Presiones generadas por sismo en muros de retención
Isaac BonolaJavier Avilés
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua
Los muros de retención son estructuras auxiliares utilizadas en distintas obras hidráulicas. En zonas sísmicas, las presiones dinámicas generadas por el relleno deben evaluarse adecuadamente en la etapa de diseño. Actualmente existen numerosos métodos para estimar la respuesta sísmica de este tipo de estructuras; sin embargo, la mayoría de ellos son simplificados y no todos los parámetros involucrados han sido examinados. En este trabajo se presenta un método híbrido de frontera y elemento finito para muros de gravedad en el que el relleno puede representarse por un medio estra-tificado horizontalmente. En el modelo puede incluirse el efecto de la extensión lateral del relleno, introduciendo una frontera vertical que acopla el movimiento del relleno con el del suelo circundante. El análisis de propagación de ondas en el medio estratificado se realiza para excitación armónica tanto horizontal como vertical; ésta última puede causar respuestas importantes en ciertas situa-ciones. Para ilustrar la aplicabilidad del método propuesto, se presentan resultados de dos ejemplos numéricos: uno para relleno seco y otro para relleno saturado, considerando, en ambos casos, las variaciones de las propiedades dinámicas del suelo con la profundidad.
Palabras clave:muros de retención, diseño sísmico, respuesta dinámica, muros de gravedad.
Introducción
Los muros de retención son estructuras construidas como obras auxiliares en distintas estructuras hidráuli-cas, tales como presas de almacenamiento, hidroeléc-tricas y estaciones de bombeo, o como obras de protec-ción en cauces de ríos, entre otros usos. Debido a que muchas de estas obras son construidas en zonas del país reconocidas como sísmicas, es fundamental, en el diseño, evaluar las presiones dinámicas generadas por el relleno ante la acción sísmica, ya que existe la posibi-lidad de que haya fallas por el incremento de las presio-nes laterales, especialmente ante la acumulación de agua por la obstrucción de los drenes.
A pesar de que estas estructuras han sido objeto de numerosos estudios, su respuesta sísmica aún no es bien comprendida debido a la carencia de información registrada durante eventos severos, así como a la esca-sez de métodos de análisis racionales y simples que puedan ser utilizados de manera confiable en el diseño. Cabe señalar que los procedimientos estipulados en los códigos mexicanos son muy limitados.
Para obtener las respuestas dinámicas de sistemas muro-relleno, tanto de longitud semi-infinita como de
Debe tenerse presente que estos estudios tienden a subestimar el empuje sísmico generado por el relleno, ya que se desprecia el desplazamiento relativo del muro respecto de su base. Éste se debe, en parte, a la flexibi-lidad del propio muro, pero, sobre todo, a la rotación de su base. Hace algunos años, Veletsos y Younan (1994b), y más recientemente Li (1999), mostraron que el consi-derar la rotación del muro disminuye la respuesta sísmi-ca proporcionalmente a la flexibilidad de su base.
En el trabajo aquí presentado se formula un método híbrido de frontera y elemento finito para un muro de gravedad, que contiene un relleno heterogéneo que res-ponde dentro del rango de deformaciones elásticas. Su aplicación está limitada entonces a la revisión del es-tado límite de servicio, puesto que la revisión del eses-tado límite de falla implicaría la fluencia del material del relle-no. El modelo desarrollado se diferencia de los anterio-res en que es conceptualmente exacto, ya que no se introducen aproximaciones a las ecuaciones que gobier-nan su comportamiento. En adición a la excitación hori-zontal, se incluye la excitación vertical comúnmente ignorada en otros trabajos, ya que puede generar res-puestas importantes en determinadas situaciones. Ade-más, el relleno, usualmente considerado uniforme, se modela como un medio con estratificación horizontal de extensión lateral finita, lo que permite considerar los efectos de compactación y confinamiento. La solución del modelo es discreta en la dirección vertical y continua en la horizontal.
Propagación de ondas en medios estratificados
La respuesta sísmica de un depósito de suelo es un pro-blema de propagación de ondas, cuya solución se pue-de obtener mediante superposición modal, es pue-decir, por medio de la combinación lineal de modos naturales de propagación con coeficientes de participación modal. Para calcular los modos de vibración del depósito pue-de recurrirse al método pue-de elementos finitos, el cual resulta muy atractivo por su simplicidad cuando se trata de formaciones estratificadas horizontalmente. En este caso, como elementos finitos se utilizan hiperelementos que se discretizan sólo en la dirección vertical, puesto que en la dirección horizontal poseen solución continua. En principio, los modos de vibración de un depósito de suelo estratificado horizontalmente podrían obtenerse al resolver un problema de valores característicos conti-nuo. Sin embargo, la ecuación característica del depó-sito, o ecuación de frecuencias, contiene funciones trascendentes que dificultan enormemente la solución numérica del problema. Para superar esta dificultad se pueden determinar eigenfunciones discretas en la
direc-ción vertical usando el método de elementos finitos, me-diante el cual es posible derivar un problema de eigenva-lores algebraico.
Lysmer y Drake (1972) desarrollaron un método efi-ciente de hiperelementos finitos, que consiste en discre-tizar el depósito de suelo en n estratos delgados de longitud infinita (ilustración 1), donde se supone que la variación de las eigenfunciones es lineal. En estas con-diciones, el problema algebraico de valores característi-cos de dimensión (2nx2n) para la frecuencia de excita-ción ωresulta ser:
donde ies la unidad imaginaria, kes el eigenvalor des-conocido y v es su correspondiente eigenvector. Ade-más, [A], [B], [G] y [M] son matrices del sistema de 2nx2n, ensambladas, según Lysmer y Drake (1972), con matrices de estrato dadas por:
Ilustración 1. Depósito de suelo estratificado horizontalmente.
Superficie libre
Base fija h
z
x h1
hm
hn
w1
u1
z1
z2 zm
zn
zn-1
G1, ρ1, ν1, β1
Gm, ρm, νm, βm
Gn, ρn, νn, βn um
un wm
wn
(1)
A k i B k G M v
[ ]
+[ ]
+[ ]
−[ ]
(
2 ω2)
{ }
={ }
0(2)
A h
G G
G G
G G
G G
j n
j j
j j j j
j j
j j j j
j j
[ ]
=+
(
)
(
+)
+(
)
(
+)
=
6
2 2 0 2 0
0 2 0
2 0 2 2 0
0 0 2
1
λ λ
λ λ , ,...,
(3)
B
G G
G G
G G
G G
j n
j
j j j j
j j j j
j j j j
j j j j
[ ]
=−
(
)
(
+)
−
(
−)
(
+)
−
(
+)
−(
−)
−
(
+)
(
−)
=
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
1
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
Aquí Gj,λj,ρjyhjson el módulo de corte, la constante
de Lamé, la densidad y el espesor del j-ésimo estrato, respectivamente; el amortiguamiento del suelo se intro-duce al reemplazar Gjpor Gj(1+i2βj) yλjpor λj(1+i2βj),
siendo βjel coeficiente de amortiguamiento material del
suelo por comportamiento histerético.
Al resolver el problema de eigenvalores definido por la ecuación (1), se obtiene el eigenvector {v} para cada eigenvalor k, expresado como:
que representa la amplitud modal del j-ésimo nodo a la profundidad zj. En la ilustración 1 se indican los
compo-nentes de desplazamiento uyw. En términos generales, para cada valor de la frecuencia de excitación se obtie-nen 2n vectores característicos, linealmente indepen-dientes, asociados a 2nvalores característicos, con los que puede construirse la matriz modal [V] de (2nx2n), cuyas columnas son los vectores {v}:
Por otra parte, conviene agrupar los valores caracte-rísticos en una matriz diagonal de (2nx2n):
Si se supone que los modos de vibración se propa-gan horizontalmente, el vector de desplazamientos para un modo natural de propagación se puede representar como:
donde ies la unidad imaginaria y tsignifica tiempo. De acuerdo con esta ecuación, k representa el número de
onda horizontal y vexpresa la variación vertical del des-plazamiento. A estos modos naturales de propagación en deformación plana se les conoce como modos gene-ralizados de Rayleigh.
Superposición modal
Los desplazamientos nodales que resultan de la contri-bución de todos los modos naturales de propagación se pueden expresar mediante superposición modal por me-dio del vector:
donde {C} es el vector de coeficientes de participación modal y [E±] es la matriz propagadora, dada por:
Asimismo, las fuerzas correspondientes a [V*]=[V][E±]
pueden obtenerse mediante la integración de los es-fuerzos τxzyσxa lo largo del eje z, lo que conduce a la
matriz:
donde [D] es una matriz del sistema de 2nx2n, ensam-blada, según Lysmer y Drake (1972), con las matrices de estrato:
De acuerdo con la ecuación (10), las fuerzas nodales consistentes con {δd} se obtienen como:
Por otro lado, los desplazamientos nodales debidos al movimiento de campo libre originado por la excitación UgeiωtoWgeiwten la base del depósito se pueden
deter-minar haciendo k=0 en la ecuación (1), lo que lleva al sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas:
donde: (5)
M j j jh j n
[ ]
=
= ρ
1 3 0 1 6 0 0 1 3 0 1 6 1 6 0 1 3 0
0 1 6 0 1 3
1
/ /
/ /
/ /
/ /
, ,...,
(4)
G h
G G
G G
G G
G G
j n
j j
j j
j j j j
j j
j j j j
[ ]
=− +
(
)
−(
+)
−−
(
+)
(
+)
=
1
0 0
0 2 0 2
0 0
0 2 0 2
1
λ λ
λ λ
, ,...,
(6)
(7)
(8)
v v
vjj w zu z j n
j j
{ }
= =
=
−
2 1
2 1
( )
( ) ; ,...,
[ ] diag[ ]K = kj , 1≤ ≤j 2n
(9)
δ ω
{ }
=
=
{ }
(
−)
u x z t
w x z t v z i t kx ( , , )
( , , ) ( )exp
V v v v n
[ ]
=[
{ } { } { }
1 , 2 ,..., 2]
(10) { }δd =[ ][ ]V E C±{ }=[ ]V C*{ }
(13)
D G G
G G
j n
j
j j
j j
j j
j j
[ ]
=− −
− −
= 1
2
0 0
0 0
0 0
0 0
1
λ λ
λ λ , ,...,
(11) [ ] diag[E± = e±ik xj ],1≤ ≤j 2n
(14) { }Fd =[ ]P C*{ }
(15)
G− M V
[
ω2]
{ }
={ }
0 0
Los componentes del movimiento de campo libre, {δl}={Vj}1≤j≤2n, se obtienen al resolver el sistema no
ho-mogéneo de ecuaciones algebraicas, que resulta de im-poner las condiciones de frontera V2n+1=Ug(excitación
horizontal) o V2n+2=Wg(excitación vertical), prescritas en
la base del depósito. Asimismo, las fuerzas nodales con-sistentes con {δl} se determinan como:
Finalmente, los desplazamientos y fuerzas totales que resultan de la superposición de las respuestas de campo libre y las respuestas difractados por el muro tienen las siguientes formas:
Los componentes de {δ} y {F} se muestran esque-máticamente en las ilustraciones 1 y 2, respectivamente.
Modelo propuesto
El modelo investigado consiste en un muro rígido que contiene un relleno estratificado horizontalmente en el que se propagan ondas generalizadas de Rayleigh ge-neradas por excitación horizontal o vertical en la base. La longitud del relleno puede ser semi-infinita o finita. En ambos casos, los estratos que constituyen el relleno pueden ser isótropos y heterogéneos, uno con respecto a otro, con comportamiento viscoelástico lineal, y con continuidad de esfuerzos y deformaciones en el contac-to entre ellos. Escontac-tos contaccontac-tos son planos paralelos a la superficie y base del relleno. La respuesta del sistema se obtiene satisfaciendo rigurosamente las condiciones de frontera en la interfaz muro-relleno, en el caso del mode-lo semi-infinito, y adicionalmente en la interfaz relleno-suelo circundante, en el caso del modelo finito. Los aná-lisis se efectúan en el dominio de la frecuencia.
Modelo semi-infinito
El esquema de este modelo se aprecia en la ilustración 3. El vector de desplazamientos totales en el muro (x=0) está dado por la ecuación (18) que, después de sustituir en ella la ecuación (10), se transforma en:
De la misma forma, el vector de fuerzas totales sobre el muro (x=0) está dado por la ecuación (19) que, des-pués de sustituir en ella la ecuación (14), se transforma en:
(17) { }Fl =[ ]D{ }δl
(18) { } { } { }, { }δ = δ + δ δ =
l d u
w
(19) { } { } { }, { }F F F F f
g
l d
= + =
(20) {δ(x )} u { } { } { }δ δ δ [ ]{ }
w l d l V C
= =
= + = + ∗
0
(21)
{F x } f { } { } { } { }
g Fl Fd Fl P C
( = ) = [ ]
= + = + ∗
0 Ilustración 2. Fuerzas nodales consistentes en un depósito de
suelo estratificado horizontalmente.
h
z
x f1
fm g1
gm
fn
gn z2 z1
zm
zn
zn-1
Ilustración 3. Modelo para muro rígido y relleno semi-infinito. (16)
V0 Vj 1 j 2n 2
{ }
={ }
; ≤ ≤ +hn hj
relleno j
j+ 1 n 1
2 h1 λ1, G1, ρ1, ν1, β1
λj, Gj, ρj, νj, βj
x
h Zj+1
Ug=Ueiwt
z Wg=We
iwt
De la misma forma, las fuerzas totales en las regiones ryspueden escribirse como:
Debe saberse que , y son las matrices de desplazamientos modales que se propagan en direc-ción positiva (→) y negativa (←) de x, definidas como:
En tanto que , y son las matrices de fuer-zas modales que se propagan en dirección positiva (→) y negativa (←) de x, definidas como:
Para determinar los coeficientes de participación mo-dal, que representan las incógnitas del problema, es ne-cesario satisfacer las condiciones de frontera en el con-tacto entre el muro y el relleno, las cuales están dadas por la continuidad de desplazamientos:
donde {δmuro}=Ug{I} o Wg{I} es el vector de
desplaza-mientos impuestos en el muro por el movimiento sísmi-co, siendo {I} un vector con unos y ceros dependiendo de que la excitación en la base sea horizontal o vertical. Sustituyendo la ecuación (22) en la ecuación (20) y arre-glando términos, se tiene:
que representa un sistema de 2nx2n ecuaciones alge-braicas. Resolviendo dicho sistema se determinan los coeficientes de participación modal que, en general, son cantidades complejas. Aplicando los valores de {C} en la ecuación (21) se obtienen las fuerzas totales que ac-túan sobre el muro y con ellas pueden calcularse la fuer-za cortante y el momento de volteo en su base.
Modelo finito
El esquema de este modelo se aprecia en la ilustración 4. A diferencia del modelo anterior, en éste se tiene una frontera vertical que separa al relleno del medio que lo rodea, por donde se reflejan y refractan las ondas que llegan a ella. En esta frontera existe continuidad de es-fuerzos y deformaciones entre ambos materiales. Para fi-nes de análisis, la discretización del suelo circundante se hace exactamente igual en número y espesor de estra-tos a la del relleno, aunque las propiedades materiales son distintas.
En lo que sigue, el subíndice r se refiere a la región del relleno y el subíndice s a la del suelo circundante. Los desplazamientos totales en las regiones r ys pue-den escribirse como:
(22) δ
( )
x= δ{
0}
={ }
muro(23) [ ]V C∗{ } {= δmuro} { }− δl
(24)
δr δrl δdr δrl r r
r
r
x u
w V V
C C ( )
{ }
= ={ }
+{ }
={ }
+ → ← → ← M L (26)F x f
g F F F P P
C
C
r rl rd rl r r
r r ( )
{ }
= ={ }
+{ }
={ }
+ → ← → ← M L (25) δs( )x wu δsl δds δls V Cs s{ }
= ={ }
+{ }
={ }
+ → → (27)F x f
g F F F P C
s( ) sl sd sl s s
{ }
= ={ }
+{ }
={ }
+ → →[ ]Prr [ ]
s
Pr [ ]
r
Ps
(28)
V x vv U
W j n n
r r j l r j l
r jl ik x r jl ik x l l → − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤
( ) exp
exp
2 1
2 1 1 2
,
, , , /
(29)
V x vv U
W j n n
r r j l r j l
r jl ik x r jl ik x
l l ← − = = − ≤ ≤ ≤ ≤
( ) exp
exp
2 1
2 1 1 2
,
, , , /
(30)
V x v
v
U
W j n n
s s j l s j l
s jl ik x s jl ik x l l → − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤
( ) exp
exp
2 1
2 1 1 2
,
, , , /
Ilustración 4. Modelo para muro rígido y relleno finito.
[ ]Vrr [ ]
s
Vr [ ]
r
Vs hr
hri
hrn
relleno suelo circundante
Base firme j j+1 n 1 2 h
λr1,Gr1,ρr1,νr1,βr1 λs1,Gs1,ρs1,νs1,βs1
λrj,Grj,ρrj,νrj,βrj λsj,Gsj,ρsj,νsj,βsj
λrn,Grn,ρrn,νrn,βrn λsn,Gsn,ρsn,νsn,βsn x
z
L
También debe saberse que , y son los vectores de coeficientes de participación de modos que se propagan en dirección positiva (→) y negativa (←) de x. Para determinar estas incógnitas, es necesario sa-tisfacer las condiciones de frontera en los contactos muro-relleno y relleno-suelo circundante, las cuales es-tán dadas por:
Desarrollando las ecuaciones (34) a (36) se tiene que:
Mayores detalles sobre el desarrollo de estas ecuacio-nes pueden encontrarse en el trabajo de Bonola (2002).
Finalmente, arreglando las ecuaciones (37) a (39) es posible llegar a:
que representa un sistema de 6nx6n ecuaciones alge-braicas. Resolviendo dicho sistema se determinan los coeficientes de participación modal que, en general, son cantidades complejas. Aplicando los valores de y en la ecuación (26) se obtienen las fuerzas totales que actúan sobre el muro, y con ellas pueden calcularse la fuerza cortante y el momento de volteo en su base.
Resultados numéricos
Con objeto de verificar la efectividad del método pro-puesto, se efectuó una calibración numérica con resulta-dos publicaresulta-dos en la literatura para un relleno uniforme semi-infinito. En la ilustración 5 se comparan los resulta-dos aquí calcularesulta-dos contra los obteniresulta-dos por Wood (1973) y por Arias et al. (1981), aplicando un modelo elástico simplificado. Los resultados corresponden a la variación del cortante basal normalizado, , contra la frecuencia de excitación normalizada, ω/ωo,
(31)
(32)
(33) P xr PPr j l iA V K D V j n n
r j l r r r r r
→ − → → = = + ≤ ≤ ≤ ≤
( ) 2 1
2 1 1 2
,
, , , /
{ }Crr { }
s
Cr { }
r
Cs
(37)
V x V x
C C r r r r r l → ← → ← = = =
{ }
−{ }
( 0) (M 0) L δmuro δ
(38)
V x L V x L C
C
V x L C
r r
r
r
s s sl rl
→ ← → ← → → = = − = =
{ }
−{ }
( ) (M ) L ( ) δ δ
(34) δr
( )
x= δ{
0}
={ }
muro(35) δr
( )
x L= δs x L{
}
={
( )
=}
(36) F x Lr
( )
= F x Ls{
}
={
( )
=}
P x P
P iA V K D V j n n
r r j l
r j l r r r r r
← − ← ← = = + ≤ ≤ ≤ ≤
( ) 2 1
2 1 1 2
,
, , , /
P x P
P iA V K D V j n n
s s j l
s j l s s s s s
→ − → → = = + ≤ ≤ ≤ ≤
( ) 2 1
2 1 1 2
,
, , , /
(39) P x L P x L
C
C
P x L C F F
r r
r
r
s s sl rl
→ ← → ← → → = = − = =
{ }
−{ }
( ) (M ) L ( )
(40) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] muro r s
r s r
r s r
r s r
V V
V V V
P P P
C C
C F F
r r
r r s
r r s
r r s r l s l r l
sl rl 0 − − = − − − { } { } { } { } { } { } { } { } { } δ δ δ δ
{ }Crr
{ }Csr
Q U hb gρ 2
Ilustración 5. Variación del cortante basal contra la frecuencia de excitación para un relleno uniforme semi-infinito.
2.000
1.000
0.000
-1.000
-2.000
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000
Parte imaginaria (lm) Parte real (Re)
Qb / Ug ρ h 2
ω/ω0
Re Wood Im Wood Re Arias et al.
Im Arias et al.
siendo ωola frecuencia crítica del relleno, entendida ésta
como la frecuencia fundamental con la que vibra el relle-no. Puede verse que el grado de acuerdo es excelente en todo el intervalo de frecuencias estudiado.
Para reducir el número de ejemplos, a continuación se analiza un relleno semi-infinito con y sin la presencia del nivel freático (NAF), considerando en ambos casos las variaciones de las propiedades dinámicas del suelo con la profundidad. Cabe mencionar que en la literatura existe suficiente información para representar distintas situaciones reales a partir de los parámetros característi-cos del modelo.
Ejemplo 1: relleno sin NAF
Vamos a determinar la respuesta dinámica ante excita-ción horizontal y vertical de un muro que contiene un re-lleno de seis metros, normalmente consolidado, de are-na limpia, redondeada y seca. El material tiene un peso volumétrico seco γd=1.6 ton/m3, una relación de vacíos
e=0.55, un coeficiente de presión lateral en reposo k0=0.5 y un amortiguamiento β=1%.
Para este tipo de suelo, Hardin y Richart (1963) en-contraron que la relación de vacíos afecta los paráme-tros dinámicos del material. Para un mismo valor de la presión de confinamiento, σ0, la velocidad de ondas de
corte Vsdisminuye al aumentar la relación de vacíos, de
acuerdo con la expresión:
donde Vs está en m/s y σ0 en kPa. Asimismo,
estu-dios realizados por Stokoe y Erden (1985) sobre la varia-ción de la velocidad de ondas de compresión Vp con
la presión de confinamiento dieron como resultado la expresión:
donde Vpestá en ft/s y σ0en lb/in2.
Para valuar la presión de confinamiento, en las ecua-ciones (41) y (42) se utilizó la expresión que considera la anisotropía del suelo, dada por:
donde σves la presión de confinamiento en la dirección
vertical, resultado de multiplicar el peso volumétrico del suelo por la profundidad.
Según la teoría de elasticidad, conocidas las veloci-dades de ondas de corte y compresión, la relación de Poisson del suelo puede calcularse como:
Efectuando los cambios dimensionales correspon-dientes, en el cuadro 1 se reportan los valores estimados para las propiedades dinámicas del suelo en función de la profundidad. Utilizando estos valores se aplicó el mé-todo propuesto para calcular las variaciones del cortante basal con la frecuencia de excitación. En la ilustración 6 se muestran dichas variaciones para excitación horizon-tal y vertical, junto con los resultados correspondientes al ejemplo siguiente.
Ejemplo 2: relleno con NAF
Con los mismos datos del ejemplo anterior vamos ahora a determinar la respuesta dinámica, considerando que el NAF se localiza a un metro de profundidad. Para fines prácticos, supondremos que el material sobre el NAF (41)
Vs =51 2 17
(
. −e)
σ00 25.(42) Vp=768 99. σ00 2.
Cuadro 1. Variación de las propiedades dinámicas del suelo con la profundidad, para las condiciones del ejemplo 1.
Profundidad
z
(m)
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Presión de confinamiento vertical
σσv
(kg/m2)
1,600.00 3,200.00 4,800.00 6,400.00 8,000.00 9,600.00
Presión de confinamiento media
σσ0
(kg/m2)
1,066.67 2,133.33 3,200.00 4,266.67 5,333.33 6,400.00
Velocidad de ondas de corte
Vs
(m/s)
149.32 177.55 196.50 211.16 223.27 233.68
Velocidad de ondas de compresión
Vp
(m/s)
254.86 292.57 317.35 336.18 351.55 364.53
Relación de Poisson
νν
0.24 0.21 0.19 0.17 0.16 0.15
(43)
σ0=
( )
1 3/ σv(
1 2+ k0)
(44)
ν =
(
)
−(
)
−
V V
V V
p s
p s
/
/ 2
2 2
está completamente seco y por debajo del NAF total-mente saturado, con una densidad de sólidos Ss=2.65.
En presencia de agua ocurren grandes diferencias en los mecanismos con que las ondas de corte y compre-sión se propagan en el suelo. Esto es especialmente evi-dente en suelos totalmente saturados. Se sabe que las velocidades de ondas de corte son sensiblemente más pequeñas en suelos saturados que en secos, para una misma presión de confinamiento y relación de vacíos. Esto se debe al aumento de la densidad del material por la adición de agua en los poros. También se sabe que no toda el agua contenida en los poros se mueve con el es-queleto de suelo durante el paso de las ondas. Hardin y Richart (1963) encontraron que la masa efectiva de agua es menor que 50% para arenas gruesas y gravas, pero cerca de 100% para arenas finas y limos. Así, la densidad de un suelo saturado puede estimarse con la expresión:
donde ρses la densidad del suelo seco, ρwes la
densi-dad del agua, nes la porosidad y δes un factor entre 0 y 1 (δ ≈ 0.5 para arena media o gruesa y δ ≈ 1 para arena fina o limo).
La velocidad de ondas de corte en suelos saturados, , ha de calcularse según la teoría de elasticidad como:
donde es el módulo cortante del suelo seco. En tanto que la velocidad de ondas de compresión en suelos saturados, , puede estimarse de acuerdo con Whitman y Dobry (1997) como:
donde Vwes la velocidad de ondas de compresión en el
agua (1,400-1,500 m/s). Conocidas y , la relación de Poisson en suelos saturados puede calcularse apli-cando la ecuación (44).
En el cuadro 2 se reportan los valores estimados para las propiedades dinámicas del suelo en función de la profundidad, resaltando los correspondientes a suelo saturado. Con estos valores se aplicó el método pro-puesto para calcular las variaciones del cortante basal con la frecuencia de excitación. En la ilustración 6 se comparan los resultados de los dos ejemplos. Puede verse que la presencia de agua tiene poco efecto para excitación horizontal, pero es muy importante para exci-tación vertical. En este último caso, la frecuencia reso-nante y la respuesta pico difieren notablemente entre Ilustración 6. Resultados de los ejemplos de aplicación donde
se muestra el empuje dinámico sobre el muro, considerando excitación horizontal y vertical para el relleno con y sin NAF.
Cuadro 2. Variación de las propiedades dinámicas del suelo con la profundidad, para las condiciones del ejemplo 2.
Profundidad
z
(m)
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Velocidad de ondas de corte
Vs
(m/s)
149.32 177.55 196.50 211.16 223.27 233.68
Velocidad de ondas de compresión
Vp
(m/s)
254.86 292.57 317.35 336.18 351.55 364.53
Módulo de corte
G
(kg/m2)
3.64 x 106
5.14 x 106
6.30 x 106
7.27 x 106
8.13 x 106
8.91 x 106
Velocidad Vp
en suelos saturados
V*
p
(m/s)
254.86 1,770.16 1,773.02 1,775.90 1,778.36 1,780.53 Velocidad Vs
en suelos saturados
V*
s
(m/s)
149.32 168.43 186.47 200.31 211.83 221.75
Relación de Poisson
νν
0.24 0.495 0.494 0.494 0.493 0.492
G sV
s = ρ 2
Vp*
Vp*
Vs*
Vs*
(45) ρ ρ δ ρ= +s w=ρw
[
( )
− +δ]
s
n 1 n S n
(46)
Vs*= Gρ
(47)
V V
n n S n V
V n n S
p w
s
p w
s *
/
/
=
−
( )
+[
]
+
+
[
( )
−]
1 1
1
1 1
2 1 2
400 300
Arena saturada excitación
vertical
Qb
/
Ug
ρ
h
2 o
Qb
/
Wg
ρ
h
2
200 100
0 10
8
6
4
2
0
ω(rad/s)
Arena seca excitación
vertical Arena saturada excitación horizontal
suelo seco y saturado. La razón principal de este efecto es que la velocidad de propagación de ondas de com-presión crece significativamente ante la presencia de agua. Esto es entendible, ya que el agua es un excelente medio para transmitir ondas de compresión, pero inca-paz de transmitir ondas de corte.
Es importante hacer notar que el desfasamiento en las frecuencias resonantes se debe esencialmente a las variaciones de las velocidades de onda por la presencia de agua. Al reducirse la velocidad de corte, se reduce la frecuencia resonante ante excitación horizontal; en cam-bio, al incrementarse la velocidad de compresión se in-crementa la frecuencia resonante ante excitación verti-cal. Obsérvese que, para excitación vertical, la respuesta máxima en el relleno seco se presenta por debajo de 100 rad/s, mientras que en el relleno saturado ocurre por encima de 200 rad/s. Esto podría implicar que un sismo que no afecte al muro con suelo seco sí lo haga cuando esté saturado.
Conclusiones
Se presentó un método híbrido de frontera y elemento finito para evaluar los efectos de la acción sísmica en muros de retención. El modelo analizado consiste en un muro rígido que contiene un relleno estratificado horizon-talmente, en el que se propagan ondas de tipo armóni-co generadas por excitación horizontal y vertical de su base. Se hicieron formulaciones para los casos de relle-no semi-infinito y finito, se mostró la verificación del mé-todo y se realizaron dos aplicaciones con objeto de mostrar la influencia del agua en la respuesta dinámica del sistema muro-relleno.
Se encontró que, independientemente del tipo de ex-citación, el cortante basal máximo es mayor para suelo saturado que para suelo seco. Para excitación vertical, el cortante basal máximo crece sustancialmente ante la presencia de agua, llegando a ser incluso mayor que el cortante basal máximo para excitación horizontal. Éste es un resultado novedoso, descubierto gracias a que el modelo acepta la incorporación de la excitación vertical. Queda por investigar la influencia que tiene el despla-zamiento relativo del muro respecto de su base, produc-to tanproduc-to de la flexibilidad del propio muro como de la ro-tación de su base. Es posible incluir este último efecto en el modelo analizado, introduciendo la flexibilidad del suelo subyacente al relleno, ya sea por medio de resor-tes y amortiguadores equivalenresor-tes o bien considerando rigurosamente la presencia de un semi-espacio elástico. Recibido: 08/03/2005 Aprobado: 28/05/2005
Referencias
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Abstract
BONOLA, I & AVILÉS, J. Earthquake-generated pressures on retaining walls. Hydraulic engineering in Mexico(in Spanish). Vol. XXI, no. 2, April-June, 2006, pp. 17-26.
Retaining walls are auxiliary works used in different hydraulic structures. In seismically active areas, the dynamic pressures generated by the backfill must be appropriately evaluated at the design stage. Currently, a number of methods for estimating the seismic response of this type of works are available; however, most of them are simpli-fied and not all the parameters involved have been examined. In this paper, a hybrid boundary and finite element method is presented for gravity walls in which the backfill can be represented by a horizontally layered medium. The effect of lateral extension of the backfill can be included in the model by introducing a vertical boundary coupling the movement of the backfill with that of the surrounding soil. The wave propagation analysis in the layered medium is carried out for both horizontal and vertical harmonic excitation; the latter excitation may cause important responses under certain situations. To illustrate the applicability of the proposed method, results for two numerical examples are presented: one for dry backfill and other for saturated backfill, considering in both cases the variations of dynamic properties of the soil with the depth.
Keywords:retaining walls, seismic design, dynamic response, gravity walls.
Dirección institucional de los autores:
M.I. Isaac Bonola Dr. Javier Avilés
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, Paseo Cuauhnáhuac 8532,
colonia Progreso, Jiutepec, Morelos, México, CP 62550, teléfono: + (52) (777) 329 3600,
