3 Transformada de Laplace i s` eries de Fourier
1. Calculeu la transformada de Laplace de les funcions seg¨uents:
(a) f (t) =
(2t + 1, si 0 < t < 1, 0, si t ≥ 1.
Soluci´o: 2
s2 (−e−s(s + 1) + 1) + 1
s(1 − e−s).
(b) f (t) = t sin t. Soluci´o: 2s (s2+ 1)2. (c) f (t) = (2t − 1)3. Soluci´o: 48
s4 − 24 s3 + 6
s2 − 1 s. (d) f (t) = cos2t. Soluci´o: s2 + 2
s(s2+ 4). (e) f (t) = sin t sin 2t. Soluci´o: 1
2
s
s2+ 1 − s s2+ 9
. (f) f (t) = etsinh t. Soluci´o: 1
(s − 1)2− 1.
2. (a) Demostreu que existeix la transformada de Laplace L(f (t))(s), s > 0, de la funci´o f (t) = tα ⇐⇒ α > −1.
(b) Demostreu que si α > −1 aleshores L(tα)(s) = Γ(α + 1)
sα+1 , on Γ(x) = Z +∞
0
tx−1e−tdt, x > 0, ´es la funci´o Γ d’Euler.
(c) Qu`e podem dir de la funci´o f (t) = 1/t2? (d) Mateixa pregunta per a la funci´o f (t) = t−1/2.
3. Calculeu una antitransformada de Laplace de les funcions seg¨uents:
(a) g(s) = (s + 2)2
s3 . Soluci´o: 1 + 4t + 2t2. (b) g(s) = 1
5s − 2. Soluci´o: 1 5e2t/5. (c) g(s) = s + 1
(s2− 4s)(s + 5). Soluci´o: − 1 20+ 5
36e4t− 4 45e−5t. (d) g(s) = 1
s4− 9. Soluci´o: 1 6√
3sinh√
3t − 1 6√
3sin√ 3t.
4. Calculeu la transformada de Laplace de la funci´o
f (t) =
(e3t, si t ≥ 0, t 6= 5, 1, si t = 5.
Qu`e podem dir de la unicitat de l’antitransformada de Laplace d’una funci´o?
5. Demostreu que Z t
0
sin u cos(t − u) du = 1
2t sin t. Indicaci´o: feu servir el teorema de con- voluci´o.
6. Tenint en compte la definici´o de l’exponencial complexa: eiθ = cos θ +i sin θ, calculeu L(eiat) per a a ∈ R i comproveu que s’obt´e el mateix que si s’apliqu´es, formalment, la transformada de Laplace a una exponencial real.
7. Calculeu la transformada de Laplace de les funcions seg¨uents:
(a) f (t) = e2−tU (t − 2). Soluci´o: e−2s s + 1. (b) f (t) = etcos23t. Soluci´o: 1
2
1
s − 1+ s − 1 (s − 1)2+ 36
.
(c) f (t) = te−3tcos 3t. Soluci´o: −9 + (s + 3)2 ((s + 3)2+ 9)2. (d) f (t) = t
Z t 0
τ e−τdτ . Soluci´o: 1 s(s + 1)
1 s + 2
s + 1
. (e) f (t) = e2t∗ sin t. Soluci´o: 1
(s − 2)(s2+ 1).
8. Calculeu una antitransformada de Laplace de les funcions seg¨uents:
(a) g(s) = 2s + 5
s2+ 6s + 34. Soluci´o: e−3t
2 cos(5t) − 1
5sin(5t)
.
(b) g(s) = e−2s
s2(s − 1). Soluci´o: (1 − t + et−2) U (t − 2).
9. Escriviu la funci´o
f (t) =
(0, si 0 ≤ t < 3π/2, sin t, si t ≥ 3π/2.
en termes de “funcions esgra´o unit`aries” (aix`o ´es, funcions del tipus U (t − a)) i calculeu la seva transformada de Laplace. Soluci´o: −se−3πs/2
s2+ 1 .
10. Feu el mateix que al problema anterior amb la funci´o f (t) = E[t] (part entera). Soluci´o:
1 s(es− 1).
11. Calculeu una antitransformada de Laplace de la funci´o g(s) = ln s2+ 1 s2+ 4
fent servir que L(tnf (t))(s) = (−1)n dn
dsnL(f (t))(s). Soluci´o: −2
t(cos(t) − cos(2t)).
12. Calculeu una antitransformada de Laplace de la funci´o g(s) = 1
(s + 1)2 de la forma seg¨uent:
(a) Fent servir la transformada de Laplace d’una convoluci´o.
(b) Pels teoremes de translaci´o.
13. Calculeu la transformada de Laplace de la funci´o “ona triangular” tenint en compte que ´es peri`odica. Soluci´o: − 1
1 − e2s
1
s2 − 2e−s(s + 1)
s2 +e−2s(2s + 1)
s2 +2
s(e−s− e−2s)
.
14. (a) Demostreu que si f ´es continua a trossos, d’ordre exponencial i tal que existeix lim
t→0+
f (t)
t , aleshores
L f (t) t
(s) =
Z +∞
s
F (u) du, on F (s) = L(f (t))(s).
(b) Calculeu la transformada de Laplace de la funci´o Sinus-integral:
f (t) = Z t
0
sin u
u du := Si(t).
(c) Demostreu que Z +∞
0
f (t) t dt =
Z +∞
0
F (u) du si existeixen les integrals. Com a aplicaci´o calculeu
Z +∞
0
sin t t dt.
15. Demostreu que L
Z t 0
Z t1
0
f (u) du
dt1
(s) = L(f (t))(s) s2 .
16. Calculeu Z +∞
0
te−2tcos t dt.
17. Sigui la funci´o
f (t) =
( t, 0 ≤ t ≤ 1, 2t, t > 1.
(a) Calculeu L(f (t)).
(b) Calculeu L(f0(t)).
(c) Es compleix la f´ormula L(f0(t))(s) = sL(f (t))(s) − f (0)? Qu`e falla?
18. Calculeu L e−2t
√t
(s). Per a quins valors de s existeix aquesta transformada? Soluci´o:
r π
s + 2, existeix per s > −2.
19. Calculeu L(t Si(t)).
20. Comproveu que Z +∞
0
e−tsin t
t dt = π
4. Indicaci´o: feu servir l’apartat 14(a).
21. Si f ´es cont´ınua a trossos i d’ordre exponencial, demostreu que:
L
Z t a
f (τ ) dτ
(s) = L(f (t))(s)
s +1
s Z 0
a
f (τ ) dτ.
22. Calculeu L(t2U (t − 2)). Soluci´o: e−2s 2 s3 + 4
s2 + 4 s
.
23. Feu servir la transformada de Laplace per resoldre els seg¨uents problemes de Cauchy:
(a) y0+ 2y = t, y(0) = −1
(b) y00− 4y0+ 4y = t3, y(0) = 1, y0(0) = 0
(c) y000+ 2y00− y0− 2y = sin 3t, y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = 1 (d) y00− 5y0+ 6y = U (t − 1), y(0) = 0, y0(0) = 1
24. Resoleu l’equaci´o diferencial amb condicions inicials:
y00+ 4y0+ 13y = δ(t − π) + δ(t − 3π), y(0) = 1, y0(0) = 0, on δ(t − t0) ´es la delta de Dirac en el punt t0.
25. Resoleu l’equaci´o:
y00+ 2y0+ 2y = cos(t)δ(t − 3π), y(0) = 1, y0(0) = −1.
26. Feu servir la transformada de Laplace per resoldre les equacions integrals seg¨uents:
(a) f (t) + 2 Z t
0
f (τ ) cos(t − τ ) dτ = 4e−t+ sin t. Soluci´o: 4e−t − 7te−t + 4t2e−t. (b) t − 2f (t) =
Z t 0
(eτ − e−τ)f (t − τ ) dτ . Soluci´o: 1 2t − 1
12t3.
27. Resoleu, fent servir la transformada de Laplace, el problema de Cauchy ty00 − y0 = t2, y(0) = 0. Noteu que, en aquest cas, no cal con`eixer y0(0).
28. Considereu l’equaci´o integro-diferencial y0(x) +
Z x 0
y(x − t)e−2tdt = 0, y(0) = 1.
(a) Derivant en ambd´os membres, dedu¨ıu l’equaci´o diferencial ordin`aria de segon ordre que verifica la seva soluci´o. Preciseu-ne igualment les condicions inicials que la determinen.
(b) Alternativament, apliqueu directament la transformada de Laplace a l’equaci´o inicial.
29. (a) Trobeu la s`erie de Fourier de la funci´o f (x) = x + π a l’interval −π < x < π. Soluci´o:
a0 = 2π, an= 0, bn= 2
n(−1)n+1. (b) Useu (a) per demostrar que
π
4 = 1 − 1 3 +1
5 −1 7 + · · · 30. (a) Trobeu la s`erie de Fourier de
f (x) =
(0, per − π < x < 0, x2, per 0 ≤ x < π.
Soluci´o: a0 = π2
3 , an= 2
n2(−1)n, b2n = − π
2n, b2n+1 = π
2n + 1+ 4 π(2n + 1)2. (b) Useu (a) per demostrar que
π2
6 = 1 + 1 22 + 1
32 + 1
42 + · · · i que π2
12 = 1 − 1 22 + 1
32 − 1 42 + · · ·
(c) Useu (b) per trobar una s`erie num`erica tal que la seva suma sigui π2/8.
31. (a) Trobeu la s`erie de Fourier de f (x) =
(0, si − π < x < 0, x, si 0 ≤ x < π a l’interval −π < x < π. Soluci´o: a0 = π
2, an= (−1)n− 1
πn2 , bn= (−1)n n . (b) Quan val f a x = 7π
2 ? I quan a x = 401π? Soluci´o: f 7π 2
= 0, f (401π) = π 2. 32. Trobeu, si ´es que existeix, una s`erie de Fourier que convergeix cap a | sin x| per a tot x ∈ R.
Soluci´o: a0 = 4
π, a2n= − 2
4n2− 1, a2n+1 = 0, bn = 0.
33. Trobeu la s`erie de Fourier de la funci´o f (x) =
( 0, si π/2 ≤ |x| ≤ π, cos x, si |x| < π/2.
34. Sigui f (x) continua a (−L, L) i siguin an i bn els seus coeficients de Fourier.
(a) Proveu que si SM(x) = a0 2 +
M
P
n=1
ancosnπ
L x + bnsinnπ L x
, aleshores
Z L
−L
f (x)SM(x) dx = L a20 2 +
M
X
n=1
(a2n+ b2n)
!
(b) Proveu que Z L
−L
SM2 (x) dx = L a20 2 +
M
X
n=1
(a2n+ b2n)
! .
(c) Proveu que 2 Z L
−L
f (x)SM(x) dx − Z L
−L
SM2 (x) dx ≤ Z L
−L
(f (x))2dx.
(d) Fent servir els apartats anteriors proveu la anomenada “desigualtat de Bessel”:
a20 2 +
∞
X
n=1
(a2n+ b2n) ≤ 1 L
Z L
−L
(f (x))2dx .
35. Desenvolupeu la funci´o
f (x) =
(x + 1, per − 1 < x < 0, x − 1, per 0 ≤ x < 1
en s`erie de sinus o cosinus, segons convingui. Soluci´o: an= 0, bn= − 2 nπ. 36. Desenvolupeu la funci´o
f (x) =
(0, per 0 < x < 1/2, 1, per 1/2 ≤ x < 1
en s`erie de cosinus en mig interval i en s`erie de sinus en mig interval.
37. Desenvolupeu la funci´o f (x) = x2, 0 < x < L (a) en s`erie de cosinus. Soluci´o: L2
3 +
X
(−1)n 4L2
n2π3 cosnπx L
. (b) en s`erie de sinus. Soluci´o:
X
4L2n2π3((−1)n− 1) − (−1)n2L2 nπ
sinnπx L
. (c) en s`erie de Fourier. Soluci´o: L2
3 +
X
L3nπ2 cos 2nπx L
−
X
L2nπ sin 2nπx L
.
38. (a) Trobeu la forma general de la s`erie de Fourier en cosinus i de la s`erie de Fourier en sinus a [0, C] per a funcions que compleixen la relaci´o f (C − x) = f (x).
(b) Mateixa pregunta per f (C − x) = −f (x).
39. Desenvolupeu la funci´o cos xz en s`erie de Fourier en l’interval [−π, π], on z ´es un par`ametre real. Soluci´o: an= 2z
π(n2− z2)(−1)n+1sin 2z, bn= 0.
Proveu les igualtats
1
sin πz = 2z π
1 2z2 +
+∞
X
k=1
(−1)k+1 k2− z2
! ,
cot πz = 1 π
1 z −
∞
X
k=1
2z k2− z2
!
i dedu¨ıu que
π = 2 +
∞
X
k=1
4(−1)k+1 4k2− 1 , π = 4 −
∞
X
k=1
8 16k2 − 1.
