x = graduació del vi blanc y = graduació del vi negre

(1)

P

r

o

b

l

e

m

e

s

(

p

à

g

i

n

a

4

4 d

d

e

l

i

b

r

e

d

e

c

l

a

s

e

,

E

d

i

t

o

r

i

a

l

C

a

s

a

l

s

)

(21) Barregem 60 L de vi blanc amb 20 L de vi negre i obtenim un vi de 10 graus (10% d’alcohol). Si, contràriament, barregem 20 L de blanc amb 60 de negre, obtenim un vi d’11 graus. Quina graduació tindrà una barreja de 40 L de blanc i 40 de negre?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x = graduació del vi blanc

y = graduació del vi negre

60x + 20y = 80 · 10 60x + 20y = 800 3x + y = 40 20x + 60y = 80 · 11 20x + 60y = 880 x + 3y = 44

x = 9,5 i y = 11,5 z = graduació de la barreja

40 · 9,5 + 40 · 11,5 = 80z 80z = 840m z = 10,5%

(22) Un orfebre té dos lingots: el primer conté 720 g d’or i 80 g de coure, i el segon conté 400 g d’or i 100 g de coure. Quina quantitat haurà d’agafar de cada un per formar un altre lingot que pesi 640 g i que tingui com a llei 0,825?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

Llei del 1r lingot:

720 0,9 720 80+ =

Llei del 2n lingot:

400 0,8

400 100₊ =

x = g del 1r lingot

y = g del 2n lingot

x + y = 640 x + y = 640 0,9x + 0,8y = 0,825 · 640 0,9x + 0,8y = 528 x = 9,5 i y = 11,5

(2)

(23) Els 30 atletes d’un equip reben com a puntuacions 2, 3, 4 i 5 punts cada un. La suma total dels punts de l’equip és de 93. Hi ha més atletes amb 3 punts que amb 5, i menys amb 3 que amb 4. A més, el nombre de qui rep 4 punts és divisible entre 10, i el nombre de qui rep 5 punts és parell. Determina el nombre d’atletes que han rebut 2, 3, 4 o 5 punts.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x = atletes de 2 punts

y = atletes de 3 punts

z = atletes de 4 punts

t = atletes de 5 punts

x + y + z + t = 30 x = z + 21 - 3 ; y > t , y < z 2x + 3y + 4z + 5t = 93 y = - 2z - 31 + 33

z = múltiple de 10, t = múltiple de 2

Els valors més petits de z i t són:

z = 10, t = 2

Per a aquests valors, obtenim: x = 11 i y = 7

Veiem que es verifica que: y > t i y < z

Aleshores, la solució és:

x = 11, y = 7, z = 10 i t = 2

p.s.: per a qualsevol altre valor que donem a z i t no obtenim solucions vàlides.

(24) Escriu un sistema de 3 equacions lineals compatible determinat

heterogeni i amb dues incògnites.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

Suposem que volem que les solucions siguin x = 5 i y = 4.

Construïm tres equacions que compleixin les solucions anteriors. Per exemple: 2x + 3y = 22 2 · 5 + 3 · 4 = 22 5x - y = 21 ja que: 5 · 5 - 4 = 21 2x + y = 14 2 · 5 + 4 = 14 ; a més, a_' b_' 2 3 ... 5 1 a b x = 5 i y = 4

(3)

(25) Escriu un sistema de tres equacions lineals compatible indeterminat heterogeni amb tres incògnites.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

Escrivim dues equacions qualsevol i la tercera l’obtenim combinant-la amb les anteriors. Per exemple:

3x + y + 5z = 12 2x - 3y + 5x - 2y + 6z = 32

z = 20

(26) Escriu un sistema de tres equacions lineals incompatible heterogeni amb dues incògnites.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

Suposem que volem que les solucions de les dues primeres equacions siguin x = 5 i y = 4.

Construïm dues equacions que compleixin les solucions anteriors però la tercera equació fem que no la compleixi. Per exemple:

2x + 3y = 22 2 · 5 + 3 · 4 = 22 5x - y = 21 ja que: 5 · 5 - 4 = 21 2x + y = -5 2 · 5 + 4 5

x = 5 i y = 4

(27) Estudia i resol els següents sistemes segons el valor de a:

Encara no explicat a classe

(28) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible indeterminat:

(29) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible incompatible:

(30) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible determinat:

(4)

(31) Tres persones A, B i C volen fer un present a un amic comú. El present els costa 780 €. Com que no disposen de la mateixa quantitat de diners, decideixen pagar de la següent manera: A paga el triple del que paguen B i C junts, i per cada 5 euros que paga B, C paga 8 euros.

Es demana:

(a) Planteja un sistema d’equacions lineals que permeti determinar quant paga cadascú.

(b) Resol el sistema plantejat en l’apartat anterior pel mètode de Gauss-Jordan.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x y z 780 x y + z 780 x 3 · (y + z) x - 3y - 3z = 0 y 5 8y - 5z = 0 z 8 + + = + = = = Apliquem Gauss-Jordan: 1 1 1 780 1 0 0 585 0 -4 -4 -780 0 1 0 75 0 0 -13 -1560 0 0 1 120 d’on x = 585 , y = 75 i z = 120

(32) En una granja es venen pollastres, ànecs i perdius a raó de 9 €/kg, 7,2 €/kg i 15 €/kg, respectivament. En una setmana els ingressos totals van ser de 5 640 €. Sabem que la quantitat de pollastres venuts va superar en 100 kg la d’ànecs i que es va vendre la meitat de perdius que d’ànecs. Quina quantitat de cada tipus de carn que es va vendre?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x: kg de pollastres y: kg d’ànecs z: kg de perdius x y 100 x y 100 y z y 2z 0 2 9x 7,2y 15z 5640 9x 7,2y 15z 5640 = + ₌ = = + + = + + =

Apliquem Gauss-Jordan i obtenim la següent solució: 1 0 0 300 0 1 0 200 0 0 1 100 d’on x = 300 kg de pollastres y = 200 kg d'ànecs z = 100 kg de perdius

(5)

(33) Una persona va invertir 54000 euros en tres fons d’inversió FIM, FIM Garantit i FIAM, i va obtenir 3 600 € d’interessos. Els interessos que van proporcionar els fons foren del 10%, 6% i 4% respectivament. Sabent que va invertir en el FIM el doble que en el FIAM, calcula quina quantitat va invertir en cada fons d’inversió.

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= quantitat del FIM

y = quantitat del FIM Garantit z = quantitat del FIAM

x + y + z = 54 000 x + y + z = 54 000 0,1x + 0,06y + 0,04z = 3 600 0,1x + 0,06y + 0,04z = 3 600 x = 2z x - 2z = 0 Apliquem Gauss-Jordan: 1 1 1 54 000 1 0 0 12 000 0 -1 -3 -54 000 0 1 0 36 000 0 0 0,06 360 0 0 1 6 000

d’on x = 12 000 FIM , y = 36 000 FIM Garantit i z = 6 000 FIAM

(34) Els sous de la Sònia, en Josep i l’Òscar sumen 5600 €. En Josep guanya el doble que l’Òscar i la Sònia guanya 7/6 del sou d’en Josep. Quant guanya cadascú?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= sou de la Sònia y = sou d’en Josep z = sou de l’Òscar

x y z 5 600

y 2z

y 2z 0

7 6x 7y

= 0

x

y

6 + + =

+

=

Apliquem Gauss-Jordan i obtenim la següent solució: 1 1 1 5 600 1 0 0 2 450 0 1 -2 0 0 1 0 2 100 0 0 -32 -33 600 0 0 1 1 050 d’on x 2 450 € y = 2 100 € z = 1 050 € =

(6)

(35) L’edat d’una mare és, en l’actualitat, el triple que la del seu fill. La suma de les edats del pare, la mare i el fil és 80 anys i d’aquí a cinc anys, la suma de les edats de la mare i el fill serà de 5 anys més que la del pare. Quants anys tenen el pare, la mare i el fill en l’actualitat?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= edat del pare y = edat de la mare z = edat del fill

x y z 80

y 3z

y 5 + z + 5 = x + 5 + 5

+ + =

=

+

d’on x 40 anys y 30 anys z = 10 anys = =

(36) L’Alba fa col·lecció de vídeos d’esport, música i pel·lícules, i ja en té 20. Els vídeos d’esports i de música junts fan el triple de les pel·lícules. Si comprés un altre vídeo de música, el seu nombre igualaria als d’esports. Quants vídeos té de cada tipus?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= nombre de vídeos d’esport y = nombre de vídeos de música z = nombre de vídeos de pel·lícules

x y z 20

x + y

3z

x + y - 3z = 0

y 1 = x

x - y = 1

+ + =

+ +

=

+

d’on: x = 8 vídeos d’esports, y = 7 vídeos de música i z = 5 vídeos de pel·lícules

(37) Les edats de tres persones sumen 77 anys. El més gran i el mitjà tenen 12 i 5 anys més que el petit respectivament. Quants anys tenen cadascú?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= edat del petit y = edat del mitjà z = edat del gran

x y z 77

z

12 + x

- x + z = 12

y =

5 + x

- x + y

= 5

+ + =

+ +

=

(7)

(38) Tinc tres pots de capacitats diferents. Els tres estan plens d’aigua. Si buido el pot més gran el puc tornar a omplir amb els altres pots, i si buido el pot petit, amb el mitjà el puc tornar omplir sobrant 1 L. Els tres pots contenen una quantitat d’aigua de 10 L. Quina és la capacitat de cada pot?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= pot gran y = pot mitjà z = pot petit

x

y + z

x - y - z = 0

y = z + 1

y - z = 1

x + y + z = 10

=

x = 5 , y = 3 i z = 2

(39) Troba un nombre de tres xifres sabent que sumen 16. Si invertim el nombre, la diferència entre aquest i el nombre original és 495. Sabem també que el nombre que ocupa les centenes i les desenes sumats donen el mateix nombre que la xifra que ocupa el lloc de les unitats. Quin és el nombre original?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= centenes (100) y = desenes (10) z = unitats (1)

x + y + z = 16

- 99x + 99z = 49

- 99

5 y + x = z

x + y

x + 99z = 495

- z =

0

x = 3 , y = 5 i z = 8 d’on el nombre és el 358 ____

Notació sobre l’obtenció de la segona equació: nombre a esbrinar: xyz

nombre invertit: zyx

( 100z 10y x ) - ( 100x + 10y + z ) = 495+ + , aleshores: 100z 10y x - 100x - 10y - z = 495+ +

(8)

(40) Un dipòsit de capacitat 600 L es pot omplir amb tres aixetes A, B i C. Si ragen juntes les tres aixetes triguen 10 minuts en omplir el dipòsit; si ragen l’aixeta A i B tarden 20 min a omplir el dipòsit i finalment, si ragen B i C, tarden 12 min. Quin és el cabal de cada aixeta?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= cabal A L / min. y = cabal B L / min. z = cabal C L / min.

10x 10y + 10z = 600

x y + z = 60

20x + 20y = 600

x + y = 30

12y + 12z = 600

y + z = 50

+

x = 10 , y = 20 i z = 30

(41) Un dipòsit de capacitat 1000 L s’omple amb dues aixetes A i B i conté un desguàs C per a buidar-lo. Si ragen juntes les aixetes A i B, i C està tancada, triguen 20 min a omplir-lo i si ho fan amb C obert, tarden 100 min; i, finalment, si tanquem l’aixeta A triga 100 min en buidar-se. Quin és el cabal de les aixetes i del desguàs?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

x= cabal A L / min. y = cabal B L / min. z = cabal C L / min.

1 000 - 100z + 100y =

20x 20y = 1 000

x y = 50

100x + 100y - 100z = 1 000

x + y - z = 10

y - z = -10

0 +

+

d’on x = 20 , y = 30 i z = 40 ____

Notació sobre l’obtenció de la tercera equació:

· Dipòsit ple + aixeta A rajant – Obertura desguàs = dipòsit buit 1000 + ( 100y - 100z ) = 0

o bé,

· Aixeta A rajant – Obertura desguàs = Quantitat d’aigua buidada pel desguàs ( que equival a la capacitat del dipòsit

que ja estava ple ) 100y - 100z = -1 000

(9)

(42) Un nombre de quatre xifres està comprès entre 8 000 i 9 000. La diferència entre el nombre i l’invers és 6 633. El nombre és divisible per 11 i la suma de les xifres és 19. Quin és el nombre?

R

e

s

o

l

u

c

i

ó

:

De moment no s’ha de fer. Ja es comentarà alguna cosa a classe. (43) Tres jugadors fan una aposta de la següent manera: el que perdi

una jugada duplicarà el que tenen els altres dos. Juguen tres partides i perden cadascun d’ells una jugada, i al final de les partides resulta que els tres disposen de 160 €. Quina quantitat de diners tenia cadascú al començament de la partida?