1. Necesidad de cambiar de punto de vista

(1)

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Comisión de Pedagog´ıa - Diego Chamorro, Eduardo Pozo, Paúl Ubillús Introducción a la Teor´ıa de Distribuciones (Nivel 3).

Lecci´on n^◦3: Definici´on y primeras propiedades de las distribuciones EPN, agosto 2019

´ Indice

1. Necesidad de cambiar de punto de vista 1

2. Definici´on de distribuci´on 2

2.1. Ejemplos de distribuciones . . . 2

2.2. L´ımite de sucesiones . . . 5

3. Operaciones sobre las distribuciones 7 3.1. Derivaci´on . . . 7

3.2. Multiplicaci´on por una funci´on C^∞ . . . 8

3.3. Producto de distribuciones . . . 10

3.4. Traslaci´on y dilataci´on . . . 10

4. F´ormula de los saltos 10 5. Soporte y convoluci´on de distribuciones 12 5.1. Soporte de distribuciones . . . 12

5.2. Regularizaci´on . . . 13

5.3. Convoluci´on D⁰∗ E⁰ . . . 14

1. Necesidad de cambiar de punto de vista

Pregunta: ¿Cu´al es el objetivo de la teor´ıa de distribuciones?

Respuesta: generalizar el concepto de función para que se puedan realizar en un marco teórico coherente algunas operaciones (la derivación en particular).

Es muy sencillo exhibir funciones que no son derivables en el sentido usual, pero es un poco más delicado generalizar la noción de derivabilidad de manera que las reglas cálculo sean fáciles de usar y sobre todo permitan resolver una gran cantidad de problemas matemáticos, usualmente directamente inspirados por problemas f´ısicos de primera necesidad.

Para llevar a cabo esta generalización, será necesario cambiar de punto de vista. En efecto, todos los espacios de funciones de la primera lección (es decir los espacios C_a⁰, C_a^k, C_c^∞, etc.) están constituidos por funciones que pueden definirse sin ambigüedad puesto que se trabaja puntualmente: para todo x ∈ Rⁿ existe un y ∈ R tal que se tenga f (x) = y y es por lo tanto muy sencillo determinar cuando dos funciones son distintas la una de la otra.

Sin embargo, cuando nos interesamos en problemas de integrabilidad (en el sentido de los espacios de Lebesgue L^p) ya no es posible ver las funciones desde ese punto de vista: dos funciones pueden ser muy diferentes puntualmente, pero poseer la misma información. Una forma de levantar esta ambigüedad consiste en trabajar con clases de funciones, es decir que permitimos que las funciones puedan ser (muy) diferentes pero únicamente sobre un conjunto de medida nula. Recordemos además que toda función f ∈ L^p con 1 < p < +∞ puede verse como un representante de una clase de funciones, pero también como una forma lineal definida sobre el espacio L^qen donde

1

p +¹_q = 1.

(2)

La teor´ıa de distribuciones se basa en éste último punto de vista: vamos entonces a considerar los diferentes objetos conocidos hasta ahora como formas lineales y vamos a establecer reglas de cálculo que permitirán generalizar el concepto de derivación.

2. Definici´ on de distribuci´ on

Definición 1 (Distribución) Diremos que una forma lineal real T definida sobre el espacio C_c^∞(Rⁿ, R) es una distribución si se tiene la condición de continuidad siguiente:

Para todo compacto K de Rⁿ, existen C_K > 0 y p_K ∈ N tales que para toda funci´on test ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R) con sop(ϕ) ⊂ K se tiene

| hT, ϕi | ≤ C_K m´ax

|α|≤pK

sup

x∈K

|D^αϕ(x)|. (1)

Observemos que por definici´on, una distribuci´on es una forma lineal, es decir que se tiene T : C_c^∞(Rⁿ, R) −→ R

ϕ 7−→ T (ϕ),

y una forma de representar el real T (ϕ) consiste en escribir el corchete de dualidad hT, ϕi. En particular, dado que una distribuci´on es una forma lineal se tiene para todo escalar λ ∈ R y para todo ϕ, ψ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R), la identidad

hT, ϕ + λψi = hT, ϕi + λhT, ψi.

Si bien estamos considerando formas lineales, no deseamos considerar todas las formas lineales posibles, sino úni- camente las que verifican cierta forma de continuidad y esta condición se expresa por medio de la estimación (1).

Definici´on 2 (Espacio de distribuciones y orden de una distribuci´on) Notaremos al espacio de distribuciones como D⁰(Rⁿ, R).

Además si en la condición (1), el valor de p_k puede ser tomado de manera independiente de K, es decir, que existe un p ∈ N tal que pk ≤ p para todo K compacto de Rⁿ, entonces diremos que la distribución T es de orden finito.

El menor valor posible de p es llamado orden de la distribuci´on T .

Observación 1 Como hab´ıamos indicado en la primera lección, las notaciones C_c^∞ y D coinciden. Dado que las distribuciones son elementos del dual topológico de este espacio, es por lo tanto natural denotar por D⁰ al espacio de formas lineales continuas, es decir al conjunto de las distribuciones.

2.1. Ejemplos de distribuciones

1. A toda funci´on ψ ∈ C_a⁰(Rⁿ, R) podemos asociarle una forma lineal Tψ definida sobre C_c^∞(Rⁿ, R) por hT_ψ, ϕi = Tψ(ϕ) =

Z

Rⁿ

ψ(x)ϕ(x) dx. (2)

La linealidad de Tψ es inmediata y se tiene que Tψ cumple sin problema la condici´on de continuidad (1). En efecto podemos escribir, si K es un compacto tal que sop(ϕ) ⊂ K :

| hT_ψ, ϕi | ≤ kψk∞CKsup

x∈K

|ϕ(x)| < +∞,

en donde C_K es la medida de Lebesgue del compacto K. Dado que no interviene ninguna derivaci´on de las funciones de test ϕ, obtenemos entonces que T_ψ es una distribuci´on de orden 0.

Como sabemos por la Lección n°1, tenemos las inclusiones de conjuntos Cc^∞(Rⁿ, R) ⊂ Ca^k(Rⁿ, R) ⊂ Ca⁰(Rⁿ, R) y por lo tanto a cada función de estos espacios es posible asociar una distribución de orden 0 por medio de la expresión (2).

(3)

2. Sea 1 ≤ p ≤ +∞ un real. A toda funci´on medible f ∈ L^p(Rⁿ, R) es posible asociarle una forma lineal Tf por medio de la expresi´on

hT_f, ϕi = T_f(ϕ) = Z

Rⁿ

f (x)ϕ(x) dx. (3)

Al igual que (2), la linealidad es inmediata. La continuidad est´a dada por las estimaciones siguientes:

|hT_f, ϕi| ≤ Z

Rⁿ

|f (x)||ϕ(x)| dx ≤ kf k_L^pkϕk_L^q ≤ kf k_L^p|sop(ϕ)|^1/qkϕk∞< +∞, en donde ¹_p+ ¹_q = 1 con 1 < p ≤ +∞. El caso p = 1 es totalmente similar y dejado al lector.

De la misma manera que en el ejemplo anterior, podemos ver que a toda funci´on que pertenece a los espacios de Lebesgue L^p con 1 ≤ p ≤ +∞ se le puede asociar una distribuci´on de orden 0.

3. Sea 1 ≤ p ≤ +∞ un real y sea f ∈ L^p_loc(Rⁿ, R) una funci´on localmente p-eme integrable, podemos asociarle una forma lineal T_f sobre el espacio C^∞_c (Rⁿ, R) por medio de la expresi´on

hT_f, ϕi = Z

Rⁿ

f (x)ϕ(x) dx, en efecto, si si 1 < p ≤ +∞ y si sop(ϕ) ⊂ K se tiene

|hT_f, ϕi| ≤ kϕk∞|sop(ϕ)|^1/qkf k_Lp(K) < +∞,

de donde se deduce sin problema que T_f es una distribuci´on de orden 0. El caso p = 1 es totalmente similar y dejado al lector.

Observación 2 Con estos ejemplos vemos cláramente que la noción de distribución permite generalizar todos los espacios de funciones que han sido estudiados en la Lecciones n°1 y n°2.

4. Masa de Dirac. Para toda función ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) definimos la distribución masa de Dirac en cero δ0 por medio de la expresión

hδ₀, ϕi = ϕ(0).

La linealidad de esta forma lineal es inmediata as´ı como la propiedad de continuidad. En efecto, para toda funci´on test ϕ tal que 0 ∈ sop(ϕ), se tiene

|hδ₀, ϕi| ≤ sup

x∈K

|ϕ(x)|.

Es interesante notar que la masa de Dirac δ₀ no es una funci´on, sino una medida de Radon (es decir que es una medida boreliana regular), y vemos por medio de este ejemplo que las distribuciones contienen objetos mucho m´as generales que los usualmente estudiados anteriormente.

La masa de Dirac en un punto a ∈ Rⁿse define de manera similar: para todo ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) hδ_a, ϕi = ϕ(a).

Se observa sin problema que la masa de Dirac es una distribuci´on de orden 0.

5. Valor principal. No todas las distribuciones son de orden 0 y aqu´ı tendremos la oportunidad de ver una distribuci´on de orden 1.

Sea ε > 0 y consideremos f_ε una sucesi´on de funciones sobre R definidas por:

fε(x) =







1

x si |x| ≥ ε, 0 si |x| < ε.

(4)

Tenemos que fε∈ L¹_loc(R, R), pero esta sucesi´on no converge en L¹([−1, 1]) puesto que se tiene

ε→0l´ım Z 1

−1

|f_ε(x)| dx = +∞.

Para dar un sentido al l´ımite cuando ε → 0 procedemos como sigue y consideramos una funci´on ϕ ∈ C_c^∞(R, R) a soporte en [−a, a] y tenemos

Z

R

fε(x)ϕ dx = Z

[−a,a]∩|x|≥ε

fε(x)ϕ dx = Z

ε≤|x|≤a

ϕ(x) x dx =

Z

ε≤|x|≤a

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx,

pues

Z

≤|x|≤a

ϕ(0)

x dx = ϕ(0) Z

≤|x|≤a

1

xdx = 0.

Utilizando el teorema del valor medio sobre [0, x] tenemos

ϕ(x) − ϕ(0) x

≤ sup

y∈[0,x]

|ϕ⁰(y)|,

entonces ^{ϕ(x)−ϕ(0)}_x ∈ L¹([−a, a]) y as´ı podemos escribir

ε→0l´ım Z

R

f_ε(x)ϕ(x) dx = Z

|x|≤a

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx =

Z

|x|≤1

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx +

Z

a≥|x|≥1

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx

= Z

|x|≤1

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx +

Z

|x|≥1

ϕ(x) x dx

pues sop(ϕ) ⊂ [−a, a] y Z

a≥|x|≥1

1

xdx = 0.

La f´ormula l´ım

ε→0

Z

R

f_ε(x)ϕ(x) dx define una distribuci´on, llamada valor principal de ¹_x, la que se nota como vp ¹_x y est´a dada por

vp 1

x

, ϕ

= l´ım

ε→0

Z

|x|≥ε

ϕ(x) x dx =

Z

|x|≤1

ϕ(x) − ϕ(0)

x dx +

Z

|x|≥1

ϕ(x) x dx.

Si ϕ se anula en x = 0 tenemos que

vp 1

x

, ϕ

= Z

R

ϕ(x) x dx.

Se puede probar que vp ¹_x es una distribuci´on de orden 1.

6. Partes finitas. Para α ∈] − 2, −1[ la funci´on

x^α₊=







x^α si |x| > 0, 0 si |x| ≤ 0, no es integrable en el intervalo [−1, 1]. En efecto

Z 1

−1

|x^α₊| dx = Z 1

0

x^αdx = x^α+1 α + 1

1 0

= +∞.

(5)

Ahora consideramos la distribuci´on partes finitas, notada como P f (x^α₊), y definida de la siguiente forma P f x^α₊ , ϕ = −

Z +∞

0

x^α+1

α + 1ϕ⁰(x) dx = l´ım

ε→0

− Z +∞

ε

x^α+1

α + 1ϕ⁰(x) dx

= l´ım

ε→0

−x^α+1 α + 1ϕ⁰(x)

∞ ε

+ Z +∞

ε

x^αϕ(x) dx

= l´ım

ε→0

ε^α+1

α + 1ϕ(ε) + Z +∞

ε

x^αϕ(x) dx

. (4)

Como x^α+1 es localmente integrable, la fórmula anterior define una distribución. Además, si ϕ(0) = 0 tenemos

P f x^α₊ , ϕ = Z +∞

0

x^αϕ(x) dx.

Se puede demostrar que la distribuci´on P f (x^α₊) es de orden 1.

2.2. L´ımite de sucesiones

En el análisis matemático, la aproximación de objetos por medio de sucesiones es una herramienta fundamental. Dado que las distribuciones son formas lineales definidas sobre el espacio C_c^∞, es necesario indicar lo que sucede por un lado cuando tomamos el l´ımite de funciones en C_c^∞ y por otro lado cuando tomamos el l´ımite de distribuciones.

Recordemos la siguiente noci´on de convergencia:

Definición 3 Sea k ∈ N ∪ {+∞}. Diremos que una sucesión (fn)_n∈N de elementos de C_c^k(Rⁿ, R) converge en C_c^k(Rⁿ, R) hacia una función f ∈ Cc^k(Rⁿ, R) si se satisfacen las siguientes condiciones:

1) Existe un compacto K de Rⁿ tal que f_n(x) = 0 para todo n y todo x ∈ Rⁿ\ K.

2) Para todo multi-´ındice α ∈ Nⁿ que verifica |α| ≤ k la sucesi´on de funciones (D^αfn)_n∈N converge uniformemente hacia D^αf , es decir,

∀ε > 0, ∃N = N (α, ε) tal que n ≥ N ⇒ sup

x∈Rⁿ

|D^αfn(x) − D^αf (x)| ≤ ε.

Un primer resultado nos indica lo que sucede cuando el argumento de las distribuciones es una sucesi´on:

Proposición 1 Sea T una distribución sobre Rⁿy (ϕn)_n∈N una sucesión de funciones en C_c^∞(Rⁿ, R) que converge en C_c^∞(Rⁿ, R) hacia una función ϕ. Entonces l´ım

n→+∞hT, ϕ_ni = hT, ϕi.

Prueba. Si K es un compacto de Rⁿ que contiene el soporte de todos los (ϕn)_n∈N, en particular contiene el soporte de ϕ, entonces ϕ_n, ϕ ∈ C_K^∞(Rⁿ, R). Dado que T es una forma lineal, entonces tenemos

hT, ϕ_ni − hT, ϕi = hT, ϕ_n− ϕi,

as´ı, por la Definición 3 con respecto a la convergencia en C_c^∞(Rⁿ, R) y por la condición de continuidad de las distribuciones dada en la Definición 1 tenemos que existen p ∈ N y una constante C > 0 tales que

|hT, ϕ_n− ϕi| ≤ C sup

|α|≤p, x∈K

|D^αϕn(x) − D^αϕ(x)| −→

n→+∞0.

Esta propiedad nos va a servir para dar un ejemplo de funciones que no son distribuciones. En efecto, si consideramos la funci´on

exp 1 x²

,

(6)

entonces se puede ver utilizando el lema anterior que este objeto no define una distribución: sea ϕ ∈ C_c^∞(R, R) tal que sop(ϕ) ⊂]1, 2[ y tal que 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 y ϕ(x) = 1 sobre el intervalo [a, b] con 1 < a < b < 2. Para todo n ≥ 1 definimos la función ϕ_n(x) = e⁻ⁿϕ(nx). Tenemos entonces que sop(ϕ_n) ⊂]_n¹,²_n[ y para todo k ∈ N tenemos ϕ^(k)n (x) = e⁻ⁿn^kϕ^(k)(nx). Sin mayor problema vemos que la sucesión (ϕ_n)_n≥1 converge hacia 0 en el espacio C_c^∞(R, R). Ahora, si existiese una distribución T que coincide con la función e^x2¹ sobre R \ {0}, entonces por el resultado anterior se deber´ıa tener l´ım

n→+∞hT, ϕ_ni = 0. Sin embargo, tenemos hT, ϕ_ni =

Z

R

e^x2¹ ϕ_n(x)dx = Z 2/n

1/n

e^x2¹ ϕ_n(x)dx,

pero como la funci´on ϕ es positiva y sobre ^a_n < x < _n^b se tiene ϕn(x) = e⁻ⁿ, podemos escribir hT, ϕ_ni ≥ e⁻ⁿ

Z _b/n

a/n

e^x2¹ dx,

Ahora notamos que sobre 0 < x < _n^b se tiene e^x2¹ ≥ eⁿ²^b2, de donde se obtiene las minoraciones hT, ϕ_ni ≥ e⁻ⁿeⁿ²^b2

Z b/n a/n

dx = e⁻ⁿeⁿ²^b2 b − a

n ≥ b − a n eⁿ,

en donde la última minoración es válida siempre y cuando n ≥ 2b². Entonces a partir de estas desigualdades, se puede ver que l´ım

n→+∞hT, ϕ_ni = +∞, lo cual es una contradicci´on con el resultado anterior.

Observación 3 Este ejemplo es muy importante pues ilustra cláramente que no toda forma lineal es una distri- bución: se debe verificar una condición de continuidad que es fundamental.

Definición 4 (Convergencia de distribuciones) Diremos que una sucesión (Tn)_n∈N de distribuciones sobre Rⁿ converge en D⁰(Rⁿ, R) hacia una distribución T , si y solamente si para toda función test ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R) la sucesión hT_n, ϕi converge hacia hT, ϕi.

Ejemplos:

1. Sea (f_n)_n∈N una sucesi´on de elementos de L¹_loc(Rⁿ, R) y f ∈ L¹_loc(Rⁿ, R) tal que para todo compacto K de Rⁿ tenemos

n→+∞l´ım Z

K

|f_n(x) − f (x)| dx = 0.

Entonces (f_n)_n∈N converge hacia f en D⁰(Rⁿ, R).

2. Sea (fn)_n∈N(x) = n sin(nx) ∈ L¹_loc(R, R); la sucesi´on (fn)_n∈N converge hacia 0 en D⁰(R, R). En efecto, para todo ϕ ∈ C_c^∞(R, R) y por una integraci´on por partes se tiene

Z

R

f_n(x)ϕ(x) dx = Z

R

n sin(nx)ϕ(x) dx = −1 n

Z

R

sin(nx)ϕ⁰⁰(x) dx −→

n→+∞0, pero si consideramos un intervalo I ⊂ R, tendr´ıamos que

Z

I

|f_n(x)| dx −→

n→+∞+∞.

Conclu´ımos que la convergencia en D⁰(Rⁿ, R) es mucho menos exigente que la convergencia en el espacio L¹(R, R).

3. Para todo n ≥ 1, consideremos sobre R la funci´on localmente integrable Tn(x) = 1[1/n,+∞[|x|

x ,

se tiene entonces que, en el sentido de la convergencia de las distribuciones, esta sucesi´on converge hacia la distribuci´on valor principal vp _x¹.

(7)

Proposición 2 Sea (Tn)n≥1 una sucesión de distribuciones tal que para toda función test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), la sucesión hT_n, ϕi converge.

Entonces existe una distribuci´on T ∈ D⁰(Rⁿ, R) tal que

n→+∞l´ım hT_n, ϕi = hT, ϕi, para toda funci´on test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R).

Este resultado puede verse como una variante del principio de acotación uniforme: si la sucesión de distribuciones siempre converge al estudiarlas con funciones test, entonces se tiene la existencia de una distribución l´ımite.

3. Operaciones sobre las distribuciones

Como acabamos de ver, las distribuciones son objetos que generalizan las funciones y puede decirse que casi todas las funciones conocidas anteriormente son distribuciones. Pero el objetivo no es generalizar por el gusto de generalizar, sino obtener reglas de c´alculo estables que puedan ser puestas en pr´actica para resolver problemas que con las herramientas anteriores no pod´ıan ser satisfactoriamente resueltos.

La idea de base que conviene tener en mente es que, gracias al corchete de dualidad hT, ϕi, todas las operaciones de base (multiplicación, derivación, transformada de Fouier, convolución) que se desean aplicar a una distribución T se definirán al transladarlas a las funciones de test ϕ.

3.1. Derivaci´on

Notemos para empezar que si f ∈ C^∞(Rⁿ, R) y ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R), entonces tenemos la f´ormula de integraci´on por partes

Z

Rⁿ

∂f

∂xi

(x)ϕ(x) dx = − Z

Rⁿ

f (x)∂ϕ

∂xi

(x) dx,

en donde, razonando en una dimensión, los términos de borde que resultan de la integración por partes son nulos por las propiedades de soporte de las funciones test ϕ.

De esta manera, es posible definir la derivación de una distribución haciendo pasar la derivación a la función test. Más precisamente tenemos:

Definici´on 5 (Derivaci´on de distribuciones) Para todo 1 ≤ i ≤ n, las derivadas parciales _∂x^∂T

i de una distribuci´on T ∈ D⁰(Rⁿ, R) son las distribuciones definidas por:

∂T

∂x_i, ϕ

=

T, −∂ϕ

∂x_i

para todo ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R).

En general, gracias al lema de Schwarz, el orden de las derivadas parciales no interviene en el cálculo de las derivadas sucesivas de una distribución, y para un multi-´ındice α ∈ Nⁿ tenemos la expresión general

hD^αT, ϕi = (−1)^|α|hT, D^αϕi.

Ejemplos:

1. Sea H(x) la funci´on de Heaviside definida para x ∈ R por

H(x) =







1 si x ≥ 0, 0 si x < 0.

(8)

Esta función pertenece a L¹_loc(R, R) y por tanto define una distribución y su derivada en el sentido de las distribuciones se calcula como sigue: para toda ϕ función de test se tiene

h d

dxH, ϕi = −hH, d dxϕi =

Z +∞

−∞

H(x)ϕ⁰(x)dx, y usando la definici´on de la funci´on H podemos escribir, integrando:

h d

dxH, ϕi = − Z +∞

0

ϕ⁰(x)dx = ϕ(0) + l´ım

x→+∞ϕ(x) = ϕ(0), es decir que h_dx^dH, ϕi = ϕ(0), de donde se deduce que se tiene la identidad

d

dxH = δ0.

Este ejemplo muestra cl´aramente c´omo es posible derivar (en el sentido de las distribuciones) funciones que ni siquiera son continuas.

2. La funci´on f (x) = |x| con x ∈ R no es derivable en el sentido usual debido a la singularidad que presenta en x = 0, pero si es derivable en el sentido de las distribuciones. Su derivada distribucional es

d

dx|x| = sign(x) =











1 si x < 0, 0 si x = 0,

−1 si x > 0.

3. La funci´on definida sobre R \ {0}, x 7−→ log |x| pertenece a L¹_loc(R), y su derivada distribucional es d

dxlog |x| = vp 1 x

.

4. La fórmula (4) respecto a la distribución partes finitas significa que P f (x^α₊), α ∈] − 2, −1[ es la derivada distribucional de la función x^α+1₊

α + 1.

En el siguiente resultado podemos ver la estabilidad de la derivaci´on al considerar sucesiones de distribuciones.

Proposición 3 Sea (Tn)_n∈N una sucesión de distribuciones convergente en D⁰(Rⁿ, R) hacia una distribución, y sea α ∈ Nⁿ. Entonces la sucesión (D^αTn)_n∈N converge hacia D^αT en D⁰(Rⁿ, R).

Prueba. Sea ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), entonces hD^αT_n, ϕi = (−1)^|α|hT_n, D^αϕi −→

n→+∞(−1)^|α|hT, D^αϕi = hD^αT, ϕi. 3.2. Multiplicaci´on por una funci´on C^∞

Por ser las distribuciones formas lineales, tiene todo sentido considerar las operaciones T + λS en donde λ ∈ R es un escalar y donde T, S ∈ C_c^∞(Rⁿ, R). Sin embargo, si se trata de multiplicar puntualmente una distribuci´on por una funci´on, hay que tener un poco de cuidado.

Definición 6 Sea T ∈ D⁰(Rⁿ, R) y sea f ∈ C^∞(Rⁿ, R), la distribución producto f T está definida, para toda función test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) por

hf T, ϕi = hT, f ϕi.

Es necesario verificar que la cantidad hT, f ϕi est´a correctamente definida, es decir que se tiene f ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R).

Esto no es problema pues la función f pertenece por hipótesis al espacio C^∞(Rⁿ, R) y al multiplicarla por la función ϕ de soporte compacto se obtiene como resultado una nueva función f ϕ que es regular a soporte compacto.

Ejemplos:

(9)

1. En el sentido de las distribuciones tenemos la identidad xδ₀= 0, y en general, si f ∈ C^∞(Rⁿ, R) se tiene

f δa= f (a)δa.

En efecto, para toda función test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), podemos escribir por definición de producto entre una función regular y una distribución:

hxδ₀, ϕi = hδ₀, xϕi = hδ₀, ψi,

en donde hemos notado ψ(x) = xϕ(x) que es una funci´on que pertenece al espacio C_c^∞(Rⁿ, R) que verifica ψ(0) = 0, de manera que por la definici´on de la masa de Dirac obtenemos

hxδ₀, ϕi = hδ₀, ψi = ψ(0) = 0.

Un razonamiento totalmente similar permite generalizar el resultado a funciones f ∈ C^∞ y a la distribuci´on δ_a con a ∈ R.

2. Tenemos que x · vp _x¹ = 1 en D⁰(Rⁿ, R). En efecto, para toda funci´on test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) podemos escribir

x · vp 1 x

, ϕ

=

vp 1

x

, xϕ

= l´ım

ε→0

Z

|x|≥ε

xϕ(x) x dx =

Z

Rⁿ

ϕ(x) dx = h1, ϕi.

Observación 4 En toda generalidad, y sin información previa sobre el orden de la distribución, el producto puntual de una función f que no es suficientemente derivable con una distribución cualquiera no está definido.

Notemos que el producto puntual de una funci´on regular y de una distribuci´on es estable en el siguiente sentido.

Proposici´on 4

1) Sea (Tn)_n∈N ∈ D⁰(Rⁿ, R) una sucesi´on que converge hacia T en D⁰(Rⁿ, R) y sea f ∈ C^∞(Rⁿ, R). Entonces la sucesi´on producto (f Tn)_n∈N converge hacia f T en D⁰(Rⁿ, R).

2) Sea (fn)_n∈N ∈ C^∞(Rⁿ, R) una sucesi´on que converge (as´ı como todas sus derivadas) uniformemente hacia f ∈ C^∞(Rⁿ, R) sobre un compacto de Rⁿ y sea T ∈ D⁰(Rⁿ, R) una distribuci´on. Entonces (fnT )_n∈N converge hacia f T en D⁰(Rⁿ, R).

Prueba.

1) Se tiene directamente este punto a partir de la Definici´on 6: basta pasar la funci´on f al otro lado del corchete de dualidad.

2) Es suficiente demostrar para el caso f = 0, reemplazando fnpor fn−f con n ∈ N. Para todo ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R), la sucesi´on (f_nT )_n∈N−→ 0 en C_c^∞(Rⁿ, R), entonces

hf_nT, ϕi = hT, fnϕi −→

n→+∞hT, 0i en D⁰(Rⁿ, R).

Proposición 5 (Fórmula de Leibniz) Para toda distribución T ∈ D⁰(Rⁿ, R), si f ∈ C^∞(Rⁿ, R) y si α ∈ Nⁿ es un multi-´ındice, entonces tenemos la expresión

D^α(f T ) =X

β≤α

α β

D^α−βf D^βT,

y en particular para todo 1 ≤ j ≤ n se tiene

∂

∂x_j(f T ) = f ∂T

∂x_j + ∂f

∂x_jT.

(10)

3.3. Producto de distribuciones

Hemos visto en la sección anterior cómo multiplicar puntualmente una distribución con una función regular.

Vamos a ver ahora que el grado de generalidad obtenido no permite dar un sentido coherente al producto de dos distribuciones. En efecto, si T y S son dos distribuciones, se desear´ıa que el producto T S también sea una distribución y en ese caso tendr´ıa sentido multiplicar (T S) por una función regular f y en particular se esperar´ıa que las reglas de conmutación se mantengan, es decir que se deber´ıa tener las identidades

(f T )S = (f S)T,

pero vamos a ver que si seguimos las definiciones anteriores se obtienen contradicciones:

Sean T = δ₀, S = vp ¹_x, f = x entonces para toda funci´on test ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) se tendr´ıa por un lado h(f T ) × S, ϕi =

(xδ₀) × vp 1 x

, ϕ

=

0 × vp 1 x

, ϕ

=

vp 1

x

, 0 × ϕ

= 0, pero por otro lado se tiene

h(f S) × T, ϕi =

x × vp 1 x

× δ₀, ϕ

= h1 × δ₀, ϕi = hδ₀, ϕi = ϕ(0), de donde se obtiene una contradicci´on.

Observaci´on 5 Es muy importante recordar que el producto de dos distribuciones no est´a definido en toda generalidad y este punto debe tomarse muy en cuenta en las aplicaciones, como por ejemplo al estudiar ciertas ecuaciones en derivadas parciales no lineales.

3.4. Traslaci´on y dilataci´on

Recordemos que para una función f y un vector de traslación y ∈ Rⁿ, la traslación de esta función está dada por fτy(x) = f (x − y). La generalización de esta operación a distribuciones se realiza como sigue:

Definición 7 (Traslación) Sea T ∈ D⁰(Rⁿ, R) una distribución y sea y ∈ R un vector. La traslación Tτy de una distribución T se define como

hT_τ_y, ϕi = hT, ϕτ−yi.

Esta expresión corresponde con un simple cambio de variables cuando la distribución T coincide con una función suficientemente regular.

Para una función f , la dilatación con respecto a un parámetro λ > 0 es la función fλ(x) = f (λx). La genera- lización a las distribuciones es la siguiente:

Definición 8 (Dilatación) Sea T ∈ D⁰(Rⁿ, R) una distribución, definimos la dilatación Tλ de una distribución por medio de la fórmula

hT_λ, ϕi = λ⁻ⁿhT, ϕ_1/λi.

Una vez más, si la distribución coincide con una función suficientemente regular, entonces esta expresión anterior no es más que un pequeño cambio de variables.

4. F´ ormula de los saltos

Como hemos visto anteriormente, el uso de las distribuciones permite derivar objetos que no son derivables en el sentido usual. Sin embargo, hay que tener un poco de cuidado con las reglas de c´alculo que intervienen al

(11)

derivar en el sentido de las distribuciones.

Antes de presentar la f´ormula de los saltos necesitaremos un par de lemas.

Lema 1 Sea I =]a, b[ un intervalo abierto de la recta real R y sea T una distribuci´on definida sobre I tal que T⁰ = 0. Entonces la distribuci´on T es una constante.

Lema 2 Sea I =]a, b[ un intervalo abierto de la recta real R y sea una funci´on f ∈ L¹_loc(Rⁿ, R). Las soluciones de la ecuaci´on

T⁰ = f sobre D⁰(I), son las funciones continuas sobre I de la forma

T (x) = Cste + Z _x

c

f (y)dy, con c ∈ I.

Recordemos que en el sentido usual no es posible derivar funciones indicatrices de conjuntos, sin embargo en el sentido de las distribuciones esto s´ı es posible, pero hay que tomar en cuenta ciertos fen´omenos de borde que aparecen y esta particularidad esta explicitada en el siguiente teorema

Teorema 1 (F´ormula de saltos) Sea I un intervalo de R y g una funci´on continua sobre I cuya derivada en el sentido de las distribuciones g⁰ pertenece al espacio L¹_loc(I, R). Para a, b ∈ I tal que a < b, tenemos la siguiente identidad en D⁰(I, R)

d

dx(1(a,b)g) = 1(a,b)g⁰+ g(a)δ_a− g(b)δ_b.

Demostraci´on. Escribamos g⁰ = f en donde por hip´otesis se tiene f ∈ L¹_loc(I, R). Por el Lema 2 se tiene para todo x ∈ I la identidad

g(x) = g(a) + Z x

a

f (y)dy.

Entonces, para toda funci´on test ϕ ∈ C_c^∞(I, R) se tiene

d

dx(1(a,b)g), ϕ

= −1(a,b)g, ϕ⁰ = − Z b

a

g(x)ϕ⁰(x)dx = − Z b

a

g(a) +

Z x a

f (y)dy

ϕ⁰(x)dx

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) − Z b

a

Z x a

f (y)dy

ϕ⁰(x)dx

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) − Z b

a

Z b a

1a<y<xf (y)ϕ⁰(x)dydx

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) + Z b

a

f (y)

Z b y

−ϕ⁰(x)dx

dy

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) + Z b

a

f (y) (ϕ(y) − ϕ(b)) dy

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) + Z b

a

f (y)ϕ(y)dy − ϕ(b) Z b

a

f (y)dy.

Ahora, dado que se tiene la identidad g(b) − g(a) = Z b

a

f (y)dy, podemos escribir

d

dx(1(a,b)g), ϕ

= g(a)(ϕ(a) − ϕ(b)) + Z b

a

f (y)ϕ(y)dy − ϕ(b)g(b) + ϕ(b)g(a), lo que se reescribe como

d

dx(1(a,b)g), ϕ

= h1(a,b)f, ϕi + g(a)ϕ(a) − g(b)ϕ(b),

(12)

de donde se obtiene sin problemas la f´ormula de los saltos. La f´ormula de saltos se puede generalizar a varias dimensiones. Sea Σ una hipersuperficie de clase C¹ de Rⁿ, que es la frontera de un dominio compacto K de Rⁿ, notemos para x ∈ Σ, ν(x) el vector unitario normal de Σ y dirigido hacia el exterior de K, y sea dσ la medida de Lebesgue sobre la superficie Σ.

Teorema 2 (F´ormula de saltos en el espacio) Sea Ω una vecindad de un conjunto compacto K ⊂ Rⁿy f una funci´on continua sobre Ω, cuya derivada en el sentido de las distribuciones ∂f

∂x_i pertenece a L¹_loc(Ω, R). Entonces tenemos la siguiente identidad en D⁰(Rⁿ, R)

d

dxi(f 1K) = df

dxi1K− ν_i(x)f (x) dσ.

5. Soporte y convoluci´ on de distribuciones

Hasta ahora hemos estudiado distribuciones definidas sobre el espacio Rⁿ entero, exigiendo que las funciones de test ϕ pertenezcan al espacio C_c^∞(Rⁿ, R).

Podemos considerar ahora Ω ⊂ Rⁿun conjunto abierto y definir de manera totalmente similar las distribuciones sobre el conjunto Ω al definirlas como formas lineales sobre el espacio C_c^∞(Ω, R) con la misma condición (1) exigida anteriormente y en donde esta vez los compactos K están contenidos en Ω. Es posible afinar aún más esta noción de soporte como vamos a ver en las l´ıneas a continuación y esta particularidad nos conducirá a cierto tipo de resultados importantes.

5.1. Soporte de distribuciones

Definición 9 (Restricción de una distribución) Sea T una distribución sobre un abierto Ω de Rⁿ. Si A es un abierto contenido en Ω, la distribución T puede definir una distribución sobre A llamada restricción de T a A y notada como T

A, mediante la f´ormula T

A, ϕ = hT, ϕi para todo ϕ ∈ C_c^∞(A, R).

Diremos que la distribuci´on T es nula sobre A si tenemos T A= 0.

Con esta primera definición, podemos interesarnos al soporte de las distribuciones. Recordemos que las defini- ción de soporte de una funci’on continua es diferente a la noción de soporte de una función medible, que a su vez es un poco distinta al concepto de soporte de una distribución:

Teorema 3 (Soporte de una distribuci´on) Sea Ω ⊂ Rⁿ un abierto y sea T ∈ D⁰(Ω, R) una distribuci´on.

Existe V el abierto m´as grande de Ω tal que T

V = 0. El complemento de V en Ω es llamado el soporte de la distribuci´on T , y es notado por sop(T ). El soporte cerrado de T est´a caracterizado por

x 6∈ sop(T ) ⇐⇒ existe A una vecindad de x, tal que T A= 0.

Ahora presentaremos unas propiedades de los soportes de distribuciones:

Proposici´on 6 Sea Ω un abierto de Rⁿ. Si T, T₁ y T₂ son tres distribuciones que pertenecen al espacio D⁰(Ω, R), entonces tenemos los siguientes puntos:

1) sop(T₁+ T₂) ⊂ sop(T₁) ∪ sop(T₂), 2) sop(D^αT ) ⊂ sop(T ), si α ∈ Nⁿ,

3) Si f ∈ C^∞(Ω, R), entonces sop(f T ) ⊂ sop(T ) ∩ sop(f ),

4) Si ϕ ∈ C_c^∞(Ω, R) es una funci´on de test y si sop(T ) ∩ sop(ϕ) = ∅ entonces hT, ϕi = 0.

(13)

Definici´on 10 Notemos como E⁰(Rⁿ, R) el subespacio de D⁰(Rⁿ, R) constituido por las distribuciones cuyo soporte es un compacto de Rⁿ.

A continuación se presenta un resultado que asocia la definición anterior con el orden de una distribución Proposición 7 Toda distribución a soporte compacto tiene orden finito.

Prueba. Sean T ∈ E⁰(Rⁿ, R) una distribuci´on, K un subconjunto compacto de Rⁿ tal que sop(T ) ⊂ K, U un abierto tal que sop(T ) ⊂ U ⊂ K, y ψ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) tal que ψ ≡ 1 sobre U y tal que sop(ψ) ⊂ K. Notemos que por construcci´on se tiene sop(1 − ψ) ∩ U = ∅, y como U ⊂ K y sop(T ) ⊂ U ⊂ K, entonces

sop(T ) ∩ sop(1 − ψ) = ∅.

Por tanto, si ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), tenemos que sopϕ(1 − ψ) ⊂ sop(1 − ψ) y as´ı sop(ϕ(1 − ψ)) ∩ sop(T ) = ∅, de donde, por el punto 4) de la Proposici´on 6, obtenemos hT, ϕ(1 − ψ)i = 0 lo que implica, por linealidad, que

0 = hT, ϕ(1 − ψ)i = hT, ϕ − ϕψi = hT, ϕi − hT, ϕψi,

de donde se deduce sin problema la relación hT, ϕi = hT, ϕψi. Ahora, sop(ψϕ) ⊂ sop(ψ) ⊂ K, as´ı, por la Definición 1, existe C > 0 y p ∈ N tal que para toda función test ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R) se tiene

|hT, ϕψi| ≤ C sup

|α|≤p x ∈ K

|D^α(ϕψ)(x)|,

de donde se deduce, para otra constante C > 0 pero con el mismo p que hT, ϕi = hT, ϕψi ≤ C sup

|α|≤p x ∈ K

|D^αϕ(x)|.

Nótese que el compacto K depende únicamente de la distribución T . Por ende p no depende del soporte de ϕ, y

as´ı la distribuci´on es de orden finito.

En particular, las distribuciones a soporte reducidas a un punto a ∈ Rⁿ son caracterizadas por el siguiente resultado:

Teorema 4 Sea a ∈ Rⁿ un vector y T ∈ D⁰(Rⁿ, R) una distribuci´on. Entonces sop(T ) = {a} si y solamente si existe p tal que T = X

|α|≤p

a_αD^αδ_a, con a_α una constante que depende de α.

Dicho de otra manera, las distribuciones que son a soporte en un punto son combinaciones lineales de derivadas de la masa de Dirac en ese punto.

5.2. Regularizaci´on

Sabemos que el proceso de convoluci´on permite regularizar las funciones, en esta secci´on vamos a generalizar este concepto a las distribuciones.

Definición 11 (Producto de Convolución) Si T ∈ D⁰(Rⁿ, R) es una distribución y si ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R) es una función regular, se define el producto de convolución entre T y ϕ de la siguiente manera

(T ∗ ϕ)(x) = hT, τxϕiˇ (5)

en donde hemos notado τxϕ(y) = ˇˇ ϕ(y − x) = ϕ(x − y).

(14)

Observemos que para T = f ∈ L¹_loc(Rⁿ, R), la fórmula (5) coincide con la definición usual de convolución. En efecto

(T ∗ ϕ)(x) = hT, τxϕi =ˇ Z

Rⁿ

f (y)τxϕ(y) dy =ˇ Z

Rⁿ

f (y)ϕ(x − y) dy.

De la misma manera que en los casos anteriores era posible ganar en regularidad al momento de hacer un producto de convoluci´on, ahora disponemos del resultado siguiente:

Teorema 5 Si T ∈ D⁰(Rⁿ, R) y ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R), entonces para todo α ∈ Nⁿ T ∗ ϕ ∈ C^∞(Rⁿ, R) y D^α(T ∗ ϕ) = T ∗ D^αϕ.

Tenemos adem´as las siguientes propiedades:

Proposici´on 8 Si T ∈ D⁰(Rⁿ, R) es una distribuci´on y si ϕ, ψ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R) son dos funciones test, entonces para todo α ∈ Nⁿ, tenemos

1) sop(T ∗ ϕ) ⊆ sop(T ) + sop(ϕ) 2) (T ∗ ϕ) ∗ ψ = T ∗ (ϕ ∗ ψ)

3) (T ∗ ϕ)(0) = hT, ˇϕi con ˇϕ(x) = ϕ(−x)

5.3. Convoluci´on D⁰∗ E⁰

Hemos visto que en toda generalidad no es posible multiplicar distribuciones con funciones. Sin embargo, cuando se trata del producto de convoluci´on (que hace intervenir una integral, particularidad que es fundamental) es posible considerar el producto de convoluci´on entre dos distribuciones.

Para empezar, una notaci´on:

Definici´on 12 Para T ∈ D⁰(Rⁿ, R) y ϕ ∈ Cc^∞(Rⁿ, R), se define la distribu´on ˇT por h ˇT , ϕi = hT, ˇϕi

donde ˇϕ(x) = ϕ(−x), para todo x ∈ Rⁿ.

Dado que deseamos hacer el producto de convolución entre dos distribuciones T y S, conviene estudiar antes lo que sucede cuando una de las dos distribuciones (digamos S) es en realidad una función de test. Entonces, si T es una distribución y si ψ, ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), por la Proposición 8 tenemos por un lado

hT ∗ ψ, ϕi = hT ∗ ψ, ˇϕi = ((T ∗ ψ) ∗ ˇˇ ϕ)(0) = (T ∗ (ψ ∗ ˇϕ))(0) = hT, (ψ ∗ ˇϕ)ˇi pero por otro lado se tiene, por un cambio de variable elemental

(ψ ∗ ˇϕ)ˇ(x) = (ψ ∗ ˇϕ)(−x) = Z

Rⁿ

ψ(y) ˇϕ(−x − y) dy = Z

Rⁿ

ψ(y)ϕ(x + y) dy

= Z

Rⁿ

ψ(−y)ϕ(x − y) dy = ( ˇψ ∗ ϕ)(x), y a partir de estas dos identidades obtenemos la expresi´on

hT ∗ ψ, ϕi = hT, ˇψ ∗ ϕi.

Esto motiva la siguiente definici´on.

(15)

Definición 13 Si T ∈ D⁰(Rⁿ, R) y si S ∈ E⁰(Rⁿ, R), se define el producto de convolución entre la distribución T y la distribución S por medio de la fórmula

hT ∗ S, ϕi = hT, ˇS ∗ ϕi, para todo ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R).

Observemos que con esta definición el objeto T ∗ S es una distribución. En efecto, si S ∈ E⁰(Rⁿ, R), entonces S ∈ Eˇ ⁰(Rⁿ, R) y sabemos por el Teorema 5 que ˇS ∗ ϕ ∈ C^∞(Rⁿ, R), y si estudiamos el soporte de esta función, se tiene por la Proposición 8 sop( ˇS ∗ ϕ) ⊆ sop( ˇS) + sop(ϕ). As´ı, ˇS ∗ ϕ ∈ C_c^∞(Rⁿ, R), por lo tanto la expresión hT, ˇS ∗ ϕi tiene sentido.

Para verificar que T ∗ S es una distribuci´on, basta darse cuenta que la distribuci´on S ∈ E⁰(Rⁿ, R) es a soporte compacto y por lo tanto es de orden finito.

Esta definici´on que acabamos de dar permite generalizar sin problema las principales propiedades del producto de convoluci´on, en particular tenemos:

Proposición 9 Sean T ∈ D⁰(Rⁿ, R) una distribución y S ∈ E⁰(Rⁿ, R) una distribución a soporte compacto, entonces

1) sop(T ∗ S) ⊆ sop(T ) + sop(S)

2) D^α(T ∗ S) = (D^αT ) ∗ S = T ∗ (D^α∗ S)

Ejemplo:

Sea T ∈ D⁰(Rⁿ, R), entonces se tiene la siguiente identidad en el sentido de las distribuciones T ∗ δ0 = T.

En efecto, notamos que hT ∗ δ₀, ϕi = hT, ˇδ₀∗ ϕi y como ˇδ₀ = δ₀, entonces tenemos (δ₀∗ ϕ)(x) = hδ₀, τ_xϕi = τˇ _x( ˇϕ)(0) = ˇϕ(0 − x) = ϕ(x), de donde se deduce hT ∗ δ0, ϕi = hT, ϕi.

En particular, por los resultados anteriores obtenemos la siguiente identidad (en el sentido de las distribuciones):

D^αT = T ∗ δ₀^(α), para todo α ∈ Nⁿ.