Ley de hooke y los Resortes

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Temas:

Ley de hooke

Energía potencial elástica

•

Ley de hooke para los resortes

•

Trabajo efectuado por un resorte

•

Aplicación de los resortes en la

Aplicación de los resortes en la ingeniería

ingeniería

Definición de trabajo

Definición del Trabajo

En mecánica clásica, el

En mecánica clásica, el trabajotrabajo que realiza una fuerza se que realiza una fuerza se define como el productodefine como el producto de ésta por el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo de ésta por el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo que forman la una con el otro.

que forman la una con el otro.[1][1] _{El trabajo es una magnitud física escalar que se}_{El trabajo es una magnitud física escalar que se}

representa

representa con con la la letra letra (del (del inglésinglésWork Work _{) y se expresa en unidades de energía,}_{) y se expresa en unidades de energía,}

esto es en julios (J) en el Sistema Internacional de Unidades. esto es en julios (J) en el Sistema Internacional de Unidades. Matemáticamente lo expresamos en la forma:

Matemáticamente lo expresamos en la forma:

Unidades de trabajo

Sistema Internacional de Unidades

•

• Julio, unidad de trabajo en el SIJulio, unidad de trabajo en el SI •

• Kilojulio: 1 kJ = 10Kilojulio: 1 kJ = 1033 JJ

Sistema Técnico de Unidades

•

• kilográmetro okilográmetro o kilopondímetro:kilopondímetro: •

• 1 kilográmetro (kgm) = 1 kilogramo-fuerza x 1 metro1 kilográmetro (kgm) = 1 kilogramo-fuerza x 1 metro •

• 1 kgm = 9,806651 kgm = 9,80665 JJ

Sistema cegesimal

•

(2)

Sistema técnico inglés

• • pie-libra (pie-libra (ft·lbft·lb))

Otras unidades

• • kilovatio-horakilovatio-hora •

• Caloría termoquímica (Caloría termoquímica (calcalTQTQ))

•

• Termia EEC.Termia EEC. •

• Atmósfera-litro (Atmósfera-litro (atm·Latm·L))

Energía potencial Elástica

Es la energía asociada con las

Es la energía asociada con las materiales elásticos. Se demostrará a continuaciónmateriales elásticos. Se demostrará a continuación que el trabajo para comprimir o estirar un resorte una distancia x es ½kx

que el trabajo para comprimir o estirar un resorte una distancia x es ½kx22_{, donde k}_{, donde k}

es la constante del resorte. es la constante del resorte.

Sabemos, por ley de Hooke, que la

Sabemos, por ley de Hooke, que la relación entre la fuerza relación entre la fuerza y el desplazamiento eny el desplazamiento en un resorte es F = -kx. El signo menos se debe a que la fuerza siempre se dirige un resorte es F = -kx. El signo menos se debe a que la fuerza siempre se dirige hacia la posición de equilibrio (x = 0). La fuerza F

hacia la posición de equilibrio (x = 0). La fuerza F ahora es variable y ya noahora es variable y ya no po

podedemomos us usasar W = r W = FdFdcocoss ..

Encontremos primero una relación general para calcular el trabajo

Encontremos primero una relación general para calcular el trabajo realizado por unarealizado por una fuerza variable, que luego aplicaremos a nuestro resorte

fuerza variable, que luego aplicaremos a nuestro resorte

Como F

Como Fxx es es aproximadameaproximadamente nte constante constante en en cada cada x, x, W W FFxx xx, y el trabajo total, y el trabajo total

puede aproximarse por puede aproximarse por

Si

Si hacemos hacemos los los intervalos intervalos x x cada cada vez vez más más pequeños, pequeños, esto esto es es hacemos hacemos que que x x 0,0, W tiende a un

(3)

Que representa la integral de la fuerza Fx como función de x: Que representa la integral de la fuerza Fx como función de x:

Y que es el área bajo la curva F

Y que es el área bajo la curva Fxx(x). Por supuesto, esta relación incluye el caso en(x). Por supuesto, esta relación incluye el caso en

que F

que Fxx = F = F cocos s es es coconsnstatantnte.e.

Aplicando dicha relación a nuestro resorte,

Aplicando dicha relación a nuestro resorte, el que supondremos horizontalel que supondremos horizontal conectado con una masa que desliza sobre una superficie lisa

conectado con una masa que desliza sobre una superficie lisa también horizontal ytambién horizontal y comprimido una distancia x

comprimido una distancia xmaxmax y que luego soltamos, el trabajo W hecho por lay que luego soltamos, el trabajo W hecho por la

fuerza del resorte entre x

fuerza del resorte entre xii = -x= -xmaxmax y xy xf f = 0 es:= 0 es:

Ley de Hooke

En física, la

En física, la ley de elasticidad de Hookeley de elasticidad de Hooke oo ley de Hookeley de Hooke, originalmente formulada, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el

para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε dealargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional a la

un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicadafuerza aplicadaF F _::

siendo δ el alargamiento longitudinal,

siendo δ el alargamiento longitudinal, LL _{la longitud original,}_{la longitud original,} E E _{: módulo de Young,}_{: módulo de Young,} A A _la_la

sección transversal de la pieza estirada. La

sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a ley se aplica a materiales elásticos hastamateriales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

un límite denominado límite elástico. Esta ley recibe su nombre de

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo deRobert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor

Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su de que alguien se apoderara de su descubrimiento,descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de

Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama,un famoso anagrama, ceiiinosssttuv ceiiinosssttuv _{, revelando su}_{, revelando su}

contenido un par de años más tarde.

contenido un par de años más tarde. El anagrama significaEl anagrama significaUt tensio sic visUt tensio sic vis _("como_("como

la extensión, así la fuerza"). la extensión, así la fuerza"). Aplicando la ley de Hooke Aplicando la ley de Hooke

La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de

La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en elmanifiesto en el momento de establecerse contacto entre dos cuerpos. Aparecen fuerzas

momento de establecerse contacto entre dos cuerpos. Aparecen fuerzas moleculares que las moléculas de un cuerpo hacen sobre las moléculas del

moleculares que las moléculas de un cuerpo hacen sobre las moléculas del otro, yotro, y viceversa. Llamamos normalme

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estable debido a su estructura molecular. Estas fuerzas

estable debido a su estructura molecular. Estas fuerzas de reacción suelen llamarsede reacción suelen llamarse elásticas, y podemos clasificar los cuerpos según el comportamiento frente a

elásticas, y podemos clasificar los cuerpos según el comportamiento frente a lala deformación. Muchos cuerpos pueden recuperar su forma al desaparecer la acción deformación. Muchos cuerpos pueden recuperar su forma al desaparecer la acción deformadora, y los denominamos cuerpos elásticos. Otros cuerpos no pueden deformadora, y los denominamos cuerpos elásticos. Otros cuerpos no pueden recuperar su forma después de una deformación, y los

recuperar su forma después de una deformación, y los llamamos inelásticos ollamamos inelásticos o plásticos. Evidentemente, un material elástico lo es hasta cierto

plásticos. Evidentemente, un material elástico lo es hasta cierto punto: más allá depunto: más allá de un cierto valor de la fuerza deformadora, la estructura interna del material queda tan un cierto valor de la fuerza deformadora, la estructura interna del material queda tan deteriorada que le es imposible recuperarse. Hablaremos por tanto,

deteriorada que le es imposible recuperarse. Hablaremos por tanto, de un límitede un límite elástico, más allá del cual el cuerpo no recupera la forma, y aún más, de un límite de elástico, más allá del cual el cuerpo no recupera la forma, y aún más, de un límite de ruptura, más allá del cual

ruptura, más allá del cual se deteriora completamente la estructura del material,se deteriora completamente la estructura del material, rompiéndose.

rompiéndose.

Robert Hooke (1635-1703) estableció la ley fundamental que relaciona la

Robert Hooke (1635-1703) estableció la ley fundamental que relaciona la fuerzafuerza aplicada y la deformación producida. Para deformaciones que no sean muy aplicada y la deformación producida. Para deformaciones que no sean muy grandes, es decir, que no

grandes, es decir, que no superen el límite elástico, se superen el límite elástico, se cumple que:cumple que:

(1) (1) En donde

En donde F F _{es la fuerza deformadora aplicada y}_{es la fuerza deformadora aplicada y} x x _{la deformación relativa.}_{la deformación relativa.}

Es muy frecuente escribir la l

Es muy frecuente escribir la ley de Hooke teniendo en cuenta que ley de Hooke teniendo en cuenta que la fuerza elásticaa fuerza elástica

Fe

Fe _{es igual a la aplicada}_{es igual a la aplicada} F F _{pero cambiada de signo:}_{pero cambiada de signo:}

(2) (2)

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke Ley de Hooke es mediante laes mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza

ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F F ejercida sobre el resorte con laejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

elongación o alargamiento δ producido:

, siendo , siendo Donde

Dondek k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y Δse llama constante del resorte (también constante de rigidez) y Δ x x es la separaciónes la separación de su extremo respecto a su longitud natural, A la sección del cilindro imaginario que

de su extremo respecto a su longitud natural, A la sección del cilindro imaginario que

envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica

elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica U U k k asociadaasociada

al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación: al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la

Es importante notar que la k k antes definida depende de la longitud del muelle y de suantes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle.

longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando

(5)

donde donde

Llamaremos

Llamaremos F F (( x x) a la fuerza que soporta una sección del muelle a una distancia x del origen) a la fuerza que soporta una sección del muelle a una distancia x del origen de coordenadas,

de coordenadas, k k ΔΔ x x a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δa la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δ x x a la mismaa la misma

distancia y δ

distancia y δΔΔ x x al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerzaal alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza

F

F (( x x). Por la ley del muelle completo:). Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite: Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta: que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como [ecuación de onda]] unidimensional que

[ecuación de onda]] unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios La velocidad dedescribe los fenómenos ondulatorios La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Trabajo Efectuado por un Resorte

Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición, es el de un

cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje

cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje x,

x,

se deforma desde su configuración inicial, es decir se estira o se comprime,

por efecto de alguna fuerza externa sobre el resorte, instantáneamente actúa

una fuerza

F

producida por el resorte contra el objeto que ejerce la fuerza

externa,

Cuya magnitud es:

F = - k x

Donde

Donde x

x es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no

es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no

Deformada en

Deformada en x = 0

x = 0 y

y

k

k una constante positiva, llamada

una constante positiva, llamada

constante de fuerza

De resorte

De resorte, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación

, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación

Se llama

Ley de Hooke

, y es válida para pequeños desplazamientos, ya que si

El resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar su forma

original.

El signo negativo indica que la dirección de esta fuerza es siempre

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Figura 5.4 Figura 5.4

Si el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo realizado

por el resorte es:

Por ejemplo, para un resorte de

Por ejemplo, para un resorte de k

k = 100 N/m, que se estira 10 cm (=

= 100 N/m, que se estira 10 cm (= x

x

f f

), el

trabajo

que realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no deformada

(( x

x

ii

= 0)

= 0) es 0.5 J.

es 0.5 J.

Aplicación de los resortes en la

Aplicación de los resortes en la ingeniería

ingeniería

La aplicación de los resortes en

La aplicación de los resortes en la ingeniería está más concentrada en la la ingeniería está más concentrada en la ingenieríaingeniería mecánica para los ingenieros mecánicos es muy importe el uso de

mecánica para los ingenieros mecánicos es muy importe el uso de los resortes paralos resortes para sus distintos proyectos

sus distintos proyectos

Funciones a tener en cuenta para los resortes en la ingeniería mecánica Funciones a tener en cuenta para los resortes en la ingeniería mecánica Para almacenar y retornar energía, como el

Para almacenar y retornar energía, como el mecanismo de retroceso de las armasmecanismo de retroceso de las armas de fuego

(7)

Para mantener una fuerza determinada como en losactuadoresy en las válvulas Para mantener una fuerza determinada como en losactuadoresy en las válvulas Como aislador de vibraciones en vehículos

Como aislador de vibraciones en vehículos Para retornar o desplazar piezas como los

Para retornar o desplazar piezas como los resortes de puertas o de resortes de puertas o de pedales opedales o deactuadoresme

deactuadoresmecánicos o cánicos o de embraguesde embragues Comoactuadoresd

Comoactuadoresde cierre o e cierre o de empuje, tal como los resortes neumáticosde empuje, tal como los resortes neumáticos

Tipos de resortes usados en la

Tipos de resortes usados en la ingeniería mecánicaingeniería mecánica •Resortes de accióntorsional

•Resortes de accióntorsional •Resortes de acción flexional •Resortes de acción flexional •Resortes de acción Axial •Resortes de acción Axial

Bibliografía

http://www.jfinternational.com/mf/energia-potencial.html http://www.jfinternational.com/mf/energia-potencial.html Apuntes: Apuntes: Trabajo y Energía Trabajo y Energía

Resortes en la ingeniería mecánica Resortes en la ingeniería mecánica