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A) TRAZADO DE RECTAS TANGENTES

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Academic year: 2021

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(1)

A) TRAZADO DE RECTAS TANGENTES

Rectas tangentes a una circunferencia que

pasan por un punto (pc).

a) El punto está en la circunferencia.

(1 solución)

b) El punto es exterior a la circunferencia.

(2 soluciones)

c) El punto está en la circunferencia y el centro es

desconocido. (1 solución)

Rectas tangentes a dos circunferencias de

distinto radio (cc).

a) Tangentes exteriores.

(2 soluciones)

b) Tangentes interiores.

(2 soluciones) O P O P P O2 O1 O2

1

O1

(2)

B) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CONOCIENDO EL RADIO

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta (Rpr).

M

2

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia (Rpc).

a) El punto está en la circunferencia.

(2 soluciones)

b) El punto es exterior.

(4 soluciones máximo)

Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rrr).

(4 soluciones)

b) El punto es exterior.

(2 soluciones) M r R

a) El punto está en la recta.

(2 soluciones) R r M R O O R r s R M

(3)

B) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CONOCIENDO EL RADIO

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia (Rrc).

a) La circunferncia y la recta son exteriores.

(4 soluciones máximo)

b) La circunferencia y la recta son tangentes.

(4 soluciones)

3

Circunferencias tangentes a dos circunferencias (Rcc).

a) Las circunferencias son exteriores.

(8 soluciones máximo)

b) Las circunferencias son tangentes.

(4 soluciones)

r R

O

c) La circunferencia y la recta son secantes.

(8 soluciones máximo)

r O

R

c) Las circunferencias son secantes.

(8 soluciones máximo)

R

O’’ O’

(4)

ENLACES

Enlazar dos rectas que se cortan mediante un arco de

radio conocido.

M

4

Enlazar dos rectas que se cortan mediante un arco,

conociendo el punto de tangencia en una de ellas.

Enlazar dos rectas paralelas mediante dos arcos de

igual radio, conociendo los dos puntos de tangencia.

Enlazar dos rectas cualesquiera mediante dos arcos,

conociendo el radio de uno de ellos y los puntos de

tangencia.

Enlazar una recta y un arco mediante otro arco de

radio conocido.

Enlazar una recta y un arco mediante otro arco,

conociendo el punto de tangencia con la circunferencia.

Enlazar una recta y un arco mediante otro arco,

conociendo el punto de tangencia con la recta.

Enlazar dos arcos de circunferencia mediante otro

arco de radio conocido.

r s R r s T r s N r s M N R r O R r O T r O T O’’ O’ R

(5)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr).

5

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr).

a) El punto es exterior.

(2 soluciones)

b) El punto está en una de las rectas

(2 soluciones)

Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc).

b) Un punto está en la recta.

(1 solución)

a) Los puntos son exteriores.

(2 soluciones)

r M

a) Los puntos son exteriores.

(2 soluciones)

b) Un punto está en la circunferencia

(1 solución) N M r N r s M r s M O N O M N M APLICACIÓN DE POTENCIA APLICACIÓN DE POTENCIA APLICACIÓN DE POTENCIA

(6)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

6

a) El punto es exterior

(4 soluciones)

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc).

M

r O

b) El punto está en la recta

(2 soluciones)

Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan (rrr).

(4 soluciones) r s t r M O

APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA

(7)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

7

a) El punto es exterior.

(4 soluciones: 2 soluciones se obtienen con el centro de inversión intersección de las rectas tangentes interiores a las circunferencias dadas)

b) El punto está en una circunferencia.

(2 soluciones) O M O’ M O2 O1

a) El punto es exterior.

(4 soluciones: 2 soluciones se obtienen con el centro de inversión intersección de las rectas tangentes exteriores a las circunferencias dadas)

Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc).

M

O2

O1

APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA

APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA

(8)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

8a

(8 soluciones)

Obtener sólo 2 soluciones: una tangente exterior a las tres circunferencias dadas y otra tangente interior a las tres dadas.

Procedimiento: Dilatación negativa para reducir el ejercicio a circunferencias tangentes

que pasan por un punto y son tangentes a otras dos (caso ya estudiado). Aplicaremos

también el concepto de inversión y potencia.

Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).

P1

P2

P3

Centro de inversión positivo

P

2 -

P

1

(9)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

8b

(8 soluciones)

Otras 2 soluciones:

- Una circunferencia solución será tangente exterior a las dos circunferencias dadas y tangente interior a la otra.

- Y la otra solución será tangente interior a dos y exterior a la otra.

Procedimiento: Dilatación positiva para reducir el ejercicio a circunferencias tangentes

que pasan por un punto y son tangentes a otras dos (caso ya estudiado). Aplicaremos

también el concepto de inversión (positiva) y posteriormente el de potencia.

Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).

P1

P2

P3

Centro de inversión positivo

P

2 +

P

1

(10)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

8c

(8 soluciones)

Otras 2 soluciones:

- Una circunferencia solución será tangente exterior a las dos circunferencias dadas y tangente interior a la otra.

- Y la otra solución será tangente interior a dos y exterior a la otra.

Procedimiento: Dilatación positiva en P2 y dilación negativa en P3 para reducir el ejercicio a

circunferencias tangentes que pasan por un punto (P1) y son tangentes a otras dos (caso ya

estudiado). Aplicaremos también el concepto de inversión (negativa) y posteriormente el de

Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).

P1

P2

P3

Centro de inversión negativo

P

2 +

P

1

(11)

C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO

8d

(8 soluciones)

Otras 2 soluciones:

- Una circunferencia solución será tangente interior a las dos circunferencias dadas y tangente exterior a la otra.

- Y la otra solución será tangente exterior a dos e interior a la otra.

Procedimiento: Dilatación positiva en P3 y dilación negativa en P2 para reducir el ejercicio a

circunferencias tangentes que pasan por un punto ( P1) y son tangentes a otras dos (caso ya

estudiado). Aplicaremos también el concepto de inversión (negativa) y posteriormente el de potencia.

Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).

P1

P2

P3

Centro de inversión negativo

P

2 -

P

1

(12)

POTENCIA: EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES

0

TANGENTES DESDE EL EJE RADICAL

O2

O1

O1

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES (EXTERIORES)

O2

O1

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES (INTERIORES)

O2 O1

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

O2

O1

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

O1

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS

O2

O1

O2

O3

TANGENTES DESDE EL CENTRO RADICAL

O’’

O’

O3

Referencias

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