EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 1º BTO: VECTORES
Noción de vector y características de un vector1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(1,-4) y sus coordenadas cartesianas son (3,2). Halla las coordenadas de su extremo y calcula el módulo del vector.
2. La base de un triángulo isósceles mide 4cm y está situada sobre el eje de las x, con su punto medio en el origen de coordenadas. La altura del triángulo sobre dicha base es de 10cm. Calcula:
a) Las coordenadas de los vértices del triángulo.
b) Las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo
c) Las coordenadas de los vectores que unen el origen con los otros dos puntos medios.
3. Un triángulo tiene vértices en A(1,2); B(-2,-1) y C(4,-3). El triángulo se traslada sin rotar de forma que el punto A recae sobre A’(0,0). Calcula las coordenadas de los puntos B’ y C’ sobre los que recaen B y C, respectivamente.
4. Tres vértices consecutivos de un rectángulo son los puntos de coordenadas (1,1); (6,6) y (3,9). Halla las coordenadas del cuarto vértice.
5. El vector tiene coordenadas (4,-5). ¿cuáles serán las coordenadas de un vector que tenga la misma dirección y el mismo módulo, pero sentido contrario?
6. Si A(2,3), B(-2,6), C(10, 4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto D si y son equipolentes?
7. Observa la figura y determina cuáles de las siguientes igualdades son ciertas y cuáles son falsas a) b) c) d) e) f) g) h)
8. Escribe un vector unitario en la misma dirección y sentido que (8,6)
9. Dados (3,-2) y (1,n), calcular n para que tengan el mismo módulo.
B
C D
12. Calcula las coordenadas del punto H, que está situado en el segmento MN a una distancia de M igual a un tercio de la longitud del segmento. M(-4,7); N(11,-5)
13. Los lados de un rectángulo miden a y b respectivamente. Situamos dicho rectángulo en el primer cuadrante de unos ejes coordenados, de forma que sus lados se sitúan sobre los ejes y su vértice inferior izquierdo coincide con el origen de coordenadas.
a) Escribe las coordenadas de los 4 vértices del rectángulo.
b) Escribe las coordenadas del vector que representa el desplazamiento desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha.
c) Halla las coordenadas del centro del rectángulo
14. Repite el ejercicio anterior, pero situando el rectángulo de forma que sus lados sean paralelos a los ejes, y que el centro del rectángulo se sitúe sobre el origen de
coordenadas.
15. Dos puntos opuestos de un hexágono regular tienen coordenadas L(2,13) y L’(4,5). ¿Cuáles son las coordenadas del centro del hexágono?
16. Un vector tiene por extremos los puntos A(2,3) y B(8,6). Calcula las coordenadas de los puntos que lo dividen en 4 partes iguales.
17. Sean A,B,C y D vértices de un cuadrado, y P su centro . Indica la veracidad o falsedad de las siguientes igualdades:
Expresiones de un vector y sus transformaciones
18. Representa gráficamente y expresa de todas las formas posibles.
a) = - + b) = 345 c) = d) = 2 – 2
e) = 2 - f) = 7135 g) = h) = 10 + 5
i) j) k) l)
m) = n) o) p)
q) r) s) t)
19. Se ejerce una fuerza, F, de 800 N, sobre un tornillo A, según se indica a continuación.
Determinar las componentes (coordenadas cartesianas) de F respecto a los ejes de la figura
SOLUCIÓN: Fx = -6'55 102 N, Fy = 4'59 102 N.
20. Un personaje tira con un fuerza de 40 N de una cuerda sujeta a un edificio, tal como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical (Fx y Fy) de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?
Operaciones con vectores
21. Representa gráficamente la suma y la resta de los siguientes vectores. Escribe las coordenadas de los vectores, suma y resta analíticamente, y comprueba que los resultados gráficos y analíticos concuerdan.
22. Representa gráficamente la suma los siguientes vectores.
23. Dados los vectores y de la figura, calcula analíticamente y representa los vectores siguientes, que son combinaciones lineales de y
a) 2 + 3 b) -3 + 2 c)
Calcula los valores de k1 y k2 para que sea el vector =(-2,-6)
Indicación: utiliza un sistema de ecuaciones.
26. Representar gráficamente los vectores a) 2 + - b) - 2 -
27. Dados los vectores libres = (3,1); = (-2,0) y = (-1,5), calcula analíticamente y representa gráficamente los siguientes vectores:
a) + b) + + c) 2 - d) - ( - )
28. Fulgencio da su paseo dominical alrededor de una plaza triangular. En su sistema de coordenadas, los vectores correspondientes a su desplazamiento a lo largo de los dos primeros lados suman =(-30,40). ¿Ha recorrido más o menos de 50m? ¿cuáles son las coordenadas del vector correspondiente al último lado?¿qué distancia total ha caminado al llegar de nuevo al punto de origen?
29. Suma gráficamente los radio-vectores en cada una de las siguientes figuras poligonales:
¿Qué vector se obtendrá al sumar todos los radio - vectores de una circunferencia?
30. Representar gráficamente los 4 vectores ( k , 2 ); que se obtienen al dar al
parámetro k los valores k : -1, 2, 0, 3 . ¡Representa los 4 vectores sobre unos mismos ejes!
31. Representar el vector sabiendo que + 3 = + 2
32. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas del vector que se obtiene al sumar todos los de la figura?
33. Halla el módulo de los vectores siguientes:
= 3 + 4 ; = 5 –12 ; + ; –
34. Dados los vectores y , calcula a) ; b)
35. Los vectores y suman un vector , de módulo 6 y argumento 60º. Calcula el módulo y el argumento de .
36. La resultante, F, de dos fuerzas situadas en el plano del papel, es de 400 N y se encuentra 600 por encima de la horizontal. Una de las fuerzas componentes, F1, vale 300 N, a 350 también por encima de la horizontal. ¿Cuál es el módulo dirección y sentido de la otra componente, F2? Expresa la dirección de F2mediante el ángulo que forma con la horizontal. NOTA: Resultante = suma vectorial F = F1 + F
v
w
37. Una balsa es remolcada por dos embarcaciones, tal como se muestra en la figura. Si la fuerza resultante (suma), , es de 5000 N en la
dirección de avance de la balsa, calcula la tensión (fuerza ejercida por un cable) en cada cable.
SOLUCIÓN: f1=3,66 103 N, f2=2,59 103 N
38. Halla el producto escalar . en los siguientes casos:
a) = 4; ; = 450
b) ;
c) =3; =(2, ); = 600
d) ;
39. Dos vectores y cumplen que =4, =3/2 y forman 30º. Calcula:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
40. Dados (1,3) y (6,4), halla la proyección de sobre . Representa gráficamente dicha proyección.
41. Calcula y representa la proyección de (2,2 ) sobre cada uno de los vectores
a) b) a) c) a)
42. Calcula y representa la proyección del vector = 2 - obre el vector = 5 + . Calcula y representa también la proyección de sobre .
43. Calcula la proyección de = 5 + 7 sobre:
a) el vector b) el vector c) el vector + .
44. Calcula:
46. Dados los siguientes pares de vectores calcula sus módulos, su producto escalar y el ángulo que forman (para el ángulo, usa una calculadora)
a) 515 , 345 b) 5300 , c) (3,4) , (-8,6) d) (3,-1) , (2,6)
e) (3,5) , (1,-6) f) (2,-3) , g)
h) (3 ,-3) , ( ,2)
47. Si =3, = 5 y . = -2. Halla el ángulo que forman.
48. Halla y sabiendo que =6, =8 y que y forman 120º
49. Dados los vectores = (1,5) = (-3,4) = (5,12), halla:
a) Los módulos de
w
, yb) El ángulo que forman los vectores de cada uno de los tres emparejamientos posibles (usa una calculadora)
c) Los determinantes de cada posible par de vectores.
50. Determina el valor de k para que . sea igual a:
a) 4; siendo = (k,1) , = (2,-3) b) –2; siendo = (k,2) , = (3,k)
51. Dado (3,4), calcula las coordenadas de los siguientes vectores
a) , unitario y de la misma dirección que (hay dos) b) , ortogonal y del mismo modulo que (hay dos) c) , unitario y ortogonal a (hay dos)
d) , ortogonal a y con módulo triple que (hay dos)
52. Dados (3,-2) y (7,4), descompón en suma de dos vectores tales que uno tenga la misma dirección que y el otro sea ortogonal a .
53. Determina el valor de k para que det( , ) sea igual a:
a) 4; siendo = (k,1) , = (2,-3) b) –2; siendo = (k,2) , = (3,k)
54. Calcula k para que = 3 + 4 ; = k –2
a) Sean perpendiculares b) sean paralelos c) formen 450.
55. Calcula el valor de k para que los vectores y formen 120º
56. Sean los vectores = (3,y) y = (x,5). Calcula x e y de manera que ambos vectores sean perpendiculares y
59. Dados = (-1,k) e = (2,2). ¿Hay algún valor de k tal que el ángulo entre e sea de 300? ¡Piensa representando gráficamente!
60. Dados los vectores = (1,5) y = (3,-1), halla un vector de manera que se verifique: . = 1 y es ortogonal a .
61. Sabiendo que y son unitarios (de módulo 1), demuestra que + es ortogonal a - .
