CÁ LCULO MENTÁL TERCER GRÁDO BLOQUE I ECUACIONES CUADRÁTICAS.

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“PROGRAMA ESTATAL PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA” CICLO ESCOLAR 2013 – 2014

CÁ LCULO MENTÁL

TERCER GRÁDO

BLOQUE I

ECUACIONES CUADRÁTICAS

.

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS:

Resolver problemas de manera autónoma.

Validar procedimientos y resultados.

Comunicar información matemática.

Manejar técnicas eficientemente.

PROPÓSITO Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados y las operaciones escritas con _{números enteros, para resolver problemas aditivos y multiplicativos.}

EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

TEMA Patrones y Ecuaciones.

SUBTEMA Ecuaciones de segundo grado.

APRENDIZAJE

ESPERADO Que el alumno resuelva ecuaciones cuadráticas realizando estimaciones mentales. No. De SESIONES 5 Sesiones

INDICADOR DE DESEMPEÑO

1. Que el alumno resuelva problemas que implican ecuaciones cuadráticas sencillas. 2. Que el alumno analicen y resuelva problemas relacionados con las ecuaciones de segundo grado.

SECUENCIA DIDÁCTICA

SUGERENCIAS DE CÁLCULO MENTAL (SUMAR Y

RESTAR).

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo.

La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos

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utilizada en el aula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental.

Los ejercicios siguientes de cálculo menta están puestos a consideración del profesor, se sugiere que se aplique de 2 o 3 veces por semana durante los primeros 5 o 10 minutos de clase, este material se puede utilizar para reforzar el contenido del aprendizaje del alumno en la clase de matemáticas.

1.– Calcular 456 + 155:

456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)

2.– Calcular 634 - 256:

634- 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)

3.‒ Calcular 876 - 98:

876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)

876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda).

DUPLICACIÓN

Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.

Ejemplo: multiplicar 173 × 16:

Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.

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POTENCIAS DE 10

Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o más 1), se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n_{veces el número inicial más (o resta) del número inicial.} Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.

Ejemplo: multiplicar 28 × 99

28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772

Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121

121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11 / 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477

Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax2_{+ bx + c = 0, siendo a}_{0. El}

coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente.

 Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es

completa.

 Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación

es incompleta

1.- Pedro tiene que resolver la ecuación 3x2_{+ 6x = 0, utilizando el método}

de factorización, pero aún no ha entendido bien cómo resolverla. Ayuda a pedro eligiendo el procedimiento que resuelve correctamente la ecuación.

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cada uno de los incisos siguiente. A) 3x(x + 6) = 0 B) x(3x + 6) = 0 3x = 0, x + 6 = 0 x = 0, 3x + 2 = 0 X1 = 0 3, x2 = –6 x1 = 2, x2 = 1 3 C) 3x(x + 2) = 0 D) x(3x + 6) = 0 3x = 0, x + 2 = 0 x 0, 3x + 6 = 0 X1 = 0 3, x2 = –2 x1 = 0, x2 = 3 6

La opción que cumple es la C). ____________________________________

2.- Utiliza el cálculo mental para determinar cuál de las siguientes ecuaciones tiene dos raíces reales y distintas

a) x2_{-x + 1 =0}

b) x2_{- 2x +1 =0}

c) x2_{+ 5x -6 =0}

d) x2_{+ 3x +3 =0}

Hola, para determinar si una ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales y distintas, solo se debe de analizar el discriminante que se denota como un triangulito (Δ)

Bueno, aquí te presento al discriminante: ▬▬▬▬▬▬

Δ = b² - 4ac ▬▬▬▬▬▬

Ahora, para lograr lo que queremos, el discriminante debe de cumplir que sea siempre positivo, ósea mayor que cero. En pocas palabras:

Si Δ > 0 => la ecuación cuadrática tendrá dos raíces reales y distintas. Ahora, veamos las ecuaciones:

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x² - x + 1 = 0 a = 1 , b = - 1 , c = 1 Δ = b² - 4ac Δ = (- 1)² - 4(1)(1) Δ = 1 - 4 Δ = - 3 (No cumple) b) x² - 2x + 1 = 0 a = 1 , b = - 2 , c = 1 Δ = b² - 4ac Δ = (- 2)² - 4(1)(1) Δ = 4 - 4 Δ = 0 (No cumple) c) x² + 5x - 6 = 0 a = 1 , b = 5 , c = - 6 Δ = b² - 4ac Δ = 5² - 4(1)(- 6) Δ = 25 + 24

Δ = 49 (Si cumple, porque 49 > 0) d) x² + 3x + 3 = 0 a = 1 , b = 3 , c = 3 Δ = b² - 4ac Δ = 3² - 4(1)(3) Δ = 9 - 12 Δ = - 3 (No cumple)

La opción que cumple es la c)

__________________________________

RECURSOS DIDÁCTICOS

Libreta de cuadricula, Libro de texto, lápiz, estuche de geometría.

EVALUACIÓN - 2 problemas elaborados y resueltos por el alumno. _{- Examen Parcial.}

SECRETARIA DE EDUCACIÓN EN TAMAULIPAS SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA

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CÁ LCULO MENTÁL

TERCER GRÁDO

BLOQUE II

ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN.

Resolver problemas de manera autónoma.

Validar procedimientos y resultados.

Comunicar información matemática.

EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO.

APRENDIZAJE

ESPERADO Que el alumno resuelva ecuaciones cuadráticas realizando estimaciones mentales. No. De SESIONES 5 Sesiones

1.- Que el alumno resuelva problemas que implican ecuaciones cuadráticas sencillas.

2. Que el alumno analicen y resuelva problemas relacionados con las ecuaciones de segundo grado.

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Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:

1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. (a + b) (a - b) = a² - b²

CÁLCULO DEL CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA

DE DOS CIFRAS.

Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52² = (50 + 2)2_{, así que} aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2. (50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704 Más ejemplos: 17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289 76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776 95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

PRODUCTO DE DOS NÚMEROS EQUIDISTANTES DE UN

NÚMERO CUYO CUADRADO ES CONOCIDO

.

El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 62 × 58 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y

b = 2. (60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596 Más ejemplos: 77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391 95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975 128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

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CUADRADO DE UN NÚMERO ACABADO EN 5

El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5:

(a + 5) (a - 5) = a² - 25 Por tanto, se tiene que:

(a + 5) (a - 5) + 25 = a² Si a = 65, el resultado es el siguiente: 65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225. Más ejemplos: 35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225 105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025 255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025

En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 = 65000.

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CÁLCULO MENTAL DE ECUACIONES DE

SEGUNDO GRADO.

Existen varias formas de calcular mentalmente. El cálculo mental requiere un uso diario pero no siempre nos paramos a calcular mentalmente.

Para calcular mentalmente debemos saber muy bien las tablas de multiplicar y tener en cuenta que no podremos comprobar el resultado.

ECUACIONES DE 2º GRADO.

1.‒ Si resolvemos “de forma normal” la ecuación x2 – x ‒ 6 = 0

obtendremos:

Nos ponemos a reflexionar un momento, Para resolverlas sin la fórmula se debe realizar el proceso contrario.

Sabemos que los resultados pueden ser -2.3 ó 2.-3.

1. Para resolver la ecuación x2 _{- x – 6 = 0 buscamos dos números que multiplicados} entre sí den -6. -2 por 3 y 2 por -3.

2. Ahora ya sabemos que los resultados pueden ser (-2 y 3) ó (‒3 y 2). Para distinguir entre uno y otro se deben sumar los resultados. -2 + 3 = 1, -3 + 2 = -1 3. El resultado correcto es el que sumado de el segundo término pero con signo

contrario. Es decir: x = ‒2 y x = +3 es el resultado correcto porque si los sumamos sale 1 no -1.

Si lo comprobamos resolviéndolo con la fórmula nos saldrá el resultado. De este modo solo necesitaremos usar la fórmula cuando sean fracciones.

Los factores son (x+2)(x‒3)

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2.- Ana tiene que resolver la ecuación X2_{+ 14x + 40, Utilizando el método de} factorización y elegir entre cuatro opciones la que es correcta. ¿Cuál es?

A) (x – 10)(x ‒ 4): X1 = 10, X2 = 4 B) (x ‒ 10)(x + 4): X1 = 10, X2 = ‒ 4 C) (x + 10)(x ‒ 4): X1 = – 10, X2 = 4 D) (x + 10)(x + 4): x1 = –10, x2 = –4

La opción que satisface es D)

__________________________________

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CÁ LCULO MENTÁL

TERCER GRÁDO

BLOQUE III

ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FORMULA GENERAL

.

• Resolver problemas de manera autónoma. • Validar procedimientos y resultados. • Comunicar información matemática. • Manejar técnicas eficientemente.

EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO.

APRENDIZAJE ESPERADO

Que el alumno resuelva ecuaciones cuadráticas realizando estimaciones mentales con números enteros y con fraccionarios.

No. De SESIONES 5 Sesiones

1.- Que el alumno resuelva problemas que implican ecuaciones cuadráticas sencillas aplicando la formula general.

2. Que el alumno analicen y resuelva problemas relacionados con las ecuaciones de segundo grado.

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3X + 10 = 25

4X + 12 – X = 21

4X – 1 = 7

X –1 = 2

X + 7 = 15

X – 3 = 6

–X + 10 = 5

X + 4 = 12

–X –6 = –10

6 – 2X = X –3.

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

FORMULA GENERAL.

 En el planteamiento de la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita pueden darse varios casos:

 Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente

 (ax2_{= 0), la solución es x = 0 (doble).}

 Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2_{+ c = 0), las raíces son}

 Cuando es incompleta sin término independiente (ax2_{+ bx = 0), tiene dos}

raíces: x1 = 0, y x2 = -b/a.

 Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:



 El valor b2_{- 4ac se llama}_{discriminante}_{, y de su estudio se deduce que si es}

mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, existe una única solución doble dada por x = -b/2a, y si es menor que cero, las soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos (no son reales)

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La maestra de matemáticas pidió al grupo que resuelvan las ecuaciones siguientes: 1.- x2_{– 5x + 4 = 0} x = 5±√9/2 2.- x2 _{+ 14x + 40 = 0}

x1 = –10 x2 = –4 RECURSOS DIDÁCTICOS

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CÁ LCULO MENTÁL

TERCER GRÁDO

BLOQUE IV

DETERMINAR EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN.

Resolver problemas de manera autónoma

Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática

PROPÓSITO

Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos y multiplicativos

SUBTEMA Sucesiones

APRENDIZAJE ESPERADO

Que el alumno resuelva problemas de sucesiones con números enteros y fraccionarios.

1.-Que los alumnos resuelvan problemas que implican ejercicios de sucesiones.

2. Que los alumnos resuelvan problemas que implican fracciones y número enteros en sucesiones.

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SUMA

1.- Sumar a un número progresivamente las unidades, decenas, centenas... del otro en este orden o en el inverso.

Ejemplo 1.– 53 + 44 = 53 + (4 + 40) = (53 + 4) + 40 = 57 + 40 = 97

Ejemplo 2.–125 + 114 = 125 + (100 + 14) = (125 + 100) + 14 = 225 + 14 = 239 2.- Sumar de izquierda a derecha.

Ejemplo 1.– 35 + 48 = (30 + 40) + (5 + 8) = 70 + 13 = 83 Ejemplo 2.‒ 438 + 328 = (400 + 300) + (30 + 20) + (8 + 8) = 700 + 50 + 16 = 766 Ejemplo 3.– 670 + 552 = (600 + 500) + (70 + 50) + (0 + 2) = 1100 + 120 + 2 = 1222

3.- Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena sumando o restando unidades del otro número.

Ejemplo 1.– 48 + 35 = (48 + 2) + (35 - 2) = 50 + 33 = 83

Ejemplo 2.‒ 195 + 266 = (195 + 5) + (266 - 5) = 200 + 261 = 461 Ejemplo 3.‒ 51 + 85 = (51 - 1) + (85 + 1) = 50 + 86 = 136.

4.- Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena y sumar o restar unidades del resultado final.

Ejemplo 1.‒ 48 + 35 = (48 + 2) + 35 – 2 = 50 + 35 – 2 = 85 – 2 = 83 Ejemplo 2.‒ 127 + 45 = (127 + 3) + 45 – 3 = 130 + 45 – 3 = 175 – 3 = 172 5.- Para tres o más sumandos reagrupar para que las sumas resulten más sencillas.

Ejemplo 1.‒ 35 + 24 + 5 = (35 + 5) + 24 = 40 + 24 = 64

Ejemplo 2.‒ 160 + 26 + 38 = (160 + 38) + 26 = 198 + 26 = (200 + 26) – 2 = 224

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RESTA

1.- Restar del minuendo las unidades, decenas, centenas... del sustraendo, en este orden o en el inverso.

Ejemplo 1.‒ 96 – 42 = 96 – 2 – 40 = 94 – 40 = 54 Ejemplo 2.‒ 96 – 42 = 96 – 40 – 2 = 56 – 2 = 54

Ejemplo 3.– 652 – 431 = 652 – 400 – 30 – 1 = 252 – 30 – 1 = 221

2.- Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena y sumar o restar unidades del resultado final.

Ejemplo 1.– 57 – 19 = 57 – 20 + 1 = 37 + 1 = 38 Ejemplo 2.‒ 89 – 15 = 90 – 15 – 1 = 75 – 1 = 74

3.- Utilizar la prueba de la resta para buscar el resultado.

Ejemplo 1.– 37 – 25 = 12 porque 25 + 12 = 37 Ejemplo 2.– 120 – 13 = 107 porque 107 + 13 = 120

ESTRATEGIAS CÁLCULO MENTAL PRODUCTOS Y

DIVISIONES.

MULTIPLICACIÓN

1.- Si uno de los dos números es próximo a una decena, completar hasta esa decena para utilizar el producto por un número acabado en cero y la propiedad distributiva.

Ejemplo 1._ 22 x 15 = (20 + 2) x 15 = 20 x 15 + 2 x 15 = 300 + 30 = 330

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2.- Para multiplicar por una potencia de dos hacer el doble sucesivamente.

Ejemplo.‒ 35 x 8 = 35 x 2 x 2 x 2 = 70 x 2 x 2 = 140 x 2 = 280

3.- Para multiplicar un número por 5 multiplicar por 10 y dividir entre 2.

Ejemplo.‒ 47 x 5 = 47 x 10 / 2 = 470 / 2 = 235

4.- Para multiplicar un número por 6 multiplicar por 3 y por 2 sucesivamente.

Ejemplo.‒ 13 x 6 = 13 x 3 x 2 = 39 x 2 = 78.

5.- Para una multiplicación de varios factores utilizar la conmutativa para obtener productos más sencillos.

Ejemplo.‒ 25 x 13 x 4 = 25 x 4 x 13 = 100 x 13 = 1300

DIVISIÓN.

1.- Para dividir entre una potencia de dos, dividir entre dos sucesivamente.

Ejemplo.‒ 440 / 8 = 440 / 2 / 2 / 2 = 220 / 2 / 2 = 110 / 2 = 55

2.- Para dividir entre 5 multiplicar el dividendo por 2 y dividirlo entre 10.

Ejemplo.‒ 640 / 5 = (640 x 2) / (5 x 2) = 1280 / 10 = 128

3.- Si dividendo y divisor acaban en cero eliminar el máximo de ellos.

Ejemplo 1.‒ 80 / 40 = 8 / 4 = 2 Ejemplo 2.‒ 3600 / 40 = 360 / 4 = 90

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4.- Para dividir un número acabado en uno o varios ceros, dividir el número sin los ceros y añadir los ceros al cociente.

Ejemplo 1.‒ 120 / 4 = (12 / 4) x 10 = 3 x 10 = 30 Ejemplo 2.‒ 6400 / 32 = (64 / 32) x 100 = 2 x 100 = 200

1.‒ Julián pescó 3 peces y tiró 2 al río porque eran pequeños. ¿Cuántos peces le quedaron?

a) 2 peces. b) 1 pez. c) 5 peces.

2.‒ Ayer recorrí andando 3 kilómetros por la mañana y 3 kilómetros por la tarde. ¿Cuántos kilómetros recorrí en total

?

a) 7 kilómetros. b) 8 kilómetros. c) 6 kilómetros

.

3.‒ Montse se colecciona sellos. Un día compró 7. Si regala 6 a su amiga Luisa, ¿Cuántos le quedan?

a) 13 sellos. b) 1 sello. c) 8 sellos.

4.‒ Mi abuela me ha regalado 7 postales para mi colección. Si ya tenía 8 postales, ¿Cuántas tengo ahora?

a) 1 postales. b) 6 postales. c) 15 postales.

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5.‒ En un cine hay 7 niños. Salen 6 y entran después 2 niños. ¿Cuántos niños hay al final?

a) 11 niños. b) 3 niños. c) 15 niños.

6.‒ Antonio tenía 3 canicas, Juan José tiene 3 canicas y Paco ¿Cuántas tienen entre los tres?

a) 2 canicas. b) 10 canicas. c) 8 canicas.

7.‒ En una caja había 8 galletas. Me comí 3 galletas primero 1 después. ¿Cuántas galletas quedan?

a) 4 galletas. b) 2 galletas. c) 12 galletas.

8.‒ Paco tenía 10 pesos y su padre le dio 7.Compró un libro que le costaba 9 pesos. ¿Cuánto dinero le queda?

a) 17 pesos. b) 8 pesos. c) 12 pesos.

9.‒ En un helicóptero viajaban 11 pasajeros. En el aeropuerto subieron 7 y bajaron 11. ¿Cuántas personas hay en el helicóptero?

a) 8 pasajeros. b) 7 pasajeros. c) 29 pasajeros.

10.‒ Juana tiene 7 dólares. Su madre le da 7 y se gasta en material escolar 11 dólares ¿Cuánto le queda?

a) 3 dólares. b) 4 dólares. c) 25 dólares.

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1.- observa la siguiente sucesión de números: 1, 5, 11, 19,…….

¿Cuál de las siguientes expresiones se puede calcular el enésimo término de la sucesión anterior?

A) 2n + n + 1 B) n + n – 1 C) n2_{+ n – 1} D) n2_{– n + 1}

La opción que satisface es la C).

Libreta, Libro de texto, lápiz, Juego de geometría.

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CÁ LCULO MENTÁL

TERCER GRÁDO

BLOQUE V

ECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS O SISTEMAS DE ECUACIONES.

Resolver problemas de manera autónoma

Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática

PROPÓSITO

Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos y multiplicativos

SUBTEMA Ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones _{y dos incógnitas.} APRENDIZAJE

ESPERADO

Que el alumno resuelva problemas de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas con números enteros y fraccionarios.

1.-Que los alumnos resuelvan problemas que implican ejercicios de ecuaciones lineales.

2. Que los alumnos resuelvan problemas que implican ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones y dos incógnita (ecuaciones simultáneas) con números enteros y fraccionarios.

SECUENCIA

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Antes de empezar con las sumas de Cálculo Mental es conveniente saber bien la secuencia contadora ascendente (de 2 en 2, de 3 en 3) y las

combinaciones básicas que suman 10 (1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5), y recordar que la suma cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

Propiedad conmutativa: Si se cambia el orden de los sumandos no varía

el resultado. 1 + 3 + 5 = 5 + 3 + 1 = 9.

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el

resultado siempre es el mismo independientemente de cómo se agrupen.

(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 6 + 6 = 2 + 10 = 12.

A continuación se muestran las estrategias que consideramos más útiles para aplicar, solas o combinadas con otras, según nos interese.

Descomposición de números de una cifra buscando el 10.

8 + 7 = 8 + 2 + 5 = (8 + 2) + 5 = 15 9 + 4 = 9 + 1 + 3 = (9+1) + 3 = 13 7 + 5 = 7 + 3 + 2= (7 + 3) + 2 = 12

Para sumar varios números de una cifra resulta muy práctico agrupar las parejas que suman 10.

9 + 4 + 5 + 1 + 6 = (9 + 1) + (4 + 6) + 5 = 25 7 + 6 + 8 + 3 + 2 = (7 + 3) + (8 + 2) + 6 = 26

Para números de 2 cifras o más, realizar la suma de izquierda a derecha suele resultar más fácil, pues no tenemos que recordar las unidades.

123 + 42 + 14 = 100 + 20 + 40 + 10 + 3 + 2 + 4 = 179 431 + 125 + 12 = 400 + 100 + 30 + 20 + 10 + 1 + 5 + 2 = 568

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Descomposición buscando la decena más próxima.

36+5 = 36 + 4+1 = (36+4) + 1 = 41 77+16 = 77 + 3+13 = (77+3) + 13 = 93 95+17 = 95 + 5+12 = (95+5) + 12 = 112

Para sumar 8, resulta muy práctico sumar 10 y restar 2, ya que 8 = 10-2.

223+8 = 223 + 10-2 = (223+10) - 2 = 231 475+8 = 475 + 10-2 = (475+10) - 2 = 483

Para sumar 9, resulta muy práctico sumar 10 y restar 1, ya que 9 = 10-1.

147+9 = 147 + 10-1 = (147+10) - 1 = 156 236+9 = 236 + 10-1 = (236+10) - 1 = 245

Para sumar 18, es muy práctico sumar 20 y restar 2, ya que 18 = 20-2.

356+18 = 356 + 20-2 = (356+20) - 2 = 374 648+18 = 648 + 20-2 = (648+20) - 2 = 666

Para sumar 19, es muy práctico sumar 20 y restar 1, ya que 19 = 20-1.

754+19 = 754 + 20-1 = (754+20) - 1 = 773 552+19 = 552 + 20-1 = (552+20) - 1 = 571

También podemos utilizar este “truco” para 180 = 200 - 20, (sumar 200 y restar 20) ó 190 = 200 - 10, (sumar 200 y restar 10).

345+180 = 345 + 200-20 = (345+200) - 20 = 525 678+190 = 678 + 200-10 = (678+200) - 10 = 868

(25)

ESTRATEGIAS PARA LAS RESTAS

Para las restas de Cálculo Mental es conveniente saber bien la secuencia contadora descendente (de 2 en 2, de 3 en 3), el concepto de lo

que le falta a un número para ser igual a otro y conocer los números negativos.

A continuación se muestran algunas estrategias que consideramos útiles para aplicar en las restas de Cálculo Mental.

Para restas con números pequeños, es preferible calcular lo que le falta al sustraendo para "llegar" al minuendo.

9 - 3 = 6; al 3 le faltan 6 para llegar al 9 12 - 5 = 7; al 5 le faltan 7 para llegar al 12

Si las cifras del minuendo son mayores que las correspondientes del sustraendo, realizar la resta de izquierda a derecha puede resultar más

fácil.

87 - 24 = 80 - 20 + 7 - 4 = 63

365 - 242 = 300 - 200 + 60 - 40 + 5 - 2 = 123 876 - 531 = 800 - 500 + 70 - 30 + 6 - 1 = 345

Para Restar 9, es mejor restar 10 y sumar 1, puesto que (-9 = -10+1).

47 - 9 = 47 - 10+1 = (47-10) + 1 = 38 236 - 9 = 236 - 10+1 = (236-10) + 1 = 227

Para restar 8, es más práctico restar 10 y sumar 2, ya que (-8 = -10+2).

23 - 8 = 23 - 10+2 = (23-10) + 2 = 15 654 - 8 = 654 - 10+2 = (654-10) + 2 = 646

(26)

Para Restar 19, es mejor restar 20 y sumar 1, puesto que (-19 = -20+1).

54 - 19 = 54 - 20+1 = (54-20) + 1 = 35 262 - 19 = 262 - 20+1 = (262-20) + 1 = 243

Para Restar 18, es mejor restar 20 y sumar 2, puesto que (-18 = - 20+2).

87 - 18 = 87 - 20+2 = (87-20) + 2 = 69 931 - 18 = 931 - 20+2 = (931-20) + 2 = 913

También podemos utilizar este “truco” para restar 190: (-190 = -200 + 10), y para restar 180: (-180 = -200 + 20).

672 - 190 = 672 - 200+10 = (672-200) + 10 = 482 350 - 180 = 350 - 200+20 = (350-200) + 20 = 170.

ESTRATEGIAS PARA LAS MULTIPLICACIONES

La multiplicación es la operación por excelencia para el Cálculo Mental. Antes de empezar con las multiplicaciones de Cálculo Mental es conveniente saber bien las Tablas de Multiplicar y recordar que la

multiplicación cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva respecto a la suma y la resta.

Propiedad conmutativa: Si se cambia el orden de los factores no varía

el producto. 2 x 3 x 5 = 5 x 3 x 2 = 30.

Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el

resultado siempre es el mismo independientemente de cómo se agrupen los factores.

(27)

Propiedad distributiva: La suma o resta de varios números

multiplicada por otro número es igual a la suma o resta de los productos de cada término multiplicado por el otro número.

(3 + 4 - 5) x 2 = (3 x 2) + (4 x 2) - (5 x 2) = 6 + 8 - 10 = 4.

A continuación se muestran las estrategias que consideramos más útiles para aplicar, solas o combinadas con otras, según nos interese.

En las multiplicaciones con varios factores es conveniente, cuando sea posible, recolocar los factores para encontrar productos más sencillos.

5 x 7 x 2 = 5 x 2 x 7 = 10 x 7 = 70 25 x 9 x 4 = 25 x 4 x 9 = 100 x 9 = 900

Descomponer los factores en sumas o restas y después de hacer las multiplicaciones parciales, sumar o restar los productos obtenidos.

56 x 7 = (50 + 6) x 7 = 50 x 7 + 6 x 7 = 350 + 42 = 392 39 x 8 = (40 – 1) x 8 = 40 x 8 – 1 x 8 = 320 – 8 = 312

Multiplicar un número por 5 (10 / 2) es lo mismo que multiplicar por 10 (añadir un cero al número dado) y dividir por 2 (calcular su mitad).

27 x 5 = 27 x (10 / 2) = 270 / 2 = 135 483 x 5 = 483 x (10 / 2) = 4830 / 2 = 2415

La multiplicación por 5, también puede hacerse calculando primero la mitad del número dado (dividir por 2) y después añadir un cero (multiplicar

por 10).

28 x 5 = (28 / 2) x 10 = 14 x 10 = 140 356 x 5 = (356 / 2) x 10 = 178 x 10 = 1780

(28)

Multiplicar un número por 9 (10-1) es lo mismo que multiplicar por 10 (añadir un cero) y restar el número.

78 x 9 = 78 x 10 - 78 = 780 - 78 = 702 125 x 9 = 125 x 10 - 125 = 1250 - 125 = 1125

Para multiplicar un número de dos cifras por 11 podemos aplicar una estrategia interesante. Supongamos que nos piden calcular 62 x 11. Para ello

imaginamos el número dejando un espacio entre los dos dígitos (6 ___ 2), y en ese espacio ponemos la suma de los dos dígitos (6+2=8).

Por tanto 62 x 11 = 682.

34 x 11 = 3 ( 3+4 ) 4 = 374 53 x 11 = 5 ( 5+3 ) 3 = 583

Si la suma de los dos dígitos es mayor de 9, por ejemplo en el caso de 75 x 11 = 7 ( 7+5 ) 5 = 7 12 5 (dejamos el 2 en el espacio en blanco, y el 1 lo sumamos al 7) = (7+1) 2 5 = 825.

89 x 11 = 8 ( 8+9 ) 9 = 8 17 9 = (8+1) 7 9 = 979 56 x 11 = 5 ( 5+6 ) 6 = 5 11 6 = (5+1) 1 6 = 616

Para multiplicar un número de más de dos cifras por 11, el procedimiento es parecido al anterior. Los números de las esquinas se quedan igual, y en el

centro vamos poniendo las sumas de los pares de números adyacentes.

234 x 11 = 2 ( 2+3 ) ( 3+4 ) 4 = 2574 5324 x 11 = 5 ( 5+3 ) ( 3+2 ) ( 2+4 ) 4 = 58564

Si alguna de las sumas es mayor de 9 (de dos cifras), escribimos el dígito de las unidades y el 1 lo sumamos al número de la izquierda.

348 x 11 = 3( 3+4 )( 4+8 )8 = 3(7)(12)8 = 3(7+1)28 = 3828 763 x 11 = 7( 7+6 )( 6+3 )3 = 7(13)(9)3 = (7+1)393 = 8393

(29)

Multiplicar un número por 12 (10+2) es lo mismo que multiplicar el número por 10 (añadir un cero) y sumar el doble del número (multiplicarlo por 2).

8 x 12 = 8 x (10+2) = (8x10) + (8x2) = 80 + 16 = 96 35 x 12 = 35 x (10+2) = (35x10) + (35x2) = 350 + 70 = 420.

Multiplicar un número por 15 (10+5) es lo mismo que multiplicar el número por 10 (añadir un cero) y sumar la mitad de la multiplicación anterior.

7 x 15 = (7 x 10) + (7 x 5) = 70 + 35 = 105 48 x 15 = (48 x 10) + (48 x 5) = 480 + 240 = 720.

Para multiplicar números de dos cifras inferiores a 20, podemos aplicar un truco que parece complicado pero da buenos resultados.

Por ejemplo, para multiplicar 18 x 14, procedemos como sigue: - Al primer número se suman las unidades del segundo: (18 + 4 = 22) y lo multiplicamos por 10, (añadimos un 0): 220 - A este resultado se le suma el producto de las

unidades de los números: (8 x 4) = 32 y nos queda 220 + 32 = 252.

12 x 16 = (12 + 6) x 10 + (2 x 6) = 180 + 12 = 192 13 x 17 = (13 + 7) x 10 + (3 x 7) = 200 + 21 = 221.

ESTRATEGIAS PARA LAS DIVISIONES

Para las Divisiones, como operación inversa de la multiplicación, es conveniente saber bien las Tablas de Multiplicar y recordar que las divisiones no siempre son exactas, que 0 dividido entre cualquier número da siempre 0 y

que no se puede dividir a un número por 0.

A continuación se muestran algunas estrategias que consideramos útiles para aplicar en las divisiones de Cálculo Mental.

Para dividir un número entre una potencia de dos (2, 4, 8,...), dividimos entre dos (calculamos la mitad) sucesivamente.

(30)

32 / 4 = 32 / 2 / 2 = 16 / 2 = 8 32 / 8 = 32 / 2 / 2 / 2 = 16 / 2 / 2 = 8 / 2 = 4

Para dividir un número entre 5 (10 / 2), multiplicamos el número por 2 (calculamos el doble) y después lo dividimos entre 10 (quitamos un cero o

corremos la coma un lugar a la izquierda).

85 / 5 = (85 x 2) / 10 = 170 / 10 = 17 240 / 5 = (240 x 2) / 10 = 480 / 10 = 48 324 / 5 = (324 x 2) / 10 = 648 / 10 = 64.8

La división por 5, también puede hacerse dividiendo primero entre 10 (quitamos un cero o corremos la coma un lugar a la izquierda) y después

multiplicando por 2 (calculamos el doble).

85 / 5 = (85 / 10) x 2 = 8.5 x 2 = 17 240 / 5 = (240 / 10) x 2 = 24 x 2 = 48 324 / 5 = (324 / 10) x 2 = 32.4 x 2 = 64.8

Para dividir un número acabado en uno o varios ceros, dividimos el número sin tener en cuenta los ceros y después añadimos los ceros al cociente.

120 / 4 = (12 / 4) x 10 = 3 x 10 = 30 6400 / 32 = (64 / 32) x 100 = 2 x 100 = 200

Si el dividendo y el divisor terminan en uno o varios ceros, eliminaremos todos los que podamos, teniendo en cuenta que hay que eliminar los mismos

ceros del dividendo como del divisor, para que el cociente no varíe.

80 / 40 = 8 / 4 = 2

(31)

1.- Si tengo una hoja de papel que mide 16 + x por un lado y 24 + x por el otro, en la que el área total que ocupa es de 560cm2_{, ¿con cuál de las siguientes ecuaciones}

podemos calcular el valor de la incógnita x en el área de la hoja de papel?

A) x2_{+ 40x + 176 = 0} B) X2_{+ 40X – 384 = 0} C) X2_{+ 40X + 384 = 0} D) X2_{+ 40X – 176 = 0}

La opción que cumple es D)

2.- La maestra de matemáticas pidió al grupo 3° B resolver la ecuación: X2_{– 5x + 4 = 0, mediante la fórmula general.}

Formula, x = −𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 solución, x = 5±√9₂

Libreta, Libro de texto, lápiz, Juego de geometría.