Derivaci´on e integraci´on Problemas para examen

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Derivaci´

on e integraci´

on

Problemas para examen

La lista de problemas todav´ıa no es completa.

´

_Indice

1. L´ımites de funciones mon´otonas 1

2. Estructura de discontinuidades de funciones crecientes 2

3. Derivadas de Dini 4

4. Lema de Vitali 4

5. Derivada de una funci´on mon´otona 5

6. Funciones de variaci´on acotada 5

7. Funciones absolutamente continuas 7

8. El primer teorema fundamental de c´alculo 8

9. El segundo teorema fundamental de c´alculo 8

1. L´ımites de funciones mon´

otonas

En este curso aceptamos como un hecho la existencia del supremo e ´ınfimo de cualquier subconjunto de R.

1. Sobre los l´ımites de una función creciente en los extremos de un intervalo. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, y sea f : (a, b) → R una función creciente. Denotemos por V la imagen de la función f :

V := f [(a, b)] = {y ∈ R : ∃x ∈ (a, b) f (x) = y}. Demuestre que lim x→b x∈(a,b) f (x) = sup(V ), (1) lim x→a x∈(a,b) f (x) = inf(V ). (2)

Considerar varios casos: a = −∞, a ∈ R, b = +∞, b ∈ R, sup(V ) ∈ R, sup(V ) = +∞, inf(V ) ∈ R, inf(V ) = −∞.

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2. Sobre los l´ımites de una función decreciente en los extremos de un intervalo. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, y sea f : (a, b) → R una función decreciente. Denotemos por V la imagen de la función f :

V := f [(a, b)] = {y ∈ R : ∃x ∈ (a, b) f (x) = y}. Demuestre que lim x→b x∈(a,b) f (x) = inf(V ), (3) lim x→a x∈(a,b) f (x) = sup(V ). (4)

Considere varios casos: a = −∞, a ∈ R, b = +∞, b ∈ R, sup(V ) ∈ R, sup(V ) = +∞, inf(V ) ∈ R, inf(V ) = −∞. 3. Demuestre que lim x→+∞bxc = +∞. 4. Calcule sup x>−1 x x + 1.

2. Estructura de discontinuidades de funciones

cre-cientes

5. L´ımites laterales de una funci´on creciente en un punto. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A). Demuestre que existen

lim

t→x+f (t), _t→xlim−f (t).

Estos l´ımites se denotan por f (x+_{) y f (x}−_{). Demuestre que}

f (x−) ≤ f (x) ≤ f (x+).

6. Criterio de continuidad de una funci´on creciente en un punto. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A). Muestre que f es continua en x si, y solo si,

f (x−) = f (x+).

7. Explique c´omo modificar las afirmaciones de los ejercicios anteriores, si x es un punto extremo del intervalo A.

8. Las discontinuidades de una funci´on creciente en los puntos interiores del intervalo son saltos. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente. Muestre que si x ∈ int(A) y f no es continua en x, entonces x es un salto de f , es decir, f (x−) < f (x+_).

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9. Comparación de l´ımites laterales de una función creciente en dos puntos diferentes. Sean A un intervalo de R, f : A → R una función creciente, x, y ∈ A, x < y. Demuestre que

f (x+) ≤ f (y−).

Sugerencia: construir un punto z en (x, y) y demostrar que f (x+) ≤ f (z) ≤ f (y−).

10. Sobre una suma finita de saltos de una funci´_{on creciente. Sean a, b ∈ R,} a < b, f : [a, b] → R una funci´on creciente, m ∈ N,

a < x1 < . . . < xm < b. Demuestre que m X k=1 (f (x+_k) − f (x−_k)) ≤ f (b) − f (a).

11. Una cota superior para el número de los saltos grandes de una función creciente. Sean a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R una función creciente, h > 0. Pongamos

Sh := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) ≥ h}.

Demuestre que el conjunto Sh es finito y

#(Sh) ≤

f (b) − f (a) h .

Sugerencia: en el principio de la demostraci´on, todav´ıa no sabemos que el conjunto Sh

es finito, y no podemos numerar todos los elementos de Sh. Piense c´omo razonar bien en

esta situaci´on.

12. El conjunto de las discontinuidades de una funci´on creciente en un intervalo acotado es finito o numerable. Sean a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R una funci´on creciente. Pongamos

T := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) > 0}. Demuestre que el conjunto T es finito o numerable.

13. El conjunto de las discontinuidades de una funci´on creciente en un intervalo arbitrario es finito o numerable. Sea A un intervalo en R y sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Demuestre que el conjunto

T := {x ∈ int(A) : f (x+) − f (x−) > 0}

es finito o numerable. Sugerencia: represente A como una uni´on numerable de intervalos acotados.

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3. Derivadas de Dini

15. Derivadas de Dini. Escriba las definiciones de las derivadas laterales superiores e inferiores de una funci´on real:

(D+f )(x) := lim sup t→x+ f (t) − f (x) t − x , (D+f )(x) =?, (D − f )(x) =?, (D−f )(x) =?.

16. Relaciones simples entre las derivadas de Dini. Explique por qu´e se cumplen las siguientes desigualdades:

(D+f )(x) ≤ (D+f )(x), (D−f )(x) ≤ (D−f )(x).

17. ¿Cu´ando todas las cuatro derivadas de Dini son iguales entre si?

18. Criterio de derivabilidad en un punto, en t´erminos de las derivadas de Dini. Sean f : [a, b] → R, x ∈ (a, b). Supongamos que

(D+f )(x) ≤ (D−f )(x), (D+f )(x) ≥ (D−f )(x).

Muestre que f tiene una derivada en x.

19. Sean f : [a, b] → R, x ∈ [a, b) y v ∈ R tal que v < (D+f )(x). Muestre que para cada δ > 0 existe h en (0, δ) tal que x + h ∈ [a, b] y

f (x + h) − f (x) > vh.

20. Sean f : [a, b] → R, x ∈ (a, b] y u ∈ R tal que u > (D−f )(x). Muestre que para cada

δ > 0 existe h en (0, δ) tal que x − h ∈ [a, b] y

f (x) − f (x − h) < uh.

4. Lema de Vitali

21. Cubiertas de Vitali. Sea E un subconjunto de R y sea A una colecci´on de subcon-juntos de R. ¿Cu´ando se dice que A es una cubierta de Vitali de E?

22. Sean E un subconjunto de R, A una cubierta de Vitali de E, F un subconjunto cerrado de R y x ∈ E \ F . Demuestre que existe A en A tal que x ∈ A y A ∩ F = ∅. 23. Lema de Vitali: reducción al caso de conjuntos cerrados. Muestre cómo demostrar el lema de Vitali, suponiendo que este lema ya está demostrado para el caso cuando cada elemento deA es un conjunto cerrado.

24. Aproximaci´on de la medida superior por arriba, usando conjuntos abiertos. Sea E un subconjunto de R tal que µ∗(E) < +∞. Justifique que existe un conjunto abierto U en R tal que E ⊆ U y µ(U ) < +∞.

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25. Lema de Vitali: reducci´on al caso de conjuntos contenidos en un conjunto abierto. Sea E un subconjunto de R tal que µ∗(E) < +∞ y sea U un subconjunto abierto de R tal que E ⊆ U y µ(U ) < +∞. Supongamos que A es una cubierta de Vitali de E. Pongamos

B := {A ∈ A: A ⊆ U}. Demuestre que B es una cubierta de Vitali de E.

26. Lema de Vitali. Enuncie y demuestre el lema de Vitali. Usando los resultados de los ejercicios anteriores, se puede suponer que todos los elementos de la cubierta son intervalos cerrados y que todos los elementos de la cubierta est´an contenidos en un conjunto abierto de medida finita.

5. Derivada de una funci´

on mon´

otona

27. Teorema sobre la derivada de una funci´_{on creciente. Sea f : [a, b] → R una} funci´on creciente. Demuestre que f tiene derivada en casi todo punto de [a, b].

28. Una cota superior para la integral de la derivada de una funci´on creciente. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Demuestre que f0 es medible y

b

Z

a

f0(x) dx ≤ f (b) − f (a).

Se recomienda usar el Teorema60.

6. Funciones de variaci´

on acotada

En este tema suponemos que a, b ∈ R, a < b.

29. Sea τ = (τ0, τ1, . . . , τn) una partici´on de [a, b], es decir,

a = τ0 < τ1 < . . . < τn = b.

Sea f : [a, b] → R. Denotemos por Sabs(f, τ ) la siguiente suma:

Sabs(f, τ ) := n

X

k=1

|f (τk) − f (τk−1)|.

30. La parte positiva y la parte negativa de n´umeros reales (repaso). Recuerde las definiciones de las funciones P y N . Demuestre que

x = P (x) − N (x), |x| = P (x) + N (x) _{(x ∈ R),}

(6)

31. Sea τ una partici´_{on de [a, b] y sea f : [a, b] → R. Recuerde la definici´on de S}+(f, τ ) y

S−(f, τ ).

32. Sea f : [a, b] → R. Escriba las definiciones de Varba(f ), PVar b

a(f ), NVar b a(f ).

33. Sea f : [a, b] → R y sean x, y ∈ [a, b]. Demuestre que |f (y) − f (x)| ≤ Varb_a(f ).

En particular,

|f (b) − f (a)| ≤ Varb_a(f ).

34. La variación total, la variación positiva y la variación negativa de una funci´_{on creciente. Sea f : [a, b] → R creciente. Calcule Var}b_a(f ), PVarb_a(f ), NVarb_a(f ).

35. La variación total, la variación positiva y la variación negativa de una fun-ci´_{on decreciente. Sea f : [a, b] → R decreciente. Calcule Var}b_a(f ), PVarb_a(f ), NVarb_a(f ).

36. Relaci´_{on entre Var, PVar, NVar. Sea f : [a, b] → R. Demuestre que} Varb_a(f ) = PVarb_a(f ) + NVarb_a(f ),

37. Sea τ una partici´on de [a, b] y sea τ0 una partici´on de [a, b] que se obtiene de τ al agregar un punto. Sea f : [a, b] → R. Demuestre que

Sabs(f, τ ) ≤ Sabs(f, τ0).

Demuestre propiedades similares para S+ y S−.

38. La variaci´on total de una funci´on en un intervalo dividido en varias partes. Sea f : [a, b] → R y sea c ∈ (a, b). Demuestre que

Varb_a(f ) = Varc_a(f ) + Varb_c(f ).

39. La variaci´on positiva y negativa de una funci´on en un intervalo dividido en varias partes. Sea f : [a, b] → R y sea c ∈ (a, b). Demuestre que

PVarb_a(f ) = PVarc_a(f ) + PVarb_c(f ), NVarb_a(f ) = NVarc_a(f ) + NVarb_c(f ).

40. Escriba la definici´_{on de BV([a, b], R).}

41. Teorema: cada función real de variación acotada es una diferencia de dos funciones crecientes. Sea f ∈ BV([a, b], R). Construya dos funciones crecientes g, h : [a, b] → R tales que f = g − h. Dos métodos:

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usando PVarx_af y NVarx_af .

42. Funciones complejas de variación acotada. Explique cuáles de las afirmaciones anteriores se generalizan a funciones complejas de variación acotada. Demuestre que si f ∈ BV([a, b], C), entonces f es una combinación lineal de cuatro funciones crecientes. 43. Las funciones de variación acotada son acotadas. Demuestre que si f ∈ BV([a, b]), entonces f es acotada.

44. Sobre la derivada de una funci´on de variaci´on acotada. Demuestre que si f ∈ BV([a, b]), entonces f es derivable c.t.p., f0 ∈ L1_{([a, b]), y}

b

Z

a

|f0| dµ ≤ Varb a(f ).

45. Funciones de variaci´on acotada forman un espacio normado. Demuestre que Varb_a tiene propiedades de seminorma. Demuestre que la funci´on

kf kBV:= |f (a)| + Varba(f )

es una norma en BV([a, b]).

46. Demuestre que el espacio BV([a, b]) es completo.

7. Funciones absolutamente continuas

47. Escriba la definici´on de funci´on absolutamente continua.

48. Cada funci´on Lipschitz continua es absolutamente continua. Demuestre que Lip([a, b]) ⊆ C([a, b]).

49. Cada funci´on absolutamente continua es continua. Demuestre que AC([a, b]) ⊆ C([a, b]).

50. Teorema: cada funci´on absolutamente continua es de variaci´on acotada. Demuestre que

AC([a, b]) ⊆ BV([a, b]).

51. Las funciones absolutamente continuas son acotadas. Demuestre que si f ∈ AC([a, b]), entonces f es acotada.

52. Toda funci´on absolutamente continua es derivable casi en todos puntos, y su derivada es integrable. Sea f ∈ AC([a, b]). Muestre que f es derivable c.t.p. y que f0 ∈ L1_{([a, b]).}

53. Muestre que AC([a, b], C) es un espacio vectorial complejo.

54. Muestre que AC([a, b], C) es un ´algebra compleja. Muestre que esta ´algebra tiene un elemento neutro multiplicativo.

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8. El primer teorema fundamental de c´

alculo

En los problemas de esta secci´_{on definimos F : [a, b] → C mediante}

F (x) :=

x

Z

a

f dµ. (5)

55. Las integrales con l´ımite superior variable son funciones absolutamente continuas. Sea f ∈ L1_{([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (}5). Demuestre que F ∈ AC([a, b], C).

56. Sea f ∈ L1_{([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (}₅_{). Demuestre que F}

es de variaci´on acotada, continua, derivable en c.t.p., y F0 es integrable.

57. El lema principal sobre las funciones definidas como integrales con l´ımite variable. Sea f ∈ L1_{([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (}₅_{). Supongamos}

que F (x) = 0 para cada x en [a, b]. Demuestre que f = 0 c.t.p.

58. El primer teorema fundamental de c´alculo para funciones continuas. Sea f ∈ C([a, b]). Definimos F mediante (5). Demuestre que F0 = f .

59. El primer teorema fundamental de c´alculo para funciones esencialmente acotadas. Sea f ∈ L∞([a, b]). Definimos F mediante (5). Demuestre que F0 = f c.t.p. 60. El primer teorema fundamental de c´alculo para funciones Lebesgue inte-grables. Sea f ∈ L1_{([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C como}

F (x) := x Z a f dµ. Demuestre que F0 = f c.t.p.

9. El segundo teorema fundamental de c´

alculo

61. El lema principal sobre la derivada de una funci´on absolutamente continua. Sea F ∈ AC([a, b]). Supongamos que F0 = 0 c.t.p. Demuestre que F es una constante. Sugerencia: utilice el lema de Vitali.

62. El segundo teorema fundamental de c´alculo para funciones absolutamente continuas. Sea F ∈ AC([a, b]). Demuestre que

b

Z

a

F0dµ = F (b) − F (a).

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63. Criterio de funci´_{on absolutamente continua. Sea F : [a, b] → C. Demuestre que} las siguientes tres condiciones son equivalentes:

F ∈ AC([a, b], C), ∀x ∈ [a, b] F (x) = F (a) + x Z a F0dµ,

existen f en L1_{([a, b], C) y c en C tales que}

∀x ∈ [a, b] F (x) = c +

x

Z

a

f dµ.

64. Fórmula para la variación acotada de una función absolutamente continua. Sea F ∈ AC([a, b], C). Demuestre que

Varb_a(F ) =

b

Z

a

|F0| dµ.

65. Las funciones absolutamente continuas forman un espacio normado. Muestre que el conjunto AC([a, b], C) con la norma

kf kAC := |f (a)| + Varba(f ) (6)

es un espacio normado. Por el resultado del Problema 53_{, ya sabemos que AC([a, b], C)}

es un espacio vectorial complejo. Falta verificar que la funci´on k · kAC es subaditiva,

homog´enea absoluta y si kf kAC = 0, entonces f es la constante cero.

66. Las funciones absolutamente continuas forman un espacio de Banach. Mues-tre el conjunto AC([a, b], C) con la norma (6) es un espacio normado completo. Indicación: en vez de usar la fórmula (6), se puede usar la fórmula

kf kAC := |f (a)| + b

Z

a

|f0| dµ. (7)