CAPITULO 3 ALGEBRA. Definición. Es una parte de las matemáticas que trata de la cantidad en forma más general, usando letras y números

Luis Moreno Página 19 CAPITULO 3

ALGEBRA

Definición. Es una parte de las matemáticas que trata de la cantidad en forma más general, usando letras y números

Termino. Es una expresión algebraica, donde sus elementos no están separados entre sí por el signo más o menos.

Exponente

Por ejemplo.

5X 3



Parte literal

Coeficiente Singo

Expresión Algebraica: Es toda combinación de números y letras ligados entre sí por los signos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación.

Grado de un Término:

a) Grado absoluto (G.A.).- es la suma de los exponentes de sus partes literales

b) Grado relativo (G.R.).- Con respecto a una letra es el exponente de dicha letra

Luis Moreno Página 20 Por ejemplo.

 4 X

²

y

³

z

_G.A=6

GR =2 _x

GR =3 _y GR =1 _z

Polinomio: Un polinomio en “X”. P(x) es una expresión algebraica de la forma

P(X) =

o o n

n n

n

x a x a x a x

a 

_1 ^1

 ... 

₁



Por ejemplo: P(X) =

4 x

³

 7 x

²

 6 x  2

Q(X) =

 5 x  3

R(X) =

3 x

²

 8 x  6

Hay polinomios en 2 o más variables.

Por ejemplo P(x,y) =

5 x

²

 4 xy  3 y

²

P(x,y,z) =

x

²

 5 y

²

 3 z

²

 4 x  z  1

Grado de Polinomio: Con respecto a una letra es el mayor exponente de la dicha letra.

Por ejemplo. P(x) =

5 x

²

 3 x  4

su grado es 2 P(x) =

4 x

³

 8 x  1

su grado es 3

Luis Moreno Página 21 Clasificación de Polinomios:

a) Monomio.- tiene un término b) Binomio.- tiene dos términos c) Trinomio.- tiene tres términos

d) Polinomio.- tiene varios términos

Valor Numérico de un Polinomio: Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados

Dado el polinomio.- P(x) =

3 x

²

 5 x  6

a) Hallar P(4) =

3 . 4

²

 5 . 4  6

=

4 . 16  20  6

=

48  20  6

= 62

b) Hallar P(-2) = 3.(2)² 5.(2)6 = 12106

= 4 c) Hallar P (

2

5) = 6

2 .5 5 2) (5

3 ²  

= 6 2 25 4 .25

3  

= 6 2 25 4

75 

=

4 24 50 75 

= 4 101

Luis Moreno Página 22 Términos Semejantes: Son aquellos términos que tienen los misma letras con iguales exponentes.

Por ejemplo. 3x y -9x o ^{2 3 2 3} 3 6x y  1 x y



Reducción de Términos Semejantes: para reducir dos o más términos semejantes, se trabaja con el coeficiente y la parte literal se copia.

1) 5x3x2x 2) 3x5x2x

3) 2x²y6x²y10x²y6x^y

4) ab ab ab

3 2 7 3

1  

Suma y Resta de Polinomios.- Para sumar o restar polinomios, se realizan las operaciones con los coeficientes, y la parte literal se copia la misma.

1) Sumar 3x² 7x6:x² 10x8 3x² 7x6

x²10x8 4x² 3x14

2) Sumar 4x³ 7x² 12x13:2x³ 6x11 4x³ 7x² 12x13

2x3 6x11 6x³ 7x² 18x2

Luis Moreno Página 23 3) De 5x² 8x14 _restar 2x²5x20

5x²8x14 Se cambia los signos después de la 2x²5x20 Palabra restar

3x² 3x6

4) De a b c

4 1 5 2 3

1   restar a b c

2 1 3 2 1 

a b c 4 1 5 2 3

1  

3 2 5 3

1 

a b c 2 1 3 2 1 



15 11 15

51 6 3 1 5

2   

a b c 4 1 15 11 3

5  



4 1 4

2 1 2 1 4

1   



Multiplicación de Polinomios.- Para multiplicar polinomios se lo realiza aplicando la propiedad distributiva empezaremos haciendo multiplicación de monomios.

1)

x

²

. x

³

 x

^23

 x

⁵ se copia la base y se suman los exponentes 2) x..xx^11x²

3) x + x=2x 4) x³x³ x⁶ 5) x³ x³ 2x³

6) 5x³.4x³ 20x⁶ 7) 5x³4x³9x³ 8) xⁿxⁿ 2xⁿ 9) xⁿxⁿ x²ⁿ

Luis Moreno Página 24 10) x^n3.x^n4 x^2n7

11) x.(x2)x²2x

12) x²(x³ 3x)x⁵ 3x³

13) 7x²(2x³ 4x² 5x2)14x⁵ 28x⁴ 35x³ 14x²

14) (x8)(x3)x² 3x8x24x² 11x24

15) (x8)(x3)x² 3x8x24x² 5x24

16) (x8)(x3)x²3x8x24x²5x24

17) (x8)(x3)x²3x8x24x²11x24

18) ²

8 15 2 .5 4

3a a a

19) a y xy xy

5 14 15

42 5

. 6 3

7   

20) ^{2 3 3 4 3 4}

3 4 15

20 3

. 10 5

2a b  ab  a b  a b



21) (x²5x6)(x2)x³2x²5x²10x6x12x³7x²16x12

Luis Moreno Página 25 22) (x²7x4)(x3)x³3x²7x²21x4x12x³10x²17x12

23) (x^n2 3x^n1)(x² 4x)x^n44x^n3 3x^n3 12x^n2 x^n4 1x^n3 12x^n2

24)

 

10 71 30

9 80 10

3 3 8 2

4 10

3 3

8 15 ) 6 5 4

)(3 2 1 3

(2 ^{2 2}   

















 b a b a ab ab b

a

2

2 2

10 71 5

2a  ab b



División de Polinomios.- La división de polinomios tiene por objetivo hallar el cociente C(x) de la división del P(x) (dividendo) con el Q(x) (divisor).

Es decir: P(x) Q(x) C(x)

Divición Entre Monomios:

1) 8x²y³z⁵ 2x³y¹z²

x

z y z

y x

z y

x ^{2 3}

2 1 3

5 3

2 4

2

8 





2) 6x^3n5 9x^n2

₂ ^{3 5 2 2 3}

5 3

3 2 3

2 9

6 _{   }



  



 _{n n n}

n n

x x x

x

División Entre Polinomios y Monomios:

1) 8X³ 10X² 6X 2X

4 5 3

2 6 2 10 2 8 2

6 10

8 ^{3 2 3 2} ₂







 

 

 

 



 x x

x x x x x x x

x x x

Luis Moreno Página 26

x x

x x

4 14 7

2 2









2) 12x³ 9x² 24x6x

x x x

x 6

24 9

12 ^{3 2}





 =

x x 6 12 ³

 ⁺ x x 6 9 ²

 ^- x x 6 24

 ⁼

2x2₊ x 2 3

- 4

División Entre Polinomios:

Para hallar el primer término del coeficiente dividimos el primero del dividendo con el primero del divisor. x

x x² 

1)

Para hallar el primer término del cociente dividimos el primero del dividendo con el primer divisor ^x

x x² 

25) x² 3x10 x5 -x² 5x x2 2x10

2x10 0

26) x³ 10x² 22x12 x+4

2 3

x x x 

x³ 4x² x² 6x2 6x² 22x

6x² 24x

2 12 3

14 3









 x x

3 4



 x x

Luis Moreno Página 27

3 2.x x

x 

10x2

2x12 2x8 4

Multiplicamos pase debajo del dividendo con el signo cambiado luego y lo colocamos debajo de con el signo cambiado y así

sucesivamente

Productos Notables.- Son aquellos productos que se los realiza directamente mediante fórmulas o porque siguen reglas fijas

1ª Formula

(ab)² a² 2abb² (ab)² a² 2abb²

1) (x6)² x² 2.x.66² x²12x36 2) (x5)² x² 2.x.55² x² 10x25

3) (7x4y)²(7x)²2.7x.4y(4y)²49x²56xy16y²

4) ^{18 36 9 9 36}

2 9 6

.6 .3 3 2

6 3

2 2

2 2 2

2 x x y y x xy y x xy y

y

x       



 





 



 







 

 

5)



^{7a2b34a4b5}

 

^{2  7a2b3}



^{22.7a2b34a4b5}



^4a4b5



^{2 49a4b656a6b816a8b10}

6)



^{x3n25xn7}

  

^{2  x3n2 22.x3n25xn7}



^5xn7



^{2 x6n410x4n525x2n14}

2 2.4 4x

x 

Luis Moreno Página 28 Segunda Formula:



ab



³ a³3a²b3ab²b³



ab



³ a³3a²b3ab² b³

1)



x4



³  x³3x²43x4² 4³  x³12x²48x64 2)



x5



³  x³3x²53x5²5 x³15x²75x125

3)



6x4y



³(6x)³3(6x)².4y3.6x.(4y)²(4y)³216x³432x²y288xy²64y³

4)



7x2y

  

³  7x ³3

 

7x ²2y3.7x

   

2y ² 2y ² 343x³294x²y84xy² 8y³

Tercera Formula



^ab



^ab



^{a2 b2}

1)



x5



x5



 x² 5² x²25

2)



6x7y



6x7y

    

 6x ²  7y ² 36x²49y²

3)

 

100 1 10

1 10

1 10

1 6

2 3 2

3

3   



 









 



 



 



x ⁿ  x ⁿ x ⁿ x ⁿ

4) 15 12 15 12 15 144 225

4 12

2 2 2

2 y x y

x y

x

x   



 







 







 



 



 



 

Cuarta Formula



xa



xb



x²



ab



xab

1)



x7



x3



x²



73



x73 x² 10x21

Luis Moreno Página 29 2)



x7



x3



x²



73



x21x²4x21

3)



x⁷



x³



x²



⁷³



x²¹x²⁴x²¹

4)



x7



x3



 x²



73



x(7)(3)x²10x21

Quinta Formula:



^ab

 

^a2abb2



^a3b3



^ab

 

^a2abb2



^a3b3

1)



^x3

 

^x23x9



^{ x333 x327}

2)



^x8

 

^x28x64



^{x383x3512}

Cocientes Notables: son cocientes especiales de la forma

b a

b a^{n n}



 que se

realizan en forma directa.

Primera Formula:

b b a

a b

a  



 ²

2

b b a

a b

a  



 ²

2

1) 5

5 5 5

25 ^{2 2}

2  



 



 x

x x x

x

2) 7

7 7 7

49 ^{2 2}

2  



 



 x

x x x

x

3)

   

y y x

x y x

y x

y

x 4 9

9 4

9 4

9 4

81

16 ^{2 2 2 2}  



 





Luis Moreno Página 30 Segunda Formula:

2 2

3 3

b b a b a

a b

a    





2 2

3 3

b b a b a

a b

a    





1) 2 2 2 4

2 2 2

8 2 2 2

3 3

3       



 



 x x x x

x x x

x

2) 6 6 6 36

6 6 6

126 2 2 2

3 3

3       



 



 x x x x

x x x

x

Divisibilidad se Presenta 4 Casos:

I. a b

b a^{n n}



 siempre es divisible

II. a b b a^{n n}



 es divisible si “n” es impar

III.

b a

b a^{n n}



 es divisible si “n” es par

IV. a b

b a^{n n}



 nunca es divisible

Luis Moreno Página 31 Factorización: Es expresar un polinomio como producto de sus factores

Caso I

Factor Común: es cuando en el polinomio se repite una letra, un numero r ambos, que es lo que se llama factor común

1) Factorizar ab + ac ac

ab Como podemos ver el factor común es la letra “a” extremos ese factor común



b c



a  Extraemos ese factor común



^{b c}



^{a b ac}

a     , Multiplicando en forma distributiva, volvemos a la pregunta

2) Factorización x² 3x de “x” y “x²”, el común es “x”, siempre se escoge la letra de menor exponente entre las que se repiten



3



2 3xx x x

3) Factorizar 8x²12xy4x



2x3y



4) ^{8x2y7 12x3y6 16x4y5 20x5y4 4x2y4}



^{2y3 3xy2 4x2y5x3}



5) 5x



a2



2y



a2



4z



a2

 

 a2



5x2y4z



6)



5x6



x7

 

3x7

 

 x7



5x63

 

 x7



5x9



7)



⁴x⁸



x²

 

 x³



x²

 

 x²

 

⁴x⁸



x³

  

 x²



⁴x⁸x³

 

 x²



³x⁵



Luis Moreno Página 32 x

x 10

5 2 

xy y x 48

6 4 2  Caso II

Factor Común por Agrupación: se realiza agrupando termino donde se encuentra el factor común

8) axbxaybyx



ab

 

y ab

 

 ab



xy



De los primeros términos se repite “x”, de los otros dos se repite “y” luego se repite

“a + b”

9) ^{x32x25x10x2}



^x2

 

^{5 x2}

 

^{ x2}

 

^x25



10) ^{x33x26x18x2}



^x3

 

^{6 x3}

 

^{ x3}

 

^x26



Caso III

Trinomio Cuadrado Perfecto: es un polinomio de tres términos donde el primer término y el último son positivos y tienen raíz cuadra exacta.

a²2abb² 



ab



²

11) x² 10x25



x5



²

X 5

Al multiplicar las raíces para 2 obtenemos el termino central y entonces



x5



²

12) 16x²48xy36y² 



4x6y



²

4x 6y

Luis Moreno Página 33 12

24 2

8 2 3

xy xy

y x

 13)

2 2 2

8 3 64 12

9 



 

 





 xy y x y

x

3 x

Caso IV

Diferencia de Cuadrados: siempre son dos términos que tiene raíz cuadrada exacta y están separado por el signo menos. a²b² 



ab



ab



14) x²9



x3



x3



15) 16x² 49y² 



4x7y



4x7y



16) 



 

 



 

 



25 3 5 3 5 9

2

2 y x y x y

x

17) _







 



 



 



 11

1 11

1 121

1 _{3 3}

6n n n

x x

x

18)



5x7



²16



5x74



5x74

 

 5x3



5x11



19)



6x4

 

² x2

 

²  6x4x2

 

6x4



x2

  

 7x2



5x6



Caso V

Trinomio Cuadrado Perfecto por Suma y Resta. Es un trinomio, se lo maneja como el caso III pero no comprueba el término central, por lo tanto se suma y se resta lo que le falta al 2.a.b para que igual al término central.

8 y

Luis Moreno Página 34

2 2

2 2

30 5 3 2

y x

y x 

 ^{4 2 2 4 2 2}

2 2 2 2

4 25 30

9

4 4

y x y y

x x

y x y x











 



^{33xx2 55yy2 2xy4x}



^{3yx2 5y2 2xy}



2 2 2

2 2













2 2

2 2

48 6 4 2

y x

y x 



2 2 4 2

2 4

2 2 2 2

9 36 48

16

9 9

y x y y

x x

y x y x











 



^{44xx2 66yy2 3xy9x}



^{4yx2 6y2 3xy}



2 2 2

2













20) 9x⁴ 26x²y² 25y⁴9x⁴ 26x²y² 25y⁴

3x² 5y²

A 26 le falta 4 para igualar al 30 que salió

21) 16x⁴ 39x²y² 36y⁴ 16x⁴ 39x²y² 36y⁴

4x² 6y²

Caso VI

Trinomio de la forma x² bxc

22) Se coloca 2 paréntesis con “x” el primer signo se copia el segundo sale de multiplicar los dos y se buscan dos números que multiplicado de 6 y sumado de 5 por ser signos iguales.

6

2 5x x

(x )(x ) (x + )(x + ) (x + 3)(x + 2)

Luis Moreno Página 35 23)



4



3



12

2 7







 x x

x x

24)



5



2



10

2 3







 x x

x x

25)



⁷⁵



¹⁴²



2







 x x

x x

26)



^{2 25}



²¹⁵³



4







 x x

x x

27)

   



^{33 9}



^{733 2}



¹⁸

2







 x x

x x

Caso VII

Trinomio de la forma ax²bxc

Se multiplica por el número que esta adelante todo el polinomio luego se procede como el caso anterior, finalmente dividimos por 3.

28)

   

  



2



3 2



1 . 3

2 3 6 3

12 3 8 3

) 3 ( 4 8 3

2 2

















x x

x x

x x

x x

29)

 

   

  



^{2 91}



^{.2 1}



2 2 9 2

18 2 7 2

2 9 7 2

2 2

















x x

x x

x x

x x

Luis Moreno Página 36

2 2 2

15 5 3 3

x x

b a









x x

b a

75 5 3 3

2 2









2 2 2

18 6 3 3

x x

b a









x x

b a

108 6 3 3

2 2







 30)

   

  



2 3



3 1



2 . 3

2 6 9 6

18 6 11 6

) 6 ( 3 11 6

2 2

















x x

x x

x x

x x

Caso VIII

Cubo perfecto de binomio. Siempre es de 4 términos, el primer y el cuarto termino tienen raíz cubica exacta.

3 3

2 2

3 3a b 3 a b b (a b)

a        

3 3

2 2

3 3a b 3 a b b (a b)

a        

31. x³15x²75x125(x5)³ x 5

Realizamos la prueba con “x” y “5” 3.a².b y 3ab², vemos que igualan con los términos centrales entonces podemos factorizar.

32. x³18x²108x216(x6)³ x 6

Luis Moreno Página 37 y

x

y x

b a

2 2 2

36

3 ) 2 ( 3 3









2 2 2

54

) 3 ( 2 3 3

xy y x

b a









33. 8x³36x²y54xy² 27y³ (2x3y)³ 2x 3y

Caso IX

Suma o Diferencia de Cubos. Son dos términos que tienen raíz cubica exacta y pueden estar separados por el signo de “+” y “-”.

) )(

( ^{2 2}

3

3 b a b a a b b

a      

) )(

( ^{2 2}

3

3 b a b a a b b

a      

34. x³125(x5)(x²x55²) x 5 (x5)(x² 5x25)

35. x³216(x6)(x²x66²) x 6 (x6)(x² 6x36)

36. 8x³343y³ (2x7y)((2x)²2x7y(7y)²) 2x 7y (2x7y)(4x²14xy49y²)

Luis Moreno Página 38 ) 10 10 10

10 10

10 )(

10 ( 10

10000000 ^{7 7 6 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 6}

7 x   x x x x x x x 

x

) 1000000 100000

10000 1000

100 10

)(

10

(  ⁶ ⁵ ² ³ ² 

 x x x x x x x

37. 64x⁶729y⁶ (4x²9y²)((4x²)²4x²9y² (9y²)²) 4x² 9y² (4x² 9y²)(16x⁴ 36x²y²81y⁴) 38. (x5)³27(x53)((x5)²(x5)33²) x+5 3 (x2)(x² 10x253x159)

(x2)(x²13x49)

Caso X

Suma o Resta de Potencias Impares Iguales. Son dos términos que se los pueden ordenar en forma de potencias impares e iguales.

39. x⁵y⁵ (xy)(x⁴x³y¹x²y²x¹y³ y⁴)

40. x⁵32 x² 2⁵ (x2)(x⁴x³2¹x²2²x¹2³2⁴) ) 16 8 4 2 )(

2

(  ⁴ ³ ² 

 x x x x x

41. x⁷y⁷ (x y)(x⁶x⁵y¹x⁴y² x³y³x²y⁴x¹y⁵ y⁶) 42.