i) f (x) 2 ii) f (x + 5) iii) 3f (x) iv) f (2x) v) f (x) vi) f ( x) vii) jf(x)j 16) Sea g : [ 2; 2] ! [ 5; 4] la función dada por el siguiente grá…co.

Texto completo

(1)

15) Sea f : [ 2; 6) ! [ 1; 3)[f 4g =f(x) = x + 1 si x 2 [ 2; 2)

4 si x 2 [2; 6) :Gra…que primero f y luego cada una de las siguientes transformaciones de f :

i) f (x) 2 ii) f (x + 5) iii) 3f (x) iv) f (2x) v) f (x) vi) f ( x) vii) jf(x)j 16) Sea g : [ 2; 2] ! [ 5; 4] la función dada por el siguiente grá…co.

Determine cuál de las transformaciones de g corresponde a cada uno de los grá…cos dados más abajo (en algunos casos se ha realizado más de una transformación - ver ejemplo de la teoría):

i) g(x 1) ii) g(x + 1) iii) g(x 1) + 2 iv) g(x + 2) 1

v) g( x) vi) jg( x)j vii) jg(x)j viii)

12

g(x)

ix) g(2x) + 1 x) g(

14

x + 1) xi) 2 jg(x)j xii)

12

g(x 1)

(2)
(3)

17) a) Obtenga la grá…ca de g(x) =

13

( x)

3

+ 1 realizando una serie de transformaciones a la grá…ca de f : R ! R=f (x) = x

3

:

b) Seleccione 5 elementos del dominio de g(x) y haga una tabla de valores.

Luego ubique en el plano los puntos determinados por la tabla y veri…que que pertenezcan a la grá…ca obtenida en (a).

18) Obtenga la grá…ca de h(x) = 4 jf(x + 2)j realizando una serie de trans- formaciones a la grá…ca de f : [ 2; 6] ! [ 1; 3] =f (x) =

12

x:Realice cada paso en un grá…co separado (ver ejemplo 1 de la teoría)b) Determine el dominio y el CI de h:

19) Responda:

19

14:pdf

20) Resuelva los ejercicios 31 y 33 de la página 147 de Sullivan (capítulo 2).

(4)

21) El area S (en cm

2

) de la super…cie de un globo in‡ado con aire caliente está dada por S(r) = 4 r

2

donde r es el radio del globo ( en cm:). El radio crece con el tiempo t (en segundos) según la fórmula r(t) =

23

t

3

; siendo t 0:

a) Determine el area S como función del tiempo t:

b) Calcule el area cuando t = 5 por dos caminos diferentes.

c) Averigûe cuál es la super…cie del globo cuando su radio mide 144 cm, y cuántos segundos deben transcurrir para que el globo alcance ese tamaño.

d) Evalúe S(t) en el valor de t hallado en el ítem anterior.y compare los resultados obtenidos.

22) Un comerciante estima que el número q de ventas realizadas durante un día es función del número p de veces que se repite su publicidad el día anterior:

q = f (p) =

2p+p5 2

: Los ingresos r (en pesos) que recibe por la venta de q unidades está dada por la función r = g(q) = 215q 52:

a) Halle gof (p) y determine qué es lo que describe.

b) ¿Qué ingreso obtendrá si la propaganda fue repetida 10 veces el día anterior?

c) Si el comerciante desea un ingreso de 15428 pesos ¿Cuántas veces debe repetir su publicidad?

23) En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton (en cm

3

). Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función f (n) del número n de gobios presentes en el lago, y el número de de gobios es una función g(x) de la cantidad x de plankton en el lago.

a) Exprese el tamaño de la población de róbalos como una función de la cantidad de plankton, si f (n) = 50 +

150n

y g(x) = 3x + 6.

b) ¿Cuántos róbalos habrá si el lago contiene 98 cm

3

de plankton ?

c) Suponiendo que hay 11850 gobios en el lago calcule las poblaciones de róbalos y de plankton.

d) ¿Cuál es la cantidad de plankton si el número de róbalos es 115?

24) El siguiente grá…co corresponde a la función f : [ 2; 7] ! R=f(x) =

jx 2j 1:

(5)

15:pdf

Determine si las siguientes funciones son/ no son inyectivas, sobreyectivas y/o biyectivas. Justi…que sus respuestas.

i) f : [ 2; 7] ! [ 1; 4] =f(x) = jx 2j 1 ii) f : [ 2; 7) ! [ 1; 4] =f(x) = jx 2j 1 iii) f : [2; 7] ! R=f(x) = jx 2j 1

iv) f : ( 2; 6] ! [ 2; 7] ! [ 1; 4] =f(x) = jx 2j 1 v) f : ( 2; 0) ! (1; 3) =f(x) = jx 2j 1

vi) f : f : [ 2; 7] ! R=f(x) = jx 2j 1 vii) f : [2; 7] ! [ 1; 4] =f(x) = jx 2j 1

25) En cada uno de los siguientes casos considere la función f : A ! B que a cada elemento del dominio le asigna su cuadrado disminuido en 1. Escriba el conjunto de imágenes y clasi…que la función indicando si es inyectiva, sobreyec- tiva y/o biyectiva. Explique sus respuestas.

i) A = f1; 2; 3g ; B = f0; 3; 4; 8; 10g ii) A = f5; 10; 20g ; B = f24; 99; 399g iii) A = f0; 2; 2g ; B = f 1; 3g iv) A = Z; B = Z

26) Dadas las siguientes funciones: (i) h : N ! N = h(x) = 2x (ii)g : R ! R=g(x) = (x + 1)

2

: Para cada una de ellas

a) Grafíquela y clasifíquela.

b) Analice si admite función inversa. En caso de que no lo haga ¿Cómo habría que rede…nir la función para que resulte biyectiva y así admita inversa?

27) En cada uno de los siguientes casos, gra…que la función y luego determine un conjunto A (lo más grande posible) y un conjunto B de tal modo que f : A ! B admita inversa.

a) f (x) = x

2

b) f (x) = x

2

+ 2x 2 (ayuda: determine primero el vértice de la parábola

y = x

2

+ 2x 2)

(6)

c) f (x) = j2xj + 5 d) f (x) =

x12

28) Resuelva los ejercicios 7 al 12 de la página 157 Sullivan.

29) Resuelva los ejercicios 13, 17, 18, 19 y 21 de la página 158 Sullivan.

30) Resuelva los ejercicios 35, 37, 41 y 45 de la página 158 Sullivan.

31) Resuelva los problemas 55 al 58 de la página 158 Sullivan.

32) Resuelva los ejercicios 51, 53, 55, 56, 57, 58 y 61 de la página 125 Sullivan.

33) Para cada una de las siguientes funciones: determine grá…camente si es par, impar o ninguna de las dos cosas; indique sobre qué intervalos es creciente, decreciente o constante; determine cuáles son sus ceros.

i) y = f (x)

-4 -2 2 4

-15 -10 -5 5 10 15

x y

ii) y = g(x)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 1 2

x y

iii) y = h(x)

(7)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2 -1

x

34) Observe los grá…cos de las funciones periódicas r : R ! R y s : R ! R.

Responda las preguntas para cada función.

i) y = r(x)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4 -2

x y

ii) y = s(x)

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-4 -2 2 4

x y

a) ¿Cuál es su período?

b) ¿Cuál es su valor máximo? ¿En qué valores de x lo alcanza? Escríbalos en forma genérica.

c) ¿Cuáles son los ceros de la función? Escríbalos en forma genérica.

d) ¿Qué valor alcanza la función en x = 27? ¿y en x = 508?

e) Indique de forma genérica cuáles son los intervalos de crecimiento/decrecimiento de la función.

35) Gra…que al menos 3 períodos completos de las funciones periódicas f : R ! R y g : R ! R que se describen continuación:

a) Período de f = 2; f tiene un cero en x =

52

; f alcanza su valor mínimo en x = 7; f no alcanza un valor máximo; f (1000) = 6

b) Período de g =

72

; g es negativa en todo su dominio (es decir, todo su grá…co

se ubica por debajo del eje x); g es constante sobre el intervalo [ 1; 1]; g alcanza

su valor mínimo en x = 5; g alcanza su valor máximo en x = 9:

(8)

Algunas soluciones - Módulo 2

16)

i) K ii) D iii) F iv) J v) I vi) B vii) G viii) A ix) E x) C xi) L xii)H 18) Grá…co …nal:

19) 19 sol

22:pdf

20) Ver solucionario Sullivan.

21) a) S(t) =

169

t

6

; b) 139,6263; c) ; 260576.26 cm

2

; 6 seg; d) 260576.26 cm

2

22) a) gof (p) = 215

2p+p5 2

52 = 43p

2

+ 86p 52 determina los ingresos en función de la cantidad q de veces que se repite la pubicidad el dia anterior; b)

$5108; c) 18.

23) a) f (x) = 50 +

3x+6150

=

501

x +

125125

; b) 52 róbalos c) 129 róbalos y 3948 cm

3

de plankton. d) 9750 gobios 3248 cm

3

de plankton.

24) i) No es inyectiva (por ejemplo -1 y 5 tienen la misma imagen f ( 1) =

f (5) = 2); Es sobre porque CI = C. de llegada; no es biyectiva porque no es

inyectiva.

(9)

f (5) = 2); No es sobre porque CI = [ 1; 4) mientras que el C. de llegada es [ 1; 4] (el 4 no tiene preimagen); no es biyectiva porque no es inyectiva ni sobre.

iii) Es inyectiva (restringiendo el dominio, el grá…co resultante es una recta);

No es sobre porque CI = [ 1; 4) mientras que el C. de llegada es R; no es biyectiva porque no es sobre.

iv) No es inyectiva. Es sobre. No es biyectiva v) Es inyectiva y sobre, por lo tanto es biyectiva.

vi) Es inyectiva, no es sobre, no es biyectiva vii) Es inyectiva y sobre, por lo tanto es biyectiva.

25)

inyectiva sobreyectiva biyectiva

i si no no

ii si si si

iii no si no

iv no no no

26) i) a) La función h es inyectiva, no es sobreyectiva porque los números impares no tienen preimagen (el conjunto de llegada es N y el conjunto de imágenes son los naturales pares). No es biyectiva porque no es sobre.

26

23:pdf

b) No admite inversa porque no es biyectiva. Se podría rede…nir h : N ! fx 2 N=x es parg = h(x) = 2x

27)

(10)

b) f : [ 1; 1) ! [ 3; 1) =f(x) = x

2

+ 2x 2 ó bien f : ( 1; 1] ! [ 3; 1) =f(x) = x

2

+ 2x 2:

d) f : (0; 1) ! (0; 1) =f(x) =

x12

ó bien f : ( 1; 0) ! (0; 1) =f(x) =

x12

28) al 32) ver solucionario Sullivan.

33) i) f es impar; f es decreciente en ( 1; 1] y en [1; 1) y es creciente en [ 1; 0] y en [0; 1] ; Ceros(f ) = f 1; 1g :

ii) g no es par ni impar; g es creciente en [ 1; 2] y es constante en ( 1; 1]

y en [2; 1); Ceros(g) = f0g

iii) h es par; h es decreciente en ( 1; 2] y en [0; 2) y es creciente en [ 2; 0]

y en [2; 1); Ceros(h) = f 4; 4; 0g

34) i) r tiene período 8; Su valor máximo es -1 y se alcanza en todos los pun- tos del siguiente conjunto: fx 2 R=x = 6 + k:8 para algún k 2 Zg ; Ceros(r) =

?; r asigna el valor r(4) = 3 a todos los puntos del siguiente conjunto:

fx 2 R=x = 4 + k:8 para algún k 2 Zg[fx 2 R=x = k:8 para algún k 2 Zg ; r(27) = r(3) = 4 y r( 508) = r(4) = 3; r es creciente en todos los intevalos de la forma [2 + k:8 ; 6 + k:8] para algún k 2 Z y r es decreciente en todos los inte- valos de la forma [6 + k:8 ; 10 + k:8] para algún k 2 Z.

ii) s tiene período 12; Su valor máximo es 4 y se alcanza en todos los puntos del siguiente conjunto: fx 2 R=x = k:12 para algún k 2 Zg ; Ceros(s) = fx 2 R=x = 3 + k:12 para algún k 2 Zg[fx 2 R=x = 9 + k:12 para algún k 2 Zg ; s(27) = r(3) = 0 y s( 508) = s(8) = 1:5; s es creciente en todos los intevalos de la forma [ 6 + k:12 ; k:12] para algún k 2 Z y s es decreciente en todos los intevalos de la forma [k:12 ; 6 + k:12] para algún k 2 Z.

35) a) Hay muchas funciones que cumplen las condiciones pedidas, la que

gra…camos a continuación es sólo un ejemplo.(en cada período la grá…ca de la

función se va hacia el in…nito acercándose a una recta vertical pero sin llegar a

tocarla)

(11)

25:pdf

Figure

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Referencias

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