Funciones Lipschitz continuas
Objetivos. Estudiar el concepto de funciones Lipschitz continuas continuas. Estas fun- ciones forman una subclase simple e importante de funciones uniformemente continuas.
Aplicaciones. Funciones uniformemente continuas, funciones contractivas, teorema de Picard.
Prerrequisitos. Funciones uniformemente continuas, el m´odulo de continuidad de una funci´on.
En este tema suponemos que (X, dX) y (Y, dY) son espacios m´etricos. Casi todos los conceptos se extienden al caso si (X, dX) y (Y, dY) son espacios pseudom´etricos.
1 Definici´on (funci´on Lipschitz continua). Sea f : X → Y . Se dice que la funci´on f es Lipschitz continua, si existe un coeficiente γ ≥ 0 tal que para cualesquiera a, b en X se cumple que
dY(f (a), f (b)) ≤ γdX(a, b).
En esta situaci´on se dice tambi´en que f es Lipschitz continua con coeficiente γ. Denotemos por Lip(X, Y ) al conjunto de todas las funciones Lipschitz continuas de X a Y .
2 Ejercicio (criterio de funci´on Lipschitz continua en t´erminos del m´odulo de continui- dad). Sea f : X → Y , y sea γ ≥ 0. Demuestre que f es Lipschitz continua con coeficiente γ si, y s´olo si, para cada δ > 0 se cumple la desigualdad
ωf(δ) ≤ γδ.
3 Ejercicio. Demuestre que Lip(X, Y ) ⊆ Cu(X, Y ).
4 Proposici´on. Sea X un intervalo de R y sea f : X → Y una funci´on continua en X y derivable en int(X). Pongamos
γ := sup
x∈int(X)
|f0(x)|.
Notemos que γ es un elemento de [0, +∞].
1. Para cada δ > 0 se cumple la desigualdad ωf(δ) ≤ γδ.
2. l´ım
δ→0
ωf(δ) δ = γ.
Funciones Lipschitz continuas, p´agina 1 de 2
3. f es Lipschitz continua si, y s´olo si, γ < +∞.
Idea de demostraci´on. El inciso 1 se sigue del teorema del valor medio. Si 0 ≤ β < γ y δ1 > 0, entonces existe un x en int(X) tal que |f0(x)| > β. Luego existe δ2 > 0 tal que δ2 < δ1, (x − δ2, x + δ2) ∈ int(X), y para cada y en X con 0 < |x − y| ≤ δ2 se cumple que
|f (y) − f (x)| ≥ β|y − x|. Luego para cada δ en (0, δ2) obtenemos ωf(δ)/δ ≥ β. Junto con el inciso 1 esto implica el inciso 2. El inciso 3 sale de los incisos 1 y 2.
5 Ejercicio. Demostrar bien la Proposici´on4.
6 Ejercicio. Sea f : [−5, 5] → R la funci´on definida mediante la regla f (x) = x2. Calcule ωf y determine si f es uniformemente continua.
7 Ejercicio. Sea f : R → R la funci´on definida mediante la regla f (x) = x2. Calcule ωf y determine si f es uniformemente continua.
8 Ejercicio. Sea f : (0, +∞) → R la funci´on definida mediante la regla f (x) = 1/x.
Calcule ωf y determine si f es uniformemente continua.
9 Proposici´on (las funciones uniformemente continuas convierten sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy). Sea f ∈ Cu(X, Y ) y sea (xn)n∈N una sucesi´on de Cauchy en X. Entonces (f (xn))n∈N es una sucesi´on de Cauchy en Y .
10 Tarea. Determine si es cierta la afirmaci´on rec´ıproca a la Proposici´on 9. En otras palabras, supongamos que para cualquier sucesi´on de Cauchy (xn)n∈N en X, la sucesi´on (f (xn))n∈N es Cauchy en Y . Determine si la funci´on f debe ser uniformemente continua.
Funciones Lipschitz continuas, p´agina 2 de 2
