Álgebra. Cynthia P.Guerrero Saucedo

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Álgebra

Cynthia P.Guerrero Saucedo

21 de agosto de 2016

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Índice general

1. Lenguaje algebraico 3

1.1. Álgebra . . . 3

1.2. Expresión algebraica . . . 4

1.3. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común . . . 9

1.4. Interpretación de expresiones algebraicas . . . 12

1.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas . . . 14

2. Operaciones fundamentales 1 16 2.1. Términos semejantes . . . 16

2.2. Suma de monomios . . . 16

2.3. Resta de monomios . . . 18

2.4. Suma de polinomios . . . 23

2.5. Resta de polinomios . . . 26

2.6. Multiplicación de monomios . . . 28

2.7. Multiplicación de monomio por polinomio . . . 30

2.8. Multiplicación de polinomios . . . 32

2.9. División de monomios . . . 35

2.10. División de polinomio entre monomio . . . 39

2.11. División de polinomio entre polinomio . . . 41

3. Operaciones fundamentales 2 45 3.1. Productos notables . . . 45

3.2. Factorización . . . 46

4. Ecuaciones lineales 47 4.1. Ecuaciones lineales con una incógnita . . . 47

4.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas . . . 48

5. Ecuaciones cuadraticas 49

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CAPÍTULO 1

Lenguaje algebraico

1.1. Álgebra

De acuerdo a la Real Academia Española se dene al Álgebra como parte de las matemá- ticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas, empleando números, letras y signos. Cada letra representa simbólicamente un número u otra cantidad matemática.

Cuando alguna de las letras representa un número desconocido se le llama incógnita.

Las incógnitas ademas de ser representadas por letras, también pueden ser representadas por símbolos y con las operaciones aritméticas necesarias se puede obtener su valor numérico.

Resuelve el siguiente acertijo.

N N N

24

N

5

¹²

N

♣ 1. ¾Cuanto vale el N?:

2. ¾Cuanto vale la ?:

3. ¾Cuanto vale la ?:

4. ¾Cuanto vale el ♣?:

Actividad 1

(Incognitas).

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CAPÍTULO 1. LENGUAJE ALGEBRAICO

1.2. Expresión algebraica

Una expresión algebraica consta de uno o varios términos que se encuentran separados entre si por el signo mas o menos. Un termino esta compuesto por cuatro elementos:

Signo: Son términos negativos los que van precedidos por el signo y términos positivos aquellos que van precedidos por el signo . En los términos positivos suele omitirse el signo . Ejemplos:

5x⁶ es un término negativo 3y² es un termino positivo 15a³b⁵ es un termino positivo

Coeciente: Es la parte numérica que se encuentra antes de una o varias letras y realiza la operación de multiplicación. Es importante señalar que el coeciente siem- pre va acompañado del signo del termino y cuando un termino no tiene coeciente numérico se sobreentiende que su coeciente es la unidad. Ejemplos:

5a⁶ su coeciente es 5 m² su coeciente es 1 15x³y⁵ su coeciente es 15

Literal: Son las letras o símbolos que hay en un término. Ejemplos:

5x⁶ su literal es x 3w² su literal es w

15x³y⁵ sus literales son x y y

Grado absoluto: Es la suma de los exponentes en un mismo término algebraico.El exponente es el número que se escribe en la parte superior derecha de una literal e indica el número de veces que esta deberá de multiplicarse en el termino algebraico.

Ejemplos:

5a es de primer grado ya que su exponente es 1

3x³y³ es de sexto grado por que la suma de sus exponentes es 3+3=6 15p²q⁵r es de octavo grado por que la suma de sus exponentes es 2+5+1=8

4 CYNTHIA PATRICIA GUERRERO SAUCEDO

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Completa la siguiente tabla escribiendo el termino, signo, coeciente, parte literal y grado de cada uno de los términos.

Término Signo Coeciente Literal Grado 1. a⁷

2. 3x³ 3. c⁵d⁴ 4. 12r⁷s³ 5. 12xyz 6. 9p³q⁴r⁵ 7. 16u²v³w

8. 4 m y n 2

9. 8 w y z 5

10. 17 a y b 6

Actividad 2

(Elementos de un termino algebraico).

Las expresiones algebraicas se clasican según el número de términos que contienen, estos términos se encuentran separados por el signo o .

Monomio: Consta de un solo termino. Ejemplos:

5a⁶ 3t² 15x³y⁵

Binomio: Esta formado por dos término. Ejemplos:

4a³ 5b⁵ 9x⁶ 5x²

11p¹²q⁴ 4p⁸q³

Trinomio: Esta formado por tres términos.Ejemplos:

12a⁷b⁸ 5a⁶b⁵ 4a²b² 12x⁴y⁵ 7x²y⁹ 8xy³

4w⁷ 5y⁵ 2z³

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Polinomio: Esta formado por dos o mas términos. Ejemplos:

2a³ 5a² 8x⁹ 3x⁴ x²

5m⁸n⁴ 6m⁶n³ 5m⁴n⁷ 2m²n⁵

Marca una X en cada renglón si se trata de un monomio, binomio, trinomio o polinomio. En algunos casos tendrás que marcar dos X.

Expresión algebraica Monomio Binomio Trinomio Polinomio 1. 5a⁴b³ 2a³b⁵ 6ab⁸

2. m 3

3n 4

3. 8w⁹ 4x⁸ 2y⁷ 12z³ 4. 15a⁵b³ 2a³b²

5. 2ab 4c

6. 4x⁸ 3x⁵ x 8y² y 7. 5p⁴q³ 2p³q⁵ 6pq⁸ 8. 3pq²

9. 4x 6

6y 7

y 3 10. 13c³d⁷

Actividad 3

(Clasicación de expresiones algebraicas).

El grado absoluto de un polinomio es la mayor suma de los exponentes obtenida en alguno de los términos del polinomio. Por ejemplo:

2k⁴ 8k² k es un polinomio de grado 4

ya que el primer termino es de grado 4, el segundo de grado 2 y el tercero de grado 1.

6a³b⁵ 9a²b⁸ es un polinomio de grado 10 ya que el primer termino es de grado 8 y el segundo de grado 10.

3m⁵n² 4m²n² mn⁸ es un polinomio de grado 9.

ya que el primer termino es de grado 7, el segundo de grado 4 y el tercero de grado 9.

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Escribe el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios.

Polinomio Grado absoluto del polinomio 1. 5a⁴b³ 2a³b⁵ 6ab⁸

2.13x³y⁷ 8x²y 3. 6

7t⁷v² 1

5t⁴v⁴4 9t²v⁸ 4. 15f⁵g³ 2f³g²

5. 3q⁵ 2r²

6. 4x⁸ 3x⁵ x 8y² y 7. 3f⁶g³ 2f²g⁸ 6f g¹2 8. 5p⁵ 2p⁴ 6p³

9. 2

3c⁴d³ 4 5c²d²

10. 8x⁹ 4y⁸ 2z⁷ 12w³

Actividad 4

(Grado absoluto de un polinomio).

El termino independiente de un polinomio es aquel termino que no contiene parte literal. Ejemplos:

3a⁴ 15 su termino independiente es 15 18x⁴ 8y² 9 su termino independiente es 9

7y³z⁵ su termino independiente es 0

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Escribe el termino independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

Polinomio Termino independiente

1. 7a⁸b⁵ 3a³b⁵ 42 2. 9p³ 2q⁷ 13

3. 3x¹⁴ 5y⁸ 9z⁷ 26 4. 15m⁵n³ 2m³n² 58 5. 3c³ 1

4

6. 7x⁸ 3x⁵ x 8y² 39 7. 2a⁴b³ 2a³b⁵ 6ab⁸ 15 8. 5p⁵ 2p⁴ 6p³ 12 9. 13x³y⁷ 8x²y 17

10. 15f⁵g³ 2f³g² 8f³g² 3 5

Actividad 5

(Termino independiente de un polinomio).

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1.3. Representación algebraica de expresiones en len- guaje común

Al lenguaje utilizado por las matemáticas se le conoce como Lenguaje algebraico y no es mas que una forma de traducir a símbolos y números lo que comúnmente utilizamos como expresiones del lenguaje común. Con el lenguaje algebraico podemos representar valores desconocidos y realizar operaciones aritméticas con ellos.

Ejemplo 1.1. Traduce el siguiente enunciado del lenguaje común al lenguaje algebraico: María le dice a Laura: Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene Luisa.

Solución. Para representar un enunciado del lenguaje común al lenguaje algebraico pue- des realizar los siguientes pasos:

1. Identicar las cantidades desconocidas o incógnitas, a estas se les asignará una literal. Del enunciado anterior desconocemos cuanto dinero tiene Luisa por lo que utilizaremos la literal x para expresar dicha cantidad, y podemos decir:

Luisa tiene x pesos.

2. Identicar palabras que representen operaciones entre las cantidades conocidas y las cantidades desconocidas. Tenemos palabras claves, tales como:

mas que que se reere a sumarle a, entonces cuando Laura dice:

Tengo ochenta pesos mas que = 80 y el doble, que se reere a multiplicar por dos, por lo que:

el doble de lo que tiene Luisa= 2x 3. La expresión algebraica que representa la situación.

Tengo ochenta pesos mas que el doble de lo que tiene Luisa: 80 2x

Ejemplo 1.2. Escribe en lenguaje algebraico: El triple de un número Solución. La respuesta es 3x.

Como desconocemos el número del cual estamos hablando entonces lo llamamos incógnita y utilizamos la letra x para referirnos a el, después lo multiplicamos por 3 para obtener el triple de un numero.

Ejemplo 1.3. A continuación se muestran las palabras que comúnmente se utilizan en el lenguaje común para representar relaciones numéricas entre cantidades desconocidas:

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Tabla 1.1: Representación algebraica de expresiones en lenguaje común

Lenguaje común Operación Lenguaje

algebraico Aumentar, incrementar, Suma de dos cantidades x y añadir, exceder, más

Diferencia, disminuir, quitar, Resta de dos cantidades x y decrementar, reducir, menos

Doble, triple, cuádruple,... Multiplicar por 2,3,4,... 2x, 3x, 4x, ...

Producto Multiplicación de dos cantidades xy

Mitad, tercera, cuarta parte,... Dividir entre 2,3,4,... x 2,x

3 x 4

Cociente División de dos cantidades x

y

Cuadrado Multiplicar por si mismo dos veces x²

Cubo Multiplicar por si mismo tres veces x³

Es un valor especial que al ser

Raíz cuadrada multiplicado por si mismo nos da ? x como resultado un número inicial

Promedio Suma de los datos entre el número x₁ x₂ ... x_n n

de datos

Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad.

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Traduce las siguientes expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico:

1. La edad de Lucia hace 15 años:

2. La suma de un numero con su tercera parte:

3. El doble producto de dos números:

4. En una granja hay vacas y caballos, en total son 23 animales:

5. Tengo la tercera parte de tus dulces aumentado en 10:

6. El cuadrado de la diferencia de dos números:

7. Daniel, Emilio y Fernanda juntaron sus ahorros, Emilio aporto la tercera parte de lo que aporto Daniel y Fernanda la mitad de lo aporto Daniel, en total se juntó 320 pesos:

8. Las tres quintas partes de un número mas la raíz cuadrada de otro numero:

9. El cociente entre un número y su mitad:

10. El promedio de las calicaciones de Matemáticas, Ingles y Química es de 8:

Actividad 6

(Del lenguaje común al lenguaje algebraico).

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1.4. Interpretación de expresiones algebraicas

Para representar una expresión algebraica en lenguaje común se debe comenzar por la jerarquía de las operaciones, tomando en cuenta los signos de agrupación ya que estos permiten establecer el orden en el que las operaciones aritméticas se deben de llevar a cabo. Los signos de agrupación son: el paréntesis ( ), el corchete [ ] y llave {}.

Ejemplo 1.4. A continuación se muestran ejemplos en los que se representa una expresión algebraica en lenguaje común.

Tabla 1.2: Interpretación de expresiones algebraicas Expresión algebraica Lenguaje común

x 2

y 3 El cociente de la suma de x con 2 entre la diferencia de y con 3

px yq² El cuadrado de la diferencia de x y y xyz

2 La mitad del producto de x, y y z x² y² La suma de los cuadrados de x y y 3x³y

5 La diferencia del triple del cubo de x y la quinta parte de y

?xpy 8q El producto de la raíz cuadrada de x y la suma de y con 8

Con los ejemplos mostrados en la tabla anterior, ahora realiza la siguiente actividad.

(13)

Representa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:

1. 4x 3y: 2. x 4y:

3. x 2 4 : 4. 6px yq:

5. 3x² 2y³: 6. x y

x y: 7. px 4q³: 8. ?

2xy:

9. px 1qpx 2q:

10. x³ y³:

Actividad 7

(Interpretación de expresiones algebraicas).

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1.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Una expresión algebraica adquiere un valor numérico cuando sus literales son reemplaza- das por números, a este proceso se le denomina evaluación de la expresión.

Por ejemplo, consideremos la expresión algebraica

3x 2y

para la cual suponga que x 1 y y 2, entonces, al sustituir la x por 1 y la y por 2 resulta

3p1q 2p2q 7

Ejemplo 1.5. Obtenga una ecuación algebraica que represente el área de cualquier rectángulo en general de base x y altura y, después, obtenga el valor numérico de la misma si la base y altura son de 0.35 metros y 1.5 metros, respectivamente.

Solución. El área de cualquier rectángulo está denida por el producto de su base con la altura, en este caso:

Área pbaseqpalturaq Área xy

Sustituyendo x 0.35 m y y 1.5 m resulta

Área p0.35 mqp1.5 mq Área 0.525 m²

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Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas según sea el caso.

1. El volumen de un cubo, si uno de sus lados mide 2.5 cm

2. El área de un círculo cuyo radio es de 8 cm

3. El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y altura de 9 cm

4. Si a 1 y b 3 calcula ab 3 5. Si x 1, y 3, z 1

5 calcula x² 3y 2z 6. Si a 5, b 3 y c 1, calcula

c2a 3b 4 c 7. Si x 5, a 3, y 2

7 y b 2, calcula

5x ay

3b 2x

3ab 2xy 5ax 2ab

Actividad 8

(Valor numérico de una expresión algebraica).

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CAPÍTULO 2

Operaciones fundamentales 1

2.1. Términos semejantes

Para sumar o restar monomios primero tenemos que identicar los términos semejantes.

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. Ejemplos:

6a³ y 2

5a³ son términos semejantes 12x³y² y 2x³y² son términos semejantes 8m⁵ y 3n⁵ no son términos semejantes 5z⁵ y 8z³ no son términos semejantes

Sumar o restar monomios consiste en reducir los términos semejantes, esto es, sumar o restar sus coecientes numéricos, conservando su parte literal y sus exponentes.

2.2. Suma de monomios

Suma de monomios

Dos monomios se están sumando si sus signos son iguales. Para sumar dos o mas monomios se deben de sumar los coecientes numéricos de los términos semejantes, conservando el signo que estos tienen y su parte literal.

Ejemplo 2.1. Suma los siguientes monomios:

a) 3a 5a

Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la suma de sus coecientes 3 5 8 y por ultimo se escribe su parte literal a.

3a 5a 8a 16

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CAPÍTULO 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES 1

b) 2m² 4m²

Ambos monomios son negativos, por lo tanto el resultado tendrá signo , seguido por la suma de sus coecientes 2 4 6 y por ultimo se escribe su parte literal m².

2m² 4m² 6m²

c) 2

3x⁵ 4 5x⁵

Ambos monomios son positivos, por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la suma de sus coecientes:

2 3

4

5 Se multiplican los denominadores 3 y 5 para obtener un denominador común 15.

10 15

12

15 Se multiplica el primer numerador 2 por el segundo denominador 5 para obtener el numerador de la primer fracción que es 10. Se multiplica el primer denominador 3 por el segundo numerador 4 para obtener el numerador de la segunda fracción que es 12.

22

15 Se suman las fracciones y si es posible se reduce la fracción resul- tante.

Por ultimo se escribe su parte literal x⁵.

2

3x⁵ 4

5x⁵ 22 15x⁵ d)5p⁴ 3q⁷ 4p⁴ 2q⁷

Juntamos los términos semejantes y los reducimos:

5p⁴ y 4p⁴, como los dos son positivos su resultado tendrá signo , seguido de la suma de sus coecientes 5 4 9 y su parte literal p⁴.

3q⁷ y 2q⁷, como los dos son negativos su resultado tendrá signo , seguido de la suma de sus coecientes 3 2 5 y su parte literal q⁷.

13y⁵z³5p⁴ 3q⁷ 4p⁴ 2q⁷ 9p⁴ 5q⁷

Ahora realiza la siguiente actividad.

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Realiza las siguientes sumas de monomios:

1. 4a⁸ 3a⁸ 2. 4

5k³ 2 3k³

3. 2 3d⁴3

4d⁴ 4. 12x² 9x²

5. 3x³y⁵ 8x³y⁵ 6. 2 6z⁸ 3

6z⁸

7. 5y² 1

2y² 8. 7m⁵ 3m⁵ 5m⁵

9. 15t³ 4t³ 8t³ 10. 4d² 7d² 8d²

11. 9p⁵ 12q² 6p⁵ 8q² 12. 9f⁴ 12g⁷ 8g⁷ 6f⁴

Actividad 9

(Suma de monomios).

2.3. Resta de monomios

Resta de monomios

Dos monomios se están restando si sus signos son diferentes. Para restar dos monomios se debe de restar los coecientes numéricos, precedido por el signo del termino con mayor coeciente y conservando su parte literal.

Ejemplo 2.2. Resta los siguientes monomios:

a) 7b 13b

El termino de mayor coeciente es 13b , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) 13 7 6 y por ultimo se escribe

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su parte literal b.

7b 13b 6b

b) 9y⁷z⁴ 4y⁷z⁴

El termino de mayor coeciente es 9y⁷z⁴ , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) 9 4 5 y por ultimo se escribe su parte literal y⁷z⁴.

9y⁷z⁴ 4y⁷z⁴ 5y⁷z⁴

c) 4j² 6k³ 7k³ 9j²

Juntamos los términos semejantes y los reducimos:

4j² y 9j², el termino de mayor coeciente es 9j² , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) 9 4 5 y por ultimo se escribe su parte literal j².

6k³ y 8k³ ,el termino de mayor coeciente es 8k³ , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la resta de sus coecientes (mayor menos menor) 8 6 2 y por ultimo se escribe su parte literal k³.

4j² 6k³ 7k³ 9j² 4j² 9j² 6k³ 8k³ 5j² 2k³

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Realiza las siguientes restas de monomios:

1. 4

5k⁸ 2

3k⁸ 2. 5x² 13x²

3. 14w³x⁵ 3w³x⁵ 4. 4 7g⁴ 3

7g⁴

5. 2 5p⁸ 3

4p⁸ 6. 15t³ 5v⁶

7. 8z⁷ 4z⁵ 8. 6.8a 2.5a

9. 12t⁵v³ 4t⁵v³ 10. 6 8c⁸ 1

4c⁸

11. 4a³ 9b² 2a³ 5b² 12. 12v³ 8w² 17w² 22v³

Actividad 10

(Resta de monomios).

Suma y resta de monomios con signos de agrupación

Para sumar o restar monomios que se encuentran dentro de signos de agrupación es ne- cesario suprimir los paréntesis siguiendo la ley de los signos que dice:

Ley de los signos p q mas por mas = mas pq mas por menos = menos

pq menos por menos = mas

p q menos por mas = menos

Después se reducen los términos semejantes como se explico anteriormente. Recuerda que cuando un monomio es positivo suele omitirse su signo.

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Ejemplo 2.3. Resuelve las siguientes sumas y restas de monomios:

a) p4b⁵q p7b⁵q

Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos

4b⁵ 7b⁵

reducimos los términos semejantes restando los coecientes

3b⁵ b) p6g³q p2g³q

6g³ 2g³

reducimos los términos semejantes restando los coecientes

4g³ c) 5x⁵ p7x⁵ 3x⁵q

Suprimimos los paréntesis aplicando la ley de los signos, observa que cuando tenemos un signo antes de un paréntesis todos los monomios cambian de signo

5x⁵ 7x⁵ 3x⁵

reducimos los términos semejantes sumando y restando los coecientes:

9x⁵ d) p2m⁷q p5n⁷q p8n⁷q p6m⁷q

2m⁷ 5n⁷ 8n⁷ 6m⁷

reducimos los términos semejantes

2m⁷ 6m⁷ 5n⁷ 8n⁷

4m⁷ 3n⁷ Ahora realiza la siguiente actividad.

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Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

1. p2

3yq p5

8yq 2. p7z⁸q p4z⁸q

3. p6a²b⁴q p9a²b⁴q 4. p1

4zq p2 4zq

5. p12d³q p3d³ 5d³q 6. p12j²q p3j² 5j²q

7. 4x p6x 2xq 8. 6yz³ p5yz³ 9yz³q

9. p4p³qp5q⁴q p7p³q p9q⁴q 10. p2m⁴qp6n²q p5m⁴q p8n²q

11. p6c²q p4d⁹q p3c²q p8d⁹q 12. p1

3fq p3

6gqp 7

10fq p4 6gq

Actividad 11

(Signos de agrupación).

(23)

2.4. Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se requiere reducir los términos semejantes de los polinomios que se estén sumando.

Ejemplo 2.4. Sumar P pxq 4x² 8 6x y Qpxq 5 3x 6x²

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente, es decir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno.

Ppxq 4x² 6x 8

Qpxq 6x² 3x 5 Paso 2: Sumamos los polinomios.

Ppxq Qpxq p4x² 6x 8q p6x² 3x 5q Opción 1:

Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos.

Ppxq Qpxq 4x² 6x 8 6x² 3x 5 Juntamos los términos semejantes y los reducimos.

Ppxq Qpxq 4x² 6x² 6x 3x 8 5

10x² 3x 13 Opción 2:

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir.

4x² 6x 8 6x² 3x 5 10x² 3x 13

Ejemplo 2.5. Sumar P pxq 12a³b 5ab 4a²b y Qpxq 6a²b 4a³b 8ab Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente.

Ppxq 12a³b 4a²b 5ab

(24)

Qpxq 4a³b 6a²b 8ab

Paso 2: sumamos los polinomios.

Ppxq Qpxq p12a³b 4a²b 5abq p4a³b 6a²b 8abq

Opción 1:

Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos.

Ppxq Qpxq 12a³b 4a²b 5ab 4a³b 6a²b 8ab

Juntamos los términos semejantes y los reducimos.

Ppxq Qpxq 12a³b 4a³b 4a²b 6a²b 5ab 8ab

8a³b 10a²b 13ab

Opción 2: También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir.

12a³b 4a²b 5ab 4a³b 6a²b 8ab

8a³b 10a²b 13ab

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Realiza las siguientes sumas de polinomios P(x)+Q(x):

1. P pxq 8k² 5k 3 2. P pxq 3h³ 7h² 2h Qpxq 2k² 4k 2 Qpxq 4h³ 8h² 3h

3. P pxq 7m⁴n³ 9m³n⁵ 2m²n⁷ 4. P pxq 6p² 5p 10 Qpxq 4m⁴n³ 5m³n⁵ 7m²n⁷ Qpxq 9p² 4p 8

5. pa²b 3a²b 8q p5a²b 6a²b 2q 6. p8z⁷2z⁵ z³q p8z⁷9z⁵8z³q

7. p3x² 4x 5q p6x² 7x 9q 8. p7y² 2y 1q p9y² 2yx 2q

9. p2 3t² 1

4t 2q p5 7t² 2

4t 7q 10. p5 8w² 2

6w 2

7q p5 7w² 1

3w 2 3q

Actividad 12

(Suma de polinomios).

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2.5. Resta de polinomios

Para restar dos polinomios se deben de cambiar todos los signos del polinomio que se resta, ya que estaremos aplicando la ley de los signos y después se procede a reducir términos semejantes de los dos polinomios. Ejemplo:

Ejemplo 2.6. Restar P pxq 9 3y³ 2y² y Qpxq 5 6y² 6y³

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente.

Ppxq 3y³ 2y² 9

Qpxq 6y³ 6y² 5 Paso 2: Restamos los polinomios.

Ppxq Qpxq p3y³ 2y² 9q p6y³ 6y² 5q Opción 1:

Suprimimos paréntesis aplicando la ley de los signos, esto hará que cambien todos los signos del polinomio que se esta restando.

Ppxq Qpxq 3y³ 2y² 9 6y³ 6y² 5 Juntamos los términos semejantes y los reducimos.

Ppxq Qpxq 3y³ 6y³ 2y² 6y² 9 5

3y³ 4y² 14 Opción 2:

También podemos restar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes queden en columnas y se puedan reducir. Recuerda que se deben de cambiar todos los signos del polinomio que se esta restando.

3y³ 2y² 9

6y³ 6y² 5

3y³ 4y² 14 Ahora realiza la siguiente actividad.

(27)

Realiza las siguientes restas de polinomios P(x)-Q(x):

1. P pxq 8k² 5k 3 2. P pxq 3h³ 7h² 2h Qpxq 2k² 4k 2 Qpxq 4h³ 8h² 3h

3. P pxq 7m⁴n³ 9m³n⁵ 2m²n⁷ 4. P pxq 6p² 5p 10 Qpxq 4m⁴n³ 5m³n⁵ 7m²n⁷ Qpxq 9p² 4p 8

5. pa²b 3a²b 8q p5a²b 6a²b 2q 6. p8z⁷2z⁵ z³qp8z⁷9z⁵8z³q

7. p3x² 4x 5q p6x² 7x 9q 8. p7y² 2y 1q p9y² 2yx 2q

9. p2 3t² 1

4t 2q p5 7t² 2

4t 7q 10. p5 8w² 2

6w 2

7qp5 7w² 1

3w 2 3q

Actividad 13

(Resta de polinomios).

(28)

2.6. Multiplicación de monomios

Para multiplicar dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los exponentes para la multiplicación:

Ley de los signos

p qp q mas por mas = mas p qpq mas por menos = menos pqpq menos por menos = mas pqp q menos por mas = menos Ley de los exponentes para la multiplicación

x^mxⁿ x^{m n}

Al multiplicar dos literales si estas son iguales se suman sus exponentes y si son diferentes se queda expresada la multiplicación.

Ejemplos:

a) x²x³ x^{2 3} x⁵

b)pa⁵b⁶qpa⁴b²q a^{5 4}b^{6 2} a⁹b⁸ c) m⁸n⁴ m⁸n⁴

El procedimiento para la multiplicación de monomios consta de los siguientes pasos:

1. Aplicar la ley de los signos.

2. Multiplicar los coecientes numéricos.

3. Multiplicar las literales aplicando la ley de los exponentes.

Ejemplo 2.7. Multiplica los siguientes monomios:

a) p4a²qp2a⁵q

Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qpq , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la multiplicación de sus coecientes 4 2 8 y por ultimo se multiplican las literales aplicando la ley de los exponentes: a²a⁵ a^{2 5} a⁷.

p4a²qp2a⁵q 8a⁷ b) 9f⁷g²p2f⁵q

Al aplicar la ley de los signos tenemos que pqp q , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la multiplicación de sus coecientes 9 2 18 y por ultimo se multiplican las literales: f⁷g²f⁵ f^{7 5}g² f¹²g².

9f⁷g²p2f⁵q 18f¹²g² c)p5m⁴n³qp3m²nq

Al aplicar la ley de los signos tenemos que pqpq , por lo que el resultado tendrá

(29)

signo , seguido por la multiplicación de sus coecientes 5 3 15 y por ultimo se multiplican las literales: m⁴n³m²n m^{4 2}n^{3 1} m⁶n⁴.

p5m⁴n³qp3m²nq 15m⁶n⁴

d)p3 4x²qp2

5x⁴q

Al aplicar la ley de los signos tenemos que p qp q , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la multiplicación de sus coecientes:

3 4 2

5 Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador .

6

20 Se simplica la fracción.

3 10

y por ultimo se multiplican las literales: x²x⁴ x^{2 4} x⁶.

p3 4x²qp2

5x⁴q 3 10x⁶

(30)

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios:

1. 5a²p3a⁸q

2. p4 5k⁴qp1

3k⁶q

3. p2

5d⁶qp2 4d⁴q

4. 12x⁷p6z⁵q

5. p2x²y⁷qp8x³y⁸q

6. p3 6z⁶qp2

6z⁷q

7. 8y¹²p1 2y⁷q

8. p7mqp3m⁵qp5m²q

9. p15t⁴qp4t⁸qp8t⁵q

10. 4 5 d⁷p3

4 d²q

11. p9p⁴qp12q²qp6p⁵q 12. p9f³qp12g⁵qp8g⁷qp6f⁴q

Actividad 14

(Multiplicación de monomios).

2.7. Multiplicación de monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada termino del polinomio, siguiendo las mismas reglas de la multiplicación de monomios.

Ejemplo 2.8. Multiplica los siguientes monomios por polinomios:

(31)

a) 6d⁴p5d³ 3d² d 9q

Al multiplicar el monomio por cada termino del polinomio tenemos:

6d⁴p5d³ 3d² d 9q 6d⁴p5d³q 6d⁴p3d²q 6d⁴pdq 6d⁴p9q

30d⁷ 18d⁶ 6d⁵ 54d⁴ b) 2j³k⁵p4j⁵ 7j⁴k² 3k⁶ 1q

2j³k⁵p4j⁵ 7j⁴k² 3k⁶ 1q 2j³k⁵p4j⁵q 2j³k⁵p7j⁴k²q 2j³k⁵p3k⁶q 2j³k⁵p1q

8j⁸k⁵ 14j⁷k⁷ 6j³k¹¹ 2j³k⁵ c) 3

10y⁶p3

5y⁴ 6

7y² 5 8q 3

10y⁶p3 5y⁴ 6

7y² 5

8q 3

10y⁶p3

5y⁴q 3 10y⁶p6

7y²q 3

10y⁶p5 8q

9

50y¹⁰ 18

70y⁸ 15 80y⁶ simplicando fracciones 9

50y¹⁰ 9

35y⁸ 3 16y⁶ Ahora realiza la siguiente actividad.

(32)

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:

1. 3c²p4c⁸ 5c³q

2. 2

3p²q³p3

5p⁶q⁴ 1

8p⁴q⁸q

3. 6 7g⁴p1

4g⁶ 2 3g⁴ 3

5g²q

4. 5m⁷p8m⁵ 2n² 9q

5. p6t⁷yqp2

4t³y² 0.5t³yq 6. p2 6z³qp1

3z⁴ 3

10z² 3 8zq

7. 3.5w³p4.3w⁴ 5.2w 6.7q 8. p2a²b⁴c³qp4a⁶b²c⁸ 5a³b⁸c³1q

9. p15k⁴qp3k⁸ 8k⁵q

10. 1

2e³p10e¹² 24e⁸ 40e⁷q

11. p6p⁵qp12q² 6p⁵q 12. 3h⁵p12g⁵ 8h⁷ 6i⁴q

Actividad 15

(Multiplicación de monomio por polinomio).

2.8. Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio, después, si hay términos semejantes, se reducen y se ordena el resultado.

Ejemplo 2.9. Multiplica los siguientes polinomios:

(33)

a) p10m³ 2qp8m⁶ 3q

Al multiplicar cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio tenemos:

p10m³ 2qp8m³ 3q 80m⁶ 30m³ 16m³ 6 reduciendo términos semejantes 80m⁶ 46m³ 6

b) p6x² 5qp3x³ 7x² x 10q

p6x² 5qp3x³ 7x² x 10q 6x²p3x³ 7x² x 10q 5p3x³ 7x² x 10q

18x⁵ 42x⁴ 6x³ 60x² 15x³ 35x² 5x 50 reduciendo términos semejantes 18x⁵ 42x⁴ 21x³ 95x² 5x 50

c) p4a⁵b³ 5c³qp3a²b⁵ 6c⁴q

p4a⁵b³ 5c³qp3a²b⁵ 6c⁴q 4a⁵b³p3a²b⁵ 6c⁴q 5c³p3a²b⁵ 6c⁴q

12a⁷b⁸ 24a⁵b³c⁴ 15a²b⁵c³ 30c⁷

(34)

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:

1. p7c 9bqp3c 2bq 2. p10k³ 2qp4k³ 3q

3. p4n³ 7qp4n³ 7q

4. p4 5z³2

7z²qp3 8z² 1

2z³q

5. p4g² 9h⁵qp6g⁴ 2h⁵q 6. p15m²n⁴ 3qp12m⁵n³ 5q

7.p4

5x³ 1 8y⁴qp2

3x³ 2 7y⁴q

8. p5a² 9b⁵qp3a³ 2b⁴q

9. p5d³e⁴ 6qp8d⁵e² 9q 10. p4p⁶q⁵ 3r²qp8p⁴q³ 7r⁶q

11. p3x⁴y⁵ 3qp2x²y 4xy³ 10q

12. p3

6v⁵w³ 6 10xqp8

9v³w² 3 7xq

Actividad 16

(Multiplicación de polinomios).

(35)

2.9. División de monomios

Para dividir dos monomios debemos conocer la ley de los signos y la ley de los exponentes para la división:

Ley de los signos para la división

mas entre mas = mas

mas entre menos = menos

menos entre menos = mas

menos entre mas = menos Ley de los exponentes para la división

x^m

xⁿ x^mn

Al dividir una literal entre otra literal si estas son iguales sus exponentes se restan y si son diferentes se queda expresada la división.

Ejemplos:

cuando m>n a) b⁶

b² b⁶² b⁴ b)d⁵e³

d²e d⁵²e³¹ d³e² c) m⁵

n⁴ m⁵ n⁴

cuando m=n

Cuando dividimos literales iguales con potencias iguales, tendremos como resultado una literal con potencia cero, lo que equivale a la unidad.

d)p⁴

p⁴ p⁴⁴ p⁰ 1

cuando m<n

Cuando la potencia de la literal del dividendo sea menor que la potencia de la literal del divisor, tendremos como resultado una literal con potencia negativa, esto se puede escribir como el reciproco de la literal elevada a la potencia positiva.

e)t²

t⁷ t²⁷ t⁵ 1 t⁵

El procedimiento para la división de monomios consta de los siguientes pasos:

(36)

1. Aplicar la ley de los signos.

2. Dividir los coecientes numéricos.

3. Dividir las literales aplicando la ley de los exponentes.

Ejemplo 2.10. Divide los siguientes monomios:

a) 12b⁶

4b³

Al aplicar la ley de los signos tenemos que , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la división de sus coecientes 12 4 3 y por ultimo se dividen las literales aplicando la ley de los exponentes: b⁶

b³ b⁶³ b³. 12b⁶

4b³ 3b³ b) p20g⁵h⁶q p5g⁹h³q

Al aplicar la ley de los signos tenemos que , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la división de sus coecientes 20 5 4 y por ultimo se dividen las literales: g⁵h⁶

g⁹h³ g⁵⁹h⁶³ g⁴h³ h³ g⁴.

p20g⁵h⁶q p5g⁹h³q 20g⁵h⁶

5g⁹h³ 4g⁴h³ 4h³ g⁴ c)4j²k⁹

8j²k⁶

Al aplicar la ley de los signos tenemos que , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la división de sus coecientes 4

8 1

2 0.5 y por ultimo se dividen las literales: j²k⁹

j²k⁶ j²²k⁹⁶ j⁰k³ 1k³ k³. 4j²k⁹

8j²k⁶ 1

2k³ 0.5k³ d)p2

3x¹²y¹⁸q p6

8x⁹y¹³q

Al aplicar la ley de los signos tenemos que pqp q , por lo que el resultado tendrá signo , seguido por la división de sus coecientes:

2 3 6

8 Se multiplica el numerador de la primer fracción por el denominador de la segunda fracción y el denominador de la primer fracción por el numerador de la segunda fracción.

16

18 Se simplica la fracción.

8 9

(37)

y por ultimo se dividen las literales: x¹²y¹⁸

x⁹y¹³ x¹²⁹y¹⁸¹³ x⁷y⁵. p2

3x¹²y¹⁸q p6

8x⁹y¹³q 8 9x⁷y⁵ Ahora realiza la siguiente actividad.

(38)

Realiza las siguientes divisiones de monomios:

1. 14c⁷

7c⁴ 2. 25f⁴

5f⁸

3. p7

8j⁵k⁹q p 3

10jk²q 4. p18m³⁶n⁴⁵q p3m³⁶n²⁶q

5. 28p¹⁴q⁵r⁴

4p⁸q²r⁴ 6. p5

6t⁶q p1 7t⁷q

7. 6v⁶w² 18v²w

8. 2 3x⁹y⁷z⁴

5 4x²y⁵z³

9. 2f⁵g³ 6f²g⁷

10. p50u⁶v³q p20u⁴v⁷q

11.

5 10h²⁶

3 4h¹⁵

12. p16a⁴b⁵q p8a⁶q

Actividad 17

(División de monomios).

(39)

2.10. División de polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada termino del polinomio entre el monomio, siguiendo las mismas reglas de la división de monomios.

Ejemplo 2.11. Divide los siguientes polinomios entre monomio:

a) 20a⁶ 10a⁴

5a³

Al dividir cada termino del polinomio entre el monomio tenemos:

20a⁶ 10a⁴

5a³ 20a⁶

5a³ 10a⁴

5a³

4a³ 2a b) p15j⁶k⁵ 21j⁴k⁹ 9j²k⁴q p3j²k²q

p15j⁶k⁵ 21j⁴k⁹ 9j²k⁴q p3j²k²q 15j⁶k⁵ 21j⁴k⁹ 9j²k⁴ 3j²k²

15j⁶k⁵ 3j²k²

21j⁴k⁹

3j²k² 9j²k⁴ 3j²k²

5j⁴k³ 7j²k⁷ 3j⁰k²

5j⁴k³ 7j²k⁷ 3k² c)49m⁵n⁴ 28m³n⁶ 35m²n³

7mn⁴

49m⁵n⁴ 28m³n⁶ 35m²n³

7mn⁴ 49m⁵n⁴

7mn⁴

28m³n⁶

7mn⁴ 35m²n³

7mn⁴

7m⁴n⁰ 4m²n² 5mn¹

7m⁴ 4m²n² 5m n Ahora realiza la siguiente actividad.

(40)

Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:

1. 35a⁶ 15a⁴

5a² 2. p15b⁷c⁵ 24b⁵c⁴q p3b³c²q

3. 12c⁸d⁹ 8c⁶d¹² 4c⁵d³

2c⁴d³ 4. 6f¹²g⁴ 20f⁸g⁷ f⁶g⁹ 4f⁵g⁴

5. p2 7j⁹4

5j⁵q p1

3j³q 6. 8m⁵n⁴ 4m⁴n⁶ 10m²n²

4m²n²

7. 24p⁸q⁹ 48p⁶q¹³ 12p⁵q⁷

12p⁴q⁶

8.

2 3r⁷ 1

4r⁵ 3 7r³

9. p10t⁶v⁵ 8t⁵v⁹q p4t²vq 10. p15w⁵ 9w³ 24wq p3w⁷q

11. 6

8x⁶y⁸ 1

4x⁴y⁷ 3 5x²y⁹

3 5x²y⁴

12. 45y⁸z¹² 27y⁵z⁹ 63y⁴z

9z⁶

Actividad 18

(División de polinomio entre monomio).

(41)

2.11. División de polinomio entre polinomio

La división de polinomio entre polinomio se realiza de manera similar a la división de números naturales.

Ejemplo 2.12. Divide los siguientes polinomios:

a) px³ x² 1q px 1q

Para realizar la división de un polinomio entre un polinomio se debe de realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Ordenamos los polinomios respecto a una misma letra y en forma descendente, es decir, que los exponentes de una misma letra vayan disminuyendo uno a uno. Si falta algún término se deja el espacio que debería ocupar.

x 1

x³ x² 1

Paso 2: Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor x³

x x², lo que nos dará uno de los términos del cociente.

x² x 1

x³ x² 1

Paso 3: Se multiplica el término del cociente obtenido en el paso 2 por el divisor px²qpx

1q x³ x², el producto obtenido se resta del dividendo, para restarlo se deben de cambiar los signos x³ x² y se obtiene un nuevo dividendo.

x² x 1

x³ x² 1

x³ x² 2x²

Paso 4: Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el dividendo sea cero o hasta que en el dividendo se tenga una literal con potencia menor a la literal del divisor.

Paso 2:

x² 2x x 1

x³ x² 1

x³ x² 2x² Paso 3:

(42)

x² 2x x 1

x³ x² 1

x³ x² 2x²

2x² 2x 2x 1 Paso 2:

x² 2x 2 x 1

x³ x² 1

x³ x² 2x²

2x² 2x 2x 1 Paso 3:

x² 2x 2 x 1

x³ x² 1

x³ x² 2x²

2x² 2x 2x 1

2x 2 1 Por tanto, el resultado es:

px³ x² 1q px 1q x² 2x 2 1 x 1 o dicho de otra manera: el cociente es x² 2x 2 y el residuo 1

Paso 5: Se comprueba que el resultado sea correcto, con base en la siguiente relación:

Dividendo=(Cociente)(Divisor)+Residuo

x³ x² 1 px² 2x 2qpx 1q 1

x³ x² 1 x³ x² 2x² 2x² 2x 2 1 x³ x² 1 x³ x² 1

b) px² 8x 15q px 5q

x 3

x 5

x² 8x 15

x² 5x 3x 15

3x 15 0

(43)

El cociente es x 3 y el residuo es 0 c) p6x² 3x 12q p2x 7q

3x 12 2x 7

6x² 3x 12

6x² 21x 24x 12

24x 84 96 El cociente es 3x 12 y el residuo es 96

(44)

Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:

1.

2x 3

4x² 6x 3

2.

x 2

x³ 2x² 8

3.

4x 4

20x² 28x 3

4.

6x 1

12x² 20x 3

5.

x 5

8x³ 46x² 32x 4

6.

x 10

x² 12x 9

7.

5x² 6

20x⁴ 9x² 18

8.

2x 3

16x³ 24x² 4x 6

Actividad 19

(División de polinomio entre polinomio).

Álgebra. Cynthia P.Guerrero Saucedo

Álgebra

Cynthia P.Guerrero Saucedo

21 de agosto de 2016

Índice general

CAPÍTULO 1

Lenguaje algebraico

1.1. Álgebra

N N N

N



N



Actividad 1

1.2. Expresión algebraica

Actividad 2

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

1.3. Representación algebraica de expresiones en len- guaje común







Actividad 6

1.4. Interpretación de expresiones algebraicas



Actividad 7

1.5. Evaluación numérica de expresiones algebraicas



Actividad 8

CAPÍTULO 2

Operaciones fundamentales 1

2.1. Términos semejantes

2.2. Suma de monomios



Actividad 9

2.3. Resta de monomios



Actividad 10



Actividad 11

2.4. Suma de polinomios





Actividad 12

2.5. Resta de polinomios



Actividad 13

2.6. Multiplicación de monomios



Actividad 14

2.7. Multiplicación de monomio por polinomio



Actividad 15

2.8. Multiplicación de polinomios



Actividad 16

2.9. División de monomios



Actividad 17

2.10. División de polinomio entre monomio



Actividad 18

2.11. División de polinomio entre polinomio



Actividad 19