PR ´ ACTICA 1
Sistemas de ecuaciones lineales.
Contenido:
Algebra matricial. Operaciones elementales. Eliminaci´on gaussiana. Rango de una matriz.
Resoluci´on de SEL. Matrices equivalentes. Factorizaci´on LU. Aplicaci´on a la resoluci´on de SEL. Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de bases.
1.1 Algebra matricial
Con la orden “randint(3,3,5)” se crea una matriz 3x3 de elementos aleatorios entre -5 y +5.
1. Construir matrices A, B y C adecuadas para comprobar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones (que, por ejemplo, ser´ıan ciertas para n´umeros reales):
a) A + B = B + A; b) A B = B A; c) Si A B = 0 entonces A = 0 o B = 0;
d) Si A2 = 0 entonces A = 0; e) (A + B)2 = A2 + 2 A B + B2;
f) (A - B)(A + B) = A2 - B2; g) A (B + C) = A B + A C; h) (A B)2 = A2 B2. 2. (a) Construir la matriz A = randint(5,5,9) y definir:
A1 = A(1 : 3, 1 : 2) A2 = A(:, 1 : 2) A3 = A(2 : 4, :) A4 = A(2, 3 : 5)
(b) Construir la submatriz de A constituida por las filas 2 a la 5 y las columnas 1 a la 4.
(c) Formar las matrices
B11 = 7∗ ones(3, 1) B12 = randint(3, 2, 5) B21 = randint(2, 1, 5) B22 = 6∗ eye(2)
B = [B11, B12; B21, B22]
Observar que esta matriz se escribe de la misma forma que si fuera por elemen- tos. Se dice que la matriz B est´a “particionada” o descompuesta en bloques o submatrices.
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(d) A partir de la matriz A de 2a construir las submatrices:
A11 = A(1 : 2, 1 : 3) A12 = A(1 : 2, 4 : 5) A21 = A(3 : 5, 1 : 3) A22 = A(3 : 5, 4 : 5) y calcular
A∗ B
[A11∗ B11 + A12 ∗ B21, A11 ∗ B12 + A12 ∗ B22;
A21∗ B11 + A22 ∗ B21, A21 ∗ B12 + A22 ∗ B22]
¿Qu´e se observa al comparar ambos resultados?. Deducir la regla de multiplicaci´on de matrices por bloques.
1.2 Operaciones elementales
1. Dada una matriz cualquiera de MIR(4, 5) (recordar “randint(4,5)”) y utilizando la fun- ci´on pij(i, j, t, n) construir las matrices elementales, e1, e2, e3, que, respectivamente:
a) permuta las filas 1 y 3; b) sustituye la fila 4 por ella m´as la 1 multiplicada por 3/5;
c) multiplica la fila 2 por 10. Comprobar que es cierto.
2. Realizar lo mismo con las columnas.
3. Encontrar las inversas de las matrices anteriores con la orden “inv( )”. Construir dichas inversas directamente con la funci´on pij(i, j, t, n).
1.3 Eliminaci´ on gaussiana
1. Dada una matriz cualquiera, aplicar el m´etodo de eliminaci´on, utilizando matrices ele- mentales, para transformarla en una matriz escalonada triangular superior (reducci´on por filas).
2. Realizar lo mismo con la matriz A = [ 1 2 3 4 5;2 4 6 8 7;2 4 6 7 8;2 4 6 9 8].
3. Repetir lo mismo con la matriz transpuesta de A.
4. Dada la matriz A = [0 -1 1;-2 -1 1;2 -2 2], efectuar la reducci´on por filas de la matriz B que resulta al permutar las filas 1 y 3 y de la C que resulta al permutar las filas 1 y 2. Comprobar que el resultado es el mismo.
Observar qu´e se consigue con la orden “rref( )”.
1.3.1 Rango de una matriz
1. Encontrar el rango de las matrices de los tres primeros ejercicios de la secci´on anterior 2. Comprobar que el rango de la matriz A = [1 3 -2 1 2;2 5 1 -3 5;-1 3 2 -3 -3;3 -4 -1 2 9]
es 3.
Observar qu´e se consigue con la orden “rank( )”.
1.4 Matrices equivalentes
Con la orden “randint(4,5,5,2)” se crea una matriz 4x5 de elementos aleatorios entre -5 y +5 y de rango 2.
1. Dada una matriz A cualquiera, multiplicar a izquierda por una matriz regular P y a derecha por otra matriz regular Q para obtener B = P A Q y comprobar que ambas, A y B, tienen el mismo rango. Comprobar que si P o Q no son regulares, A y B no tienen por qu´e tener el mismo rango.
2. Dadas dos matrices que tengan el mismo rango, mediante multiplicaci´on por matrices elementales adecuadas, tansformar una en otra.
1.5 Resoluci´ on de SEL
1. Discutir y resolver mediante reducci´on por filas los sistemas:
x1+ x2 + x3 = 12 x4+ x5 + x6 = 12 8 + x1 + x4 = 12 1 + x2 + x5 = 12 3 + x3 + x6 = 12 8 + x2 + x6 = 12 3 + x2 + x4 = 12
,
3x1+ 2x2+ x3 = 8
−2x2+ 2x3 = −2
−3x1− x2− 2x3 = −7 3x1+ x2− 2x3 = 7
2. Discutir y resolver el sistema lineal cuya matriz de coeficientes ampliada es la matriz ab = [1 3 -2 1 2;2 5 1 -3 5;-1 3 2 -3 -3;3 -4 -1 2 9].
La orden de MATLAB para resolver un sistema lineal A X = B es “A \ B”.
Para discutir un sistema con par´ametros es preciso definir la matriz y el par´ametro como s´ımbolos, lo que se consigue utilizando la orden “sym( )” (solo en versiones de MATLAB posteriores a la 4.1).
1.6 Factorizaci´ on LU
1. Realizando operaciones elementales (que no multipliquen las filas por escalares) sobre las filas de una matriz A rectangular cualquiera encontrar una matriz U equivalente que sea triangular superior. Guardar en memoria las matrices elementales.
2. Construir el producto M de todas las matrices elementales anteriores en el orden ade- cuado y comprobar que es una matriz triangular inferior con 1 en la diagonal
3. Construir la matriz L inversa de M y comprobar que verifica: A = L U
Observar la orden de MATLAB “[l,u,p]= lu(a)” (a debe ser cuadrada y mejor si es regular)
1.6.1 Aplicaci´ on a la resoluci´ on de SEL
Observar que una vez obtenida la factorizaci´on LUde una matriz A, el sistema A X = B se puede resolver f´acilmente para diversos valores de B con m´ınimo esfuerzo computacional, sin m´as que tener en cuenta lo siguiente:
A X = B ⇐⇒
L Z = B U X = Z
Este ´ultimo sistema doble se resuelve con MATLAB con la orden siguiente: U \ (L \ B).
1. Utilizando la factorizaci´on L U, resolver los sistemas de ecuaciones lineales de la secci´on 1.7, considerando diferentes t´erminos independientes.
1.7 Resoluci´ on de sistemas homogeneos
La resoluci´on de sistemas homogeneos puede realizarse como si de un sistema cualquiera se tratara, por supuesto; sin embargo, otro procedimiento equivalente m´as interesante (sobre todo por su utilizaci´on posterior para hallar el n´ucleo de una aplicaci´on lineal) es el siguiente:
Sea el sistema homogeneo A X = 0
1) Realizar operaciones elementales por columnas hasta conseguir una matriz equivalente C que sea triangular inferior.
2) Llamar P a la matriz producto de todas las elementales en el orden en que han actuado.
3) Las columnas de la matriz P que ocupan el mismo lugar que las ´ultimas columnas de ceros de la matriz C son una base del conjunto de soluciones del sistema.
Todo esto se puede realizar conjuntamente, trabajando con la matriz que resulta al ampliar la matriz de coeficientes A con las filas de la matriz unidad. Las columnas transformadas de las de la matriz unidad coincidentes con las coumnas de ceros de la transformada de A son las soluciones.
Si no se desea llevar a cabo operaciones elementales con las columnas, se puede desarrollar el proceso actuando sobre las filas de la matriz transpuesta AT ampliada con la matriz unidad.
1. Resolver los sistemas lineales homogeneos A X = 0 cuya matriz A es cualquiera de las siguientes:
a) A = randint(4,4,6,3); b) A = randint(4,5,6,3); c) A = randint(6,5,6,3)
1.8 Localizar bases de espacios vectoriales
1. Sea S =< a1, a2, a3, a4, a5 >, siendo a1 =[1 0 1], a2 =[0 1 1], a3 =[1 1 2], a4 =[1 2 1], a5 =[-1 1 2]. Encontrar una base de S realizando reducci´on por filas de la matriz que tiene por columnas los vectores anteriores.
2. Sea V = IR2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 sobre IR. Sea S el susbespacio de V engendrado por los polinomios: 1 + x, x + x2, 1 + 3x + 2x2. Encontrar una base de S y a partir de ella una base de V . Encontrar las coordenadas del polinomio p(x) = 3 + 2x + 5x2 en la base hallada.
3. Una forma de encontrar una base a partir, por ejemplo, de un sistema {a1, a2, a3, a4} generador de un subespacio vectorial es la siguiente:
a) Mediante reducci´on por filas de la matriz que tiene por columnas los vectores aj
encontrar los coeficientes x1, x2, x3, x4 que hacen a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4 = 0;
b) si alguno de los coeficientes xj obtenidos es no nulo, el vector aj correspondiente es combinaci´on lineal de los dem´as, por lo que se puede eliminar y los restantes formar´an una base.
Aplicar el m´etodo anterior a los subespacios engendrados por las columnas de las matrices A y B siguientes:
A =
−4 −3 −2 −5
−3 −2 −1 6
1 3 5 7
−4 1 6 3
, B =
3 1 7 5 5
4 6 0 −2 −1
1 1 1 −3 −2
1 −3 9 1 2
.
1.9 Suma directa. Bases y dimensiones
1. En IR4 se consideran los subespacios S = IR < (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) > y T = IR < (1, 1, 2, 1), (2, 0,−1, 1) >. Hallar bases y dimensiones de los subespacios S, T , S + T y S ∩ T .
2. ¿Es directa la suma de los subespacios S y T de IR4 engendrados por las columnas de las matrices A y B del ejercicio 3 de la secci´on 1.8.
1.10 Cambio de base
El cambio de la base ”antigua” {a1, . . . , an} a la base ”nueva” {b1, . . . , bn} queda definido cuando se expresan los vectores de la nueva como combinaci´on lineal de los de la antigua.
Matricialmente se puede escribir en t´erminos de vectores en la forma:
[b1, . . . , bn] = [a1, . . . , an] P,
siendo P la matriz del cambio; en t´erminos de coordenadas tambi´en se escribe como:
X = P ¯X,
donde X y ¯X son las columnas coordenadas de un vector gen´erico en las bases antigua y nueva, respectivamente.
1. Sea B ={u1, u2, u3, u4} una base de un espacio vectorial V sobre R, y B ={v1, v2, v3, v4} y B={w1, w2, w3, w4} dos sistemas de vectores tales que:
v1 = u2+ 3u4
v2 =−u1+ u2
v3 =−2u1− u3+ 2u4
v4 =−u1− u2− u3+ u4
w1 = 2u1− 2u2+ u4
w2 = u1 + u2+ u3
w3 = 3u1+ u3− u4
w4 =−2u2− u3+ u4
a) Probar que B’ y B” son bases de V.
b) Hallar la matriz del cambio de coordenadas de B’ a B”.
c) Encontrar las oordenadas respecto de B’ del vector v cuyas coordenadas respecto de B” son (2, 1, 0, -1).
