ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA
INGENIERIA ELECTRONICA
Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse
Nivel: Quinto “B”
CAPITULO 5
Problemas Suplementarios VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO
5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas. Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.
x 4 2 3 7 P(X=x) 0.4 0.1 0.2 0.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x.
x 1 2 3 4 5 6
11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)
x 0 1 2 3 4 f(x) 1/16 7/16 5/16 2/16 1/16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que ( ) ( ) , se lanza 3 veces. Sea x el número de caras que aparece.
a) Encuentre la distribución de x. b) Encuentre E(x). x 1 2 3 1/64 9/64 27/64
( )
( )
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que ( ) y ( ) . La moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (* +) [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) (* +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo.
x 2 3 4 5
F(x) 2/4 2/8 2/16 4/32
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse.
( ) ( )
x 1 2 3 f(x) 8/10 16/90 2/90 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.
( )
( )
x 1 2 3 4 7/10 21/90 42/720 6/720( ) ( ( ) ( ) ( )
( )
( )
5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados.
a) Encuentre la distribución de X b) Encuentre E(x)
a)
x 3 4 5 6 7 8 9
F(x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1
Usando el diagrama de árbol se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno.
a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta.
b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego?
x 0 25 50 100 491/500 5/500 3/500 1/500
( ) ( ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara?
x 3 1 -a
f(x) 1/4 2/4 1/4
Para que el juego sea justo E=0
( ) ( ) ( )
( )
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
5.65.- Encuentre la media , la varianza , y la desviación estándar de cada distribución.
(a) x 2 3 8 f(x) 1/4 1/2 1/4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √( ) (b) x -2 -1 7 f(x) 1/3 1/2 1/6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) √
5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución:
x -1 0 1 2 3 0.3 0.1 0.1 0.3 0.2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
√
x 1 2 3 6 7 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
√
5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución:
x 1 3 4 5
Encuentre la media , la varianza , y la desviación estándar de X. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √
5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:
a) y = 3x+2
b) y = x
2c) y = 2x
x 1 3 4 5 0.4 0.1 0.2 0.3 y 5 11 14 17 0.4 0.1 0.2 0.3 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
= 27
=
√= 5.2
b) y 1 9 16 25 0.4 0.1 0.2 0.3( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
y 2 8 16 32 0.4 0.1 0.2 0.3
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
5.69.- Sea una variable aleatoria con la siguiente distribución:
x -1 1 2
Encuentre la media , la varianza y la desviación estándar de X. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( )
5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde
a) ( )
b) ( )
c) ( )
x -1 1 2 0.2 0.5 0.3 y 1 1 16 0.2 0.5 0.3( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
a) y 1/3 3 9 0.2 0.5 0.3
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
b) y 1 2 8 0.2 0.5 0.3
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
5.71.- Encuentre la media , la varianza , y la desviación estándar de la siguiente distribución de dos puntos donde .
x a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) | |√
5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias:
a) b) c) d) a) x 2 3 4 5 F(x) 0.1 0.4 0.3 0.2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) √ ( ) √ b) Y 1 2 3 G(Y) 0.1 0.5 0.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √ c)
Tabla De Distribución Conjunta De X y Y
x\y 1 2 3 f(x) 2 0.1 0 0 0.1 3 0 0.4 0 0.4 4 0 0.1 0.2 0.3 5 0 0 0.2 0.2 G(y) 0.1 0.5 0.4 Z 3 5 6 7 8 h(z) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √ d) w 2 6 8 12 15 h(w) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre
c)
( )
x\y -4 2 7 1 1/8 1/4 1/8 1/2 5 ¼ 1/8 1/8 1/2 3/8 5/8 1/4a) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
b) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
5.75.- Considere la distribución conjunta de y en la figura 5.23(b). Encuentre: (a) ( ) ( ), (b) ( ) , (c) , y ( ). x\y -2 -1 4 5 F(x) 1 0.1 0.2 0 0.3 0.6 2 0.2 0.1 0.1 0 0.4 G(y) 0.3 0.3 0.1 0.3 a) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( )
5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas:
x 1 2 y -2 5 8
0.7 0.3 0.3 0.5 0.2
encuentre la distribución h de x e y y verifique que la ( )
x\y -2 5 8
1 0.21 0.35 0.14 0.7
2 0.09 0.15 0.06 0.3
0.3 0.5 0.2
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y) (b) Determine si X y Y son independientes (c) Encuentre la cov (X,Y).
x\y 2 3 4 f(x) 1 0.06 0.15 0.09 0.3 2 0.14 0.35 0.21 0.7 G(y) 3/8 5/8 1/4 Fig. 5/24 (a) (a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre: a) ( ) ( )
b) Determine x e y son independientes.
c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable.
x\y -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.05 1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.05 2 0.03 0.12 0.07 0.06 0.03 0.04
a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
b) (0.3)(0.18) = 0.05
0.054 = 0.05 no son independientes
(0.30)(0.22) = 0.05
0.066 = 0.05
c) z -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.05 0.15 0.18 0.17 0.22 0.11 0.08 0.04( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
√
5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre.
a) Determine la función conjunta de X y Y b) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y)
a)
x\y 0 1 2 3 4 f(x)
0 1/16 0 0 0 0 1/6
1 0 4/16 0 0 0 4/16
4 0 0 0 0 1/16 1/16 G(y) 1/16 7/16 5/16 2/16 1/16 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados
a) Determinar la distribución conjunta de x e y b) Encuentre la cov(x,y) y 𝝆(x,y)
a)
x\y 1 2 3 2 0.1 0 0 3 0 0.4 0 4 0 0.1 0.2 5 0 0 0.2( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
√
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
5.81.- Sea una variable aleatoria con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar ( ).
Por el teorema:
( )
( )
5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el cual
( )
√
√
( )
√
5.83.- Sea una variable aleatoria con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3 X 3).
( ) ( )
5.84.-Sea x una variable aleatoria con media
¿para que valor de
produjerala desigualdad de chebyshev ( ) ?
√
√
√
5.85.- Sea X una variable aleatoria con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar:
a) ( ) b) ( ) Datos a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( )
( ) ( )
PROBLEMAS MISCELÁNEOS
5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
( ) =
Encuentre:
a) ( )
b) P(3<=x<=7)
c) P(x>=6)
a)
( )( )
b) ( )( )
c) ( )( )
5.87.- Determine y trace la grafica de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria del problema 5.86.
( ) { (a) ( ), (b) ( ), (c) ( ). {
Por consiguiente obtenemos una función de probabilidad acumulativa:
( )
5.88.-Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
f(x) =
Evalué k y encuentre
a) ( )
b) ( )
c) ( )
( )( )
a) ( )
( )
( )( )
b) ( )
( )
( )( )
c) ( )
( )
( )( )
5.89.- Grafique la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución:
x -3 2 6
f(x) 1/4 1/2 1/4
5.90.-Pruebe el teorema 5.11 sea variables aleatorias de S con ( ) entonces
E(Z) =
∑ ( ) ( ) donde h es la distribución conjunta de x e y
( )
( ) ∑
( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ()
( )
5.91.- Sea X una variable aleatoria para el cual demuestre que p(x,x)=1 y p(x,-x)=-1
x 1 2 3
√ x\x 1 2 3 f(x) 1 0.1 0 0 0.1 2 0 0.5 0 0.5 3 0 0 0.4 0.4 F(x) 0.1 0.5 0.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 𝝆( ) x\x -1 -2 -3 f(x) 1 0.1 0 0 0.1 2 0 0.5 0 0.5 3 0 0 0.4 0.4 F(x) 0.1 0.5 0.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
