dice, que el CUERPO RIGIDO ESTA “DESEQUILIBRADO” RESPECTO AL EJE DE ROTACION.
Si consideramos el teorema fundamental de la dinámica:
Fac M a (7)
dm
M
g
dt
r
d
2 (8)Desarrollando por componentes en el sistema de referencia móvil solidario con el cuerpo rígido Moy Moy Mgx RxRx 2 (9.1) Mox MoyMgy RyRy 2 (9.2) z z z R R Mg 0 (9.3) Sin embargo, si el centro de masas G estuviera sobre el eje de rotación AB entonces, el momento áxico de la fuerza de gravedad respecto al eje es nulo, ya que en este caso el vector OG sería paralelo al eje Z.
Tendríamos: Iz 0
De forma que es constante, ó lo que es lo mismo: cte 0
Si en las ecuaciones (6) y (9) despejamos las reacciones, las ecuaciones obtenidas indicarían que las reacciones de los soportes se pueden considerar compuestas de dos componentes:
1) REACCIONES ESTATICAS. -No contienen la velocidad angular.
2) REACCIONES DINAMICAS.-Contienen la velocidad angular. Sus módulos son proporcionales al cuadrado de la velocidad angular.
Además responden a las fuerzas que, debido al movimiento de rotación, el cuerpo rígido ejerce sobre los soportes al querer escapar de la ligadura impuesta por los soportes, obligándole a girar alrededor de un eje fijo. Por tanto, debido a ellas, se producen vibraciones y un mayor desgaste de los soportes o cojinetes.
Caso de pasar el eje por el c.d.m., los momentos estáticos Mox, Moy, Moz son nulos. Consiguientemente, cuando el centro de masas del cuerpo rígido está situado sobre el eje de rotación fijo, y por tanto el momento áxico de la fuerza de gravedad respecto al eje de rotación es nulo, y los momentos estáticos son nulos, se dice que el cuerpo está ESTATICAMENTE EQUILIBRADO.
Si además el eje de rotación Zes un eje principal de inercia del elipsoide de inercia del cuerpo rígido en un punto, al pasar por C, lo será en todo punto y los productos de inercia son nulos.
Por lo tanto las reacciones dinámicas de los soportes son entonces también nulas, lo cual indica que el cuerpo rígido al girar no tiene entonces, debido a su rotación, tendencia alguna a desprenderse de los soportes o cojinetes que mantienen su eje de rotación fijo. Se dice entonces que el cuerpo rígido esta ESTATICAMENTE Y DINAMICAMENTE EQUILIBRADO.
En esta situación de movimiento, en que el sólido está equilibrado estática y dinámicamente las reacciones en los apoyos son las mismas que en situación estática, es decir son independientes de su velocidad de giro.
Es muy importante para evitar vibraciones y el desgaste de los cojinetes que todo cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo esté estáticamente y dinámicamente equilibrado, es decir, su eje de rotación fijo sea eje principal de inercia y el c.d.m. esté situado sobre el eje de rotación fijo.
El sistema que nosotros disponemos es el correspondiente a la figura:
Tenemos: Velocidad de rotación es uniforme = cte.
La masa M será M = Σ mi, siendo mi las masas que intervienen. Como los momentos estáticos tienen que ser nulos
01
i n i i x m u r M Como los productos de inercia tienen que ser nulos
01
i i n i i u r u r m P 2 . - PROCEDIMIENTO
2.1 OBJETOS NECESARIOS Balancing machine 4 bloques (masas)
Regla, compás y transportador de ángulos 2.2.- DESCRIPCION DEL APARATO
La “Balancing Machine” básicamente consiste en un eje perfectamente paralelo, sujeto con rodamientos por los extremos a un armazón rectangular con un motor adosado, que transmite al eje un movimiento de rotación uniforme.
Un extremo del eje va provisto de una polea sujeta a un disco provisto de dos escalas, que usaremos como balanza y como goniómetro.
En la parte superior del armazón rectangular hay un nivel (burbuja) para comprobar el paralelismo del eje y el resultado final del experimento.
Para equilibrar estática y dinámicamente la “balancing machine” se utilizan cuatro bloques de diferentes masas y simétricas que se pueden sujetar sobre el eje.
2.3.- Calculo del tensor de Inercia en el punto A para una posición determinada de las masas. Cálculo del vector momento cinético.
Antes de calcular la posición de equilibrado estático y dinámico de las masas dentro del eje, se va a proceder a calcular, para una posición dada, la posición en x e y del centro de masas del sistema de sólidos, así como el tensor de Inercia en el origen de coordenadas (Punto A). Para ello se usará la tabla 1. Dentro de la tabla, los valores en negrita van a ser fijos para todo el experimento (valores de los wi de las masas, ángulo girado y posición en el eje Z de las masas 1 y 2).
Masa 1 Masa 2 Masa 3 Masa 4
Wmasa (Wi) (gramos) 64 74 82 88
Ángulo girado 0º 45º 150 230
Distancia a A (Zi) (mm) 0 165 55 110
Distancia al eje de giro (ri)(mm)
40 40 40 40
Tabla 1. Valores iniciales de posición angular y en el eje Z de las masas.
La posición del centro de masas en x é y vendrá dada por la siguiente expresión:
. . . .
cos
sin
i i i c m i i i i c m iw r
X
w
w r
Y
w
Los momentos de inercia respecto a los ejes x, y é z se calculan de forma directa:
2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin x i i i i y i i i i z i i i i i I w r z I w r z I w r r
Y para los productos de inercia respecto a los pares de planos coordenados, usamos las ecuaciones de teoría: 2
sin
cos
cos
sin
xy i i i i xz i i i i yz i i i iP
w r
P
w Z r
P
w Z r
Finalmente vamos a considerar que tenemos una velocidad angular w= k. Calculamos el vector momento cinético en función de
2.4 Cálculo de las posiciones de equilibrio de los bloques
Suponemos que hay que encontrar las posiciones de los bloques (3) y (4) para que el conjunto este equilibrado dinámicamente, habiendo fijado las de los bloques (1) y (2). El procedimiento es el siguiente:
(a) Elegir las posiciones angulares y longitudinales adecuadas para los bloques (1) y (2). Elegimos las que tenemos en la tabla 1.
(b) Determinar las posiciones angulares de los bloques (3) y (4), por cálculo gráfico (punto2.5).
(c) Determinar la posición longitudinal de los bloques (3) y (4), analíticamente. (d) Montar los bloques sobre el eje en las posiciones así determinadas
(e) Comprobar si el eje se encuentra en equilibrio estático (f) Comprobar si el eje se encuentra en equilibrio estático
(g) Colocar la correa en la polea y situar la cubierta transparente; conectar el motor y observar si el conjunto se encuentra equilibrado.
(h) Cuando se haya logrado el equilibrio de forma satisfactoria, desplazar levemente uno de los bloques. Observar el desequilibrio producido.
(i) En último lugar se pide calcular el nuevo tensor de inercia para la posición de equilibrado estático y dinámico. Además, volvemos a calcular el vector momento cinético en función de
2.5 Cálculos
Buscamos que las coordenadas x é y del centro de masas sean cero. Vamos a ver cómo lo podemos hacer gráficamente. Suponemos el bloque (1) situado en el punto A y con ángulo cero, y que el bloque (2) esta situado a 165 mm y con un ángulo girado de 45°. Los momentos de desequilibrio que se han medido son los de la Tabla 1.
Figura. Determinación de las posiciones angulares para un sistema de cuatro masas
Se dibuja el polígono de momentos con los valores (Wr), para determinar las posiciones angulares de los bloques (3) (4). (Wr)1 y (Wr)2 son conocidos tanto en magnitud como en dirección El vector (Wr)1 se ha dibujado hacia abajo por convenio. Las longitudes de (Wr)3 y de (Wr)4 son conocidas y dibujamos los arcos desde los extremos de (Wr)1 y de(Wr)2
para encontrar las direcciones de los vectores desconocidos. Una vez obtenido el equilibrio estático, procedemos a equilibrar dinámicamente el dispositivo, para ello vamos a imponer que los productos de inercia Pxz y Pyz sean nulos. Como nuestro sistema de referencia ya ha sido definido en A, esto nos va a dar dos ecuaciones analíticas, que quedan, dado que las distancias ri son iguales para todas las masas:
cos
0
sin
0
i i i i i iPxz
w Z
Pyz
w Z
En este sistema de ecuaciones, nuestras dos incógnitas serán Z3 y Z4. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, tendremos las posiciones de las cuatro masas a lo largo del eje Z, y procedemos a comprobar experimentalmente los cálculos.
RESUMEN DE ACTIVIDADES:
Cálculo, para la posición inicial (Tabla 1), de la posición del centro de masas y del tensor de Inercia en el punto A. Cálculo del vector momento cinético para un vector velocidad angular w.
Cálculo gráfico de la posición de equilibrado estático, fijando los ángulos de las masas 1 y 2.
Cálculo analítico de la posición de equilibrado dinámico para los ángulos de equilibrio estático anterior, fijando la posición en Z de las masas 1 y 2.
Cálculo para esta posición final, de la posición del centro de masas y el nuevo Tensor de Inercia. Comprobar las pequeñas desviaciones producidas por el uso del cálculo gráfico. Finalmente calcular de nuevo el vector momento cinético.
APÉNDICE A LISTA DE SIMBOLOS
a Posición longitudinal sobre el eje r Radio del bloque desequilibrante
x Posición longitudinal respecto al cero de la escala
W Peso del bloque (W = mg)
α Posición angular del bloque.
θ Posición angular del bloque desde el cero de la escala ω Velocidad angular del eje (rad/s)
ANEXO 1. PRÁCTICA 3. EQUILIBRADO DE MOTORES. HOJA DE ENTREGA DE RESULTADOS
Nombre:
Nº Matrícula:
Posición del centro de para la posición incial de las masas:
X c.m. (cm)
Y c.m. (cm)
- Tensor de inercia para la posición inicial:
2 Oxyz
I
Kg m
- Posición de las masas 3 y 4 en equilibrado estático y dinámico:
3 (grados) 4(grados) Z3 (cm) Z4 (cm)
-Coordenadas del centro de masas en la posición calculada de equilibrio:
X c.m. (m)
Y c.m. (m)
-Tensor de inercia para la posición final:
2
Oxyz
I
Kg m
-Vector momento cinético en el punto O inicial y en equilibrio)
2 Oinicial
