5TO AÑO - IV BIM - COMPENDIO 2013 - FIN

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CEP Santa María de la Providencia

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CEP Santa María de la Providencia _Aritmética

1. CONCEPTO

La estadística es una metodología que nos provee de un conjunto de métodos, pautas y procedimientos, para la recolección, organización (clasificación), análisis e interpretación de datos en forma adecuada, para en base de ellos, tomar decisiones cuando existen situaciones de incertidumbre.

Ejemplo:

Estudiar la variación mensual del precio del dólar durante los últimos 5 años, para averiguar qué mes del año es el más favorable para comprar dólares. El grado de aceptación de un producto

por los consumidores para averiguar la rentabilidad de un negocio dedicado a tal producto.

2. CLASES DE ESTADÍSTICA

Descriptiva Inferencial

2.1. Estadística Descriptiva

Parte de la estadística que se ocupa de la recolección, organización,

presentación, descripción y

simplificación de datos. 2.2. Estadística Inferencial

Es la parte de la estadística, que en base a los resultados y análisis de los datos aplicando las teorías necesarias, pretende inferir las peculiaridades y las leyes que gobiernan la población de la cual proceden los datos.

3. CONCEPTO BÁSICOS

3.1. Población

Conjunto de todos los individuos en las cuales se presentan una característica que se tiene interés en estudiar. 3.2. Muestra

Es un subconjunto de la población, elegido convenientemente con el propósito de obtener información y conclusiones de la población del cual proviene.

Se toman muestras cuando es difícil o costosa la observación de todos los elementos de la población.

4. VARIABLE ESTADÍSTICA

Una variable es un símbolo que representa a uno de los elementos de un conjunto de datos.

Ejemplo:

Sea “x” la variable “estatura” de los alumnos de 4to. de secundaria entonces “x” puede tomar los valores siguientes:

x1 = 1,68 mts. x2 = 1,66 mts.

x3 = 1,52 mts. x4 = 1,85 mts.

5. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

5.1. Variable Cualitativa

Cuando presenta una cualidad o

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Aritmética Ejemplo: - Estadio civil 5.2. Variable Cuantitativa

Cuando los valores que asume son números, como resultado de conteos. Ejemplo:

Peso, edad, estatura, etc.

6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: O PROMEDIOS

Existen diferentes tipos de promedios, entre ellos los más usuales son:

La media aritmética o media. a) La mediana.

b) La moda.

c) La media geométrica. d) La media cuadrática. e) La media armónica. 7.1. Para datos sueltos:

Sean los siguientes datos: a1, a2, a3, a4, … , an A. MEDIA ARITMÉTICA (x)

 

m.a (x)= n a ... a a a1 2 3  n Ejemplo:

Dados los siguientes datos: 4, 12, 5, 7, 8, 6 Hallar la media aritmética.

Solución: 6 6 8 7 5 12 4 x      = 8,4 x = 8,4 B. MEDIANA (Me)

La mediana de un conjunto de datos ordenados en forma creciente o decreciente es la cantidad que divide a los datos en dos grupos de igual número de elementos.

Caso 1: n = impar  término central

Caso 2: n = par  semisuma de los dos términos centrales

Ejemplo 1 :

Considérense las siguientes 6 datos de medida de pesos.

3,8 kg, 4, 6; 5,2; 9,0; 8,4; 3,6 Solución:

Ordenando los datos: 3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9,0 n = 6  n : par Me = Enésima t3 y t4 Me = 2 8 , 9 2 2 , 5 6 , 4  _ Me = 4,9 Ejemplo 2 :

Considere los siguientes 7 datos de notas de los alumnos del 4to. año 08, 09, 12, 05, 14, 06, 08.

Solución:

Ordenando los datos: 0,5, 06, 08, 08, 09, 12, 14 Luego n = 7; n = impar Me = Término central Me = 08

C. MODA (Mo)

Es un rango de la variable que se repite con mayor número de veces en la distribución.

Ejemplo:

Consideremos los siguientes datos: 10, 13, 11, 8, 9, 10, 13, 8, 10, 14, 11, 12 Solución:

Ordenando los datos:

8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14 notamos que el dato con mayor repetición es 10.

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Organización y representación de

datos en una tabla de frecuencias

Veamos previamente algunas definiciones: Tamaño de muestra (n)

Número total de datos Alcances (A)

Intervalo definido por los datos de menor y mayor valor.

Rango (R)

También llamado “recorrido de los datos” es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que toma la variable.

Determinación del número de intervalos (k)

Si “n” es el número de datos, entonces: k = n es el número de intervalos que se recomienda dividir la muestra.

“En realidad NO existe una regla fija para determinar el número óptimo de intervalos. Juega un papel importante el CRITERIO del investigador”

Determinación del tamaño de los

intervalos

Dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (k), también se le denomina amplitud de clase.

NOTA:

Cada uno de los intervalos se considera cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Esta regla no se aplica al último intervalo, el cual se considera cerrado a la derecha.

1. De los siguientes datos: 8, 12, 15, 15, 13, 21, 24, 36. Hallar su x

a) 16 b) 18 c) 20

d) 22 e) 24

2. De los siguientes datos: 1.20; 1.22; 1.20; 1.18; 1.35 Hallar su x

a) 1.20 b) 1.21 c) 1.22

d) 1.23 e) 1.25

3. En la última práctica calificada de aritmética se obtuvieron las siguientes notas de 5 alumnos.

08, 12, 14, 06, 20

Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 6 c) 12

d) 14 e) 20

4. En el último examen se obtuvieron las siguientes notas de 8 alumnos: 12, 14, 16, 12, 14, 08, 05, 03. Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 12 c) 12,5

d) 14 e) 14,5

5. De los siguientes datos hallar la moda: 6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 13

6. De los siguientes datos halla la mediana: 14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14

a) 12 b) 11 c) 14

d) 16 e) 25

7. De los siguientes datos no agrupados hallar la media aritmética:

26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18

a) 26 b) 34 c) 20

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Aritmética

8. Las edades de los 10 alumnos de 4to. año son los siguientes: 14, 15, 16, 14, 15, 15, 16, 14, 14, 14

Hallar: x, Mo, Me. Dar como respuesta la suma de ellos.

a) 14 b) 14,5 c) 14,7

d) 28,5 e) 43,2

9. A continuación se muestra las notas obtenidas por 30 alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética

18 13 18 17 12 13 14 16 18 13 14 15 14 12 20 15 16 14 18 16 16 16 14 17 18 17 17 12 17 19

Construir una tabla de frecuencias, hallando:

a) Tamaño de la muestra b) Alcance

c) Rango

d) El número de intervalos e) El ancho de los intervalos

10. A continuación se muestra los pesos de 24 personas

64 65 52 57 56 69

72 75 53 54 68 65

64 63 52 66 57 61

66 65 67 68 62 65

1. Indicar la “x” de los siguientes datos: 6, 8, 14, 16, 18, 9, 6

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

2. Indicar la “Me” de los siguientes datos: 12, 14, 16, 17, 14, 14, 14, 14, 16, 13, 11, 11

a) 13 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

3. Del problema “2” indicar la “Mo”

a) 12 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

4. Dados los siguientes datos de las edades de 10 profesores de ciencias:

22, 25, 23, 36, 32, 36, 23, 23, 23, 25 Dar la “Mo”

a) 22 b) 23 c) 25

d) 28 e) NA

5. Del problema anterior hallar la “me”

a) 24 b) 26,2 c) 26

d) 26,6 e) 26,8

6. Del problema “4” dar la x

a) 26 b) 26,2 c) 26,4

d) 26,6 e) 26,8

7. A continuación se muestra los pesos de 24 personas

64 65 52 57 56 69

72 75 53 54 68 65

64 63 52 66 57 61

66 65 67 68 62 65

Construir una tabla de frecuencias, hallando: a) Tamaño de la muestra

b) Alcance c) Rango

d) El número de intervalos e) El ancho de los intervalos

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Marca de Clase (Xi)

Es el promedio de los límites de un intervalo de clase. Frecuencia absoluta simple (fi)

Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de veces que se repite dicho valor en el conjunto de datos.

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes a los datos menores e iguales al dato en referencia.

Frecuencia Relativa (hi)

La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.

hi = n fi

Frecuencia Relativa Acumulada (hi)

La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.

Hi = Fi n

Tabla de distribución de frecuencias

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01.- A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética 16 15 12 17 16 19 12 15 13 14 18 15 14 13 12 16 17 19 16 15 17 18 12 15 15 14 18 16 17 14 12 16 18 17 19 20 13 14 16 15

Construir la tabla de distribución, hallar la marca de clase, las frecuencias absolutas, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa simple y la frecuencia relativa acumulada.

02.- A continuación se muestra los pesos de 24 personas

40 64 42 70 56 63

58 68 53 64 68 62

62 63 55 56 57 62

67 85 57 58 66 68

Construir la tabla de distribución, hallar la marca de clase, la frecuencia absoluta, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa simple y la frecuencia relativa acumulada.

03.- A continuación se muestra las edades de 24 personas

10 14 23 34 16 40

15 16 11 38 18 25

18 18 18 35 37 12

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Aritmética

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

Media Aritmética

k

i i

i 1

X .f

X

n





Donde:

K = número de intervalos de clase Xi = Marca de clase de la clase i fi = Frecuencia absoluta de clase i hi = Frecuencia relativa de la clase i Para el ejemplo

680 X

17

40 



Mediana (Me)

m 1 e m m m

n

F

2 M

L

W .

f





_



























Donde:

L

m : Límite inferior de la clase mediana

W

m : Amplitud de la clase mediana

n

: número total de datos

F

m-1 : Frecuencia absoluta acumulada dela clase que precede a la clase mediana

f

m : Frecuencia absoluta de la clase mediana

(13)

Para nuestro ejemplo:

e

40

18 ₁₁₅

2 M

15 5.

16, 42

7

7 































Moda (Mo)

o 1 1 2

d

M

Lo Wo

d









_

_







Donde:

L

o : Límite inferior de la clase modal.

W

o : Amplitud de la clase modal.

d

1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente.

d

2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente. Para el ejemplo:

f2 = 10 ……. Ahí se ubica la clase modal.

d1 = 10 – 8 = 2 d2 = 10 – 7 = 3 o o 2 M 10 5 2 3 M 12    _{ } _    

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Aritmética

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Miden el grado de dispersión de los datos respecto a un promedio. Las medidas de dispersión que estudiaremos son:

VARIANZA

La varianza de un conjunto de datos mide la dispersión matemática de los datos con respecto a la media.

2 i i 2

f (X

X)

s

n







Donde:

f

i : frecuencia de cada una de las clases

X

i : marca de clase de la clase i

X : media aritmética

n

: total de datos DESVIACIÓN ESTANDAR

Es la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación estándar =

s =

2 i i

f (X

X)

n





COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Es la relación entre la desviación estándar y la media aritmética. C.V. = s X

ó C.V. =

s 100% X

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01.- A continuación se muestra las notas obtenidas por 18 alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética

16 15 12 17 16 18

12 15 13 14 18 15

14 13 15 16 17 20

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la m ediana, la moda, la varianza la desviación estándar y el coeficiente de variación

02.- A continuación se muestra los pesos de 24 personas

40 64 42 70 56 63

58 68 53 64 68 62

62 63 55 56 57 62

67 85 57 58 66 68

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la mediana, la moda, la varianza la desviación estándar y el coeficiente de variación

03.- A continuación se muestra las edades de 24 personas

10 14 23 34 16 40

15 16 11 38 18 25

18 18 18 35 37 12

16 15 11 27 21 18

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la mediana, la moda, la varianza la desviación estándar y el coeficiente de variación

(16)

(17)

01.- Dado el siguiente cuadro estadístico. Halle a+b+c, si los intervalos de clase tienen ancho común

Ii Xi fi Fi hi Hi [ 0 ; > 20 [ 20 ; > 30 [ ; > a c 0,20 [ ; > b 0,70 [ 32 ; ] 60 a) 150 b) 166 c) 170 d) 180 e) 145

02.- La siguiente tabla muestra la distribución de las estaturas correspondientes a 80 basquetbolistas de un club, determine que tanto por ciento de los basquetbolistas miden menos de 200cm y f5

Ii (cm) fi Fi hi [ 170 ; 180 > [ 180 ; 190 > 48 60 [ 190 ; 200 > 0,125 [ 200 ; 210 > 0,075 [ 210 ; 220 > a) 85% ; 5 b) 85,5% ; 4 c) 87,5% ; 4 d) 88% ; 5 e) 75% ; 5

03.- Calcule la mediana en:

Ii Xi fi hi Hi [ 30 ; 50 > 0,20 [ ; > 20 [ ; > 0,90 [ ; >

(18)

Aritmética

04.- Calcule la moda en:

Ii fi Fi hi [ 20 ; > 12 [ ; > 0,15 [ ; > [ ; > [ 60 ; > 60 a) 35 b) 36 c) 40 d) 45 e) 55 05.- Calcule a+b+c Ii fi Fi hi [ 10 ; > [ ; > 5 [ ; > 3 [ ; > c a [ ; 40 > 1 20 b a) 18,35 b) 18,36 c) 19,40 d) 19,45 e) 55

05.- Calcule la media aritmética

Ii Xi fi Fi [ 200 ; > a [ ; > b/9 70 [ ; 500 > b c [ ; > 3a 160 a) 18,35 b) 18,36 c) 19,40 d) 19,45 e) 55 06.- Calcular a . b + f1 + f3 + n + x3 Ii Xi fi hi [ 2 ; b > a f1 [ ; > 8 5 0,125 [ ; > [ ; > 0,375 n a) 85 b) 86 c) 94 d) 96 e) 85

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1. En el siguiente cuadro de frecuencias:

[20;30> [30;50> [50;80> [80;90> 8 9 12 11 40

Determinar la suma de las frecuencias relativas del primer y tercer intervalo de clase a) 0,36 d) 9,55

b) 0,45 e) 0,60 c) 0,50

2. El siguiente cuadro muestra la estatura de un grupo de estudiantes.

Hallar el número total de estudiantes. A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40

3. Hallar la frecuencia de la clase [1,75 - 1,79], con respecto al cuadro anterior.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 12

4.

La siguiente tabla muestra las puntuaciones en un test de aptitud vocacional sometido a 30 personas.

(20)

Aritmética

5. En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias: x_i = n° de hijos por familia

f _i = n° de familias

Calcular el porcentaje de familias que tienen menos de 5 hijos.

A) 88% B) 68% C) 30%

D) 24% E) 4,12%

6. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias e indicar el valor de f1 + f3.

[20;30> [ ;40> [ ;50> [ ;60] 0,40 0,08 20 10 Total a) 24 c) 44 b) 34 d) 50 e) 40

7. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias incompleta:

Notas hi Hi [0 ; 4 > 0,18 [4 ; 8 > 0,44 [8 ; 12 > [12 ; 16 > 0,12 0,91 [16 ; 20 >

Halla la nota promedio

a) 10,80 b) 9,80 c) 7,85

(21)

INTERÉS : Es la suma de dinero o ganancia que produce un capital, al ser prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada.

Para éste capitulo es necesario que tengas en cuenta ciertos conceptos:

Rédito : Es la tasa porcentual al que fue sometido o prestado el capital, esto siempre será representado en porcentaje por ejemplo: 10%; 1,5%; etc, etc.

Capital : Es la cantidad de dinero que es prestado o depositado en alguna entidad financiera. Además debes saber que existen dos tipos de interés: interés simple e interés compuesto.

Se dice interés simple cuando los intereses que gana el capital se retiran, quedando el capital constante. Ejemplo:

Sea un Capital = 2000 soles y el rédito = 10% y el tiempo = 3 periodos

Como se ve en el ejemplo el capital siempre es 2000 soles y además el interés es contante de periodo a periodo.

Fórmula para hallar el interés Simple:

C t r

I

100  



I : Interés C : Capital

t : Tiempo (años, meses, días) r : Rédito (tasa porcentual %) OBSERVACIONES:

 El denominador de la fórmula varía de acuerdo al tiempo: * Si el tiempo está en años el denominador es : 100 * Si el tiempo está en meses el denominador es: 1200 * Si el tiempo está en días el denominador es: 36 000  En este capítulo se debe tomar en cuenta que :

Mes Comercial = 30 días

I periodo II periodo III periodo

C= 2000 C= 2000 C= 2000

Interés= 200 Interés= 200 Interés= 200

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Aritmética

Año calendario tiene 365 días si el año NO es bisiesto y si el año es bisiesto tendría 366 días ya que en el mes de febrero se aumenta 1 día más, es decir el mes de febrero tiene 29 días.

El rédito para ser reemplazado en la fórnula siempre debe estar expresado en periodo ANUAL, y no en periodos parciales, y si lo fuera se tiene que encontrar el equivalente anual, como por ejemplo:

10% diario  10% . 360 = 3600% anual 10% mensual  10% . 12 = 120% anual 10% bimestral  10% . 6 = 60% anual 10% trimestral  10% . 4 = 40% anual 10% cuatrimestral  10% . 3 = 30% anual 10% semestral  10% . 2 = 20% anual 10% pentamestral  10% . 2,4 = 24% anual 10% octomestral  10% . 1,5 = 15% anual 10% quincenal  10% . 24 = 240% anual 10% semanal  10% . 360 7 = 3600 7 % anual Ejemplo:

Hallar el interés que produce un capital de 200 soles, prestado al 40% bimestral en 8 meses. Solución:

Capital = 200 Tiempo = 8 meses

Rédito(Tasa) = 40% bimestral (este dato no se debe aplicar en la fórmula porque está en bimestres) Rédito = 40 . 6  240% anual 200 8 240% I 320 1200    

Monto (M) .- El monto es la cantidad de dinero que se paga al final del préstamo es decir el capital (dinero prestado) más el interés ( la ganancia).

Monto C I

Nota: Un año es bisiesto cuando el número que se le designa es divisible por cuatro, sin embargo los años acabados en dos ceros sólo son bisiestos en el caso de que sea también divisibles por 400, asi el año 2 000 es bisiesto pero no fue así en los casos de 1700, 1800 y 1900.

1. Cual es la utilidad de un capital de 4000 dólares, que fue prestado al 10% semestral durante 2 trimestres. a) 200 b) 400 c) 500 d) 600 e) 100

2. Cual es el beneficio que un capital de 2500 dólares produce al ser invertido al 5% pentamestral, durante 3 cuatrimestres.

3. a) 300 b) 400 c) 700 d) 250 e) 150

4. Cual es el rédito semestral al fue prestado un capital de 3600 soles, durante 5 meses ganando 600 soles.

(23)

c) 40% d) 60% e) 5%

5. Un capital de 2000 soles fue prestado a “x” meses ganando 100 soles al 20% cuatrimestral. Hallar “x”. a) 8 b) 5 c) 2 d) 3 e) 1

6. Cual es el capital que ganó 600 dólares al ser prestado durante un semestre, al 5% octomestral. a) 12000 b) 24000 c) 15000 d) 16000 e) 18000

7. ¿En cuanto se convierte S/. 3000 al ser depositado durante 2 bimestres, al 10% trimestral? a) 400 b) 2500 c) 3400 d) 500 e) 200

8. Si César prestó S/. 6000, durante 28 días, al 1,5% semestral. Cuanto le cancelarón por dicho préstamo. a) 14 b) 5114 c) 6014 d) 8105 e) 214

9. Se prestó S/. 3600 durante 2/3 de mes, al 1,4% semanal. Cual es el monto?

a) 744 b) 144 c) 2514 d) 3744 e) 577

10. ¿Durante cuanto tiempo hay que depositar un capital para que se triplique al 10%? a) 10 años b) 50 meses c) 40 días d) 20 años e) 60 días a) 20 años b) 40 semanas c) 50 días d) 60 quincenas e) 10 bimestres

12. Cuál es el interés compuesto que produce S/.10000 al 2%, capitalizable anualmente en 2 años. a) 10404 b) 140 c) 540 d) 404 e) 504

13. Cuál es el interés compuesto que produce S/. 20000 al 2% anual, capitalizable semestralmente en un año. a) 20412 b) 1440 c) 1444 d) 402 e) 122

14. ¿A que porcentaje se debe colocar un capital para que en 2 años y 6 meses produzca un interés igual al 3/5 del monto? a) 50%

b) 10% c) 60% d) 70% e) 9%

15. ¿A cuantos meses se debe colocar un capital al 10% semestral produzca un interés son los 1/7 del monto?

a) 20 meses

b) 30 meses

c) 50 meses d) 10 meses e) 15 meses

16. ¿A cuantos días se debe colocar un capital al 5% semestralmente para que gane un interés igual al 10% del monto?

a) 500 b) 200 c) 700 d) 150 e) 400

17. Se prestó un capital al 7% si se hubiese impuesto dos año más al mismo porcentaje, el interés habría sido el 125% del anterior. ¿Por cuánto tiempo se prestó?

(24)

Aritmética

e) 10

18. Una persona divide su capital en tres partes iguales y la impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de S/. 1000. ¿Cuál era su capital?

a) 7200 b) 7500

c) 7400 d) 7800 e) 7900

19. Una persona coloca la quinta parte de su capital durante un semestre al 3% trimestral y el resto durante 5 meses al 2% bimestral, ganando una renta total de S/.260.

a) 1000 b) 4000

c) 6000 d) 5000 e) 5500

20. Si se hubiese depositado un capital al 5% en lugar del 3% se hubiese ganado S/.200 más. ¿Cuál es el interés que se hubiera ganado en el mismo plazo anterior si la tasa hubiera sido 10%?

a) 1200 b) 1000

c) 5000 d) 2000 e) 300

21. Por cuantos años se prestará un capital al 7% anual para que el monto sea S/. 4050 sabiendo que si se presta al 7,5% semestral el monto que se genera es de 5250?

a) 3 b) 5

c) 6 d) 7 e) 4

1. Calcular el interés producido por S/. 3000 impuestos al 15% durante 3 años. a) S/. 500 b) 600 c) 800

d) 1000 e) N.A.

2. Determinar el interés generado al depositar S/. 3600 al 9% trimestral durante 8 meses.

a) S/. 500 b) 624 c) 700

d) 764 e) 864

3. ¿Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 5 años, para obtener un interés de S/. 3000?

a) S/. 1000 b) 1200

c) 1500

d) 2000 e) 3500

4. ¿A qué tasa de interés la suma de 20000 llegará a un monto de 30000

colocado a un interés simple en un año y 6 meses?

a) 10% b) 20 c) 30

d) 40 e) N.A.

5. ¿Cuál es el monto producido por un capital de S/. 8000 colocados al 9% anual durante 4 años y 7 meses?

a) S/. 8000 b) 53000 c) 6000 d) 11000 e) 11300

6. ¿Cuál es el capital que colocado al 9% quincenal genera en 2 meses un interés de S/. 72000?

a) S/. 10000 b) 15000

c) 18000 d) 20000 e) 30000 7. Calcular el interés producido por S/. 3680 que se han impuesto al 30% durante 5 años.

a) S/. 3680 b) 4000 c) 4680

d) 5000 e) 5520

8. Cuanto gana un capital de $2000 que fue prestado durante 5 meses, al 3% semestral?

a) 40 b) 50

c) 60 d) 80 e) 90

9. Cuanto produce un capital de $3000 que fue prestado durante 4 meses, al 5%.

a) 20 b) 50

c) 90 d) 100 e) 110

10. Cuál es el capital que durante 6 meses, al 2% semestral, produce $50.

a) 2400 b) 3000

c) 2500 d) 3500 e) 4500

11. A cuantos meses se prestó un capital de $1500 al 3% trimestral y ganó $75

a) 2 b) 4

c) 6 d) 5 e) 8

12. Cuál es el rédito trimestral al que fue prestado un capital de $1000 durante 7 meses, ganando $70.

a) 2% b) 4%

c) 3% d) 5% e) 9%

Dos personas tienen juntos S/.167280, la primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%, durante 7 meses. Indique el capital menor.

(25)

a) 32450 b) 24480 c) 40480 d) 36480 e) 23320

(26)

Aritmética

r

_c

r

_a

r

_b

A

B

C

r

O  Arista Cara Cara x y B A

70 º

(27)

(28)

Aritmética

PLANO: Es una superficie ilimitada de puntos, donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente Contenida en el plano.

* Postulados para la determinación de un plano: Un plano queda determinado por:

1. Tres puntos no colineales.

2. Una recta y un punto exterior a ella. 3. Dos rectas secantes.

4. Dos rectas paralelas. * Posiciones de dos planos:

1. Planos Secantes:

2. Planos Paralelos:

(29)

CEP Santa María de la Providencia _Geometría

Posiciones de una recta y un plano: 1. Secantes:

2. Paralelas:

Posiciones de dos rectas en el espacio: 1. Secantes:

2. Paralelas:

3. Cruzadas o Alabeadas:

• Recta Perpendicular a un plano:

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en él.

(30)

Geometría

* Teorema de las Tres perpendiculares:

Q a b E H F Si: a Q b Q  FE b HE b    

Propiedad: Teorema de Thales entre planos paralelos.

1. Indicar verdadero o falso.

I. Una recta y un punto que no pertenece a ella determina un plano.

II. Dos rectas secantes no forman un plano. III. Dos rectas paralelas determinan un plano.

a) VFV b) VVV c) FVF

d) FFF e) VFF

2. Indica verdadero o falso.

I. Tres puntos cualquiera determinan un plano. II. Una recta y un punto determinan una plano. III. Dos puntos no colineales forman un plano.

a) VVV b) VFF c) FFF

d) FVV e) VFV

I. La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo.

II. Una recta esta contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

III. Todo plano tienen porciones limitadas

a) VFV b) FFV c) VFF

d) VVV e) VVF

4. Calcular el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 15

5. ¿Cuántos planos como mínimo forman 6 rectas paralelas?

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

6. ¿Cuántos planos como máximo forman 15 rectas paralelas?

a) 35 b) 55 c) 85

d) 105 e) 120

7. Con 10 puntos no colineales; ¿Cuántos planos como máximo se pueden determinar?

a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

8. Con 14 puntos no colineales. ¿Cuántos planos como máximo se pueden determinar?

(31)

a) 364 b) 286 c) 324

d) 484 e) 268

9. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicadas en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q respectivamente. Calcular la distancia PQ si AB = 4.

a) 2 b) 2 2 c) 2

d) 3 2 e) 5 ₂

10. Calcular la proyección de AB , sobre el plano “P”; si “A” pertenece al plano “P”. AB = 50 y BH = 48.

a) 7 b) 14 c) 16 d) 18 e) 24

11. Calcular la proyección de AC sobre el plano “Q”, si “B” pertenece al plano “Q” , si “B” pertenece al plano “Q” , AN = 4 , MC = 6 y AC = 26. a) 12 b) 24 c) 13 d) 26 e) 10

12. En la figura A’B’ = 12 la diferencia de las distancias de B y A al plano P es 5. Hallar AB . a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15

13. Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de 8m situado en el plano y un punto “P” que dista 12m del plano. Hallar la distancia de AB al pie de la distancia mencionada, si AP = BP = 13m.

a) 2 b) 3 c) 4

1. Indicar verdadero o falso

I. Dos planos son paralelos entre si no tienen punto en común.

II. Una recta esta contenida en un plano cuando al menos un punto de dicha recta pertenece al plano. III. Una recta es paralela a un plano si no tiene un punto en común.

a) VVF b) VFV c) VFF

d) VVV e) FVV

I. Una recta es secante a un plano si solo se tiene un punto en común.

II. Dos rectas no coplanares son rectas llamadas alabeadas.

III. Rectas paralelas son rectas coplanares que tienen un punto en común.

a) VVF b) VFF c) FVV

d) FFV e) VVV

3. Con 8 puntos no colineales cuantos planos como máximo se pueden determinar.

a) 50 b) 55 c) 56

d) 60 e) 62

a) 200 b) 210 c) 220

d) 240 e) 250

a) 4000 b) 4300 c) 4960 d) 4980 e) 4990 P A A ’ B ’ B P A H B P M B A N C

(32)

Geometría

6. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q respectivamente. Calcular la distancia PQ; si: AB = 6.

a) 5 b) 3 2 c) 3 3

d) 5 2 e) 6 2

7. Se tiene un rectángulo ABCD donde AD = 5, CD =4, si del punto D se levanta una perpendicular DE. Calcular EC sabiendo que AE = 13.

a) 10 b) 2 10 c) 3 10

d) 4 10 e) 5 10

8. De la figura, calcular la proyección AB al plano Q Si : Sen = 5 3 a) 3 b) 4 c) 5 d) 4,5 e) 3,5 9. De la figura calcular : x a) a b) a 2 c) 2a 2 d) a 3 e) 2a 3

10. Al caer un libro del 4to año de secundaria quedo en la siguiente posición. Calcular la distancia AB . a) 10cm

b) 15 c) 20

d) 25 e) 28

11. Calcular BN, si los cuadrados ABCD y ADNM son perpendiculares Si: MN = 18 2 . a) 18 b) 16 c) 18 2 d) 18 6 e) 36 3

12. Del gráfico, el ABC es perpendicular al plano del cuadrado ACDE. Calcular BD; AB = 2.

a) 2

b) 2 2

c) 3 3

d) 3 e) 4

En la figura PQ es perpendicular al plano “A”, “Q” es centro de la circunferencia de radio 6, y “B” es punto de tangencia, si BC = 10 y PQ = 8. Calcular PC. a) 6 b) 8 c) 10 d) 10 2 e) 16 2 Q  A B a a x a 60º A B 20cm 20cm B C A _M D N B A C E D A B C Q P

(33)

* Ángulo Diedro:

Es una figura formada por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro.

A B F E C D P Q * Aristas: AB, CD * Caras: E, F, P, Q * Ángulo Plano ó Rectilíneo: y * Notación: Ángulo Diedro: d - AB d - CD * Ángulo Poliedro:

Es aquél ángulo sólido que se encuentra determinado por rayos concurrentes, coplanares entre sí dos a dos.

Vértice: O

Arista: OA, OB, OC, OD Caras: AOB, BOC, COD, AOD Ángulo Diedro:

Notación:

Ángulo Poliedro O - ABCD

b c a d A B C D O Clasificación:

de 3 caras: Ángulo Triedro de 4 caras: Ángulo Tetraedro de 5 caras: Ángulo Pentaedro de 6 caras: Ángulo Exaedro * Ángulo Triedro:

Es aquél ángulo sólido que se determina por tres rayos concurrentes coplanares entre sí dos a dos.

Vértice: O

Aristas: OA, OB, OC Caras: aº, bº, cº Ángulos Diedros: Notación:

Ángulo Triedro: O - ABC O b a c

(34)

Geometría

Clases de Ángulos Triedros:

a. Unirectángulo b. Birectángulo c. Trirectángulo

d. Isósceles e. Equilátero



_



Propiedades:

1. En todo ángulo poliedro la suma de los valores de sus caras es mayor que 0º pero menor que 360º.

2. En todo ángulo Triedro el valor de una cara es menor que la suma de las otras dos, pero mayor que la diferencia de ellas mismas.

3. En todo ángulo Triedro a mayor cara se opone mayor ángulo Diedro.

4. En todo ángulo Triedro la suma de sus ángulos Diedros es mayor que 180º pero menor que 540º. 5. En todo ángulo Triedro a caras iguales se oponen ángulos Diedros de valores iguales.

I. Dos planos son perpendiculares cuando determinan diedros que mide 90º.

II. El lugar Geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. III. Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios.

a) VFF b) VVF c) VVV

d) FFV e) FVF

2. Indicar verdadero ó falso

I. En todo triedro la suma de las medidas de las caras es mayor de 0º y menor de 360º.

II. Un triedro Bi-rectángulo es aquel que tiene dos caras que miden 45º.

III. Un ángulo triedro es aquel ángulo poliedro de tres caras.

a) FFF b) VVV c) VFV

d) VVF e) FFV

3. En un rectángulo ABCD: AB = 2 y BC = 4. Se dobla el rectángulo por los puntos medios de BC y AD formándose un ángulo diedro de 60º. Hallar la distancia entre los vértices A y C en la posición final.

a) 2 b) 3 3 c) 3

(35)

4. Dado el triedro tri-rectángulo O-ABC sobre sus aristas se toman longitudes OA = OB = OC = 10.

Calcular el área de la región triangular ABC.

a) 25 6 b) 75 6 c) 50 3

d) 50 6 e) 25 3

5. Dado un triedro tri-rectángulo O-ABC cuyas aristas OA, OB, OC miden 4 2 . Calcular el área de la región triangular ABC.

a) 16 b) 16 3 c) 18

d) 18 2 e) 17 3

6. Se tiene un triángulo isósceles AOB; AO = OB = 2a, se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo, tal que _{OM = a 6 se une “M” con “A” y “B”. Hallar el} diedro AB . Si: m ∡ AOB = 90º.

a) 30º b) 60º c) 37º

d) 53º e) 45º

7. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (O 90º) AO = OB = 2m por “O”. Se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo tal que OM= 2 , se une M con A y B. Hallar la medida del diedro AB .

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

8. En la figura AB = 15, BC = 20, AC = 25; BP es perpendicular al plano del triángulo ABC. Calcular el ángulo diedro que forman los planos de los triángulos ABC y APC. Además BP = 12.

a) 37º b) 15º c) 60º d) 30º e) 45º

9. Se tiene una plano “P” y un segmento AB exterior. Calcular la medida del ángulo que forman AB y el plano “P” sabiendo que A y B distan del plano 13cm y 7cm respectivamente además la proyección de AB sobre el plano mide 12cm.

a) 45º b) 30º c) 22º33’ d) 15º e) 18º

10. Dos caras de un triedro miden 80º y 120º, ¿entre qué límites varía la tercera cara?.

a) 40º y 200º b) 80º y 160º c) 40º y 240º d) 40º y 160º e) 60º y 180º

11. En el gráfico “BF” perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si : AB = BF = a y M es punto medio de CD . Calcular el área del triángulo FDM.

a) 2 a 2 b) 2 a 2 2 c) a2 2 d) 2 a 2 4 e) 2 38a 4

12. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6cm , del lado AB se toma el punto “P” y exterior al plano del cuadrado se toma “Q” de modo que PQ sea perpendicular al plano. Calcular el ángulo diedro que forman los planos del triángulo CDP y el cuadrado ABCD sabiendo que PQ = 3cm. a) 53º b) 53/2 c) 37º d) 37º/2 e) 30º

A

B

P

C

A

D

B

C

F

M

(36)

Geometría

II. Un triedro tri-rectángulo es aquel que tiene sus tres caras que miden 90º.

III. Un triedro rectángulo es aquel que tiene una cara que mide 90º.

a) VFV b) FFV c) VVF

d) VVV e) FFF

2. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y ADFG se encuentran en planos que forman un diedro de 120º. Hallar BF, si: CD = AG = 2m y FG = 6m. a) 4 b) 3 c) 4 3 d) 3 3 e) 2 6

3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB en el cual AO = OB = 6 m por el punto O se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo. Hallar OM si el diedro AB formado mide 60º.

a) 1m b) 2m c) 3m

d) 3,5m e) 3,8m

4. Se tiene un plano Q y un segmento AB = 12m en el espacio. Hallar la medida del ángulo  formado por AB con el plano, si las proyectantes de A y B miden 13m y 7m respectivamente.

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

5. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15 y 20m. Por B se levanta la perpendicular

m 3 12

BP al plano del triángulo, luego se une P con A y C. Calcular la medida del diedro AC .

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º

6. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre el plano. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corta a P1 tal que sus intersecciones distan 42cm?.

a) 21cm b) 31,5cm c) 21 2

d) 21 2 e) 21 2

7. Se traza PQ perpendicular a un plano “Q” esta en el plano haciendo centro en Q. Se traza una circunferencia de radio 24cm, por un punto B de esta se traza la tangente BC de 30 m.

Hallar: “PC”. Si: PQ = 32.

a) 40 b) 30 c) 50

d) 60 e) 20

8. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide:

a) 15º b) 45º c) 30º

d) 50º e) 75º

9. Dos caras de un ángulo triedro miden 140º y 160º. La tercera cara puede medir:

a) 80º b) 90º c) 60º

d) 40º e) 20º

10. Dos caras de un triedro miden 120º y 130º respectivamente, la tercera cara puede medir:

a) 10º b) 20º c) 110º

d) 120º e) 130º

Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: a) 15º b) 45º c) 30º d) 60º e) 75º d) 53º e) 60º A B C D F G

(37)

CEP Santa María de la Providencia _Geometría POLIEDROS Convexo cara vértice No Convexo vértice Arista TEOREMA DE EULER C = 5 V = 5 A = 8 C + V = A + 2 C = 7 V = 10 A = 15 5 + 5 = 8 + 2 7 + 10 = 15 + 2 TEOREMA

Sic = suma de los ángulos

internos de todas las caras.

Sic = 360º (A - C) = 360º(V - 2)

Sean : n 1, n2, n3, n4, ...

Los números de lados de las caras

del sólido.

2 ...

n

₁



₂



₃



₄



*

Aristas =

A : número de aristas

(38)

Geometría

POLIEDROS REGULARES: Sólo existen cinco poliedros regulares.

Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R

Octaedro R Icosaedro R

Po lie dro Re gular Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro C Forma Cara V A 4 4 6 6 8 12 8 6 12 12 20 30 20 12 30

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS REGULARES A) Tetraedro Regular 3 6 a h Aa2 3 12 2 3 a V B) Octaedro Regular da 2 A2a2 3 3 2 3 a V C) Hexaedro Regular da 3 A6a2 Va3

h: altura

A: área

V: volumen

d: diagonal del sólido

A: área

V: volumen

d: diagonal del cubo

A: área

(39)

1. Un poliedro está formado por 6 triángulos, 4 pentágonos y 7 cuadriláteros convexos. ¿Cuántos vértices tiene dicho poliedro?

a) 12 b) 13 c) 16

d) 17 e) NA

2. ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un octaedro regular?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

3. Hallar la suma de las medidas de los ángulos en las caras de un ángulo poliedro de un octaedro regular. a) 300° b) 240° c) 270° d) 360° e) 180°

4. ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un icosaedro regular?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

5. Hallar la suma de las medidas de los ángulos en todas las caras de un ángulo sólido de un icosaedro regular. a) 180° b) 360° c) 450° d) 320° e) 300°

6. Se da un icosaedro regular de1 m de arista. Hallar su área.

a) 5 3 b) 15 c) 3 5

d) 5 5 e) 20m2

7. Si la arista de un tetraedro es 3. Calcular su altura.

a) 3 b) 3 6 c) 6

8. Calcular el área de un tetraedro regular cuya arista es 3.

a) 3 b) 3 3 c) 2 3

d) 4 3 e) 3 2

9. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya arista es 6.

a) 18 b) 18 2 c) 18 3

d) 9 3 e) 4 2

10. Calcular el volumen de un tetraedro regular, sabiendo que su área total es 3.

a) 2 b)

62 c) 1 22

d)

1 23 e) 32

11. Calcular el área total de un hexaedro regular cuya arista es 4.

a) 48 b) 96 c) 36

d) 72 e) 96 3

12. Calcular el volumen del hexaedro regular cuya arista es 4 2.

a) 128 b) 128 2 c) 64 2

d) 32 2 e) 4 2

13. Calcular el área de un hexaedro regular cuya diagonal es 2 3.

a) 64 b) 18 c) 36

d) 24 e) 17

14. Calcular la diagonal del cubo sabiendo que su área total es 18m2_.

a) 1m b) 2m c) 3m

(40)

Geometría

1. Un poliedro está formado por 6 triángulos y 3 cuadriláteros, hallar:

a) el número de caras b) el número de aristas c) el número de vértices

2. Hallar la suma de las medidas de las caras de un ángulo poliedro de un hexaedro regular.

a) 360° b) 300° c) 180°

d) 270° e) 240°

3. En un dodecaedro regular, ¿cuánto suman las medidas de los ángulos en todas las caras de un ángulo sólido?

a) 540° b) 324° c) 180°

d) 360° e) 362°

4. Calcular la altura de un tetraedro regular cuya arista es 2. a) 32 b) 36 2 _c) 36 d) 26 e) 233

5. Calcular la diagonal de un cubo sabiendo que su arista es 2 3.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 6 3

6. Calcular el área total de un tetraedro regular sabiendo que su arista es 3.

a) 3 b) 3 3 c) 6

d) 2 3 e) 43 3

7. Calcular el área total del hexaedro regular cuya arista es 3.

a) 2 b) 1 c) 3

d) 6 e) 18

8. Calcular el volumen de un tetraedro regular, cuya arista es 30m.

a) 2000 b) 2200 c) 2250 2 d) 2250 3 e) 450 2

9. Calcular el volumen del hexaedro regular, si la arista es 4 2

a) 64 b) 8 2 c) 128 2

d) 64 2 e) 36 2

10. Calcular el área de un tetraedro regular, cuya altura es 2 6

a) 9 b) 9 2 c) 18 2

d) 36 2 e) 36 3

Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente: a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1 PRISMA

(41)

h

Pa ra lelepípedo recta ngula r (Rectoedro y ortoedro) *

Área = 2(ab+ bc+ ac) Volumen = a bc D2 = a 2 + b 2 + c 2 V = (A_BASE) . Altura a c b D ba se gene ra triz o a ltura (g)

su d esa rro llo la tera l

g R Arista la teral Altura Cara lateral vértice base El n om bre d el prism a d epend e del p olígo no d e la ba se. Los gráfi-cos m uestran a un pris-m a trian gu lar y a otro hexa go nal. CLASIFICACIÓN I. Prisma Recto Altura o arista lateral su desarrollo lateral

)

Lateral

Arista

(

.

)

P

2 (

A

_L _BASE BASE L T

A

2 A

A





altura

.

)

A

(

V



BASE



II. Prisma Oblicuo

sección recta ) Lateral Arista ( . ) P 2 ( AL  S.R ) Lateral Arista ( . ) A ( V  _S_._R Altura . ) A ( V  _BASE ( ) II. Paralelepípedo

Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos.

(42)

Geometría

1. Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de la base es igual a 5 y cuya altura es 12.

a) 30 b) 60 c) 120

d) 40 e) F.D.

2. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular cuya arista básica mide 3 y su altura es 6.

a) 72 b) 18 c) 80

d) 90 e) 100

3. Calcular el volumen de un prisma cuya base tiene un área igual a 7, y una altura de 8.

a) 28 b) 56 c) 65

d) 32 e) N.A.

4. Calcular el área total de un rectoedro cuyas dimensiones son: 2 , 3 y 4

a) 25 b) 52 c) 24

d) 12 e) 9

5. Calcular el área lateral del prisma recto mostrado. a) 3

b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

6. Calcular el área total del cubo. Si: S = 5 2 a) 20 b) 10 2 c) 30 2 d) 30 e) 60

7. Del problema anterior. Calcular el volumen del cubo.

a) 125 b) 25 c) 25 5

d) 5 5 e) 10 5

8. Calcular “S” , si la figura es un prisma. A = 15m2_{, B = 20m}2 a) 20 2m2 b) 10 c) 20 d) 25 e) N.A.

9. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 4 y la altura 5.

a) 8 b) 20 c) 40

d) 80 e) 60

10. Calcular el área total de un cilindro de revolución cuyo radio de la base es π2 y cuya generatriz es 4.

a) 2(4 2 +1) π _{d) π}2

b) 2( 2 +2) π e) N.A.

c) 2

11. Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya base es de 10m2_{y una altura de 3m.}

a) 15m3 _{b) 30} _{c) 12}

d) 5 e) N.A.

12. Calcular el área lateral del cilindro de revolución mostrado. a) 60

S

B

A

5 30º (3-3)

(43)

b) 120

c) 10

d) 60 e) 120

13. Calcular el volumen del cilindro circular recto mostrado. Si: S = 4m2_. a) 60m3 b) 16 c) 160 d) 32 e) f) 64

14. Calcular el volumen del cilindro. Si: A = 32 a) 93 b) 27 c) 12 d) 16 e) 15

1. Calcule el volumen del prisma regular.

d) 48 e) 4 3

2. Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de la base es 6 y cuya altura es 15.

a) 45 b) 60 c) 90

d) 30 e) 15

3. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular de arista básica 5 y una altura de 8.

a) 80 b) 20 c) 200

d) 100 e) N.A.

4. Calcular el volumen de un prisma cuya base tiene un área de 12, y cuya altura es igual a 5.

a) 30 b) 60 c) 90

d) 15 e) 75

5. Las dimensiones de un paralelepípedo recto son: 3, 4 y 5 . Halle su área total.

a) 47 b) 24 c) 94

d) 48 e) 12

6. Del problema anterior, indique verdadero o falso. - La Longitud de la apotema es 3 ( )

- El área lateral es 24 3 ( )

- El área de una base es 12 ( )

- El prisma tiene 18 aristas ( )

a) VVFF b) VFVF c) VVVF d) FFVV e) N.A.

7. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 8 y una altura de 4.

a) 64 b) 128 c) 32 d) 16 e) 256 O 120º _A 3 m O S 10

(44)

Geometría

a) 40m2 _{b) 72}_ _{c) 48}_ d) 24 e) N.A.

9. Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya base es de 15m2_{y una altura de 4m.}

a) 30m2 _{b) 15} _{c) 60}

d) 40 e) 60

10. Calcular el área lateral del cilindro de revolución mostrado. (R = 5) a) 20 b) 40 c) 80 d) 50 e) 100

11. Calcular el volumen del cilindro circular recto mostrado. Si: S = 2m2_. a) 60m3 b) 160 c) 16 d) 64 e) 32

12. Calcular el volumen del cilindro. Si: A = 62_. a) 93

b) 27

c) 45

d) 12

e) 15

Halle el volumen sombreado del cilindro de revolución. (R = 4 , r = 2) a) 20 b) 40 c) 60 d) 120 e) N.A.

120º A 5 R R 2R 45º _S 10m R 5

(45)

CEP Santa María de la Providencia _Geometría I.- PIRAMIDE Elementos : * Vértice : O * Base : ABCD * Altura : H * Arista laterales : OA , OB , ... Notación: Pirámide : O - ABCD

PIRÁMIDE REGULAR:

* Apotema de la pirámide : AP * Apotema de la base : ap

* Semiperímetro de la base : PBASE

* Área Lateral : (AL)

AL = PBASE . AP

* Área Total : (AT)

AT = PBASE (AP+aP)

* Volumen : (V) V = 1

3. SBASE . h en cualquier pirámide

II.- CONO DE REVOLUCIÓN

* Generatriz : g * Radio de la base : r

H

O

A

D

B

_C

O

B

_C

H

A

M

D

h

Ap

ap

h

O

H

A

r

g

(46)

Geometría

DESARROLLO DEL ÁREA LATERAL (AL) * Área Lateral (AL)

AL =  rg

* Área Total (AT) AT =  r (g+r) * Volumen (V)

V = 1 3 r2 h

1. Calcular el área lateral de la pirámide regular. a) 16

b) 32 c) 12 d) 12 2 e) 16 2

2. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular si la arista básica es 4 y la altura 2 3 .

a) 16 b) 32 c) 12

d) 24 e) 48

3. De acuerdo a la figura. Calcular el volumen del sólido. a) 18 b) 36 c) 12 d) 21 e) 9

4. La base de una pirámide regular es 20m2_{y la altura} 6m. Calcular el volumen del sólido.

a) 40m3 _{b) 20} _{c) 60}

d) 30 e) N.A.

5. De acuerdo al problema anterior. Calcular el volumen del sólido.

a) 9 3 b) 6 3 c) 18 3 d) 12 e) 27 ₃

6. Calcular el área lateral de un cono cuyo diámetro de la base es 2 y cuya generatriz es 6.

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) 2,5

7. Calcular el área lateral de la pirámide regular. a) 18

b) 6 3 c) 18 3 d) 12 e) 15

8. Si el radio de la base de un cono es 1 y su altura 3 . Calcular el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3c) 2

d) 6 e) 0.5

9. Calcular el área total del cono de revolución mostrado. a) 4 b) 5 c) 3 d) 10 e) 8 10. 3

11. Calcular el radio de la base de un cono de revolución, si la generatriz es igual a 5 y el área lateral es 5. 4 4 2 9 O 8 1

A

_A

O

g

2 r





°

2 3 3

(47)

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

12. Calcular el área total del cono de revolución siguiente. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3

13. Calcular el volumen de un cono de revolución, si la base tiene un área de 5m2_{y la altura mide 6m.}

a) 10m3 _{b) 15} _{c) 20}

d) 80 e) N.A.

1. Calcular el área lateral de una pirámide regular, cuya arista básica es 2 y de igual medida al apotema lateral. (base cuadrada).

a) 2 b) 4 c) 8

d) 12 e) 16

2. Calcule el área total de la pirámide cuadrangular regular. a) 16 b) 20 c) 12 d) 15 e) 4 3

3. El perímetro de la base de una pirámide regular es de 12km, su apotema lateral de 0,5km. ¿Cuál será su área lateral?

a) 6km2 _{b) 60} _{c) 30}

d) 3 e) 6

d) 10 e) N.A.

5. Calcular el volumen de la siguiente pirámide. A = 12m2_{, h = 5m} a) 60m3 b) 30 c) 15 d) 25 e) 20

6. El volumen de una pirámide regular es 90m3_{y el} área de la base es 30m2_{. Halle la altura.}

a) 18m b) 9m c) 3m

d) 3 m e) N.A.

7. Si el diámetro de la base de un cono es 4 y su altura 2 3 . Halle el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3c) 6

d) 10 e) 8

8. Calcule el área lateral del cono de revolución mostrado. a) 60 b) 60 c) 30 d) 30 e) 50

9. La figura muestra un cono de revolución. Halle su área total. S = 3 m2 a) 6m2 b) 12 c) 18 d) 20 e) N.A.

10. Calcular la medida de la generatriz de un cono de revolución, si el radio de la base es igual a 1 y el área lateral 5. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1 O 3 2 2 3 A h 6 O 37º 2 O S

(48)

Geometría

Esfera y Superficie Esférica:

01) Hallar “x” A.- Volumen 2

Area  B.- Media esfera ó hemisferio

Volumen = 18 m3

C.- Cilindro y Esfera D.- Cilindro y hemisferio Area lateral del cilindro: 50 m2 _{Volumen = 45}__cm3

(49)

02) Hallar la superficie esférica, si el área de su círculo máximo es 36. a) 100 u2 b) 144 c) 124 d) 120 e) 152

03) En el gráfico si el volumen de la esfera es 32/3 u2_. Calcular el volumen del cilindro.

a) 16 u3 b) 18

c) 30

d) 24

e) 20

04) Calcular el volumen del cono menor: a) 720 u3

b) 868

c) 700

d) 668

e) 768

05) En la figura, en que relación se encuentra el

volumen del cono recto de revolución y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono?

a) 3/1 b) 2/1 c) 8/5 d) 4/1 e) 8/3

06) La diagonal del cubo mostrado es 6 3 . Calcular el volumen de la esfera inscrita en el cubo.

a) 27

b) 36

c) 54

d) 81

e) 288

07) En un cesto se han colocado dos pelotas de igual radio y el volumen de uno de ellos es de 32/3. Hallar el volumen del cesto.

a) 16

b) 22

c) 42

d) 30

e) N.A.

08) En la figura se muestra un cono equilátero cuya altura mide 6cm. Hallar el área de la esfera inscrita.

a) 36

b) 16

c) 72

d) 120

e) 144

09) Se inscribe un cubo en una esfera de radio 3 m. Calcular su arista.

a) 6 m b) 3 3 c) 2 d) 2 3 e) N.A

10) El diámetro de una esfera mide 60cm. ¿Cuál es el diámetro de la base de un cono de igual volumen, cuya altura es 30cm?

a) 0.60m b) 1.20 c) 1.80 d) 2.40 e) N.A

La pirámide y el cono mostrados son sólidos equivalentes. Si: r = , calcular “a”

a) /2 b) /3 c)  d)  e) 2

R

(50)

(51)

(52)

Álgebra 1 2 1 4 1 8         razón r númerodetérminos na Enésimooúltimo Primero a n 1

SUCESIÓN

e llama así al conjunto ordenado de acuerdo a una ley de formación. Ejemplo:

; ; ; ...

Ley de Formación: Los denominadores son potencias consecutivas de 2. Progresiones Aritméticas (P.A.)

Son aquellas sucesiones en las que se cumple que cualquier término, después del primero es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) o diferencia.

Ejemplo:

2; 5; 8; 11; ...  r = 3 (P.A. creciente: r > 0) 10; 6; 2; -2; ...  r = -4 (P.A. decreciente: r < 0) a; a + r; a + 2r; ...  Razón “r”

Representaciones Específicas

Para tres términos  (a - r); a; (a + r). Razón “r”

Para cuatro términos (a - 3r); (a - r); (a + r); (a + 3r). Razón “2r” Notación

Las progresiones aritméticas, llamadas también progresiones por diferencia, se representan de la siguiente manera: ÷ a1 . a2 . a3 . ... . an

En donde:

Propiedades

1. La diferencia entre dos términos consecutivos es constante e igual a la razón. En: _{÷ a1 . a2 . a3 . ... . an}

Se cumple: a2 - a1 = a3 - a2 = ... = r

2. El enésimo término es igual al primero más el número de términos disminuido en uno, multiplicado por la razón. Así tendremos: _{an = a1 + (n - 1)r}

* Ejemplo:

En: 2; 8; 14; ... . Calcular el quinto y el vigésimo término.

Solución:

Se tiene : a1 = 2 ; r = 6

Þ a5 = a1 + (5 - 1) r _{a5 = 2 + 4 × 6 = 26}

Þ a20 = a1 + (20 - 1) r _{a20 = 2 + 19 × 6 = 116}

3. La suma de los “n” términos de una P.A. es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicado por el número de términos.

(53)

CEP Santa María de la Providencia _Álgebra n 2 a a1 n                 . A . M " m " ... ... ... 1 m a b   5 1 4 2 27 r     Así: S = Además, como : an = a1 + (n - 1) r n 2 r ) 1 n ( a 2 S n 2 r ) 1 n ( a a S 1 1 1                 Si “n” es impar: S = (ac)n * Ejemplo: Calcular: S = 5 + 8 + 11 + ... (20 términos) Solución: Se tiene: a1 = 5 r = 3 20 2 3 ) 1 20 ( ) 5 ( 2 S  _   _ = 670 n = 20

Medios Aritméticos o Diferenciales

Se llama así a los términos de una progresión aritmética, comprendidos entre los términos extremos. Ejemplo:

 

3 medios aritméticos 6; 10; 14; 18; 22

Interpolación de Medios Aritméticos

Interpolar “m” medios aritméticos entre los números “a” y “b” , es formar una P.A. cuyo primer término será “a”, el último “b” y el número de términos “m + 2”. Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Si se desea interpolar “m” M.A. entre los números “a” y “b” se debe formar:

÷ a b

Aplicando: _{an = a1 + (n - 1) r} tendremos: b = a + (m + 2 - 1) r

r = Razón de interpolación * Ejemplo:

Interpolar 4 M.A. entre los números 2 y 27.

Solución: Se tiene que: a = 2 ; b = 27 ; m = 4 Luego:  Interpolando: Medios interpolados   2; 7; 12; 17; 22; 27

5TO AÑO - IV BIM - COMPENDIO 2013 - FIN

 

Organización y representación de

datos en una tabla de frecuencias

k

i i

i 1

X .f

X

n







680

X

17

40





n

F

2

M

L

W .

f































L

W

n

F

f

40

18

115

2

M

15 5.

16, 42

7

7



































d

M

Lo Wo

d

d







_

₁₁₅

_

_