Ya hemos mencionado varias veces en actividades anteriores que las funciones derivables tienen una propiedad respecto a cómo se calcula el límite.
Teorema 7.1.1 Dada f una función definida en un intervalo abierto(c,d), tal quea ∈ (c,d). Si f es derivable enx=a =⇒ l´ım x→a f(x)= f(a). x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 Figura I x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 Figura II x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 Figura III x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 Figura IV
Figura7.1:Gráficas de funciones no deri-vables enx=5.
Actividad 7.1
a) ¿Qué dice laderivada(si existe) de una función enx=asobre lafunciónen ese x=a?
b) Sabemos que las funciones representadas en las gráficas de la Figura7.1no son derivables enx=5. Completar la Tabla7.1con los valores de las pendientes de las rectas secantes a cada gráfica en los puntos que se indican. Estimen los valores a partir de las gráficas.
Pendiente de la recta secante a través de los puntos(4.9,f(4.9))y(5,f(5))
Pendiente de la recta secante a través de los puntos(5,f(5))y(5.1,f(5.1)) Figura I
Figura II Figura III Figura IV
Tabla7.1:Pendientes de las rectas secantes.
c) Dibujen las rectas secantes correspondientes de la Tabla7.1.
d) ¿Qué pasa si tomamos valores dexmás cercanos, por derecha y por izquierda, a 5? Describan, en palabras, por qué se dice que laderivada no existeen cada caso.
e) Las respuesta al inciso d), ¿son consistentes con las definiciones de funciones derivables y no derivables enx=5?
Definición 7.1.1 — Función derivable. Considerando que un límite existe siempre y cuando los límites laterales existan y sean iguales, la derivada de f enx=aes
f0(a)= l´ım x→a+ f(x) − f(a) x−a =xl´ım→a− f(x) − f(a) x−a en el caso que los límites existan y sean iguales.
Si f0(a)existe, se dice que f es derivableena. Por el contrario, si f0(a)no existe, se dice que f no es derivableena.
f) ¿Verdadero o Falso? Según la definición anterior, si la gráfica de una función tiene una recta tangente enaque es vertical, entonces f0(a)no existe. Discutan con sus compañeros y docentes; redondéen la respuesta y expliquen el razonamiento.
Actividad 7.2 Según la gráfica de la Figura7.2respondan:
a) ¿Existe el valor f(5)?
b) Redondéen la fórmula que permitiría calcular la derivada f0(5)
l´ım x→5
f(x) − f(5)
x−5 xl´ım→5 f(x)
c) Decidan si existe f0(5)y expliquen el razonamiento.
d) Un compañero del grupo dice que tiene las siguientes evidencias para afirmar que f0(5)existe.
• l´ım
x→5− f(x)=xl´ım→ 5+
f(x)=un número real.
• Todas las rectas tangente antes dex=5 y después dex=5 tienen la misma pendiente.
Marquen cuál o cuáles de los ítem anteriores es verdadero o cuáles falso.
x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7
Figura7.2:Gráfica donde falta el punto con abscisax=5.
Actividad 7.3 Según la gráfica de la Figura7.3respondan:
a) ¿Cuál es el valor de f(5)?
b) Marquen un puntoQsobre la gráfica de la función que esté cerca dePpero que no seaP.
c) Dibujen la recta secante que pasa a través de los puntosPyQ.
d) ¿Qué pasa con la pendiente de las rectas secantes si acercamos el puntoQcada vez más haciaP?
e) Según el incisod), ¿la función es derivable enx=5?
x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 P
Figura7.3: Gráfica donde el punto con abscisax=5 está desubidado.
Las siguientes afirmaciones son ciertas.
a) El valor f(a)aparece en la definición dederivada
f0(a)= l´ım x→a
f(x) −f(a) x−a
por lo tanto si f(a)no existe entonces f0(a)tampoco. El cociente incrementalnopuede escribirse, así que no tiene sentido hablar de derivada en valores deaque no están en el dominio de la función.
b) f0(a)no existe si la recta tangente a la gráfica de f enx=aes vertical. c) f0(a)no existe si l´ım
x→a f(x), f(a). d) f0(a)no existe si el l´ım
x→a f(x)no existe.
e) f0(a)no existe si las derivadas laterales son distintas
l´ım x→a+ f(x) − f(a) x−a ,xl´ım→a− f(x) − f(a) x−a
Actividad 7.4 Indiquen, en cada uno de los gráficos de la Figura7.4, todos los valores dex sobre el ejexen los que la funciónno es derivable.
x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 Figura A Figura B x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 Figura C Figura D x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 Figura E Figura F
7.2
Funciones continuas en un valor de
x
=
a
y en un intervalo
Identificaron en la Actividad7.4, los valores dexen los que una funciónno es derivable.
• En la FiguraEno debe haber ningún valor dexmarcado. La función es derivable en todos los valores dex.
• En las FigurasA,B,CyDse trata de funciones en los que la gráficase cortaen algún valor dex. En la FiguraAla gráfica consta de dos tramos completamente separados; que no se pueden unir enx=4. En la FiguraC, la gráfica presenta unsaltohacia abajo de 1 unidad enx=6. En las FigurasByDla gráfica presenta unagujero; este agujero es independiente del punto(1,1)de la FiguraD.
• La FiguraFen cambio, es similar a la FiguraEporque la gráfica se presenta de manera continua, sinsaltos,ni agujeros.
Actividad 7.5 Las funciones graficadas en la Figura7.5tienen las características de: a) f(x)no está definida enx=a. b) f(x)=g(x)siempre quex,a. c) l´ım x→cg(x)=g(c)para todoc. x y a f(x) x y a g(x)
Figura7.5:Gráficas de las funciones f yg.
Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas explicando su razonamiento. a) l´ım
x→cf(x)= f(c) para todoc b) l´ımx→cf(x)=g(c) para todoc c) l´ım
x→a f(x) no existe enx=a.
Actividad 7.6 Acorde a las gráficas de la Figura7.6.
a) ¿Cuál es el valor correcto para f(a)en la Gráfica IV: ¿z1oz2? Marquen la respuesta correcta y expliquen su razonamiento.
b) Las Gráficas I, II y III tienen un trazo continuo sin cortes ni agujeros. ¿Están de acuerdo?
c) Las Gráficas IV, V, VI, VII, VIII y IX son discontinuas en uno o más valores del intervalo. Marquen cada valor de discontinuidad agregando una marca y una letraa en el ejexcomo se muestra en el gráfico IV. Si hay múltiples puntos de discontinuidad, márquenlos comoa1,a2, etc.
d) Basados en la información de la Figura7.6, den unadefinición de función continua (en un intervalo).
e) Unaprueba de continuidaden un intervalo es imaginarse una hormiga infinitamente pequeña caminando a lo largo de la gráfica de una función. Si la hormiga puede viajar a lo largo de la curva sin interrupción (por ejemplo, sin caer en ningún agujero como el del gráfico VII, la función es continua en ese intervalo. ¿La definición que dieron en el incisod)resulta consistente con esta prueba? Expliquen.
x y x y x y
Gráfica I Gráfica II Gráfica III
x y z1 z2 a x y x y
Gráfica IV Gráfica V Gráfica VI
x y x y x y
Gráfica VII Gráfica VIII Gráfica IX
Figura7.6:Gráficas de la Actividad7.6.
Actividad 7.7 Usando nuevamente la Figura7.6.
a) Indiquen en cada gráfico todos los valores deasobre el ejexen donde
l´ım
x→a+ f(x),xl´ım→a− f(x). b) Verdadero o Falso: Si l´ım
x→a+ f(x),xl´ım→a− f(x)entonces f es discontinua ena.
Actividad 7.8 Recordemos que∞no es un número real, luego si l´ım
x→a f(x)=∞entonces ese límite no existe.
a) ¿Qué gráfico de la Figura7.6tiene un valoradonde l´ım
x→a+ f(x)=xl´ım→a− f(x)=∞? b) ¿Corresponde a la gráfica de una función continua ena? Expliquen su razonamiento.
Actividad 7.9
a) Verdadero o Falso: Si l´ım
x→a+ f(x)= xl´ım→a− f(x) = [un número real]entonces f es continua enx=a.
Si es Falso, den un ejemplo de la Figura7.6que muestre que esta afirmación es falsa, y expliquen su razonamiento.
b) Hay dos gráficos en la Figura7.6en los que la afirmación del punto anterior es falsa. ¿Cuáles son?
c) Para cada uno de esos dos gráficos, escriban lo que conocen del valor de f(a). d) Cada uno de estos dos gráficos tiene un “problema” enx=aque hace que la función
sea discontinua ena. Describan en que difieren esos dos problemas.
e) Cada uno de los gráficos VII y VIII tiene un punto de discontinuidad que se dice removibleoevitable. En cierta forma, cada una de esas funciones es discontinua en aporque f(a)no es el valor queesperamosbasados en los valores de la función cerca dea.
Para lograr que el gráfico sea continuo enase necesita que f(a)=
b
Õ
a
.
Pista para el incisoe):
Se debe elegir alguna de las siguien-tes opciones
a f(a) x l´ım
x→af(x) f(x)
Definición 7.2.1 — Continuidad en un valor dexy en un intervalo.
Una función f es continua enx=asi l´ım
x→a f(x)= f(a).
(el límite de la función se puede calcular evaluando la función)
Una función f es continua en unintervalo(c,d), si es continua en todo punto de ese intervalo.
Si ese intervalo es cerrado[c,d], entonces también debe cumplirse que: • en c, el borde de la izquierda, l´ım x→c+ f(x) = f(c), es decir, f(x) es continua a derechaenx=c. • en d, el borde de la derecha, l´ım x→d− f(x) = f(d), es decir, f(x) es continua a izquierdaenx=d.
Actividad 7.10 En grupo, piensen en un ejemplo de la vida cotidiana de un proceso que pueda ser descripto mediante una función continua, y uno que puede describirse por una función que contiene una o más discontinuidades. Propongan un gráfico para cada una de estas funciones.
7.2.1 Identificando discontinuidades a partir de una ecuación
Consideren las siguientes funciones con sus correspondientes dominios naturales.
i) f(x)=12x ii) f(x)= x parax≤1 −x+2 para 1<x≤3 2x−7 parax>3 iii) f(x)=12x3−x−1 iv) f(x)= 1 2x 2− 2 parax≤6 −x2+ 12x−33 parax>6 v) f(x)= 1 x vi) f(x)= −3 parax<1 2 para 1≤x<2 3 parax≥2 vii) f(x)= 1 2x 2− 4x+8 parax,6 4 parax=6 viii) f(x)= x2− 4 x−2 ix) f(x)= 1 (x−2)2
Todas estas funciones son las mis-mas funciones que aparecieron graficadas en la Figura7.6. Esta información puede ser útil para controlar las respuestas a las pre-guntas en esta Sección.
Actividad 7.11 Considerando las funciones anteriores,
a) ¿Para qué valores dexla función V tiene una discontinuidad? Expliquen el razona-miento.
b) ¿Para qué valores de x la función VIII tiene una discontinuidad? Expliquen el razonamiento.
c) Para la función VI definida por partes se tiene
• f(1)= • l´ım x→1+ f(x)= • l´ım x→1− f(x)= • f(2)= • l´ım x→2+ f(x)= • l´ım x→2− f(x)= ¿Es f continua en su dominio? Usen los incisos previos para justificar su respuesta.
d) En la pregunta previa, analizamos la continuidad de la función VI enx=1 yx=2. A) ¿En qué dos valores dexdebería chequearse la continuidad la función II? B) ¿Es la función dada en II continua? Muestren su trabajo.
C) ¿En qué valor o valores dexdebería chequearse la continuidad la función IV? D) ¿Es la función dada en IV continua? Muestren su trabajo.
e) Usen lo realizado previamente para clasificar a las funciones de los gráficos I, III, VII, y IX como continuas o discontinuas (y anoten los valores dexen los que f tiene una discontinuidad)
Actividad 7.12 Clasifiquen las funciones desde la IV a la IX en las categorias de la Tabla7.2.
Descripción de la gráfica: Deben describir la característica que presenta la gráfica de la función según la discontinuidad. Hacer un bosquejo de ejemplo.
Descripción analítica: Deben describir analíticamente el comportamiento en el punto de discontinuidad.
Tipo de Número de la función. Descripción Descripción
discontinuidad Ejemplo: IV, V, etc. de la gráfica analítica
Salto
Infinito
Agujero
Tabla7.2:Clasificación de las discontinuidades.
Las funciones VII y VIII deben estar ubicadas en la fila donde se señala que el tipo de discontinuidad es un agujero. Sirellenamosel agujero de la maneradeseadaoesperable según el valor del límite de la función obtendremos una nueva función que es continua. Por ejemplo, la función VII puede debe serredefinidaenx=6 de tal manera que el valor de la función coincida con el valor del límite.
f(x)= 1 2x 2− 4x+8 parax,6 4 parax=6 =⇒ f˜(x)= 1 2x 2− 4x+8 parax,6 2 parax=6
7.3
Algunas propiedades de las funciones continuas
Si dos funciones f ygson continuas enx=a, entonces las siguientes funciones también son continuas enx=a:
f ±g c.f (cuna constante) f.g f
g (sig(a),0)
O sea, la suma, resta y el producto de dos funciones continuas (con el caso particular de las funciones constantes) enx =a es también una función continua enx=a. El cociente también será continuo enx=asiempre y cuando el denominador no se anule enx=a. Las demostraciones de estas afirmaciones son consecuencia de las propiedades algebraicas que poseen los límites según lo que se detalló en la Sección4.4.2del Módulo4.
Teorema 7.3.1— Composición de funciones continuas. Siges una función continua enay f es una función continua eng(a)entonces f ◦ges una función continua ena.
C Según la Propiedad4.4.5del Módulo4toda función polinómica o racional es continua en los valores deaque estén en su dominio. O sea, siempre sucederá que
l´ım
x→af(x)= f(a)
para todos los valores deaque pertenezcan alDom(f).
También son continuas, en todos los valores del dominio, las funciones racionales compuestas con funciones raíces de cualquier índice según lo enunciado en el Módulo4 en la Propiedad4.4.3.
Ejemplo 7.1 Podemos calcular el límite
l´ım x→4 x3− 8+ √ x−2 x2−4
simplemente por evaluación porque x = 4 pertence al dominio de la función x3−
8+ √
x−2
x2−4 (la raíz y el cociente están bien definidos) y esa misma función es continua en todo su dominio según lo enunciado en el comentario anterior.
l´ım x→4 x3−8+√x−2 x2−4 = 43−8+ √ 4−2 42−4 = 56− √ 2 12 . Pero no podemos calcular de igual manera el límite
l´ım x→2 x3−8+√x−2 x2−4 porque la función x 3− 8+ √ x−2
x2−4 no está definida enx=2 (se anula el denominador). Para calcular este límite deberemos hacer otra cosa.
Ejemplo 7.2 El valorx=6 pertence al dominio de la función VII con la que trabajamos previamente. f(x)= 1 2x 2− 4x+8 parax,6 4 parax=6
Sin embargo, sabemos que la función VII no es continua enx=6 por lo tanto el límite parax→6 no puede calcularse por evaluación. De hecho,
f(6)=4 es diferente a l´ım x→6
f(x)=2
Actividad 7.14 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?
a) f(x)= x 2+ 6x+9 x+3 b) g(x)=√2x+3 c) h(x)= p 2−x2
Teorema 7.3.2— Relación entre la derivada enx=ay la continuidad enx=ade una función. Dadaf una función definida en un intervalo abierto(c,d), tal quea∈ (c,d).
Si f es derivable enx=a =⇒ f es continua enx=a.
Ya hemos mencionado varias veces el teorema anterior. En esta oportunidad lo escribimos en términos de las nuevas definiciones de funciones continuas.
Actividad 7.15 Indiquen cualesdosde las siguientes afirmaciones son verdaderas. Las tres restantes son falsas, propongan el gráfico de una función que muestre que son falsas.
a) Si l´ım
x→a f(x)= f(a)entonces f es continua enx=a. b) Si f no es continua enx=aentonces f(a), l´ım
x→a f(x). c) Si f no es continua enx=aentonces f(a)no está definida. d) Si f no es continua enx=aentonces l´ım
x→a f(x)no existe. e) Si f no es continua enx=aentonces f(a)no está definida o l´ım
x→a f(x)no existe.
Actividad 7.16 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Para cada afirmación falsa, propongan el gráfico de una función que muestre que son falsas.
a) Si f es continua en un intervalo entonces f es derivable en ese intervalo. b) Si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en ese intervalo. c) Si f es discontinua enx=aentonces f0(a)no existe.
Cuando decimos que una función es continua en un intervalo y lo ejemplificamos con la frase “es que se puede dibujar la gráfica de la función desde el comienzo hasta el final sin levantar la punta del lápiz” estamos utilizando una versión verbal delTeorema del Valor Intermedioque enunciamos a continuación:
Teorema 7.3.3— Teorema del Valor Intermedio. Dada una función f continua en un intervalo cerrado de la forma[c,d]. DadoAun valor cualquiera entre f(c)y f(d). Entonces existe al menos un valor dex∈ [c,d]tal queA= f(x).
Cuando decimos “Aentre f(c)y f(d)” estamos contemplando las dos situaciones posibles
f(c)≤A≤ f(d) o f(c)≥A≥ f(d) x y c d f(c) f(d) A x x y c d f(c) f(d) A x1 x2 x3 Figura7.7:Esquema para el Teorema del Valor Intermedio.
La demostración de este teorema requiere un trabajo cuidadoso con la definición de números reales y está íntimamente ligada con la propiedad de los números reales de completar la recta real sin que queden huecos. No haremos la demostración y aceptaremos su validez.
En la Figura7.7se presentan dos representaciones posibles de una función continua en el intervalo[c,d]. Su gráfica “debe atravesar” la recta horizontaly=A. ElTeorema del Valor Intermediose comprueba “visualmente” de una manera muy sencilla. Pero su demostración formal, desde el punto de vista de la disciplina matemática, es más sofisticada.
Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio es la determinación de cerosde funciones continuas.
Los ceros de una función son aquellos valores dex(en el do-minio) para los cuales f(x)=0. Teorema 7.3.4 Dada una función f continua en un intervalo cerrado de la forma[c,d]tal que
f(c)y f(d)tienen signo distinto. Entonces f tiene al menosun ceroen el intervalo[c,d].
Ejemplo 7.3 Podemos afirmar que la función f(x)=x4+x−3 tiene un cero en el intervalo [0,2] porque es una función continua (es una función polinómica), f(0) = −3 y
f(2)=15 (tienen signo distinto).
Debe existirx ∈ [0,2]tal quex4+x−3=0. No sabemos exactamente cuál es ese valor; pero sí sabemos que existe el cero.
Actividad 7.17 ¿Conocen algún procedimiento o se les ocurre algún procedimiento que permita determinar, de manera aproximada, cuál es el valor del cero de f(x)=x4+x−3 en el intervalo[0,2]? Estudien la situación del Ejemplo7.3y discutan en el grupo cómo correspondería hacer para calcular, de manera aproximada, el valor del cero que se está buscando.
Otra consecuencia delTeorema del Valor Intermedioes la determinación de los intervalos de positividad y negatividad de una función continua.
Teorema 7.3.5 Dada una función f continua en un intervaloIde cualquier forma (puede ser abierto, cerrado, semi cerrado, que llegue hasta+∞, etc.) tal que f no tiene ceros en el intervalo, entonces f(x)tendrá siempre el mismo signo en el intervalo: f(x)>0 en todoI; o f(x)<0 en todoI.
Si elegimos un valorde pruebaa∈I, evaluamos f(a)y con ese dato podemos determinar el signo de f(x)para todo el resto de los valores dex∈I.
Ejemplo 7.4 Si consideramos la función f(x)=(x−3)(x−1)2(2x+1)3podemos afirmar que losúnicos cerosde f sonx1 =−12,x2=1 yx3 =3. Además, f es una función continua en todoR.
Concluímos, en primer lugar que f no tiene ceros en los intervalos(−∞,−12),(−12,1), (1,3)y(3,+∞). O sea, los ceros de f subdividen a la recta real en intervalos donde, por el Teorema7.3.5, la función debe mantener su signo.
Actividad 7.18 Siguiendo el desarrollo del Ejemplo7.4completen la Tabla7.3.
Intervalo Valor de pruebaa Signo de f(a) Signo de f(x)en todoxel intervalo
Tabla7.3:Intervalos de positividad y negatividad de la funciónf(x)=(x−1)(x−3)2(2x+ 1)3.
Si todo salió bien en la Actividad7.18los intervalos de positividad y negatividad de la función f(x)=(x−1)(x−3)2(2x+1)3deberían haber quedado de la siguiente manera:
−1/2 1 3
+ + + + + + − − − − − + + + + + + + + +
Actividad 7.19 Justifiquen por qué puede afirmarse que las siguientes funciones tienen al menos un cero en el intervalo indicado.
a) f(x)=2x3+x2+2 en el intervalo[−2,−1] b) g(x)= 5x−5−5x 3+x4 √ 40−x2 en el intervalo[−4,2].
Actividad 7.20 Determinen los intervalos de positividad y negatividad de la función f(x)=x(x+4)3(x−1)2(x2−4x)(x2+2)
Presenten la respuesta dibujando la recta real y los intervalos de positividad y negatividad encontrados.
El último resultado teórico referido a funciones continuas es elTeorema de Weierstrass. En general, dependerá de cada función, sus características y del dominio en el que esté definida, para poder afirmar que la función alcanza o no alcanza unvalor máximoy unvalor mínimo. Sin embargo, este resultado teórico nos permite anticipar que las funciones continuas definidas en intervalos cerrados de la forma[c,d]siempre alcanzarán un valor máximo y un valor mínimo absoluto.
También aceptaremos la validez de este Teorema sin demostrarlo. Teorema 7.3.6— Teorema de máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass. Una
función f continua en un intervalo cerrado [c,d]alcanzará un valor máximo absoluto en algún valor xM ∈ [c,d] y también alcanzará un valor mínimo absoluto en algún valorxm∈ [c,d].
Por definición de máximos y mínimos absolutos en[c,d]se tiene que f(xm) ≤ f(x) ≤ f(xM) para todox∈ [c,d] Ejemplo 7.5 La función f(x)= x parax∈ [0,1) 0 parax=1 no es continua en el intervalo[0,1]. Ver la Figura7.8. Podemos afirmar que alcanza el valor mínimo absoluto 0 enxm1=0 y también enxm2 =1; pero no alcanza un valor máximo absoluto en el intervalo.
x y
0 1
1
y= f(x)
Figura7.8:Gráfica de la función f.
x y
0 1
1 y=g(x)
Figura7.9:Gráfica de la funcióng. Ejemplo 7.6 La funcióng(x) = 1
x definida para x ≥ 1 es continua en todo el intervalo [1,∞)pero el intervalo no tiene borde derecho.
Podemos afirmar que alcanza el valor máximo absoluto 1 enxM =1 pero no alcanza un valor mínimo absoluto en el intervalo. Ver Figura7.9.
Ejemplo 7.7 La función f(x)=x7−3x4+x3−9 es una función continua porque es una función polinómica. Por lo tanto, sobre la base del Teorema7.3.6, podemos afirmar que alcanzará un valor máximo y un valor mínimo en cualquier intervalo de la forma [c,d]. Aunque no sabemos exáctamente cuáles serán esos valores
El Teorema7.3.6garantiza laexistenciade valores máximos y mínimos en una función continua definida en un intervalo cerrado de la forma[c,d]. Sin embargo, no nos dicecuáles son esos valores máximos y mínimos, y ni siquieradóndese alcanzan.
Pero, en el Módulo5, detallamos las características que deben cumplirse en xpara que la función alcance valores máximos o mínimos relativos. ¿Se acuerdan?
Los valores máximos o mínimos absolutos (que también son relativos) de funciones continuas en intervalos cerrados de la forma[c,d]se alcanzarán en losxtales que:
• xsea uno de los bordes del intervalo:x=cox=d. • xsea un valor crítico de la función dentro del intervalo:
I xsea un valor estacionario dentro del intervalo: existe f0(x)y además f0(x)=0.
I f0(x)no existe (la función no es derivable enx).
La lista completa de valoresxque cumplan alguna de las condiciones anteriores nos determina lalista de candidatospara que la función tome allí sus valores máximos y mínimos absolutos. Nuestra capacidad de encontrar los valores máximos o mínimos abolutos estará determinada por la capacidad que tengamos de confeccionar estalista de candidatos.
