MA21_06_08_12

(1)

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares (ortogonales) y el punto de intersección se considera como origen.

OBSERVACIONES

 Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3).  Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0).  Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y).

EJEMPLOS

1. Si el punto P(a, 5m – 10) se encuentra en el eje de las abscisas, entonces el valor de m es

A) -2 B) 0 C) 2 D) 10 E) 15

A

B

C II

Cuadrante

III Cuadrante

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

I Cuadrante

IV Cuadrante Y Eje de las Ordenadas

X Eje de las Abscisas

C u r s o :

Matemática

(2)

2. ¿En qué cuadrante está el punto (a, -b), si a = 1 y b = 2?

A) Primero B) Segundo C) Tercero D) Cuarto

E) Ninguna de las anteriores

3. Si los puntos A(2, 2) y B(2, -2) son vértices de un triángulo isósceles, entonces el tercer vértice puede ser

I) (0,6) II) (6,0) III) (6,6)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. Al unir los puntos del plano (3, 1), (3, 3), (-2, 3) y (-2, 1) el cuadrilátero que se forma es un

A) trapecio isósceles B) trapezoide

C) rectángulo D) romboide

E) trapecio rectángulo

5. En el triángulo cuyos vértices son los puntos (2,0), (6,0) y (4,-5) se traza el segmento cuyos extremos son los puntos (4,0) y (4,-5). Entonces, este segmento es

I) Transversal de gravedad II) Altura III) Bisectriz

(3)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son

EJEMPLOS

1. La distancia entre los puntos A (8, 5) y B (3, 15) es

A) 2 B) 5 C) 2 2 D) 2 5 E) 5 5

2. El punto medio del trazo AB (fig. 1) es el punto (6,6) ¿Cuál es la abscisa del vértice B?

A) 0 B) 5 C) 6 D) 7 E) 12 xm= x + x1 2

2 , ym =

1 2

y + y 2

dAB= (x x ) + (y y )2 1 2 2 1 2

0 _x₁ _x₂

y1 y2

A

B y

x x2 x1

y2 y1

0 x1 x2

y1 y2

A

B y

x ym

xm M

A

5 12

B x

y

(4)

3. En la figura 2 los vértices del triángulo son A(5,2), B(9,4) y C(7,6), entonces ¿Cuál(es) de las siguientes informaciones(es)son verdadera(s)?

I) El punto medio entre los vértices A y B es el punto (7,4)

II) El punto medio entre los vértices A y C es el punto (6,4)

III) La transversal de gravedad trazada desde el vértice A intersecta al lado opuesto en el punto (8,5)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

4. En la circunferencia de centro O (fig.3) la cuerda AB es perpendicular al radio OC . Si A(-5,-3) y B(3,-1) entonces las coordenadas del punto de intersección M son

A) (-2,-4) B) (-1, -4) C) (-1, -2) D) (-2, -2) E) (-4,-1)

5. En la figura 4, la circunferencia es de centro O(3,2) y AB es diámetro. ¿Cuales son las coordenadas del punto A si B(7,1)?

A) (-1,3) B) (5, 1) C) (1,-3) D) (4,-1) E) (13,5)

6. Si los puntos A(1, 2), B(1,10) y C(4,6) son los vértices de un triángulo, entonces el perímetro de este es

A) 5 u B) 18 u C) 20 u D) 22 u E) 24 u

fig. 3 O

A B

C M

fig. 4 O

A

B A

C

x y

(5)

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea el ángulo de inclinación y seamla pendiente de la rectaL. Entonces:

 ( = 0º) si y sólo si (m = 0)  (0º   90º) si y sólo si (m 0)

 ( = 90º), si y sólo si (m no está definida)  (90º   180º) si y sólo si (m 0)

EJEMPLOS

1. Los puntos A(4, 8) y B(-2, -6) pertenecen a una recta cuya pendiente es

A) 7 2

B) 7 3

C) 3 7

D) 2 7

E) 7

m = tg = BP PA =

  2 1

2 1

y y

x x

y

x 0

 L

L tiene pendiente positiva

y

x 0

 L

L es paralela al eje y

y

x 0

 L

L tiene pendiente negativa y

x 0

L es paralela al eje x L

y2

y1 A

B

P

x1 x2 L

x y

y2 – y1

x2– x1

(6)

2. De acuerdo a la figura 5, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) La pendiente de L1es positiva II) La pendiente de L2 es cero III) La pendiente de L3es negativa

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

3. ¿Cuál debe ser el valor de a para que la recta de la figura 6 tenga pendiente -3?

A) -4 B) 3 C) 4 D) 6 E) 36

4. ¿Cuál debe ser el valor de x en el punto C para que los puntos A (4,3), B (8,7) y C(x,5) sean colineales?

A) -10 B) -8 C) -6 D) 6 E) 7

5. Dada la recta L (fig. 7) y los puntos A(-2, 4) , B(1, k), ¿cuál debe ser el valor de k para que las pendientes de las rectas L y AB sean iguales?

A) -2 B)

3 2

C) 2

D) 6

E) 8

x y

a 12

x y

L1

L2 L3

fig. 5

fig. 6

x y

-6

4

(7)

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

donde m = pendiente

n = coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x1, y1) Y TIENE PENDIENTE DADA m.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x1, y1) Y B(x2, y2)

ECUACIÓN DE SEGMENTOS

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.

(a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el punto del eje Y

EJEMPLOS

1. La ecuación general de la recta que pasa por el punto A (2,3) y tiene pendiente –3 es

A) 3x – y – 9 = 0 B) 3x – y + 9 = 0 C) 3x + y – 9 = 0 D) 3x + y + 9 =0 E) 3x + y + 3 =0

2. La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2,6) y (4,7) es

A) y = 6 x ₊

3 19

B) y = 6 x ₊

6 19

C) y = 3 x ₊

3 19

D) y = 3 x _–

3 19

E) y = -6 x

-6 19

y = mx + n

(y – y1) = m(x – x1)

(y – y1) = 2 1

2 1

y y x x



 (x – x1)

(8)

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 4) y tiene igual pendiente a la recta de la figura 8?

A) x + y = 1 B) x – y = 7 C) x + y = -1 D) x + y = -7 E) x – y = 1

4. ¿Cuál es la ecuación que representa a la recta de la figura 9?

A) x mn

n m

y  

B) x m

n m

y   

C) x 1

n m

y  

D) x n

n m

y  

E) x mn

n m

y  

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente 0?

A) B) C) D) E)

6. ¿Cuál es el valor de k en la ecuación kx + (k + 1)y = 6 para que pase por el punto (3,-2)?

(9)

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo, si sus pendientes son iguales.

Sean L1y L2rectas de pendientes m1y m2 respectivamente (fig. 10). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si, el producto de sus pendientes es -1. Sean L1y L2rectas de pendientes m1y m2 respectivamente (fig. 11). Entonces:

EJEMPLOS

1. ¿Qué valor debe tenerk en la ecuación (k + 3)x – 5y = 0 para que sea paralela a la recta de la figura 12?

A) -8 B) -2 C) 1 D) 2 E) 6

L1L2 si y sólo si m1= m2

L1L2 si y sólo si m1· m2= -1 L₁ L2

0 x

y

fig. 11 L1

L2

0

 

x y

fig. 10

fig. 12 -2

x y

L

(10)

2. Para qué valor de k las rectas L1: kx – 5y + 8 = 0 y L2: 5x + 2y – 5 = 0 son perpendiculares

A) 2 25



B) -2 C) -1 D) 1 E) 2

3. Una recta paralela a la recta de ecuación 5x – 15y – 21 = 0 es

A) 5x + 15y = -5 B) x – 3y = 5 C) 3x + y = 12 D) 2x – 10y = 0 E) 3x – 6y = 1

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una recta paralela a la recta de la figura 13?

A) 5x – 3y = -15 B) 6x + 10y= -11 C) 9x - 15y = -12 D) -5x + 3y = 0 E) -10x – 6y = -3

5. La ecuación de la recta perpendicular a 3x – 9y = 4 y que pasa por el punto (-1, -2) es

A) y = -3x - 5 B) y = -3x + 1 C) y = -3x + 5 D) y =

3 7 x 3 1

 

E) y =

3 7 x 3 1



6. ¿Cuál es el valor del parámetro k en la recta (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0 para que sea paralela a la recta 3x + 5y – 7 = 0?

A) -4 B)

4 1



C) 4 1

D) 2 E) 4

x y

-5

3

(11)

EJERCICIOS

1. ¿Cuál debe ser el valor de k para que el punto (k -1, k -3) pertenezca al eje de las abscisas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Los puntos extremos de un segmento son A(-1,5) y B(3,7), entonces el punto medio del segmento AB, pertenece a la recta

A) 6x + y = 0 B) 3x – y + 3 = 0 C) 2x + y = 0 D) 2x – y = 0 E) x – 2y = 0

3. Si el punto (k + 1,k – 3) pertenece a la recta 3x – 2y + 4 = 0, entonces k =

A) -13 B) -3 C) 1 D) 3 E) 7

4. Si A(5,-2) y B(4,-1) son vértices consecutivos del cuadrado ABCD, el producto de las ordenadas de los otros dos vértices podría ser

A) 6 B) -6 C) 5 D) -5 E) 12

5. Si un triángulo tiene por vértices A(m, p); B(m + n, p) y C(m + n, p + n), entonces el triángulo es

I) Equilátero II) Rectángulo III) Isósceles

(12)

6. En la figura 1 ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es igual a 4 II) La ecuación de la recta es y = 4x + 8 III) El punto (1,12) pertenece a la recta

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

7. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas?

I) Si una recta tiene pendiente positiva entonces no es paralela al eje de las ordenadas

II) Si una recta es creciente entonces su pendiente es menor que cero

III) Si la pendiente de una recta es cero, entonces es paralela al eje de las abscisas

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

8. En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, AB ll OX. Si m1, m2y m3son las pendientes de los trazos AB, BD y AC respectivamente, entonces su orden creciente está dado por

A) m1m2m3 B) m3m1 m2 C) m2m1 m3 D) m2m3 m1 E) m3m2 m1

9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta 3x – 5y – 12 = 0?

I) La recta intersecta al eje de las abscisas en el punto (4,0) II) La pendiente de la recta es positiva

III) La recta intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,-12)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

y

-2 8

x fig. 1

fig. 2

A B

C

x y

D

(13)

10. ¿Cuál de las siguientes gráficos representa mejor a la recta 7x – y = 8?

11. Según los datos dados en la figura 3, ¿Cuál es la ecuación de la recta?

A) x + y + 6 = 0 B) x – y + 6 = 0 C) x + y – 6 = 0 D) x – y – 6 = 0 E) x + y = 0

12. En el triángulo de la figura 4, B(6,6), M1y M2 son los puntos medios de los lados BC y AC respectivamente, si M1(5,7) y M2 (3,6), entonces la suma de la abscisa del puntoAcon la ordenada del puntoCes

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

135º

-6 x

y

fig. 3

B C

M1

M2 



fig. 4

A) B) C)

D) E)

y

x

y

x

y y

y

x x

(14)

13. ¿Para qué valor de k, la recta x – ky – 9 = 0 pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 3x + 2y – 32 = 0 y L2: y = x - 9?

A) -1 B) -4 C) 4 D) 1 E) 10

14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento PQ, donde P(-1,-6) y Q(7,-4), y que pasa por el punto medio de dicho trazo?

A) 4x + y = 7 B) x – 4y = 23 C) 4x + y = 8 D) x + 4y = 12 E) 4x – y = -25

15. El gráfico de la figura 5 representa a la recta L, entonces su ecuación es

A) x 5

2 3

y  

B) x 5

2 3

y  

C) x 5

3 2 y  

D) x 5

3 2 y  

E) x 5

2 3

y  

16. En la figura 6 las rectasLyRestán dadas por las ecuaciones 5x – 6y = 30 y por 2x + 3y=12 respectivamente, entonces el área del triángulo achurado es

A) 15 u2 B) 24 u2 C) 27 u2 D) 54 u2 E) 60 u2

fig. 6

x y

L

R 4

-5 6

x y

L

(15)

17. La ecuación (k - 2)x - 3y + 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta de ecuación 6x - y = - 9 , entonces el valor de k es

A) 6 13

B) 2 7

C) 8 D)

2 3

E) 20

18. En la figura 7, L1ll L2, ¿Cuál es la ecuación de la recta L2?

A) x + 5y – 6 = 0 B) x - 5y + 6 = 0 C) 5x + y + 6 = 0 D) 5x – y - 10 = 0 E) 5x – y - 6 = 0

19. La ordenada de un punto R es 4, el cual se encuentra en la recta de pendiente -2 1

y que

pasa por el punto (4, -6), entonces la abscisa de R es

A) -16 B) -12 C) 8 D) 12 E) 16

20. ¿Cuál es el área del rectángulo que se forma con los ejes coordenados y las rectas de ecuación y + 4 = 0, x + 5 = 0?

A) 9 u2 B) 18 u2 C) 20 u2

D) 24 u2

E) 40 u2

x y

10

-2 L1

L2

-6

(16)

21. En la figura 8 las rectas N y M son perpendiculares. ¿Cuál es la pendiente de la recta M?

A) -2 B)

-4 1

C) -2 1

D) 2 E)

2 1

22. Una recta tiene pendiente 3 2

 y pasa por el punto (-3,4), ¿Cuál es la ordenada de un

punto de la recta cuya abscisa es 3?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

23. Dada las rectas de ecuación, L1: 2kx – y + 2 = 0, L2: x + (k + 1)y – 6 = 0 y L3: 2x + (k + 2)y – 8 = 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdaderas?

I) Si L1 L2, entonces k = 1

II) Si L1 L3. entonces k = 2

III) Si L2ll L3. entonces k = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

fig. 8

x y

N

M 6

(17)

24. Con respecto a la ecuación de la recta (k2 _{– 1)x + (k+ 1)y + k – 5 = 0, ¿cuál(es) de las} siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = -1 la recta es paralela al eje de las ordenadas II) Si k = 1 la recta es paralela al eje de las abscisas. III) Si k = 5 la recta pasa por el origen

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

25. ¿Qué valor debe tener m para que las rectas (m – 2)x + 3y – 4 = 0 y 3x + my + 4 = 0 sean perpendiculares?

A) -1 B) 1 C) 0 D) 2 E) 4

26. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares, L1tiene pendiente -2 y pasa por el punto (4, -3) y L2pasa por el punto (2,1). ¿Cuál es la abscisa del punto de intersección?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

27. Se puede determinar el coeficiente de posición de una recta L si:

(1) La recta L corta al eje de las abscisas en el punto (4,0). (2) La recta L corta al eje de las ordenadas en el punto (0, -9).

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

(18)

28. El ángulo de inclinación de la recta L se conoce si:

(1) Si se sabe que la pendiente de la recta es - 1

(2) La recta intersecta en el primer cuadrante a los ejes coordenados en los puntos (a,0) y (0,a)

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. La recta ax – 10y + c = 0 es perpendicular a la recta mx + 5y = 0 si:

(1) a = 25 y m = 2

(2) a = m 50

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. La recta ax + by + c = 0 con la recta x – 5 = 0 forma con los ejes coordenados un rectángulo de área 20u2 _si:

(1) a = 0

(2) b = 1 y c = -4

(19)

RESPUESTAS

Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 C D B C E

3 y 4 E D E C A B

5 y 6 C D C D D

7 y 8 C A A B C D

9 y 10 D E B C A E

EJERCICIOS PÁGINA 11

1. C 11. B 21. E 2. B 12. D 22. A 3. A 13. D 23. D 4. A 14. A 24. D 5. E 15. B 25. B 6. E 16. C 26. E 7. D 17. D 27. B 8. C 18. E 28. D 9. C 19. A 29. D 10. B 20. C 30. C

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