Introducci´
on
Introducci´
on
La noci´
on de cardinal
Afirmaciones acerca del tama˜
no
La noci´
on de cardinal
El tama˜
no del infinito
Introducci´
on
Conjuntos numerables
Conjuntos incontables
Algunas otras cuestiones sobre el tama˜
no
Otros resultados
Cuestiones abiertas
Introducci´on
El objetivo de este tema es introducir algunas cuestiones b´asicas acerca sobre el tama˜no de los conjuntos, especialmente sobre el tama˜no de conjuntos infinitos.
Una introducci´on seria sobre este tema podr´ıa llevar un curso completo. En este tema veremos s´olo unos pocos hechos relevantes, la mayor´ıa sin prueba.
La teor´ıa de los cardinales infinitos fue desarrollada por el matem´atico alem´an George Cantor (1948-1918). Cantor mostr´o c´omo podemos extender las operaciones aritm´eticas a cardinales infinitos y demostr´o algunos resultados sorprendentes.
Afirmaciones acerca del tama˜no
Dos conjuntos finitosAyB tienen un tama˜no determinado. Existen, al menos, dos procedimientos para establecer afirmaciones acerca de su tama˜no,
1. Contar los elementos de cada conjunto y emplear el n´umero correspondiente.
2. Sin emplear n´umeros, comparar el tama˜no emparejando los elementos de cada conjunto.
Afirmaciones acerca del tama˜no
Dos conjuntos finitosAyB tienen un tama˜no determinado. Existen, al menos, dos procedimientos para establecer afirmaciones acerca de su tama˜no,
1. Contar los elementos de cada conjunto y emplear el n´umero correspondiente.
2. Sin emplear n´umeros, comparar el tama˜no emparejando los elementos de cada conjunto.
Afirmaciones acerca del tama˜no
Procedimiento 1
SeanA={a,b}yB ={x,y,z}. El tama˜no deA= 2, el deB= 3; tenemos los siguientes hechos:
1. Tam(A)6=Tam(B) 2. Tam(A)≤Tam(B) De 1 y 2 Tam(A)<Tam(B). 3. Tam(A) +Tam(B) = 5 4. Tam(A)·Tam(B) = 6 5. Tam(A)Tam(B)= 8
Afirmaciones acerca del tama˜no
Procedimiento 2
Emparejamos uno a uno los elementos deAyB. Eventualmente llegaremos a una de estas situaciones,
1. Todo elemento de Aqueda emparejado con un elemento deB. 2. Todo elemento de B queda emparejado con un elemento enA. 3. Todo elemento de Aqueda emparejado con un elemento enB y no
hay elementos en B que queden sin emparejar.
Si sucede1 entoncesTam(A)≤Tam(B), si2 Tam(B)≤Tam(A) si3 Tam(A) =Tam(B).
Afirmaciones acerca del tama˜no
Procedimiento 2
En el procedimiento 2 definimos las operaciones entre tama˜nos como operaciones entre conjuntos con esos tama˜nos:
I Tam(A) +Tam(B) =Tam(A∪B)
I Tam(A)·Tam(B) =Tam(A×B)
I Tam(A)Tam(B)=Tam(BA)
SeanA={a,b}yB ={x,y,z}.
Es f´acil ver que en nuestro ejemplo, el segundo procedimiento aporta los mismos resultados que el primero. Zalabardo: 224-30 muestra que esto es as´ı para todo conjunto finito.
La noci´on de cardinal
En el caso de conjuntos finitos podemos emplear ambos procedmientos. En el caso de conjuntos infinitos no podemos seguir el segundo
procedimiento ya que el tama˜no de un conjunto infinito no viene expresado por ning´un n´umero natural.
Sin embargo es posible, al menos en principio, emplear el segundo procedimiento para conjuntos infinitos. La noci´on de cardinal extiende el segundo procedimiento a todos los conjuntos.
En primer lugar habr´a que dar forma matem´atica a las ideas de ‘emparejar todos los elementos deAcon elementos deB’ y ‘hacer esto de modo que no queden elementos enB sin emparejar’.
La noci´on de cardinal
Identidad y ordenaci´on de cardinales
SeanAyB dos conjuntos disjuntos. |A|y|B| denotan el cardinal correspondiente aAyB respectivamente. Entonces,
I |A| ≤ |B|ssi hay una funci´on biun´ıvoca de Aen B,
I |A|=|B|ssi hay una correspondencia entreAyB. En primer lugar comprobamos que estas definiciones funcionan
adecuadamente. Queremos que = sea una relaci´on de equivalencia entre cardinales y que≤sea una ordenaci´on parcial lineal sobre los cardinales.
La noci´on de cardinal
Identidad y ordenaci´on de cardinales
1. = es una relaci´on de equivalencia (reflexiva, sim´etrica y transitiva). 2. ≤es una ordenaci´on parcial (reflexiva, transitiva y antisim´etrica).
La antisimetr´ıa de≤es un resultado sustancial consecuencia del siguiente teorema:
Teorema de Schr¨oder-Bernstein: Para cualesquiera conjuntosX eY, si existe una funci´on biun´ıvoca deX enY y una funci´on bioun´ıvoca deY enX, entonces existe una correspondencia entreX eY.(Zalabardo: 236, Hedman: 75).
La linealidad de≤(para cualesquiera conjuntosAyB,|A| ≤ |B|o |B| ≤ |A|) es una suposici´on todav´ıa m´as fuerte equivalente a un axioma de la teor´ıa de conjuntos conocido como Axioma de elecci´on.
La noci´on de cardinal
Operaciones con cardinales
Las operaciones con cardinales se definen del mismo modo que antes.
I |A|+|B|=|A∪B|
I |A| · |B|=|A×B|
Introducci´on
La “paradoja” de Galileo
El todo es mayor que la parte. Sin embargo, podemos poner en correspondencia biun´ıvoca el conjunto de los n´umeros naturales con el conjunto de sus dobles:
1 2 3 4 . . . 2 O O 4 O O 6 O O 8 O O . . .
Pero el conjunto de dobles es s´olo una parte (intuitivamente la mitad!) del conjunto de naturales.
Galileo pensaba que esto muestra que las afirmaciones acerca del tama˜no de conjuntos infinitos no tienen sentido.
En el siglo XIX Cantor desafi´o esta idea. Seg´un Cantor, el argumento muestra que hay tantos dobles como naturales.
Conjuntos numerables
Numerabilidad
El conjunto de los n´umeros naturalesNtiene cardinalidad infinita. Llamamos a este cardinalℵ0 (esto es,|N|=ℵ0); este va a ser el cardinal m´as peque˜no y punto de referencia para comparar cardinales infinitos. Definici´on: Un conjuntoAesnumerable si y s´olo si|A|=ℵ0
La paradoja de Galileo muestra efectivamente que el conjunto de dobles de n´umeros naturales es numerable. Otros muchos conjuntos de n´umeros son numerables. Un caso curioso es el de el conjuntoQ+de racionales positivos (este hecho es sorprendente porque los n´umeros racionales est´an densamente ordenados).
Conjuntos numerables
Numerabilidad deQ+
Teorema: Q+es numerable.
Hay que probar que existe una correspondencia entreQ+yN. ComoN⊆Q+,
basta mostrar que hay una funci´on deNsobre la totalidad deQ+1 1/1 //1/2 } }{{{{{{ {{ 1/3 } }{{{{{{ {{ 1/4 } }{{{{{{ {{ . . . 2/1 6 6 m m m m m m m m m m m m m m m 2/2 } }{{{{{{ {{ 2/3 } }{{{{{{ {{ . . . 3/1 8 8 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 3/2 } }{{{{{{ {{ . . . 4/1 : : u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 1 Zalabardo: 241, lema 6.45.
Conjuntos numerables
Numerabilidad deQ+
Teorema: Q+es numerable.
Hay que probar que existe una correspondencia entreQ+yN. ComoN⊆Q+,
basta mostrar que hay una funci´on deNsobre la totalidad deQ+1
1/1 //1/2 } } {{{{{{ {{ 1/3 } } {{{{{{ {{ 1/4 } } {{{{{{ {{ . . . 2/1 6 6 m m m m m m m m m m m m m m m 2/2 } } {{{{{{ {{ 2/3 } } {{{{{{ {{ . . . 3/1 8 8 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 3/2 } } {{{{{{ {{ . . . 4/1 : : u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los elementos deQ+ en una lista. De modo an´alogo podemos listar la totalidad de los n´umeros racionales,Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, despu´es de todo, Galileo ten´ıa raz´on. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran inter´es, puesto que parece haber un ´unico cardinal infinito.
Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los elementos deQ+ en una lista. De modo an´alogo podemos listar la totalidad de los n´umeros racionales,Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, despu´es de todo, Galileo ten´ıa raz´on. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran inter´es, puesto que parece haber un ´unico cardinal infinito.
Conjuntos numerables
¿Infinito = Numerable?
La idea de la prueba anterior es que podemos ordenar todos los elementos deQ+ en una lista. De modo an´alogo podemos listar la totalidad de los n´umeros racionales,Q.
Este y otros resultados sugieren la idea de que, despu´es de todo, Galileo ten´ıa raz´on. Parece que los cardinales infinitos no tienen gran inter´es, puesto que parece haber un ´unico cardinal infinito.
Conjuntos incontables
Incontable
Definici´
on
: Un conjunto
A
es
contable
si y s´
olo si es finito o
numerable.
Un conjunto incontable es aqu´
el que no es ni finito ni numerable.
Dado que el primer cardinal infinito es
ℵ
0, un conjunto incontable
es aqu´
el con cardinalidad mayor que
ℵ
0.
Conjuntos incontables
No-numerabilidad de los reales
Teorema
: El conjunto
R
de los n´
umeros reales es incontable.
Dado queN⊆Rhay que mostrar que, a diferencia deQ, no hay ning´un modo de listarR.
Consideremos los reales [0, 1). Si no podemos listar este conjunto de reales tampoco podremos listar la totalidad. Para cualquier lista consideremos el n´umero real: 0.δ1δ2δ3δ4δ5...definido:
δn
6si n=5
5en caso contrario
(Dondenes el en´esimo d´ıgito del n´umero que ocupa la posici´onnen la lista) Para cualquier lista de n´umeros reales, el n´umero as´ı definido ser´a distinto de cualquiera de los n´umeros en la lista.
Conjuntos incontables
No-numerabilidad de los reales
Ejemplo
: Para la siguiente lista,
0.
1
46555600700...
0.2
5
6678423008...
0.23
2
468535789...
0.223
5
69870099...
0.5656
5
6565656...
el n´
umero 0.δ
1δ
2δ
3δ
4δ
5...
definido de la manera se˜
nalada
anteriormente comenzar´ıa de esta manera: 0.56566...
Este n´
umero difiere del
n
-´
esimo n´
umero de la lista al menos en el
Conjuntos incontables
El teorema de Cantor
Cantor no s´olo demostr´o que hab´ıa un conjunto incontable, sino que hay infinitos conjuntos incontables. Esto es una consecuencia del siguiente teorema:
Teorema de Cantor: Para todo conjuntoA,|A|<|℘(A)| Mostramos que i)|A| ≤ |℘(A)| pero que ii)|A| 6=|℘(A)| Para i) considera la funci´on deAen ℘(A): f(a) ={a}
Para ii) mostramos que, para cualquier funci´on g deAen℘(A), hay alg´un elemento de℘(A) que no es la imagen bajog de ning´un elemento enA. Consideramos el conjuntoX ={a∈A| a∈/ g(a)}. Esto es,a∈X ssia∈/g(a).
El conjuntoX no es la imagen bajog de ning´un elemento enA, puesto que sig(a) =X entoncesa∈X ssia∈/ X.
Otros resultados
Conjunto potencia, exponenciaci´on y cardinalidad de los reales
Teorema
: Para todo conjunto
A
,
|
℘(
A
)
|
= 2
|A|. (Zalabardo: 248,
Hedman: 160)
Otros resultados
Aritm´etica de cardinales
La linealidad de
≤
es equivalente al Axioma de Elecci´
on:
Para todo conjunto
A
y
B
,
|
A
| ≤ |
B
|
o
|
B
| ≤ |
A
|
.
Ley de la absorci´
on de la aritm´
etica de cardinales
: Sean
κ
y
λ
cardinales distintos de 0 y al menos uno de ellos infinito.
κ
+
λ
=
κ
·
λ
=
Max
(κ, λ).
Sumar y multplicar cardinales infinitos es muy sencillo. La
exponenciaci´
on con cardinales infinitos es dif´ıcil (Hedman: 159-61,
Zalabardo: 272-3).
Cuestiones abiertas
La hip´
otesis del continuo
La cardinalidad deRse conoce como la cardinalidad del cont´ınuo (dado que la l´ınea real, a diferencia de la l´ınea de n´umeros racionales, no tiene huecos).
Sabemos que la cardinalidad del cont´ınuo es mayor que la de los n´umeros naturales. Hay alg´un cardinal entre|N|y|R|? Cantor pensaba que la respuesta a esta pregunta era negativa.
Hip´otesis del continuo: 2ℵ0 =ℵ
1.
Hip´otesis generalizada del continuo: 2ℵn =ℵ
n+1.
G¨odel (1937): La hip´otesis generalizada del continuo es consistente con ZFC.
Cohen (1963): La negaci´on de la hip´otesis del continuo es consistente con ZFC.
