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1 Los números reales VAMOS A CONOCER QUÉ NECESITAS SABER? Los números racionales. Los números irracionales. Los números reales y su representación

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(1)

VAMOS A CONOCER…

Los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

y su representación

Intervalos

Raíces y sus propiedades

Racionalización

Aproximación de números y su error

Notación científica

1 ·

Los números reales

1 ·

Los números reales

¿QUÉ NECESITAS SABER?

Operar con números racionales

Realiza las siguientes operaciones:

a) b) c) d)

Fracciones propias e impropias

Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:

a) b) c) d)

Expresa como número mixto las siguientes fracciones impropias:

a) b) c) d) 25 4 17 7 7 3 7 4 1 1 4 + 3 1 6 + 1 3 4 + 2 3 5 + 1 3 2 5 1 2 3 3 2 4 5 − + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ : 3 5 2 3 2 3 4 2 − ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⋅ 3 5 2 3 4 3 5 − ⋅ 3 2 1 4 3 5 7 10 − ⋅ +

(2)

Y La civilización griega ya intuía la existencia de

núme-ros «inconmensurables» que no podían ser expre-sados como fracción de dos números, como por ejemplo la medida de la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ó la razón existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

(3)

1. Los números racionales

El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todas las

frac-ciones de la forma

siendo p un número entero y n un número natural

distinto de cero.

Paso de decimal a fracción

Ejemplos

• Dado el número 2’345, la fracción

tiene como expresión

deci-mal el número dado.

• Dado el número

, como sólo hay una cifra decimal en el periodo,

multiplicamos el número por 10 y le restamos el número inicial:

Despejando obtenemos

, una fracción de expresión decimal

.

• Tomemos ahora el número x =

.

– Primero multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales periódicas y no periódicas tengamos.

– Luego multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales no periódicas tengamos y restamos:

Despejando en la expresión anterior obtenemos

, una fracción

cuya expresión decimal es

2 346



.

x

=

2 112

900

1 000

2 346 6666

100

234 6666

900

2 11

x

x

x

=

=

=

...

...

2

2 0000

...

2 346



3 5



x

=

32

9

10

35 5555

3 5555

9

32 0000

x

x

x

=

− =

=

...

...

...

x

= 3 5



2 345

1 000

p

n

Notación

El símbolo representa la conjun-ción lógica «y».

Por ejemplo: « » quiere decir «p pertenece a Z y n pertene-ce a N». p∈ ∧ ∈ n  ∧



=

∈ ∧ ∈





p

n

:

p

n

con

n

0

d

Todo número decimal exacto, periódico puro o mixto se puede

expre-sar como una fracción.

d

RECUERDA…

Podemos expresar cualquier fracción como un número decimal, solo bas-ta con dividir el numerador entre el denominador.

!

ACTIVIDADES

1. Expresa como decimal las siguientes fracciones y clasifica los números decimales

obtenidos:

a) b) c) d)

2. Expresa como fracción los siguientes números decimales:

a) 0 05’ b) 2 74’ c) 0 07’  d) 2 353’  e) 2 9’ 1 7 5 6 2 3 3 5

(4)

Y

2. Los números irracionales

Observemos el siguiente número decimal:

Este número decimal no es exacto y en él no se puede definir un periodo,

por tanto estamos ante un número que no puede ser racional.

Ejemplo

Demostrar que

no es racional.

Supongamos que

es racional, entonces se podría expresar como una

fracción irreducible:

irreducible (a y b no tienen divisores comunes)

Despejando y elevando al cuadrado tenemos:

De esta expresión se deduce que a es par, por tanto a = 2p.

Sustituyendo en la expresión

:

Con esto concluimos que b también es par, b = 2q. Sin embargo esto es una

contradicción ya que

era irreducible y ahora numerador y denominador

son divisibles entre 2:

En consecuencia

no se puede expresar como una fracción y, por

tanto, es un número irracional.

2

a

b

p

q

p

q

a

b

=

2

=

2

¡OJO! La fracción

era irreduciible

a

b

(

2

)

2

2

2

4

2

2

2

2

2 2

p

=

b

p

=

b

p

=

b

a

2

b

2

2

=

a

2

b

2

2

=

a

= 2

b

2

=

a

b

2

2

0 101001000100001000001

...

Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no

periódica.

d

Los números que se obtienen como solución de la ecuación x

2

= a, donde

con

a

≥ 0

y no es un cuadrado perfecto, son irracionales.

a

∈ 

d

ACTIVIDADES

3. Escribe dos números irracionales comprendidos entre y .

4. Encuentra dos números racionales y dos irracionales entre y .

5. Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales:

a) b) c) d) 1 4 0 1234’  3 5 12’ 0 32001’ 0 3201’ 2 1’ 21’

El número

π

El número π es un ejemplo de núme-ro irracional. Durante mucho tiempo conseguir la mejor aproximación de este número ha sido un reto mate-mático. En la actualidad se conocen miles de millones de cifras de este número.

π = 314159265358979’ ...

Observación

Entre dos números racionales hay in-finitos números irracionales.

(5)

3. Los números reales

El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, la recta

real, donde cada número se corresponde con uno de sus puntos.

Representación de números en la recta real

Representación de números racionales

Para representar una fracción tenemos que dividir el segmento en el que se

encuentre en tantas partes como indique el denominador, utilizando el

teo-rema de Tales, y marcar el numerador.

Ejemplos

Representación de números irracionales

En general, nos resultará imposible representar con exactitud un número

irra-cional. Lo que se suele hacer es indicar el segmento donde se encuentra. Este

segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo del número

de decimales que utilicemos para aproximar.

Ejemplos

Representación de números irracionales de la forma

Estos números se pueden representar de forma exacta utilizando el teorema

de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo cuya hipotenusa

mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la recta con el compás.

Ejemplos

1 1 0 2 2 0 2 32

a

1’2 1’25 1’3 1’26 1 1 1 2 2 2 0 11 1 2 6 + 1 4 6 +

Números decimales

Si queremos representar en la recta un número racional expresado en for-ma decifor-mal, simplemente tenemos que pasarlo a fracción y representarla.

ACTIVIDADES

6. Representa en la recta real los siguientes números irracionales:

a) 5 b) 7 c) 10 d) π R Q Z N π 0 1 –2 0’2 5 3 5 3 2

El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los

números racionales y el de los números irracionales. Este conjunto se

representa con el símbolo R.

(6)

Y

4. Topología de la recta real

4.1. Relaciones de orden

Dados dos números reales a y b:

• Diremos que a es menor que b, a

< b, si b – a es positivo.

• Diremos que a es mayor que b, a

> b, si b – a es negativo.

• Diremos que a es menor o igual que b, a

≤ b, si a < b ó a = b.

• Diremos que a es mayor o igual que b, a

≥ b, si a > b ó a = b.

Además, tenemos las siguientes propiedades:

• Dados dos números reales distintos a y b, siempre a

< b ó a > b.

• Si a

≤ b, a + c ≤ b + c, para cualquier número real c.

• Si a

≤ b y c ≥ 0, entonces a · c ≤ b · c.

• Si a

≤ b y c ≤ 0, entonces a · c ≥ b · c.

4.2. Intervalos

ACTIVIDADES

7. Representa gráficamente y expresa mediante intervalos y conjuntos:

a) los números reales menores que –3.

b) los números reales mayores o iguales que 2 y menores que 7. c) los números reales mayores o iguales que –5.

d) los números reales menores que –5 y mayores que –10.

8. Representa gráficamente y expresa mediante intervalos:

a) c) e) b)

{

x∈ : 2− < ≤x 3

}

d)

{

x∈ : 3− < <x 0

}

f)

{

x∈ : 0≤ ≤x 4

}

x x≥ −

{

 : 1

}

x x ≤ −

{

 : 1

}

x − ≤ <x

{

 : 2 5

}

Definiciones

• Un intervalo es abierto cuando sus extremos no pertenecen al in-tervalo.

• Un intervalo es cerrado cuando sus extremos pertenecen al intervalo.

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde

con un segmento o una semirrecta de la recta real.

d Intervalo abierto

( )

a b,

{

x∈ :a< <x b

}

a b Intervalo cerrado ⎡⎣a b, ⎤⎦

{

x∈ :a≤ ≤x b

}

a b Intervalo semiabierto ⎡⎣a b,

)

{

x :a≤ <x b

}

a b Intervalo semiabierto

(

a b, ⎤⎦

{

x∈ :a< ≤x b

}

a b Semirrecta abierta

(

a, +∞

)

{

x∈ :a<x

}

a Semirrecta cerrada ⎡⎣a, +∞

)

{

x∈ :ax

}

a Semirrecta abierta

(

−∞, b

)

{

x∈ :x <b

}

b Semirrecta cerrada

(

−∞, b⎤⎦

{

x :x b

}

b

(7)

5. Potencias de exponente racional

5.1. Potencias de exponente natural

Ejemplos

Simplificar las expresiones utilizando las propiedades de las potencias:

5.2. Potencias de exponente entero

Para definir potencias de exponente entero necesitamos definir las

poten-cias de exponente negativo. Este tipo de potenpoten-cias deben cumplir las

pro-piedades de las potencias de exponente natural, por tanto:

a

a

a

a

a

a

a

n n n n n n n n

=

+ −( )

=

=

0

= ⇒

=

1

1

2

2 3

3

2

3

2

2

3

3

2

3

2

3 4 2 5 3 2 3 2 4 2 5 3 2 5

⋅ ⋅

=

=

− −

(

)

:

3

3

2

3

2

3

2

3

8 3 7 5 3 8 7 8 − − − −

=

=

( )

5

−2

( ) :

5

2 3

5

−4

=

5

−2

5

2 3⋅

:

5

−4

=

5

−2

5

6

:

5

−4

=

5

− +2 6−− −(4)

=

8

5

2

2

2

2

2

1

2

1

4

5 8 5 1 8 2 2

=

+ −

=

=

=

3

5

3

6

⋅ =

3

3

5 6 1+ +

=

3

12

Definimos a elevado a la n-ésima potencia, a

n

, con a un número real

y n un número natural, como el resultado de multiplicar n veces el

número a por sí mismo:

a

n

a a

a

n

=

⋅ ⋅

...

veces



d

Una potencia con exponente negativo es el inverso de esta misma

poten-cia con exponente positivo.

a

a

n n

=

1

d

Potencias por recurrencia

La definición de potencia de expo-nente natural por recurrencia es: • a0= 1

• an + 1= a · an, para n ∈ N

Propiedades de las potencias • a0= 1a a a n m n m = − • a1= a • (an m) = an m• an· am= an + m • (a b )n = anbn

Potencias

en la calculadora

Para calcular potencias con la calcu-ladora utilizamos la tecla combinada con la tecla de mul-tiplicación para indicar los exponen-tes. Podemos observar que encima de la tecla aparece el icono «xy».

Para calcular 57debemos introducir:

= 7 × shift 5 × shift

ACTIVIDADES

9. Simplifica y expresa el resultado como una potencia de exponente positivo:

a) c) e) b) d) f) 6 2 2 3 2 3 5 3 4 2 2 2 5 ⋅ : ( : − −) : 3 2 2 3 2 3 4 3 2 4 5 3 2 ( )− ( ) − ⋅ ⋅ : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 2 12 5 2 ⋅ ⋅ − : − 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 : : : ( ) ( ⋅ )− 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 3 3 2 3 ( ) ( ) : − : − − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 2 5 5 2 ⋅ ⋅ −

(8)

Y

5.3. Potencias de exponente racional

Antes de definir estas potencias vamos a hacer una pequeña reflexión: si

queremos que las propiedades de las potencias de exponente entero se

pue-dan extender a las potencias de exponente racional, la propiedad

deberá ser cierta, y como todo número racional se puede expresar como

una fracción, tendremos lo siguiente:

Raíces equivalentes

Ejemplos

• Expresar en forma de potencia y escribir raíces equivalentes:

• Simplificar las siguientes raíces:

a)

c)

b)

d)

6

5

24

=

5

4

3

30

3

20

=

3

27

3

6

=

2

8

2

12 3 2

=

a

n

a

a

a

a

n

n nn n n 1 1 1

( )

=

= ⇒

=

con



( )

a

b c

=

a

b c

Se dice que dos raíces son equivalentes si al expresarlas como

poten-cia las fracciones que determinan los exponentes son equivalentes.

a

a

n

m

p

q

n m

=

q p

=

d

Definiremos la potencia

como la raíz m-ésima de a

n

.

a

a

n m m n

=

a

n m d

ACTIVIDADES

10. Expresa en forma de potencia:

a) b) c) d)

11. Expresa como raíz las siguientes potencias:

a) b) c) d)

12. Simplifica las siguientes raíces:

a) b) c) d)

13. Obtén dos raíces equivalentes de cada una:

a) 5 b) 334 c) 532 d) 464 64 15 536 60 312 15 26 3 2 8 2 1 2 5 1 4 3 4 3 23 5 32 6 34 3 2

RECUERDA…

Si , na=b entonces bn= a

!

Raíces reducibles

Se dice que una fracción es reducible si se puede simplificar.

Si el exponente que determina una raíz es una fracción reducible, pode-mos simplificarla y así, a su vez, sim-plificaremos la raíz.

26 2 2

12 = 6 3 = ← irreducible

Potencia Raíces equivalentes 23 4 2 3 4 826 1229 27 5 3 3 5 1036 1539

(9)

6. Las raíces: propiedades y operaciones

6.1. Reducción de raíces a común índice

Vamos a reducir las raíces

a índice común:

1. Expresamos las raíces en forma de potencia:

2. Reducimos los exponentes a común denominador y volvemos a expresar

las potencias en forma de raíz. El mcm de los denominadores es 30:

6.2. Extracción de factores de una raíz

Vamos a extraer factores de la raíz

:

1. Descomponemos el radicando en factores primos:

2. Dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la raíz.

El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de la raíz y el

resto es el exponente del factor primo que queda dentro de la raíz:

5 = 4 · 1 + 1

3 = 4 · 0 + 3

Ejemplo

6.3. Introducción de factores en una raíz

Podemos introducir un factor dentro de una raíz elevando dicho factor al

índice de la raíz:

3

2

3

2

3 2

2

5

2

2 2

5

2

5

4 5 5 4 5 5 20 3 2 3 2 3 6

=

(

)

=

=

=

( )

2

625

6 561

2

5

3

2

5

3

5

3

12 3 12 4 8 3 4 2 3 2

=

=

1 944

2

3

2

3

2

3

3

3 2

3

4

=

4 3

5

=

4 3

4 1 1·+

=

4 3

4

⋅ =

4 3

1 944

2

3

4 4 3 5

=

1 944

4

2

3

2

2

2

3

3

3

3

10 3 10 9 30 30 9 6 7 7 6 35 30 30 35

=

=

=

=

=

=

2

3

2

3

3

10 3 10 6 7 7 6

=

=

2

3

3

10 6 7

y

• Reduce a común índice las raíces:

El mcm de los índices es 20. Así, las raíces equivalentes serán:

• Ordena de menor a mayor las si-guientes raíces:

Si reducimos a común índice:

Ahora, ordenando las raíces equi-valentes obtenemos: 21 216 5 184 21 6 6 6 6 3 < < ↓ < 6< 72 6 6 216 21 72 5 184 3 6 6 6 2 6 6 = = = 6 621 372 212 3 20 ,20210,20215 15 ⋅ 23 2 2 3 5 4 3

ACTIVIDADES RESUELTAS

ACTIVIDADES

14. Extrae todos los factores posibles:

a) b) c) d)

15. Introduce los factores dentro de la raíz:

a) b) c) d) e)

16. Ordena las siguientes raíces de mayor a menor:

32 6 75 4 3 3 2 3 5 5 3 2 3 3 4 2 52 35 3 3 23 5 2 3 5 17 23 19 5 ⋅ 192 6 314 3 223

(10)

Y

6.4. Suma y resta de raíces

Dos raíces son semejantes si tienen los mismos índices y radicandos.

Ejemplos

6.5. Producto y cociente de raíces

Para multiplicar o dividir dos raíces estas tienen que tener el mismo índice.

Si las raíces no tienen el mismo índice siempre podemos reducirlas a índice

común y luego operar.

Ejemplos

6.6. Potencia y raíz de una raíz

Ejemplo

2

2

2

2 2

5 4 5 4 5 4

( )

=

( )

=

=

3

2

5

3

5

3

5

3 6 4 6 3 6 4 3

=

=

2

6

4

2

6

4

12

4

12

4

3

5 5 5 5 5 5 5 5 5

=

(

)

=

=

= −

3 7

5 343

=

3 7

5 7

3

=

3 7

− ⋅

5 7 7

=

3

35 7

= −

32 7

(

)

2 4

4

+

11 4

4

5 4

4

=

2 11 5 4

+

4

=

8 4

4

(

)

ACTIVIDADES

17. Opera y simplifica: a) b) 18. Opera y simplifica: a) b) c) d) 19. Opera y simplifica: a) b) c) d) 4 2 2 3 2 3 ⋅ 3 3 3 4 ⋅ 5453 3 33 5 3 5 53 4 8 32 423 ⋅ ⋅ 35 3 6 3 3 332 ⋅ 3372 + ⋅4 349 2 5− ⋅3 6125

Raíces en la calculadora

Para calcular raíces con la calculadora utilizamos la tecla combinada con la tecla de división para indi-car los índices. Podemos ver que enci-ma de la tecla aparece el icono «x1/y». Para calcular debemos introducir:

= 5 ÷ shift 3 3 5 ÷ shift

Para sumar o restar varias raíces estas tienen que ser semejantes.

d

para cualquier n

∈ N

para cualquier n

∈ N

a

b

a

b

n n n

=

a b

a

b

n

⋅ =

n

n d

para cualesquiera n, m

∈ N

para cualesquiera n, m

∈ N

a

a

n m n m

( )

=

a

a

n m

=

n md Opera y simplifica: • • • • 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 9 6 6 10 3 5 3 2 ⋅ = = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 2 20 15 20 8 23 20 20 3 ⋅ = ⋅ = = = ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6 4 3 12 12 7 = ⋅ = 2 3 3 2 3 3 2 1 2 3 3 5 3 3 − + = =⎛ − + ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =

ACTIVIDADES RESUELTAS

(11)

7. Racionalización

7.1. Fracciones con una raíz en el denominador

Vamos a racionalizar fracciones del tipo

. Para ello multiplicamos el

numerador y el denominador por

, con lo que obtenemos:

Ejemplos

7.2. Fracciones con un binomio en el denominador

Las fracciones que vamos a racionalizar serán de uno de los siguientes tipos:

Ejemplos

3

2

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

2 3

3

2

3

1

=

+

+

=

+

=

+

=

= −

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

3

3 2

(

+

3

)

= −

6

− = − −

3

3

6

1

1

2

1

2

1

2 1

2

1

2

1

2

1

2

1 2

1

2

1

2

=

+

+

=

+

( )

=

+

=

+

= −

(

)(

)

1

1

2

a

b

c

a

b

c

a

b

c

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 5 3 5 2 5 5 3 3 5 10 5 6 10 11

=

=

=

=

=

⋅ 22

2

2

10 10

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

a

b

a b

b

b

a b

b b

a b

b

n n n n n n n n n n n n n n

=

=

=

=

− − − − − 1 1 1 1 1

aa b

b

n n −1

b

n n −1

a

b

n

Racionalizar una fracción es eliminar las raíces de su denominador.

d

Para racionalizar una fracción del tipo

multiplicamos el

numera-dor y el denominanumera-dor por

n

b

n−1

y simplificamos.

a

b

n

d

Para racionalizar fracciones con un binomio en el denominador

multi-plicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

d

Definición

El conjugado de un binomio a + b es el binomio a – b.

De esta forma, al multiplicarlos obte-nemos una diferencia de cuadrados:

(a+b a) ( −b)=a2−b2

Signo de una raíz

Como hemos visto, si, y solo si, a = bn.

• Si n es par, tenemos que , por tanto:

• Si n es impar, tenemos que bn

tie-ne el mismo signo: Por ejemplo: • • • 4 2 8 2 8 2 3 3 = ± − = − = a b n = a b n = ± bn≥ 0 a b n =

ACTIVIDADES

20. Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones:

a) c) e) g) b) d) f) h) 3 23 5 7 2 4 1+ 5 3 1 3 7 243 5 5 4 2 2 3 3 3

(12)

Y

8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo

Para expresar el orden de aproximación indicamos el nombre de la cifra hasta

la que se quiere redondear; así, una aproximación a las décimas es de

or-den 1, a las centésimas es de oror-den 2, a las milésimas es de oror-den 3...

8.1. Métodos de aproximación

• Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras

deci-males a partir del orden considerado.

• Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir del

orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal.

• Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden

indi-cado y, si la cifra siguiente al orden considerado es mayor o igual que 5,

se añade una unidad a la última cifra decimal que incluimos.

8.2. Error absoluto y relativo

Cotas para el error absoluto

En muchas ocasiones no conocemos exactamente el número que queremos

aproximar. En esos casos no podemos calcular exactamente el error.

El error absoluto (E

a

) de una aproximación V

a

de un número V

r

es el

valor absoluto de su diferencia:

El error relativo (E

r

) de una aproximación V

a

de un número V

r

es el

valor del cociente del error absoluto entre V

r

:

E

E

V

V

V

V

r a r r a r

=

=

E

a

=

V

r

V

a d

La cota del error absoluto indica en cuánto nos podemos equivocar

como máximo al utilizar una aproximación.

d

Decimos que una aproximación es de orden n cuando obtenemos un

número racional con n decimales.

d

ACTIVIDADES

21. Aproxima por defecto, por exceso y redondea los siguientes números reales hasta

las milésimas y hasta las diezmilésimas:

a) 2’34556 b) c) 1’39984 d) π

22. Calcula el error absoluto y el error relativo para el ejercicio anterior. En caso de

no poder calcularlo exactamente, indica la cota del error cometida. 3

• Aproximar 3’23295234 hasta las diezmilésimas (orden 4).

Truncamiento: 3’2329 Por exceso: 3’2330 Redondeo: 3’2330

• Aproximar 3’23277879 hasta las milésimas (orden 3).

Truncamiento: 3’232 Por exceso: 3’233 Redondeo: 3’233

• Aproximar 0’45329823 hasta las millonésimas (orden 6). Truncamiento: 0’453298 Por exceso: 0’453299 Redondeo: 0’453298

EJEMPLOS

RECUERDA…

El valor absoluto de un número es dicho número ignorando el signo.

− = + = 5 5 7 7

!

Observación

Cuanto menores sean los errores más exacta será nuestra aproximación.

Milésimas 0’001 0’001 0’0005

Centésimas 0’01 0’01 0’005

Décimas 0’1 0’1 0’05

Orden Truncamiento Aproximación por exceso Redondeo

(13)

9. Notación científica

Normalmente los números que manejamos son pequeños, pero en muchas

ocasiones trabajamos con números muy grandes, como por ejemplo:

• la distancia de la Tierra al Sol.

• el número de bacterias en un cultivo.

En otras ocasiones la cantidad que debemos manejar es tan pequeña que su

expresión requiere muchas cifras decimales, como por ejemplo:

• el grosor de una hoja de papel.

• la distancia del enlace molecular.

Esta circunstancia hizo que se ideara una notación para simplificar las

expre-siones muy grandes o muy pequeñas.

Observemos los siguientes números:

32 000 000 000 000 = 3’2 · 10 000 000 000 000 = 3’2 · 10

13

0’00000089 = 8’9 : 10 000 000 = 8’9 · 10

–7

Observemos que tiene una sola cifra entera y que el resto de las cifras son

decimales.

Ejemplos

Escribir en notación científica los siguientes números:

• 12 300 000 000 = 1’23 · 10

10

• 324’5 · 10

7

= 3’245 · 10

9

• 0’000000432 = 4’32 · 10

–7

• 0’034 · 10

–8

= 3’4 · 10

–10

• 0’018 · 10

5

= 1’8 · 10

3

• 345’6 · 10

–7

= 3’456 · 10

–5 Giga- 109 Mega- 106 Kilo- 103 Hecto- 102 Deca- 10 Deci- 10–1 Centi- 10–2 Mili- 10–3 Micro- 10–6 Nano- 10–9 Órdenes de magnitud

Para que un número esté expresado correctamente en notación

cientí-fica debe tener la siguiente forma:

a’bcd… · 10

n

, donde n es un número entero

d

Uso de la calculadora

Para escribir un signo negativo en el exponente primero debemos pulsar la tecla EXP y después la tecla +/–.

En un número expresado en notación científica el exponente al que

está elevado el 10 es el orden de magnitud.

d

ACTIVIDADES

23. Escribe en notación científica los siguientes números:

a) 3 450 000 000 000 c) 32 diezmilésimas e) 0’000000348 b) 24 millones d) 35 milésimas f) 23 billones

24. Los siguientes números están mal expresados en notación científica. Corrígelos:

a) 32’54 · 106 c) –0’0089 · 10–3 e) 0’00543 · 109

(14)

Y

9.1. Suma y resta en notación científica

Para sumar y restar números expresados en notación científica necesitamos

que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud.

Ejemplos

• 2’4 · 10

5

+ 5’3 · 10

4

= 2’4 · 10

5

+ 0’53 · 10

5

= 2’93 · 10

5

Hemos pasado el sumando 5’3 · 10

4

a orden 5 con lo que ambos

suman-dos son del mismo orden y podemos así sumar normalmente.

• 5’78 · 10

–4

– 3’25 · 10

–3

= 0’578 · 10

–3

– 3’25 · 10

–3

= 2’672 · 10

–3

En esta ocasión hemos pasado 5’78 · 10

–4

de orden –4 a orden –3.

Si vamos a sumar o restar números escritos en notación científica debemos

escribirlos en el orden de magnitud mayor que aparezca.

9.2. Producto y división en notación científica

Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica

simple-mente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto de la

expresión por otro.

Ejemplos

Hemos escrito correctamente el resultado en notación científica.

9.3. Uso de la calculadora en notación científica

Con una calculadora podemos expresar números en notación científica

uti-lizando la tecla

. Por ejemplo, para expresar 2 · 10

5

deberemos teclear

y nos aparecerá en pantalla la expresión

, que representa el

número que estábamos buscando.

Ejemplo

Expresamos –5’32 · 10

–8

en la calculadora en notación científica tecleando:

+/– 8 EXP +/– 5.32 205 5 EXP 2 EXP

(

4 5 10

5

) : ( ’

18 10

7

)

= −

(

4 5 18 10

’ : ’ )

5 7−

= −

2 5

1

10

−2

( ’

) ( ’

)

( ’

’ )

( )

4 56 10

7

3 5 10

−3

=

4 56 3 5 10

7+ −3

=

1

5

5 96 10

4

1596 10

3

=

d

c

MATEMÁTICAS

DE

PROFESIÓN

Las competencias

matemáticas

c

Una competencia es el conjunto de co-nocimientos, habilidades y actitudes suficientes para realizar una determi-nada actividad de forma eficaz. Podemos clasificar en siete las compe-tencias en Matemáticas:

• Pensar y razonar. Las Matemáticas ayudan a desarrollar el razonamien-to abstracrazonamien-to.

• Argumentar. Utilizar el razona-miento lógico para poder demostrar las consecuencias de una idea o si-tuación.

• Comunicar. Utilizar el lenguaje de forma clara y precisa, expresándose correctamente.

• Modelar. Utilizar los modelos mate-máticos para aproximar situaciones reales.

• Plantear y resolver problemas. Utilizar las herramientas que nos pro-porcionan las Matemáticas para en-frentarse a distintos problemas. • Representar. Realizar

representacio-nes matemáticas de situaciorepresentacio-nes reales e interpretar dichas representaciones. • Utilizar avances técnicos. La infor-mática es una herramienta que debe ser utilizada para desarrollar el resto de competencias.

ACTIVIDADES

25. Realiza las siguientes operaciones en notación científica:

a) c)

b) d)

26. Realiza las siguientes operaciones utilizando la calculadora:

a) b) c) 2 65 10 3 4 10 3 2 10 123 10 42 23 9 2 58 ’ ’ ( ’ ) ’ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2 34 10’ 9 3) : (2 7 10’ 38) −3 54 10 ⋅ −6+ ⋅4 107⋅ −( 9 8 10 ⋅ −17)2 34 10 ⋅ −8+3 21 10 ⋅ −9 3 1 10 −5( ’2 5 10 −9) (⋅ ⋅3 103) 2 53 10 −7:5 10 4 3 45 10 7+9 8 10 6

(15)

Matemáticas de Microsoft

El programa Matemáticas de Microsoft es una herramienta muy útil que podemos utilizar para corregir los ejercicios de la unidad. La mejor forma de conocer un programa es utilizándolo, por tanto, una vez instalado lo mejor es realizar los ejemplos que exponemos a continuación.

Para insertar raíces debemos hacer clic en o en en la calculadora que apa-rece a la izquierda. Introducimos en la línea de edición los siguientes datos:

Pulsamos en el teclado, o bien hacemos clic en el botón del pro-grama, y obtenemos:

Si introducimos en el programa no obtendremos una salida de datos, sino que tendremos tan sólo el resultado numérico.

Con esta herramienta podemos racionalizar todo tipo de expresiones, por ejemplo:

Para escribir fracciones pulsamos el botón de la calculadora.

Hacemos clic en el botón y obtenemos la racionalización de la expresión.

Para aprender a utilizar el programa podemos practicar corrigiendo los ejercicios de la unidad, como por ejemplo los de simplificación de expresiones, los de racio-nalización o los de notación científica.

3 2 3 2 + − 2ó 2 2 INTRO 3 4 3

INFORMÁTICA MATEMÁTICA

La calculadora

La calculadora nos ayudará a la hora de introducir las expresiones en la lí-nea de edición.

(16)

Simplifica las siguientes raíces y extrae factores cuando sea posible: a) c) b) d) Solución a) b) c) d) Racionaliza: a) b) c) d) Solución a) b) c) d) Racionaliza: a) c) e) b) d) f) Solución a) b) c) d) e) f) 2 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 ( ) ( ) ( )( ) ( − = + − + = = + 110 2 5 2 2 2 10 6 2 2 10 6 2 3 3 2 ) ( ) ( ) ( ) − = + − = − + 2 2 6 2 2 2 6 2 6 2 6 2 2 2 6 2 6 2 2 2 6 − = + − + = = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ++ = = + = + = ⋅ + = = + = + 2 4 2 6 2 2 12 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 ) ( ) ( ) 2 2 = 3 1+ 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 10 10 5 2 5 7 − + = − − + − = = − − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) −− − = − + 2 10 3 7 2 10 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 2 − = + − + = + − = = + − ( ) ( ) ( ) ⋅⋅2= +− = +− = − − 1 2 2 1 8 1 2 2 7 1 2 2 7 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 4 3 3 2 3 3 4 − + = − − + − = = − − + − = ( )( ) ( ) ( ) == − + − = − 7 4 3 1 7 4 3 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 + = − + − = − − = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 16 2 2 4 2 14 4 2 7 − = − = − ( ) 2 2 5 32 ( − ) 2 5 2 5 − + 2 3 3 2 − + 2 2 6− 2 1 1 2 2− 2 4+ 2 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 − + + = + + − − + = − = − ( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 2 5 6 2 = = = ⋅ = ⋅ = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3 = ⋅ = = 1 1 3 1 1 3 − + + 4 2− 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 5 3 3 3 3 3 6 2 5 9 3

( )

⋅ ⋅ == = ⋅ ⋅ ⋅ 2 27 18 18 9 9 18 6 15 2 18 54 27 18 9 9 6 1 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 ⋅ ⋅ = 55 2 18 60 76 18 9 30 38 3 49 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 4 3 6 4 4 2 3 12 6 ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = 1 12 9 12 12 6 12 9 12 3 4 2 2 2 1 2 1 2 = = = 3 3 3 3 3 2 9 2 9 2

( )

=

( )

= 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 3 4 5 5 7 10 6 8 10 10 25 5 7 10 6 8 25 5 ⋅ == 7 7 10 24 13 102 5 2 5 2 52 10 4 3 = = = 2 3 3 3 2 3 2 2 3 2 5 3 3 3

( )

⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 2

( )

2 2 2 2 2 3 4 2 5 2 5 2 3 4 5 5 7 10 ⋅ Y

ACTIVIDADES RESUELTAS

(17)

Los números racionales

27. Expresa las siguientes fracciones en forma decimal:

a) c) e)

b) d) f)

28. Expresa los siguientes números decimales en forma de

fracción:

a) 3’56 d) 2’333333... g) 0’515151... b) 2’9999... e) 0’344444... h) 0’454545... c) 3’67999... f) 0’324545... i) 3’123232...

29. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión

decimal sea un número decimal periódico puro.

30. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión

decimal sea un número decimal periódico mixto.

31. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión

decimal sea un número decimal exacto.

32. Realiza las siguientes operaciones. Si no puedes

realizar-las directamente, pasa primero los números decimales a fracción y luego efectúa las operaciones, pasando el resultado de nuevo a número decimal:

a) b) c)

Los números reales

33. Clasifica los siguientes números según sean racionales o

irracionales:

a) c) e)

b) d) f)

34. Escribe dos números racionales comprendidos entre 3’211

y 3’21101.

35. Escribe dos números irracionales comprendidos entre

1’2222... y 1’212121...

36. Representa de forma exacta en la recta real:

a) b) c)

37. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes

afirma-ciones. Justifica la respuesta:

a) Hay números racionales que tienen una expresión decimal infinita.

b) Los números enteros son aquellos que tienen una ex-presión decimal exacta.

c) Un número irracional se puede expresar como una fracción.

d) Hay fracciones que tienen una expresión decimal infi-nita no periódica.

e) Existen números irracionales que no son números reales.

f) Existen números enteros que no son racionales.

Topología de la recta real

38. Representa gráficamente y escribe el intervalo y el

con-junto de todos los números reales que verifiquen: a) Ser mayores que –3 y menores que 3. b) Ser menores que –5 y mayores que –14. c) Ser mayores o iguales que –4.

d) Ser menores que 7.

e) Ser menores que 8 y mayores o iguales que –3. f) Ser mayores o iguales que –4 y menores o iguales

que 5.

g) Ser menores o iguales que –4.

h) Ser mayores o iguales que –5 y menores que –3.

39. Representa gráficamente y escribe los intervalos que

re-presentan los siguientes conjuntos: a)

b) c)

40. Representa gráficamente y escribe los intervalos que

re-presentan los siguientes conjuntos: a)

b) c) d) e)

41. Indica tres números que pertenezcan a cada uno de los

intervalos del ejercicio anterior. x∈ < <x

{

R : 0 5

}

x x>

{

R : 9

}

xx

{

R : 6

}

xx≥ −

{

R : 3

}

xx< −

{

R : 5

}

x∈ − ≤ < −x

{

R : 3 2

}

x∈ − < ≤x

{

R : 2 1

}

x∈ − ≤ ≤x

{

R : 6 3

}

17 15 6 3−5 3 1 17 49 25 121 −5 323222’ ... 8 5 23’ ⋅ −( 5 3’ ) 4 27’ 5 28’ +5 673’  3 4 1’ +2 378’  9 5 15 13 9 14 5 7 2 15 1 6

ACTIVIDADES FINALES

d EJERCICIOS

(18)

42. Dado el intervalo (–5, 1), indica:

a) Todos los números enteros que pertenezcan al inter-valo dado.

b) ¿Cuántos números racionales hay en dicho intervalo? c) ¿Cuántos números irracionales hay en dicho intervalo? d) ¿Y números reales?

43. Escribe los conjuntos y los intervalos que representan los

siguientes gráficos:

44. Escribe el conjunto que representan los siguientes

inter-valos y represéntalos gráficamente:

a) [–2, 4] c) (2, 5] e) (–7, –2) b) [3, 6) d) (–∞, 3] f) [–2, +∞)

Las raíces: propiedades y operaciones

45. Ordena las siguientes raíces de mayor a menor:

46. Encuentra dos raíces equivalentes a:

a) b) c) d)

47. Simplifica las siguientes raíces:

a) b) c) d)

48. Introduce los factores dentro de la raíz:

a) b) c) d)

49. Extrae todos los factores que sea posible:

a) c)

b) d)

50. Expresa en una sola raíz:

a) d)

b) e)

c) f)

51. Expresa como potencia de exponente racional:

a) d)

b) e)

c) f)

52. Opera y extrae factores:

a) e) b) f) c) g) d) h)

Racionalización

53. Racionaliza: a) b) c) 54. Racionaliza: a) b) c) 55. Racionaliza y simplifica: a) c) e) b) d) f) 56. Racionaliza y simplifica: a) c) e) b) d) f) 10 2+ 5 1 2 2 1 3 ( + ) 2 3 1( + 2) 2 3 3 2 − 3 2 3+ 2 3 3 4 5 6 2 2−5 1 3 4 2 2+ 2 3 3+ 5 2 2+ 3 3 2+ 5 1 3+ 2 1 2− 5 1 1+ 3 3 6 2 2 1 5 x x8 3 4x 2

(

)

a a 23 1 96 150+ 486 a⋅3a5 7 248 54+ 216 2324 325 1 2 18 5 3 310 33 4 3 3 3 5 2 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1 27 3 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ 37 3 1 2

( )

5 5 4 3 6 ⋅

(

)

2 2 5 7 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞⎟⎟ 22 3 7

( )

3 3 3 3 3 3 2

( )

24 3 3 3 4 5 6 2 2 2 2 3 3 8 4 5 3 3 3 3 4 23 5 4 ⋅ 2 3 5 5 7 11 4 ⋅ 212 37 5 ⋅ 316 525 84 7 ⋅ ⋅ 28 319 4 ⋅ 4 3 3 2 4 2 5 5 3 63 5 2 125 6 218 30 312 3 64 4 10 25 3 23 4 5 3 2;453;48;67 0 0 0 0 0 3 4 4 7 a) b) c) d) e) –2 –2 –3 –8 Y

(19)

Aproximaciones. Error absoluto y relativo

57. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las

centési-mas los siguientes números:

a) 3’465343243 d) 2’89635433 b) 0’05564543 e) 3’18490986

c) f) 3’565656...

58. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las

diezmilé-simas los números del ejercicio anterior.

59. Calcula el error absoluto y el error relativo para las

apro-ximaciones del ejercicio anterior.

60. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:

Notación científica

61. Expresa con todas las cifras los siguientes números:

a) 2 · 104 c) 2 · 106 e) 3 · 10–8

b) –2’34 · 105 d) 3’2 · 10–3 f) 4 · 10–6 62. Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 32 000 000 d) 45 600 000 000 b) 0’000000345 e) 0’0000567

c) –0’000000004529 f) –897 600 000 000 000

63. Los siguientes números no están expresados

correcta-mente en notación científica, corrígelos: a) 34’5 · 104 d) 2 340 · 107

b) 234’4 · 10–6 e) 0’0004353 · 10–21

c) 0’0004387 · 1023 f) 2 300 · 10–12

64. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la

calculadora:

a) 9 · 108· 3’7 · 1012 c) 3’5 · 10–35· 2’1 · 1030

b) 7’3 · 10–31· 8’9 · 1038 d) 9’23 · 10–12· 5’1 · 10–7

65. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la

calculadora:

a) 2’34 · 107– 3’2 · 108 b) 1’98 · 10–5+ 1’32 · 10–6

66. Realiza las siguientes operaciones sin hacer uso de la

calculadora:

a) 1’35 · 10–3– 1’2 · 10–4 b) 2 · 1012+ 3’89 · 1011

67. Realiza las siguientes divisiones sin hacer uso de la

calcu-ladora:

a) 6 · 1010: 3 · 1015 c) –2’5 · 103: 5 · 10–4

b) –1’44 · 10–8: 3’6 · 103 d) 2’7 · 10–7: 3 · 10–9

68. Comprueba con la calculadora los resultados obtenidos

en los tres ejercicios anteriores.

69. Realiza las siguientes operaciones haciendo uso de la

calculadora: a) 2’1 · 107– 2’4 · 10–10· (–1’5 · 1017) b) (1’3 ·1017)3+ 1’8 · 1050 c) − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 1’3 10 3 10 2 10 2 10 2 5 9 15

Cota del error absoluto

Orden Trunca-miento Redondeo Aprox. por exceso Milésimas Diezmilésimas Cienmilésimas Millonésimas Diezmillonésimas 7

ACTIVIDADES FINALES

70. La masa del Sol es, aproximadamente, 330 000 veces la

masa de la Tierra. Si la masa de la Tierra es 6 · 1024kg,

calcula la masa del Sol.

71. La Tierra tiene una masa aproximada de 6 · 1024 kg.

Sabiendo que la densidad media es 5’5 · 103 kg/m3,

calcula el volumen de la Tierra. Nota: densidad masa

volumen =

(20)

Y

72. Si la distancia de la Tierra al Sol es, aproximadamente,

1’4 · 108 km y la distancia de la Tierra a la Luna es

4 · 105 km, calcula la distancia de la Luna al Sol en el

momento que muestra la figura.

73. La masa de un electrón es 9 · 10–31kg. Las masas de un

pro-tón y de un neutrón son aproximadamente 1’67 · 10–27kg.

Determina la masa de un átomo de azufre sabiendo que tiene 16 electrones, 16 protones y 16 neutrones.

74. La velocidad de la luz es 3 · 108m/s. Calcula el tiempo

que tardará en recorrer 15 km.

Nota: hay que pasar los kilómetros a metros.

75. La masa del electrón es 9 · 10–31 kg. Si en un tubo de

aceleración alcanza una velocidad de 2 · 108m/s, ¿qué

energía cinética tendrá el electrón dentro de dicho tubo? Nota: la fórmula de la energía cinética es .

76. La velocidad del sonido en el agua es 1’6 · 103m/s. Si un

submarinista tarda 0’2 s en detectar un sonido que se produce en la superficie, ¿a qué profundidad se encuen-tra el submarinista? Ec =1 2 2 mv Luna Tierra Sol 90°

1. Pasa a fracción los siguientes números decimales:

a) b)

2. Encuentra dos números entre 1’2301 y 1’230101. 3. Indica el intervalo, representa gráficamente y expresa con

desigualdades los conjuntos siguientes:

a) Los números reales menores o iguales que –3.

b) Los números reales mayores que –2 y menores o igua-les que –1.

c) Los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5.

4. Expresa como raíz única .

5. Expresa en forma de potencia .

6. Racionaliza y simplifica:

a) b) c) d)

7. Expresa correctamente en notación científica:

a) 0’035 · 1012 c) –38’2 · 10–3

b) 0’000000345 d) 354 200 000 000 000 000

8. Completa la siguiente tabla:

9. Calcula sin utilizar la calculadora:

a) 3’5 · 1012+ 8’5 · 1013 b) 10. Calcula utilizando la calculadora:

3 2 10 2 10 2 3 10 3 8 10 5 4 2 7 ’ ’ ’ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 7 10 3 10 17 18 ’ ⋅ ⋅

Orden Milésimas Millonésimas

Número 3’4195 1’32855435 Aproximación por exceso Truncamiento Redondeo Cota error redondeo Cota error truncamiento 2 6 2 6 − + 5 5 3 6 2 2 6 − + 23 2−5 3 4 2 3 2 3 2 5 5 5 5 5 3 3 1 3 6 ⋅ ⋅ ⋅ 3 2325’ 0 0087’ 

AUTOEVALUACIÓN

(21)

El hotel de Hilbert

El matemático Hilbert poseía un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas numeradas. Un buen día hubo una convención de números naturales y se alojaron en su hotel, con

lo que este estaba ocupado completamente.

Al rato de alojar a los números naturales, vinieron los núme-ros entenúme-ros negativos para la convención y Hilbert, que para estas cosas siempre había tenido buenas ideas, pidió a los números naturales que se pasaran a las habitaciones pares, de manera que las impares quedaran vacías. Hecho este cambio alojó a los números negativos en las habitaciones impares y así volvió a llenar el hotel y todos los números quedaron alojados.

¿Hay más números?

El conjunto de los números naturales (N) resuelve los pro-blemas de ordenar, contar, sumar, multiplicar… Pero hay problemas que no podemos solucionar utilizando este conjunto numérico, por ejemplo:

x + 5 = 2

Tenemos entonces la necesidad de ampliar el concepto de número y obtenemos así los números enteros (Z). En este conjunto identificamos los números naturales como los números enteros positivos y el cero.

Siguiendo esta línea de razonamiento nos encontramos con que este nuevo conjunto numérico es insuficiente, ya que no podemos resolver ecuaciones como:

3 · x = 5

No podemos encontrar un número entero que resuelva esta ecuación, por lo que se hace necesaria una nueva ampliación del concepto de número. De esta nueva am-pliación surge el conjunto de los números racionales (Q).

Este nuevo conjunto contiene al conjunto de los números enteros, ya que consideramos que

Con este conjunto parece que tenemos resuelto el pro-blema, sin embargo si consideramos la ecuación

x2= 2

no hallamos solución dentro del conjunto de los números racionales y, por tanto, se hace necesaria una nueva am-pliación del conjunto numérico. Esta nueva amam-pliación será el conjunto de los números reales (R).

Una vez ampliado el concepto a este conjunto nos que-darán otras preguntas: ¿qué pasa con la ecuación x2= –1?,

¿tendremos la necesidad de realizar más ampliaciones del concepto de número?

p= p p

1 donde 

MATEMÁTICAS RECREATIVAS

OLIMPIADA MATEMÁTICA

El número 12 tiene seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Cuatro de ellos son pares y dos son impares. Halla algunos números cuyos divisores sean todos pares excepto el 1. Describe la secuencia de números que tienen esta propiedad. Halla algunos núme-ros que tengan exactamente la mitad de sus factores pares y describe nuevamente la secuencia de númenúme-ros que tienen esa propiedad.

(22)

AMPLÍA CON…

DESARROLLO MATEMÁTICO DE LOS NÚMEROS REALES DE NIVEL ALTO <http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/INICIALES/marco_principal.htm> DESARROLLO DE LA UNIDAD DIVIDIDO EN APARTADOS, CON EJERCICIOS Y PROBLEMAS <http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm>

CONTENIDOS SOBRE NÚMEROS IRRACIONALES CON UN NIVEL DE4º DEESO <http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Irracionales/Irracionales.htm>

EN RESUMEN

NÚMEROS REALES

Números racionales

Números irracionales

Números

enteros

Números

naturales

Notación científica

Raíces

Propiedades

a

a

a b

a

b

a

a

a

a

m n m n n n n m n n m n m n m

=

⋅ =

=

( )

=

Racionalización

Aproximación

Y

Números decimales

exactos o periódicos

Números decimales

no periódicos

Referencias

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