A) TRAZADO DE RECTAS TANGENTES
Rectas tangentes a una circunferencia que
pasan por un punto (pc).
a) El punto está en la circunferencia.
(1 solución)b) El punto es exterior a la circunferencia.
(2 soluciones)c) El punto está en la circunferencia y el centro es
desconocido. (1 solución)
Rectas tangentes a dos circunferencias de
distinto radio (cc).
a) Tangentes exteriores.
(2 soluciones)b) Tangentes interiores.
(2 soluciones) O P O P P O2 O1 O21
O1B) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CONOCIENDO EL RADIO
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta (Rpr).
M
2
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia (Rpc).
a) El punto está en la circunferencia.
(2 soluciones)b) El punto es exterior.
(4 soluciones máximo)Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rrr).
(4 soluciones)
b) El punto es exterior.
(2 soluciones) M r Ra) El punto está en la recta.
(2 soluciones) R r M R O O R r s R MB) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CONOCIENDO EL RADIO
Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia (Rrc).
a) La circunferncia y la recta son exteriores.
(4 soluciones máximo)b) La circunferencia y la recta son tangentes.
(4 soluciones)3
Circunferencias tangentes a dos circunferencias (Rcc).
a) Las circunferencias son exteriores.
(8 soluciones máximo)b) Las circunferencias son tangentes.
(4 soluciones)r R
O
c) La circunferencia y la recta son secantes.
(8 soluciones máximo)r O
R
c) Las circunferencias son secantes.
(8 soluciones máximo)R
O’’ O’
ENLACES
Enlazar dos rectas que se cortan mediante un arco de
radio conocido.
M
4
Enlazar dos rectas que se cortan mediante un arco,
conociendo el punto de tangencia en una de ellas.
Enlazar dos rectas paralelas mediante dos arcos de
igual radio, conociendo los dos puntos de tangencia.
Enlazar dos rectas cualesquiera mediante dos arcos,
conociendo el radio de uno de ellos y los puntos de
tangencia.
Enlazar una recta y un arco mediante otro arco de
radio conocido.
Enlazar una recta y un arco mediante otro arco,
conociendo el punto de tangencia con la circunferencia.
Enlazar una recta y un arco mediante otro arco,
conociendo el punto de tangencia con la recta.
Enlazar dos arcos de circunferencia mediante otro
arco de radio conocido.
r s R r s T r s N r s M N R r O R r O T r O T O’’ O’ R
C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr).
5
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr).
a) El punto es exterior.
(2 soluciones)b) El punto está en una de las rectas
(2 soluciones)Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc).
b) Un punto está en la recta.
(1 solución)
a) Los puntos son exteriores.
(2 soluciones)
r M
a) Los puntos son exteriores.
(2 soluciones)b) Un punto está en la circunferencia
(1 solución) N M r N r s M r s M O N O M N M APLICACIÓN DE POTENCIA APLICACIÓN DE POTENCIA APLICACIÓN DE POTENCIAC) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
6
a) El punto es exterior
(4 soluciones)Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc).
M
r O
b) El punto está en la recta
(2 soluciones)Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan (rrr).
(4 soluciones) r s t r M O
APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA
C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
7
a) El punto es exterior.
(4 soluciones: 2 soluciones se obtienen con el centro de inversión intersección de las rectas tangentes interiores a las circunferencias dadas)
b) El punto está en una circunferencia.
(2 soluciones) O M O’ M O2 O1a) El punto es exterior.
(4 soluciones: 2 soluciones se obtienen con el centro de inversión intersección de las rectas tangentes exteriores a las circunferencias dadas)
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc).
M
O2
O1
APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA
APLICACIÓN DE INVERSIÓN Y POTENCIA
C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
8a
(8 soluciones)Obtener sólo 2 soluciones: una tangente exterior a las tres circunferencias dadas y otra tangente interior a las tres dadas.
Procedimiento: Dilatación negativa para reducir el ejercicio a circunferencias tangentes
que pasan por un punto y son tangentes a otras dos (caso ya estudiado). Aplicaremos
también el concepto de inversión y potencia.
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).
P1
P2
P3
Centro de inversión positivo
P
2 -P
1C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
8b
(8 soluciones)Otras 2 soluciones:
- Una circunferencia solución será tangente exterior a las dos circunferencias dadas y tangente interior a la otra.
- Y la otra solución será tangente interior a dos y exterior a la otra.
Procedimiento: Dilatación positiva para reducir el ejercicio a circunferencias tangentes
que pasan por un punto y son tangentes a otras dos (caso ya estudiado). Aplicaremos
también el concepto de inversión (positiva) y posteriormente el de potencia.
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).
P1
P2
P3
Centro de inversión positivo
P
2 +P
1C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
8c
(8 soluciones)Otras 2 soluciones:
- Una circunferencia solución será tangente exterior a las dos circunferencias dadas y tangente interior a la otra.
- Y la otra solución será tangente interior a dos y exterior a la otra.
Procedimiento: Dilatación positiva en P2 y dilación negativa en P3 para reducir el ejercicio a
circunferencias tangentes que pasan por un punto (P1) y son tangentes a otras dos (caso ya
estudiado). Aplicaremos también el concepto de inversión (negativa) y posteriormente el de
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).
P1
P2
P3
Centro de inversión negativo
P
2 +P
1C) TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES SIN CONOCER EL RADIO
8d
(8 soluciones)Otras 2 soluciones:
- Una circunferencia solución será tangente interior a las dos circunferencias dadas y tangente exterior a la otra.
- Y la otra solución será tangente exterior a dos e interior a la otra.
Procedimiento: Dilatación positiva en P3 y dilación negativa en P2 para reducir el ejercicio a
circunferencias tangentes que pasan por un punto ( P1) y son tangentes a otras dos (caso ya
estudiado). Aplicaremos también el concepto de inversión (negativa) y posteriormente el de potencia.
Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc).
P1
P2
P3
Centro de inversión negativo
P
2 -P
1POTENCIA: EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES0
TANGENTES DESDE EL EJE RADICAL
O2
O1
O1
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES (EXTERIORES)
O2
O1
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES (INTERIORES)
O2 O1
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
O2
O1
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS INTERIORES
O1
CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS
O2
O1
O2
O3
TANGENTES DESDE EL CENTRO RADICAL
O’’
O’
O3