EJERCICIOS A DESARROLLAR

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Facultad de Ingeniería ALGEBRA A

Trabajo Práctico –Sistemas de ecuaciones – Página 1

TRABAJO PRÁCTICO N° 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS A DESARROLLAR

1) Calcular el rango de las siguientes matrices:

 

 







 

 







=

−

−

−

−

−

−

−

6 2 6 3

1 2 4 2

4 3 5 2

2 1 2 1 a



 







 





= ⁻

1 2 5

1 3 4

1 1 1

b _





 

= 

−

−

1 1 2 0

1 2 0 c 1

 

 

 





 

 

 





=

−

−

−

−

2 1 1 4

4 5 2 1

3 1 0 3

1 3 1 2

2 2 1 1

d

 

 







 

 







=

−

−

−

−

0 3 2 1

3 1 1 1

1 2 1 2

1 3 1 1

e f=

 

 







 

 







−

−

−

−

−

−

3 3 3 0

3 3 3 0

1 2 1 0

1 2 1 0

2) Determinar, si existe, el valor de k para que el rango de las siguientes matrices sea:

4, 3, 2 ó 1.

 







 







=

−

−

1 3 1

1 k 2

0 1 1 a

 

 







 

 







=

−

−

−

−

−

−

6 1 4 2

2 k 3 1

6 4 5 2

3 2 2 1

b   





 







= ⁻

−

k 1 5 0

1 1 3 1

1 0 2 1 c

 



 





 



 





+

= +

−

−

−

1 k 1 2 2

1 1 k 1 0

2 0 1 1

1 1

2 1 d

3) Expresar matricialmente los siguientes sistemas; si es posible, resolverlos por el método de la matriz inversa.

a)

 



= +

−

=

−

11 y 5 x 4

11 y 3 x

2 b)

 

 



=

− +

= + +

=

−

0 1 y 2 x 3

0 z y 3 x 4

3 z 2 x

c)

 

 



+

=

−

= +

−

=

−

−

x 3 z 4 y 5

0 2 y 2 x

4 z y 3 x 2

4) Analizar la independencia o dependencia de las ecuaciones que conforman cada uno

de los sistemas dados; en los casos en que haya dependencia, escribir un sistema

equivalente al dado que posea un número mínimo de ecuaciones.

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a)

 

 



= + +

−

=

−

−

−

= + +

2 z 2 v 2 u 2

1 z v u

1 z v u

b)

 

 



−

= + +

−

−

= + +

−

−

= +

−

2 t 5 y 2 x

1 t 2 y 3 x 2

1 t 3 y x

c)







 





=

− +

−

= +

=

−

= +

5 z y x 2

1 z y

3 z x

2 y x

5) Escribir un sistema equivalente a

 



=

−

− +

−

= +

−

−

2 w z y 2 x

1 w z y

x que tenga por matriz de los

coeficientes a una matriz cuadrada de orden 4. Explicar cómo se logra.

6) Analizar cuáles de los siguientes sistemas son cramerianos. Resolver a aquéllos que lo sean usando la Regla de Cramer

a)

 

 



= +

−

=

− +

=

−

−

1 w v 2 u

1 w 2 v u

1 w v u 2

b)

 

 



= +

= +

=

−

7 y 9 x 2

6 y 3 x 8

0 y 3 x 4

c)

 

 



= +

−

= +

−

= +

3 z y x 2

0 z 3 x

3 y 2 x

7) Determinar los valores reales de k para los cuales el sistema A.X=B es crameriano, siendo X un vector columna de tres incógnitas, B un vector columna de tres números reales y A la matriz de los coeficientes

a) A=

 







 





 −

0 2 3

k 2 1 0

2 1 1

b) A=

 







 







−

− +

−

−

3 1 k 0

3 k 0 0

5 1

2 k

8) Analizar las compatibilidades de los siguientes sistemas aplicando el teorema de Rouché- Fröbenius y encontrar las soluciones en los casos en que sea posible, resolviendo por el método de Triangulación de Gauss:





 



=

−

= +

= +

−

0 x x

0 x x

1 x 5 x x 2 ) a

3 2

3 1

3 2 1

 

 



−

= +

=

−

= +

−

2 x

x 5

1 x

x 2

2 x 5 x

x ) b

4 1

3 2

4 2

1

 

 



= +

+

=

−

− +

= + + +

7 x

3 x 5 x 4

2 x 2 x x 3 x 2

5 x x 2 x x ) c

3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

  

=

− +

= + +

5 x x x 2

4 x 3 x 2 ) x d

3 2 1

3 2

1 e ) x ₁ − 2 x ₂ + 3 x ₃ + x ₄ = 2

 

 



= +

−

= +

=

−

4 y 5 x

2 y x

1 y 4 x 2 ) f

 



 





=

− + +

+

=

−

+

= +

−

= +

0 4 x 4 x 2 x 2

x 3 3 x x 4

1 x 2 x x 3

x 2 x 2 x ) g

2 3 1

2 3

1

3 2 1

3 2

1

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9) Determinar los valores de a ∈ R para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones:

10) Determinar los valores de a∈R para los cuales el sistema es incompatible:

11) Justificar la verdad o falsedad de la siguiente proposición:

“El sistema

 

 



= +

= + +

−

=

−

3 x k x 2

3 x x 3 x

0 x

x

3 2 2

3 2 1

2 1

es incompatible para todo k ∈R- {1,-1}”

12) Dado el sistema

 

 



= + +

= + +

+

=

− +

1 x ax x

a x x 2 x

a 1 x x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

analizar para qué valores de a∈R el

sistema es:

a) Incompatible.

b) Compatible determinado.

c) Compatible indeterminado.

13) Idem para

 

 



−

= +

−

+

= +

+

= +

−

6 x a x 8 x

a 6 x a x 4 x

a ax x 2 x

3 2 2 1

3 2 2 1

3 2 1

14) Resolver por cualquier método el sistema:

 



 





 



 





−

= −

 

 







 

 







 



 





 



 





−

−

−

−

8 4 4 0

x x x x . 7 7 8 1

4 5 5 1

2 1 1 1

1 3 2 1

4 3 2 1

 

 



= + +

= +

−

= +

−

− x 2 x ax 0

0 x 3 x x 2

0 x 2 x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

 

 



=

−

−

= +

−

−

=

− +

− x 2 x x a

0 x x 3 x 2

1 x 2 x x

3 2 1

3 2 1

3

2

1

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Determinar a y b para que el sistema tenga infinitas soluciones:







 





= + +

= + +

=

− +

=

− +

0 bx x ax

0 x 3 bx ax

0 x 8 x 5 x 2

0 x 3 x 2 x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

2) Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema para los distintos valores de a y b. Si existen valores de a y b para los cuales el sistema es compatible y la solución no es única, resolverlo:

 

 



= +

−

=

−

=

−

b ax 4 x

1 x ax

1 x

x

3 1

3 2 2 1

3) Determinar k∈R para que el siguiente sistema resulte compatible determinado y resolverlo para alguno de los valores hallados.

 

 



−

= +

−

+

= + +

= +

−

6 z k y 8 x

k 6 z k y 4 x

k kz y 2 x

2 2

4) Calcular para qué valor de a∈R el siguiente sistema resulta compatible indeterminado y luego resolverlo asignando a a dicho valor:

 



 





= +

−

−

=

− +

−

= + +

−

−

=

− +

−

7 2 az 2 y x 5 1 2

4 2 z

y 3 5 2 x 2

0 3 y 2 x

2 z 3 y x 2

5) Hallar los valores de a∈R para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:

 

 



= +

= +

= + +

0 ax x

2

0 ax

x

0 x x ax

3 1

2 1

3 2 1

6) Hallar un sistema con todos los coeficientes no nulos tal que la única solución sea:

x 1 = -1; x 2 = 0; x 3 = 2.

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7) Escribir un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas que sea incompatible.

Explicar cómo se logra.

8) Escribir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible determinado. Explicar cómo se logra.

9) Escribir un sistema lineal homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas que tenga soluciones no triviales. Explicar cómo se logra.

10) Hallar sistemas tales que la totalidad de las soluciones se describan por:

i) x ₁ = 2 − x ₃ ; x ₂ = 1 + 3 x ₃

ii) x ₁ = 2 − x ₃ , x ₂ = − 2

iii) x ₁ = 2 − a + b ^; x ₂ = 1 + 2 a + b ^{; x} 3 = ^a ; x ₄ = b ^{a, b} ∈ ℜ

11) La siguiente es una matriz ampliada de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

 







 







−

−

−

1 k 1 k 0 0

2 2

k 0

1 1 1 1

2

Analizar las cuatro posibilidades e indicar cuál es la correcta, justificando en todos los casos:

a) Si k = 1 el sistema es incompatible.

b) Si k = -1 el sistema es incompatible.

c) Si k = 0 el sistema tiene solución única.

d) Si k = 2 entonces (2/3 , 2/3 , 1/3) es una de las infinitas soluciones del sistema.

12) La siguiente es una matriz ampliada de un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas

 







 







−

−

−

−

0 0

0 0

k 2 k 1 4 k 0

1 3

2 1

2

2 . Analizar las cuatro posibilidades e indicar si

alguna es la correcta, justificando en todos los casos:

a) Sólo para k = -2 ó k = 2 el sistema tiene infinitas soluciones.

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b) El sistema no admite solución si k = 3.

c) Si k = 0 el sistema es compatible indeterminado.

d) La única solución del sistema para k = -2 es s = (1,0,0).

13) Indicar para qué valores de a∈R el conjunto solución del sistema homogéneo

asociado a

 

 



=

−

= + +

=

− +

1 x ) 1 a (

4 x 2 x ) 1 a (

1 x x ax

3 2

3 2

3 2 1

es {(0,0,0)} .

14) Evaluar verdadero (V) o falso (F) y demostrar:

i. Se da el sistema de ecuaciones a.x = b, con a ∈ R ^nxn , donde “x” es el vector de las incógnitas y “b” el de los términos independientes. El sistema es compatible indeterminado si y sólo si det(a)=0

ii. El sistema

 

 



−

= +

= + +

= + +

ky 2 z 4 kx

0 1 z x

1 kz y x

es compatible determinado si y sólo si k ≠ -2

iii. Sea el sistema de ecuaciones a.x= 0 con a ∈ R ^nxn , x ∈ R ^{nx 1} (matriz incógnita) y 0 ∈ R ^{nx 1} ; el sistema dado es un sistema homogéneo y tiene soluciones no triviales si y sólo det a ≠0

iv. Sea a.x=0 la expresión matricial de un sistema de “n” ecuaciones con “n”

incógnitas; entonces, det a = 0 es condición necesaria y suficiente para que el sistema posea infinitas soluciones.

v. Un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, donde m<n, es siempre compatible.

vi. Un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, donde m>n, es siempre incompatible.

15) Determine a∈R para que el sistema

 







 







−

 =

 





 







 







 







− +

−

−

−

a 11

a 0

z y x

a 11 a

11 0

a 5 a 2 a 11 0

1 a 3

1

2 no

tenga solución.

16) Determinar para qué valores de “a∈R” el sistema

 

 



=

− +

= + +

= + +

9 az 2 y a x

21 z 14 y 2 x 5

12 z 10 ay x a

2 2

tiene la

solución (1; 1; 1) y resolverlo en este caso.

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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS A DESARROLLAR

1) rg (a) = 4 ; rg (b) = 3 ; rg (c) = 2 ; rg (d) = 3 ; rg (e) = 3 ; rg (f) = 2

2) 

 



=

∈

∃/

=

= ⇒ ⇒ =

≠

1 ) a ( r / R k

2 ) a ( r 0 k

3 ) a ( r 0 k

4 ) b ( r , R

k ∈ =

∀



 



=

∈

∃/

=

= ⇒ ⇒ =

≠

1 ) c ( r / R k

2 ) c ( r 0 k

3 ) c ( r 0 k



 



=

∨

=

∈

∃/

=

= ⇒

∨

= ≠ ∧ ≠ ⇒ = 2 ) d ( r 1 ) d ( r / R k

3 ) d ( r 1 k 2 k

4 ) d ( r 1 k 2 k

3) a) 





 

 −

 =





 



 



 

 −

11 11 y

. x 5 4

3

2 S = { ⁽ − ^{1 ; 3 )} }

b)

 







 







 =















 







 





 −

1 0 3 z y x . 0 2 3

1 3 4

2 0 1

no es posible: no existe a ^{− 1}

c)

 







 







= −

















 







 







−

−

−

−

−

3 2 4 z y x . 4 5 1

0 2 1

1 3 2

S = ({ ^{60 ; 31 ; 23 )} }

4) En todos los casos hay ecuaciones dependientes. Los sistemas equivalentes podrían ser:

a) { x+v+z=1 b)

 

 



−

= + +

−

−

= +

−

1 t 2 y 3 x 2

1 t 3 y x

c)

 



=

−

= +

3 z x

2 y

x NO SON ÚNICOS

5)

 



 





−

= +

−

=

−

=

−

− +

−

= +

−

−

1 w 2 y 3 x 2

3 z 2 y

2 w z y 2 x

1 w z y x

Se logra agregándole al sistema dos ecuaciones que sean combinación lineal de las dadas; en este caso, la suma y la resta de ambas. Hay infinitos sistemas posibles.

6) a) no es crameriano

b) No es crameriano, aunque existe un sistema equivalente que si lo es S =

 



 

 



 



 3

; 2 2

1

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c) S = { ( ^{27 / 17 ; 12 / 17 ; 9 / 17} ) }

7) a) k 5

− 3

≠ b) k ∈ ℜ - {-3; 1; 2}

8)

a) C.D. S = {(-1/2, 1/2, 1/2)}

b) C.I. S = {(-1/2-1/24x 2 ; x 2 ; 2 x 2 -1; 1/2+5/24 x 2 ) x 2 ∈ R}

c) Incompatible

d) C.I. S = {(2 + 5/3x 3 ; 1-7/3x 3 ; x 3 ) x 3 ∈ R}

e) C.I. S = {(2x 2 -3x 3 -x 4 +2 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) x 2, x 3, x 4 ∈ R}

f) Incompatible

g) C.D. S = {(1,0,1)}

9) a = -3

10) a ≠ 1

11) Falso, no existe k ∈ ℜ para que el sistema sea incompatible. Con los valores indicados es C.D.

12) a) a = 2 b) a ≠ 2 c) no existe a ∈ ℜ

13) a) a = 1 b) a ≠ 0 y a ≠ 1 c) a = 0

14) S =

 



 



 



 

 − ₃ − ₄ + − ₃ + ₄ − ; x ₃ ; x ₄ 3

x 4 3 x

; 2 3 x 8 3 x

5 con x 3 , x 4 ∈ R

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) a = 1 y b = -1

2) Compatible determinado, para a ≠ ½ y a ≠ -½ , ∀ b∈ R.

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Compatible indeterminado, para a = ½ y b = -3 ó a = - ½ y b = 1 para a = ½ y b = -3

 



 

 ∈

= x ), x R

2

; 1 x

; x + (1

S _{2 2 2 2}

para a = - ½ y b = 1

 



 

 ∈

= x - 1) , x R 2

;- 1 x

; x + (1

S _{2 2 2 2}

Incompatible, para a = ½ y b ≠ -3 ó a = -½ y b ≠ 1

3) k ≠ 0 y k ≠ 1

4) a = - 3/2 S = {(-2z+1/3; -z- 4/3; z) z∈R}

5) a = 0 ó a = ± 3

6) No hay un único sistema. Por ej:







 





= + +

= + +

= + +

3 x 2 x x

1 x x 2 x

1 x x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

7)

 



 





−

=

−

−

= + +

−

= + +

= +

5 y x

3 z y 2 x 2

1 z y x

2 y x

El sistema no es único. Basta con poner un par de ecuaciones contradictorias; en este caso se puso la última ecuación contradictoria con la primera.

8) No hay un único sistema. Basta con poner tres ecuaciones linealmente

independientes. Por ej:

 

 



=

= +

= +

0 x

1 x x

2 x x

3 3 2

3 1

9) El sistema no es único. Por ej:

 

 



= + +

= +

−

= + +

0 z 3 y x 4

0 z y x 2

0 z y x

Basta con poner una ecuación que sea combinación lineal de las otras; en este caso, la

tercera es el duplo de la primera, más la segunda.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA

Facultad de Ingeniería ALGEBRA A

Trabajo Práctico –Sistemas de ecuaciones – Página 10

10) Hay infinitas posibilidades. Por ej:

i)

 



= +

= +

2 x x

7 x x 3

3 1

2

1 ii)

 



−

=

= +

2 x

2 x x

2 3

1 iii)

 



=

−

−

=

− +

1 x x 2 x

2 x x x

4 3 2

4 3 1

11) a) Falso, ya que r(a)= r(a’)= 2 < 3 entonces el sistema es C.I.

b) Correcto, pues r(a)=2 ≠3=r(a’) c) Falso, ya que el sistema resulta C.I.

d) Falso, ya que es la única solución del sistema

12) Tener en cuenta que este sistema tiene infinitas soluciones siempre, entonces:

a) Falso b) Falso c) Correcto d) Falso

13) a≠0, a ≠ 1 ∧ a ≠ − 1

14) i) Falso. Contraejemplo: en

 



= +

−

=

−

2 x 2 x 6

7 x x 3

2 1

2

1 el det(a)=0 y el sistema es incompatible.

ii) Falso, si k= 2 es compatible indeterminado.

iii) Falso, si det a ≠0, el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial

iv) Verdadero (demostrar)

v) Falso. Contraejemplo:

 



= + +

= + +

0 x 2 x 2 x 2

2 x x x

3 2 1

3 2

1 es incompatible.

vi) Falso. Contraejemplo:

 

 



= +

−

= +

−

=

− 2 y 4 x 3

1 y x 2

1 y x 2

es compatible determinado.

15) a=3

16) a= - 2. La solución es S ={(−7 + 8y, y, 4 − 3_y); y ∈ R}