Variables Separables 11)

(1)

1) Definición: Si una ecuación contiene

las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una

ecuación diferencial.

2) Definición: Si la ecuación contiene

derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces la ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O).

3) Definición: Si la ecuación contiene

derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variable independiente, entonces la ecuación se dice que es una ecuación en derivadas parciales.

4) Definición: El orden de una ecuación

diferencial es la derivada de mayor orden en la ecuación

5) Definición: El grado de una ecuación

diferencial es el exponente que abarca el término del orden de la ecuación diferencial.

6) Definición: Una ecuación diferencial ordinaria se dice que es lineal si

tiene la forma:

 x y ... a  x y a xy a  xy f x a_n n  ₂  ₁  ₀ 

Donde los a_n

 

x y f

 

x son

funciones de la variable independiente y la variable dependiente y sus derivadas son de grado uno. Si no cumple con estas condiciones entonces se dicen no lineales.

7) Definición: Se dice que una función

f con dominio en un intervalo I es

solución a una ecuación diferencial

en el intervalo I, si la función

satisface la ecuación diferencial en el intervalo I .

8) Teorema de Picard: Sea R una región rectangular en el plano XY definida por, axb, cyd, que contiene al punto



x₀,y₀



en su interior. Si f

 

x y

y f 

 _{son continuas} en R, entonces existe un intervalo I con centro en x₀ y una única función y

 

x definida en I que satisface el problema de valor inicial

 

x,y f

y , y

 

x₀ y₀.

9) Definición: Si todas las soluciones de

la ecuación diferencial



x,y,y,....yn



0

F en un intervalo pueden obtenerse de G



x,y,c₁,...,c_n



, con c_iR (parámetros), mediante valores apropiados de c_i , entonces a G



x,y,c₁,...,c_n



se le llama la

solución general. Si la solución no

contiene los parámetros c_i se le llama la solución particular, es decir, que la solución particular es generada por valores de los parámetros c_i. Por otro lado, una solución que no pueda obtenerse a partir de la solución general se le llama solución singular.

10) Definición: Una ecuación diferencial de primer orden es de la

forma :

 

x,y f dx

dy _

O escrita en su forma canónica

 

x,y dxN

 

x,y dy0

M

Variables Separables

11) Definición: Una ecuación

 

x,y f dx

dy _ _{se dice de variables}

separables si, la podemos escribir

de la forma f

     

x,y h x k y para integrar a ambos lados.

Ecuaciones Diferenciales

Homogéneas

12) Definición: Una función f

 

x,y

se dice que es homogénea de grado n si existe un tR tal que



tx,ty



t f

 

x,y

f  n

13) Definición: Una ecuación de la

forma M

 

x,ydxN

 

x,ydy0 es homogénea si tanto

 

x,y N

 

x,y

M y son homogéneas del mismo grado. Es decir si:



tx,ty



t M

 

x,y

M  n

Y



tx,ty



t N

 

x,y

N  n

14) Teorema: Dada la ecuación

 

x,y dxN

 

x,y dy0

M donde

 

x,y N

 

x,y

M y son funciones homogéneas del mismo grado; mediante la sustitución yux ó

vy

x (donde u y v son nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuación diferencial de variable separable.

15) Teorema: Si la estructura

algebraica de N es más sencilla que la de M, entonces es conveniente usar la sustitución yux y la fórmula:

 

0

1

1 





du

u

,

uN

u

,

M

u

,

N

x

ln

En caso contrario, usaremos la sustitución xvy y la fórmula

 

0

1

1 _





dv

,

v

vM

,

v

N

,

v

M

y

ln

___________________________________________________________________

Profesor:

Edis

Alberto

Flores

(2)

Ecuaciones Diferenciales

Cuasi homogéneas

16) Caso 1: Ecuaciones de la Forma:



ax by c



f dx

dy _ _ _

Para este tipo de ecuaciones haremos la sustitución

c by ax

z   para convertirla en una ecuación diferencial de variable separable, sustituyendo en la fórmula:

 

x c a z bf dz _ _ 



17) Caso 2: Ecuaciones de la forma:

           C By Ax c by ax f dx dy

Para está ecuación estudiaremos dos posibilidades:

 Que las rectas sean paralelas: Para este caso usamos la sustitución

by ax

z  y procedemos de la misma forma que en el caso 1, sustituyendo en la fórmula:

c

x

a

C

kz

c

z

bf

dz

_

_



















 Que las rectas sean incidentes: Supongamos que su intersección es el punto P₀

 

h,k , entonces con la sustitución xX h y yYk (una traslación al origen), nuestra ecuación se transforma en una ecuación diferencial homogénea.

Ecuaciones Diferenciales

Exactas

18) Definición: Si z f

 

x,y , entonces

dy

y

f

dx

x

f

z









es la diferencial total de f ; pero si consideramos zc f

 

x,y (la familia de curvas uniparamétricas en el plano XY), entonces

dy

y

f

dx

x

f

dz









0

19) Definición: La forma diferencial

 

x,y dx N

 

x,ydy

M  es una

diferencial exacta en una región R

del plano XY, si corresponde a la diferencial total de alguna función

 

x,y

f . La ecuación

 

x,y dxN

 

x,y dy0

M , es exacta

si es la diferencial total de alguna función f

 

x,y c.

20) Teorema: Criterio para Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Si M

 

x,y y N

 

x,y son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano XY, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial

 

x,y dxN

 

x,y dy0

M sea un

diferencial exacta es que:

x N y M     

21) Método de Solución de las Ecuaciones Diferenciales Exactas.

i. Comprobaremos en primer lugar que

la ecuación es exacta.

ii. De ser exacta, esto implica que

existe una función f

 

x,y c tal que

 

y f y , x N x f y , x M       y

iii. Consideramos una de las dos

expresiones para determinar nuestra función f

 

x,y c, integrando respecto a x ó bien respecto a y según sea la igualdad que escojamos.

Usemos la primera para determinar la función f

 

x,y c.

 

x,y M

 

x,y dx g

 

y f x M f x f y , x M        



iv. Derivamos con respecto a y

 

x,ydx g

 

y N

 

x,y M y y f _ _ _     



 

_

 

     M x,y dx y y , x N y g

v. Finalmente integramos con respecto

a y

Factor Integrante

22) Teorema: Sea

 

x,y dxN

 

x,y dy0

M y 

 

x,y un factor integrante, con

   

x,y N x,y

M , y 

 

x,y continuas

y con primeras derivadas parciales continuas, entonces

dy

d

M

dx

d

N

x

N

y

M



_





















23) Factor Integrante:

 

x

,

y

dx



N

 

x

,

y

dy



0 M

no es

exacta. Luego existe



 

x

,

y

tal que

 

x

,

y

dx



N

 

x

,

y

dy



0 M



es exacta. Entonces,

 

            



N x x N y M

e

x

u

ó

 

             



M y x N y M

e

y



Ecuaciones Diferenciales

Lineales de Primer Orden

forma

 

A

 

x

y

g

 

x

dx

dy

x

A

₁



₂



se dice lineal de primer orden, donde A_i :i0,1, son funciones de

la variable independiente. Esta ecuación puede presentarse también en forma estándar como:

 

x

y

f

 

x

P

dx

dy

_

_

Profesor:

Edis

Alberto

Flores

(3)

Donde

 

_{ }

 

x

A

x

A

x

P

1 2



y

 

_{ }

x

A

x

g

x

f

1



.

25) Solución General: de las ecuaciones lineales respecto a la variable x:

 

_{ }

0

c

dx

x

f

e

y

e



P xdx





Pxdx



Y respecto a la variable y:    

_{ }

0 c dy y g e x eP ydy 



P y dy 

Ecuaciones Diferenciales

de Bernoullí

forma

P

 

x

y

Q

 

x

y

n

dx

dy

_

_

,

0 

n

y

n



1

, se le llama una

ecuación diferencial de Bernoullí.

(no es lineal) Esta ecuación con la sustitución

z



y

1nse transforma en una ecuación diferencial lineal.

 

_x

_y

_Q

 

_x

_y

n

P

dx

dy

_

_

,

n



0

y

1 

n

, entonces la solución de la ecuación diferencial de Bernoullí es:

   

_

_{  }

   



        _e _n _Q_x_e _dx _c y1 n 1 n Pxdx 1 1 n Pxdx

 

n x y Q x y P dy dx _ _ ,

n



0

y

1 

n

, entonces la solución de la ecuación diferencial de Bernoullí es:

   

_

_{  }

   



        _e _n _Q _y_e _dy _c x1 n 1 n Pydy 1 1n Pydy

Ecuaciones Diferenciales

de Ricatti

forma

 

x y Q

 

x y R

 

x P dx dy _ 2_ _ se llama ecuación de Ricatti. En la solución de esta ecuación se supone una solución particular conocida

y

1

y se hace la sustitución

v y y ₁1

la cual transforma la ecuación en una lineal respecto a v.

30) Solución General de Ricatti:

      __

_

_{ }     _    c dx e x P ve 2Pxy1 Qx dx 2Pxy1 Qx dx con 1 1 y y v   .

Ecuaciones Diferenciales

de LaGrange

31) Definición:

La ecuación de LaGrange tiene la forma y x



(y')(y')

Haciendo y' p, diferenciando y sustituyendo dy por pdx, reducimos esta ecuación a otra que considerada en x como función de

p es lineal. Resolviendo esta última

 

p,c r

x , obtenemos la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica: Sol.













)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

p

C

p

r

y

C

p

r

x



(p es un parámetro)

La ecuación de LaGrange puede tener soluciones singulares de la forma y



(C)x(C) donde

C es una raíz de la ecuación

) (C C 



Ecuaciones Diferenciales

de Clairaut

32) Definición: El método de resolución es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairaut tiene la forma:

) ( p Cx

y 

Puede tener solución particular que se obtiene eliminando

p

entre las ecuaciones:













0 )

(

'

)

(

p

x

p

xp

y



Aplicaciones de las

Ecuaciones Diferenciales

de Primer Orden

33) Trayectorias Isogonales y Ortogonales

Dada una familia de curvas



x,y,c



0

f , existe otra familia



x,y,c



0

g que corta a la familia

f bajo un mismo ángulo



. A la familia g se le llama la familia de

trayectorias isogonales de f y



x,y,c



0 g es solución de la ecuación diferencial.





 

   

 

x y f y x f x g x f x g x f tan tan tan tan tan tan                    1 1 1















Luego,

 

_{ }

1      x f tan tan x f dx dy



En particular, cuando





90 º

, a

g

se le llama la familia de trayectorias

ortogonales de f y en este caso, g

es solución de la ecuación diferencial.

   

xg x f

 

x y f tan tan     1   34) Ley de Enfriamiento de Newton:

Si se tiene un cuerpo a una temperatura

T

,

sumergido en un medio de tamaño infinito de temperatura T_m (T_m no varía apreciablemente con el tiempo). El enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial.



k



dt d __ donde m T T  





T Temperatura del cuerpo en el tiempo  0 T Temperatura inicial  m

T Temperatura del medio

ambiente  k Constante de proporcionalidad ___________________________________________________________________

Profesor:

Edis

Alberto

Flores

(4)



T

_m



k

dt

dT

_

_

 

kt _m T ce t T  

35) Ley de Absorción de Lambert: 36)

Esta ley dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad _{de un} material translúcido es proporcional a la intensidad de la luz a una profundidad ; es decir, si es la intensidad de la luz a una profundidad , entonces

37) Mezcla o Soluciones Químicas:

Cantidad de sal en Volumen en Concentración en Libras de sal que contiene la solución salina inicial

Taza con la que se vierte la otra solución salina

Libras de sal que contiene la otra solución salina

Taza con la que sale la solución bien mezclada

 

    0 0 0 _be _e _dt _C e t Q V te f dt f e t V dt _f f    



   

Ecuaciones Diferenciales

de Orden Superior

38) Definición: Se dice que una

ecuación diferencial lineal de n – ésimo orden de la forma

 

x y g

 

x a x a ... x a x a dy_dx dx y d n dx y d n n n n n     _ _ 0 1 1 1 1 es homogénea si g

 

x 0

39) Solución general de una EDH

Si y₁,y₂,...y_n es un conjunto fundamental de soluciones de la EDH entonces la solución general es y_cc₁y₁c₂y₂...c_ny_n 40) Observación: y₁,y₂,...y_n es un conjunto fundamental de soluciones si W



y₁,y₂,...y_n



0, esto es si   0 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 _ _ _          n n n n n n n n y .... y y y ... y y y ... y y y ... y y y ,... y , y W

41) Solución General de una Ecuación Diferencial No homogénea

Digamos que y₁,y₂,...y_n es un conjunto fundamental de soluciones de (*). Entonces la solución general de la EDNH es

p n n c c y c y ... c y y y  ₁ ₁ ₂ ₂   Es decir: y_G y_cy_p 42) Definición: Si aybycy0 llamamos ecuación característica o auxiliar de la ED a: 0 2_ _ _ c bm am

Con las raíces de la ecuación característica suceden tres casos.

Caso 1: Raíces Reales y diferentes

Si las raíces son m₁ym₂, m₁m₂

x m e y 1 1 , x m e y 2 2  por tanto la solución general es x m x m e C e C y 1 2 2 1  

Caso 2: Raíces Reales e iguales

Si las raíces son m₁ym₂, m₁ m₂

x m e y 1 1 , x m xe y 2 2  por tanto la solución general es x m x m xe C e C y 1 2 2 1  

Caso 3: Raíces imaginarias

Si las raíces son m₁ym₂,

i

m₁ y m₂ i la solución general está dada por



C cos x C sen x



e y x ₁   ₂ 

Método de Coeficientes

Indeterminados

43) Definición: No homogénea

 

x

y

a

 

x

y

a

 

x

y

f

 

x

a

₁





₂





₃



Homogénea asociada

 

₂

 

₃

 

0

1

x

y





a

x

y





a

x

y



a

44) Pasos a seguir:

1. Determine la solución general

de la edo. homogénea asociada (solución complementaria y_c

 

x .

2. Determine una solución particular de la no homogénea

 

x y_p . (Determine A, B, C) 3. La solución general es p c y y y 

Ecuaciones con Variación

de Parámetros

45) Pasos para resolver la ecuación en forma canónica:

 

x y g

 

x y f

 

x p y   1. Hallamos y₁ y y₂ soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada:

 



 

0   p x y g x y y 2. Hallamos W



y₁,y₂



3. Determinamos

 



2₁ ₂



1 y , y W x f y u y

 



1₁ ₂



2 y , y W x f y u  4. Integramos u₁



u₁dx y



  u dx u₂ ₂ 5. La solución particular 2 2 1 1y u y u y_p   6. La solución general 2 2 1 1 2 2 1 1y C y u y u y C y y y_G  _c _p    Otro enfoque: 2 2 1 1

y

u

y

u

y

_p





Donde x x I x kI dx dI __

 

t



Q

t

 

t



V

t

 

t



C

t



a



e



b



f

2 1

R

dt

dQ

_

_

min lib be min gal e gal lib b R₁_ __ _

 

_C

 

_t _f lib_min min gal f gal lib t C R₂_ __ _

 

_{ }

_

 

_

f

e

t

V

t

Q

t

V

t

Q

t

C







0

 



e

f



t

V

ft

et

V

t

V

_E _S

















0 0 0

Profesor:

Edis

Alberto

Flores

(5)

dx

w

u

₁





1

dx

w

u

₂





2

 

₂2 1

0 y

x

f

y

w





 

x

f

y

w

1 1 2

0 



2 1 2 1

y

w





Ecuaciones de Cauchy

Euler

46) Definición: Forma General

  _x _y  _.... _x _y _x_y _y _f

_{ }

_x

y

xn n  n1 n1   2   

La solución está dada por:

 

mn n m m h

x

c

x

c

x

...

c

x

y



1



2



2 1 Polinomio característico:





0

2

_

_b

_

_a

_m

_

_c

_

m

 Si las raíces son reales y distintas entonces la solución homogénea es de la forma

 

1 2 2 1 m m h

x

c

x

c

x

y





Si las raíces son reales e iguales (multiplicidad) entonces la solución homogénea es de la forma

 

m m

h

x

c

x

c

ln

x

y



₁



₂

Si las raíces son imaginarias entonces la solución homogénea es de la forma

 

x cx cos



lnx



c x sen



lnx



y_h  ₁ 



 ₂ 



Ecuaciones Diferenciales

por Series de Potencias

47) Ejemplos de Series de Potencias:



 







0 2 2

1

n n! x ! n x ! x x n n

...

....

x

e

       



               0 2 1 1 1 2 1 5 3 1 2 1 2 5 3 n n ! x ! n x ! x ! x n n n n ... .... x senx        



           0 2 1 2 1 4 2 2 2 4 2 1 n n! x ! n x ! x ! x n n n n ... .... x cos      



              02 1 1 2 1 5 3 1 2 1 2 5 3 n n ! x ! n x ! x ! x n n n ... .... x senhx      



          02 2 1 4 2 2 2 4 2 1 n n! x ! n x ! x ! x n n n ... .... x cosh

48) Solución en Puntos Ordinarios:

Supongamos que la ecuación

 

₂

 

₃

 

0

1

x

y





a

x

y





a

x

y



a

Se puede escribir así:

 

₁3

 

0

1 2



_

_





y

x

a

x

a

y

x

a

x

a

y

 



 

0   P x y Q x y y

49) Definición: Punto ordinario

Se dice que

x



a

es un punto ordinario de

 



 

0   P x y Q x y y Si P

 

x y Q

 

x son analíticas en

a

x



; es decir, si P

 

x y Q

 

x

se pueden expandir en series de potencias de

x



a

con un radio de convergencia positivo. Teorema: Si

x



a

es un punto ordinario de

 



 

0   P x y Q x y y

Siempre podemos encontrar dos soluciones distintas LI en serie de potencias; soluciones que son de la forma







    0 n n n x a C y

Una solución en serie de potencias converge por lo menos para xa R₁

,

donde R₁ es la

distancia de a al punto singular

más cercano.

Nota: Para simplificar supondremos que el punto ordinario es a0, si no lo es, se

hace la sustitución t xa . Esta

sustitución convierte la ED en otra ED con punto ordinario t 0.

Transformada de Laplace

50) Teorema:

 

 

 

L

 

f

 

t ds d t f t L _n n n n 1  

 



 



L



F

 

s



t

s

F

L

t

f



1





1

1



51) Primer Teorema de traslación:

 





 

_{ }





 

_s _s _a t a s st at at

s

F

a

s

F

dt

t

f

e

dt

t

f

e

t

f

e

L

      









0 0

Puesto que



e

st

f

 

t

dt



F

 

s

  0

52) Función Unitaria Heviside:

 

















a

t

a

t

a

t

H

si

1

0

53) Teorema:

 

















s i

b

t

h

b

t

a

t

h

a

t

h

3 2 1

0

 t h t h t h tHt a h t h tHt b f  ₁  ₂  ₁   ₃  ₂ 