a n ab a b potencia n : Exponente b b a si n 1 p x y n m b b b 0 no definido n n n

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN:

Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.

Notación:

a : Base

a ⁿ  P

n : Exponente

P : potencia

Definiciones:

Exponente natural

 a n

n veces

a si n

a a a si n

1

. ... 2

 

 

 

Exponente cero

0

;

0  1 a 

a

Nota:

0 0

no está definido

Exponente negativo Si a  0  n  N se define:

^  1 ; a  0

a ⁿ a _n

Nota: *

 n

0

no definido

Teoremas: Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n”

enteros positivos, entonces se cumple:0 1.Multiplicación de bases iguales.

m n m

n a a

a .  ^

2. División de bases iguales.

m m n

n

b b

b





3. Potencia de potencia.

  ^b

^{m n}

^{ b}

^{m n.}

^   ^b

^{n m}

Nota: * b^nm b^n.m

4. Potencia de una multiplicación.

  ^{ab n  a b n n}

5. Potencia de una división.

n n

n

a a

b b

  

   

^{; b  0}

Nota:* Si “b” es un número real y m, n, p son

enteros, entonces:

z b

b

b ^{m x y}

n p

m   

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo RADICACIÓN EN :

Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:

n n

r a r

a   

n: índice (n  2 ; n  N) b: radicando

r: raíz n-ésima principal de b

Teoremas: Si ⁿ a yⁿ b existen, entonces se cumple:

1. Raíz de una multiplicación:

n a

ⁿ b

₌

ⁿ a b

2. Raíz de una división:

n n n

a a

b  b

si b  0

3. Raíz de una radicación:

n m n

m ^. b  ^. b

Exponente fraccionario:

Si ⁿ m

a existe en  se define:

PRÁCTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Reducir:

400 veces

5 5 5 5

80 80 80 80

888 veces

888 x x x... x E

x x x ... x

  

    

a) 4 b) 5 c) 1

d) 7 e) 8 Problema 6

Problema 7

Problema 8

mn

n m

a  a

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12 Si:

m 20 20 20 ...

p 1 3 3 3...

n m m m...

   

 



Calcule: "m n 2p "

a) 0 b) 1 c) 3

d) 5 e) 6 Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es una expresión algebraica donde no están presentes las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo:

3

4

5

) ,

( x y x y

M 

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales:

P(x;y) = 4x²y⁷ y Q(x;y) = –2x²y⁷ P(x;y) = 5x²y³ y S(x;y) = 2xy⁷ POLINOMIO

Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:

P(x;y) = 5x³y⁷  (monomio) R(x;z) = 2x²z + 5z⁵  (binomio) F(x) = 3 – 5x + 3x²  (trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO A. Grado Relativo:

Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo: Sea P(x;y;z) = 5x⁵y³z GR(x) =5 , GR(y) =3 , GR(z) =1 B. Grado Absoluto:

Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo: Sea R(x;y;z) = 2x⁴y⁵z³ GA = 4+5+3

GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.

Ejemplo: Sea P(x,y) = 3x³y⁵ – 7x²y⁹ + 5x⁷ GR(x) =7 , GR(y) =9

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)

Es el mayor de los grados absolutos de cada término.

Ejemplo: Si F(x;y) = 2x²y³ – 7x⁶y + 4x⁴

OBSERVACIONES: Sea P(x) un polinomio de grado “n”de la forma siguiente:

P(x)  a0 xⁿ+a1 x ^{n –1}+a2 x ^{n –2}+....+an. Con: a0 0 tener en cuenta lo siguiente:

 a0=coeficiente principal o coeficiente director (directriz).

 an=término independiente o término constante.

El valor numérico (V.N.) del polinomio P(x) cuando su variable “x” es sustituida por “a” (numero real ) se representa asi:

Exponentes

Variables Coeficiente

VN P(x) = P(a) x = a

Notar que para nuestro polinomio:

P(x)  a0 xⁿ +a1 x ^n–1+ a2 x ^{n – 2}+ .... +an.

P(0) = an = término independiente de P(x).Es decir:



También notar que si: x = 1;

P(x) = a0 + a1 + a2 +...+an

Suma de coeficientes de P(x) 

Polinomios Especiales POLINOMIO MÓNICO:

Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico.

Ejemplos: A(x) = 1 + x² + 3x B(x) = 7 –2x²+x³ , C(x) = x POLINOMIO ORDENADO:

Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.

Ejemplos: P(x) = 4x⁴ + 12x² – 3x + 7

Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.

P(x,y,z) = 21xz⁴ – 34x⁵y²z + 41x⁷y⁴

Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z

POLINOMIO COMPLETO:

Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el término independiente: A(x) = 4x³ + 12x – 7x² + 16

Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.

POLINOMIO HOMOGÉNEO:

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:P(x,y) = 3x³y¹² + 23x⁸y⁷ – 15x¹⁵ – 13y¹⁵ POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:

Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

P(x) = (n – m) x² + (p – q) x, si es idénticamente nulo:

n – m = 0  m = n

p – q = 0  p = q POLINOMIOS IDÉNTICOS:

Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.

p(x)= ax² + bx + c , q(x) = dx² + ex + f p(x)= q(x)

Si se cumple a = d; b = e; c = f

PRACTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

15 15 15 15

VN P(x) = TI.P(x)= P(0) x = 0

VN P(x) = Coef.P(x) = P(1)

x = 1

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Sea el polinomio

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

PRINCIPALES IDENTIDADES:

Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² Identidades de Legendre:

(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) (a + b)² – (a – b)² = 4ab Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a² – b² Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b) Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a² – ab + b²) = a³ + b³ (a – b) (a² + ab + b²) = a³ – b³

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x² + (a+b)x + ab Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a+b) (b+c)(a+c) (a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc Identidad trinómica (Argan´d):

x² + x + 1) (x² – x + 1) = x⁴ + x² + 1 IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:

a³ + b³ + c³ = 3abc

a² + b² + c² = –2(ab + ac + bc) PRÁCTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

A) 121 B) 111 C) 123

D) 126 E) 109 Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados “m”

y “n” respectivamente llamados dividendo y divisor;

dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y residuo, donde el máximo grado de R(x) es (n–1) o bien R(x) = o; si es que la operación fuera exacta, de tal manera que estas expresiones verifiquen la identidad fundamental de la división entera, establecida por Euclides.

Identidad fundamental de la división entera Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición. Se cumple la identidad:

Conocido universalmente como el ALGORITMO DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico.

MÉTODO DE GUILLERMO HORNER Es el criterio equivalente del método de los coeficientes separados, y por ello, este procedimiento requiere las mismas condiciones.

Su utilidad es muy frecuente, debido a que el DIAGRAMA establecido por Horner, facilita el proceso operativo.

Ejemplos aplicativos Dividir

    

 

5 4 3 2

2

10 x 17 x 18 x 13x 14 x 19 2 x 3x 5

Del esquema de Horner, se tiene:

Se obtienen: q(x) = 5x3+x2+2x+6 R(x)= 6x+11

REGLA DE PAOLO RUFFINI

Es un caso particular del método de Horner, y se utiliza para dividir un polinomio de cualquier grado entre un divisor de primer grado o transformable a él. Divisor de la forma (x+b)

Si el coeficiente a=1, el procedimiento simplificado de Ruffini generará directamente el cociente y el residuo de la operación. Veamos:

Ejemplos aplicativos Ejemplo 1

Dividir:

   



5 4 2

3x 7 x 4x 5 x 6 x 2

Reglax 2 0  x 2

R q d

D(x) (x) (x) (x)

2 10 17 -18 13 14 -19 -3 - 15 25

5 -3 5 -6 10 -18 30 5 1 2 6 6 11

Cociente Residuo

3 -7 0 4 5 -6

2 6 -2 -4 0 10

3 -1 -2 0 5 4

Los elementos de la división obtenidos son:

Cociente:q_{( x )}  3x –x –2x^{4 3 2} 5 Residuo: R(x) = 4

TEOREMA DE RENATO DESCARTES (Teorema del Resto)

El residuo de dividir P(x) entre (ax + b), se calcula al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable

“x” asume el valor de (–b/a).

Ejemplo explicativo:

Calcular el residuo de dividir:

   



5 4 2

6 x 9 x 4 x 8 x 5

2 x 3

De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el polinomio:

P(x) = 6x5 + 9x4 + 4x2 + 8x + 5 para x = 3

2. Es decir:

 

 

 

       

                

       

5 4 2

3 2

3 3 3 3

P 6 9 4 8 5

2 2 2 2

Esto nos conducirá a la obtención del residuo.

Efectuando, resulta:

 7 2 9 7 2 9  3 6  2 4 

R 5

1 6 1 6 4 2

R = 9 – 12 + 5 = 2

PRÁCTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división.

Condiciones que debe cumplir: 



m m

x y

x y

Donde : x; y bases m  Z⁺; m  2

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES CASO I: (para n=par o impar)





n n

x y

x y =………

CASOII:(para n=impar)





n n

x y

x y =………

CASOIII:(para n=par)





n n

x y

x y =………

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.

De: 



m n

p q

x y

x y se debe cumplir: m n r

p q ;r Z⁺ FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.

Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.

De la división: ^



n n

x y x y

Tenemos: . tk ^



signo x



^{n k} y^k1_. Donde:

tk  término del lugar k

n  número de términos de q(x)

PRÁCTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

El sexto término del desarrollo de:

2 2

38 38

b x

b x





es:

a) x

²⁴

b

¹²

b) x

²⁶

b

¹⁰

c) x

¹³

b

⁵

d) x

⁵

b

¹³

e) x

²²

b

¹⁴

Problema 3

Hallar el término 22 del siguiente cociente notable:

3 5

93 155

a x

a x





a) x

⁴⁵

a

⁶³

b) –x

⁴³

a

⁴⁹

c) x

⁴⁴

a

⁶⁶

d) –x

⁴⁵

a

⁶³

e) –x

⁵⁰

a

⁶³

Problema 4

Hallar el número de términos de:

(x

⁶

+x

⁵

+x

⁴

+x

³

+x

²

+x+1)(x

⁶

–x

⁵

+x

⁴

–x

³

+x

²

–x+1)

a) 2 b) 7 c) 14 d) 21 e) 49

Problema 5

Al simplificar, hallar el número de términos de E:

1 x x ....

x x x

1 x x ....

x x E x

2 38

39 40

2 4 76

78 80























 

a) 41 b) 40 c) 20 d) 2 e) 4

Problema 6

Si la siguiente división da lugar a un cociente notable. Calcular el 8vo término de éste:

20 30

a a 1

x y

x y ^





a) x⁴y¹⁴ b) x²y¹⁸ c) x⁶y¹⁴ d) x⁴y²¹ e) 25.

Problema 7

Problema 8

A) 9 B) 7 C) 6 D) 1 E) 2

Problema 9

Qué lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

b a

b a





2 20 40

el término que tiene como G.A.= 34.

a) 6 b) 5 c) 2

d) 3 e) 10

Problema 10

Problema 11

Hallar “K” si el décimo término del desarrollo:

⁵

15 3

y x

y

x

^{k k}





tiene G.A. = 185

a) 20 b) 40 c) 50

d) 10 e) N.A.

Problema 12

Problema 13

A) 1 B) 5 C) 7 D) 9 E) 3

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.

  x 3x 2 x 1x 2

p_x  ²    

FACTORIZACIÓN

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS.

CRITERIO DEL FACTOR COMÚN

Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos.

Ejemplo:

 

 

2x 3y 1

xy

y y 3 xy 2 x

xy xy 3 y x 2 y , x P

2 2 2



















luego el polinomio presenta 3 factores primos:

x;y ; 2x + 3y + 1 Factorizar:

N(x;y) = (x + 2)y + (x + 2)x + (x + 2) = (x + 2) (y + x + 1)

Luego el polinomio presenta dos factores primos:

(x+2); (y + x +1) AGRUPACIONES:

Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.

Ejemplo:

 Factorizar:

 

     



x y



x z 1



y x y x z y x x

y x zy zx xy x z

; y

; x

p ²

































Luego el polinomio presenta dos factores primos:



xy

 

;xz1



 Factorizar:

 

   

 

 

a b c a1 a

a a c b a

c b a a c b a a

c a b a a ac ab a c

; b

; a R

2 2

2 2 3 2









































Luego el polinomio presenta tres factores Primos:

(a + b + c) ; a ; (1 + a).

IDENTIDADES:

 Factorizar:

 

  ^{ }

   



a b c



a b c 1



1.

c b a c b a

c b a a 2 bc 2 ab 2 c b a

bc 2 c ac 2 b ab 2 a c b a c

; b

; a N

2

2 2 2

2 2 2





























































Luego el polinomio presenta dos factores primos (a + b + c) ; (a + b + c +1 )

 Factorizar:

    

    

   



^{xx yy}

  

^{xx 1y 1 y}

y 1 y x y x

y 1 y x y y x 2 x y

; x T

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 4 2 2 4







































CRITERIO DE ASPAS Aspa simple

Forma general del polinomio a factorizar.

 

x;y Ax²ⁿ Bxⁿy^m Cy^2m

P   

 

x Ax Bx C P  ²ⁿ ⁿ Donde: m, n  N

Procedimiento:

Se descompone los extremos de buscar el término central.

 

  ym Bxn

ym xn c2 a1 ym

c2 xn

a2

ym xn c1 a2 ym

c1 xn

a1

m Cy2 ym Bxn n Ax2 y

; x P

 















Donde: ^Bxnym



^a₂^c₁^a₁^c₂



^xnym

Luego: ^p

 

^{x;y }



^a₁^xnc₁^ym



^a₂^xnc₂^ym



Aplicación



 

 

xy 20

xy 18 y

6 x

xy 2 y

2 x

3

y 12 xy 20 x 3 y

; x

P ^{2 2}















Luego:

  

x;y 3x 2y



x 6y



P   

El polinomio presenta dos factores primos.

 Factorizar:

 

 

x 3

x 14 1

x

x 11 11

x 14

11 x 3 x 14

R_x ²























Luego: R x 14x11x1

El polinomio presenta dos factores primos.

ASPA DOBLE

Forma general del polinomio a factorizar:

 

x;y Ax Bx y Cy Dx Ey F P  ²ⁿ ^{n m} ^2m ⁿ ^m

donde m; n  N Procedimiento:

Se aplica dos veces aspa simple con los siguientes términos:

 T₁,T₂,T₃

T₃,T₅,T₆

finalmente solo para comprobar se aplica otro aspa simple con:

T₁,T₄,T₆

 

f2 ym

c2 xn

a21xn c1ym f1

a

m F n Ey m Dx Cy2 ym Bxn n Ax2 y

; x

P      

Luego:

 

 

m 2



n 2 2 m 1 n 1

1x cy f ax cy f

a y

; x

P     

Aplicación:

 Factorizar:

 

2 y

x 3

2 y

2 x

5

4 y 6 x 16 y 2 xy 11 x 15 y

; x

P  ²  ²  

luego: P

  

x;y  5x2y2



3xy2



el polinomio presenta dos factores primos.

Aspa Doble Especial

Forma general del polinomio a factorizar:

 x Ax Bx Cx Dx E P  ⁴ⁿ ³ⁿ ²ⁿ ⁿ

Donde: n  N Procedimiento:

Se descompone los extremos tratando de buscar un aproximado al término central:

 

n 2 n 2

2 2

n 1 n 1

1 2

n n

2 n 3 n 4

e x

f x

a

e x

f x

a

E Dx Cx

Bx Ax

y

; x

P     

Balance:

Tenemos:



^a₁^e₂ ^a₂^e₁



^x2n

Falta :



^ca₁^e₂^a₂^e₁



^{x2n Fx2n}

Luego: ^P

 

^{x }



^a₁^x2nf₁^xne₁



^a₂^x2nf₂^xne₂



Aplicación:

 Factorizar:

 

2 2 2

2 2

2 3

n 4

x 5

x 2 2 x

x

x 3 3 x

2 x

6 x 7 x 7 x 3 x

y

; x P















Balance:

Tenemos: 5x²

Falta: 7x²5x²2x²

 ^x



^{x 2x 3}



^{x x 2}



P  ²  ² 

El polinomio presenta dos factores cuadráticos primos



^x22x3



^;x2x2



DIVISORES BINÓMICOS

Se aplica para factorizar polinomios que admiten por lo menos un factor lineal.

Raíz de un polinomio:

Sea P x un polinomio tal que º

 

P x 1

    x P a 0 P

de raíz es

"

a

"  

Ejemplo:

 x x 7x 8

P  ³ 

 

1 0 P 1

x   “1” es raíz de P(x) Posibles Raíces Racionales

Sea: P

 

x  a_oxⁿa₁x^n1...a_n1xa_n Donde: aoan0

















o n

a de Divisores

a de Divisores PRR

Ejemplo: P x 2x³5x²4x3













 Divisoresde2 3 de Divisores PRR













 1,2 3 , PRR 1









 2

33 2, ,11 PRR

2 , 3 3 2 , , 1

1   





Luego el polinomio P(x) posiblemente se anule para algunos de estos valores.

Si x=1  P(1)=0 “1” es una raíz racional P(x)

TEOREMA DEL FACTOR

Sea P(x) un polinomio tal que º

 

P x 1

  a 0  x a  es un factor de p   x

P   

PRÁCTICA DIRIGIDA Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Proporcionar un factor de:

2 2

P(x, y) 18x   9xy 20y   24x 46y 24  

a)

^6x5y4

b)

^x5y4

c)

^6x5y4

d)

(x y 4)

e) 2.

Problema 8

La suma de los términos independientes que resultan al factorizar:

P(x)= x⁴ + 6x³ – 5x² – 42x + 40 es:

a) 5 b) 6 c) 9 d) 12 e) 13

Problema 9

4 3 2

6 x  31 x  25 x  13 x  6

, dar como respuesta el valor numérico de uno de los factores primos cuando x =0

a) 3 b) 4 c) 0

d) 5 e) Problema 10

Luego de factorizar x³6x²15x14 señale el V.N. de un factor cuadrático cuando x = 4

a) 3 b) 6 c) 39

d) 12 e) 16 Problema 11

Luego de factorizar:

5 4 3 2

2 x   x 10 x  5 x   8 x 4

, un factor lineal es:

a) 2 b) x – 1 c) x + 3 d) 2x e) 5x – 6

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Sea el polinomio.

P(x) = (x + 2)² (x² + x + 4)³. Entonces lo incorrecto.

A) La suma de coeficientes de un F.P. es 6 B) El término independiente de un F.P es 2.

C) La suma de sus factores primos es x² + 2x + 6

D) La diferencia de los términos independientes de dos factores primos es 1.

E) Un factor primo es cuadrático