Estimación e intervalos de
confianza
OBJETIVOS
Definir un estimador puntual.
Definir nivel de confianza.
Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando se conoce la desviación
estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando no se conoce la desviación
estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para una
proporción de la población.
Estimadores puntuales e intervalos
de confianza de una media
Un
estimador puntual
es un estadístico
calculado a partir de información de la
muestra para estimar el parámetro
poblacional.
Un
intervalo de confianza
es un conjunto de
Factores que afectan a los intervalos de
confianza.
Los factores que determinan el
ancho del intervalo de confianza
son:
1.El
tamaño de la muestra
,
n.
2.La
varianza de la población
,
usualmente σ es estimada por
s.
Interpretación de los intervalos de
confianza.
Para un intervalo de confianza alrededor del 95% se puede esperar que
Características de la distribución t
1. Esta distribución, es como la distribución z , una
distribución continua
.
2. Es una distribución simétrica y con forma de
campana.
3. No existe
una sola distribución de t
, mas bien
una
famila de distribuciones de t
. Todas las distribuciones
de
t
tiene media 0, pero sus desviaciones estándar
difieren de acuerdo al tamaño de la muestra,
n.
4. La
distribution t se extiende más y es más plana por
el centro que la distribución normal.
Conforme se
incrementa el tamaño de la muestra, la distribución
t
Intervalo de Confianza Para la Media
Use la distribución Z
Si la desviación
estándar es
conocida o la
muestra es mayor
que 30.
Use la distribución
t
Si la desviación
estándar no es
conocida y la
Cuando usar la distribución
z
o
t
para
el cálculo del intervalo de confianza.
Se supone que la población es normal
¿Se conoce la desviación estándar
de la población?
Se utiliza la distribución t
Se utiliza la distribución z
No
Si
Intervalo de Confianza para la Media –
Ejemplo usando la distribución t
Un fabricante de llantas desea
investigar la durabilidad de sus
productos. Una muestra de 10
llantas para recorrer 50000
millas reveló una media
muestral de 0.32 pulgadas de
cuerda restante con una
desviación estándar de 0.09
pulgadas. Construya un
Tabla de distribución-t Student
Conclusión: El fabricante puede
Dado el problema:
n =10
Calcule el I.C usando la dist – t
(como σ es desconocida)
) 384 . 0 , 256 . 0 ( 064 . 0 32 . 0 10 09 . 0 262 . 2 32 . 0 10 09 . 0 32 .
0 .025,9
1 10 , 2 / 05 . 1 , 2 / t n s t X n s t
El gerente del Inlet Square Mall, cerca de Ft. Myers, Florida, desea estimar la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una muestra de 20
clientes revela las siguientes cantidades. ¿Cuál es la mejor estimación de la media
poblacional?¿Determine un intervalo de confianza de 95%. Interprete el resultado. ¿Concluiría de forma razonable que la media poblacional es de $50?¿Y de $60?
Intervalo de Confianza Estimación de la
Media – Mediante Fórmula
22
.
4
35
.
49
20
01
.
9
093
.
2
35
.
49
20
01
.
9
35
.
49
.025,191 20 , 2 / 05 . 1 , 2 /
t
n
s
t
X
n
s
t
X
nCalcule el I.C usando la dist – t (como σ es desconocida)
Aproximación de la Distribución
Normal a la Binomial
Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es
necesario cumplir con los siguientes supuestos:
1. Las condiciones binomiales, se satisfagan las cuales son:
a. Los datos de la muestra son resultado de conteos.
b. Sólo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a
uno de los resultados como
éxito
y al otro
fracaso
).
c. La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba
a la siguiente
d. Las pruebas son independientes. Esto significa que el
resultado de la prueba no influye en el resultado de otra.
Intervalo de Confianza para la
Proporción de una Población
El intervalo de confianza de la
proporción de una población es
cálculado mediante:
n
p
p
z
Confidence Interval for a Population
Proportion
-
Example
El sindicato que representa Bottle
Blowers of America (BBA) considera la propuesta de fusión con
Teamsters Union. De acuerdo al reglamento del sindicato de BBA, por lo menos tres cuartas partes de los miembros del sindicato deben aprobar cualquier fusión. Una muestra aleatoria de 2,000
miembros actuales revela que 1,600
planean votar por la propuesta ¿Qué es el estimador de la proporción poblacional?
Determine un intervalo de confianza de
95% para la proporción poblacional. Fundamente su decisión en esta información de la muestra: ¿puede concluir que la proporción necesaria de miembros BBA favorece la
fusión? ¿Por qué?
Factor de Corrección de una
Población Finita
Una población con un límite superior es
finita
En el caso de una población finita, en la que el número total de objetos
o individuos es
N
y el número de objetos o individuos es
n
, se ajusta el
error estándar de la media y de la proporción:
Sin embargo, si
n
/
N
< .05
, el factor de corrección de una población
finita puede ser ignorado
M uestra
una
de
M edia
la
de
Estándar
Error
n
N
(
1
)
Proporción
una
de
M uestra
la
de
Estándar
Error
Fórmulas de Intervalo de Confianza para la
Estimación de Medias y Proporciones con un Factor
de Corrección de una Población Finita
1
N
n
N
n
z
X
I.C. para la Media (
)
)
1
(
z
p
p
N
n
p
I.C. para la Proporción (
)
1
N
n
N
n
s
t
X
IC para la Media con FCP -
Ejemplo
Hay 250 familias en Scandia, Pennsylvania. Una muestra aleatoria de 40 de estas familias revela que la
contribución anual media fue de $450, y la desviación estándar, de $75. ¿La media poblacional puede ser $445 o $425.
1.- ¿Cual es la media de la
población?¿Cuál es el mejor estimador de la media
poblacional?
2.- Analice la razón por la que se debe emplear el factor de corrección para una
población finita.
3.- Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población? 4.- Interprete el intervalo de
Dado en el Problema: N = 250
n = 40 s = $75
1.- No conoce la media poblacional, que es el valor que quiere calcular. El mejor
estimador de la media poblacional es la media de la muestra, que es de $450. 2.- Como n/N = 40/250 = 0.16, el FCP debe ser
usado.
3.- La desviación estándar de la población no es conocida por eso se utiliza la
distribución t (puede usar la distribución z debido a que n>30)
Use la fórmula de abajo para calcular el intervalo de confianza
t
s
N
n
dentro encuentra se $445 de valor el que Por qué? ¿Por $425. de sea que probable es no pero Sí, $445? de ser puede población la de media ¿la palabras, otras En $468.35. a inferior e $431.65 de más de sea l poblaciona media la la que probable Es ) 35 . 468 ,$ 65 . 431 ($ 35 . 18 $ 450 $ 8434 . 98 . 19 $ 450 $ 1 250 40 250 40 75 $ 685 . 1 450 $ 1 250 40 250 40 75 $ 450 $ 1 1 40 , 10 . t N n N n s t X
Elección del tamaño adecuado de
una muestra
El tamaño adecuado de una muestra
depende de tres factores:
El nivel de confianza deseado.
El margen de error que tolerará el
investigador.
La variabilidad de la población que se
Elección del tamaño adecuado de una
muestra
Para encontrar el tamaño de la muestra:
Un estudiante de administración pública desea determinar la cantidad media que ganan al mes los miembros de los
consejos ciudadanos de las grandes ciudades. El error a calcular la media debe ser inferior a $100, con un nivel de confianza del 95% . El estudiante
encontró un informe del Departamento del Trabajo en el que la desviación estándar es de $1,000. ¿Cuál es el tamaño de la muestra que se requiere? Dado en el problema:
E, el máximo error admisible, es $100
El valor de z para un nivel de confianza de 95% es1.96,
El estimador de la desviación estándar es $1,000.
385
16
.
384
)
6
.
19
(
100
$
000
,
1
$
96
.
1
2 2 2
E
s
z
n
Un grupo consumidor desea estimar la media del cargo de
electricidad por familia en Julio con un error de $5 usando un
nivel de confianza de 99%. ¿La desviación estándar es
estimada de estudios similares la cual es
$20.00?
¿Qué tan
grande debe ser la muestra?
107
5
)
20
)(
58
.
2
(
2
n
Tamaño del Muestra Para
Proporciones
La fórmula para determinar el tamaño de la
muestra en el caso de una proporción es:
Otro Ejemplo
El Club American Kennel desea estimar la proporción de
niños que tiene como mascota a un perro. Si el club
desea que el margen de error sea del 3% de la
proporción de la población ¿cuantos niños tendrán que
contactar? Se requiere un nivel de confianza del 95%
y el club estimó que el 30% de los niños tiene un perro
como mascota.
897
03
.
96
.
1
)
70
)(.
30
(.
2
Otro Ejemplo
Un estudiante desea estimar la
proporción de ciudades que
cuantan con recolectores de
basura privados. El estudiante
desea que el margen de error
se encuentre a .10 de la
proporción de la población el
nivel de confianza deseado es
de 90%, y no se encuentra
disponible ningún estimador
para la proporción de la
población. ¿Cuál es el tamaño
de la muestra?
ciudades.
69
0625
.
68
10
.
65
.
1
)
5
.
1
)(
5
(.
2
