PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
1 RAZÓN Y PROPORCIÓN
1.1.- Razóncociente de dos números. Ej: María encesta 6 tiros de 10 lanzamientos 10
6
. Al 6 se le llama antecedente y al 10 consecuente.
1.2.- Proporciónigualdad de dos razones. Ej: 5 3 10
6
.
1.3.- Los elementos que forman una proporción son: los extremos (6 y5), los medios (10 y 3), los antecedentes (6 y 3) y los consecuentes (10 y 5).
1.4.- Constante de proporcionalidadcociente de las razones que forman la
proporción. Ej: 0,6( ).
5 , 2
5 , 1 5 3 10
6
d rcionalida ctedepropo
1.5.- Propiedades de las proporciones:
a) Fundamental: El producto de extremos es igual al producto de medios 30
30 3 10 5 6 5 3 10
6
a d b c
d c b a
b) La suma de antecedentes dividida entre la suma de consecuentes es igual a
la constante de proporcionalidad. Ej: 0,6
5 , 17
5 , 10 5 , 2 5 10
5 , 1 3 6 5 , 2
5 , 1 5 3 10
6
c) Calculo del término desconocido.
Ej: Calcula el cuarto proporcional de los nos 3, 12 y 9 36
3 108 3
9 12 9
12 3
9 12
3 x
x x
Ej: Calcula el valor de a: 5, 15, a y 6:
2 15 30 15
6 5 6 15
5
a a a
Ej: Calcula la media proporcional o la media geométrica de 4 y 9
6 36 36
9 4 9
4 2
x x
x x x
2 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.
2.1.- Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por dicho número. Ej: El peso de los plátanos y el precio
kg 1 2 3 5 y Precio € 1,5 3 4,5 x 15
¿Cómo se calcula x e y?
Cuando son directas se cumple
2 2 1 1
b a b a B
A
€ 5 , 7 1
5 5 , 1 5
5 , 1 1 5 5 , 1
1 x
x
x ; y y kg
y
10 3
15 2 3
15 2 15 3
2
Estos problemas se denominan de regla de tres (nos dan tres datos y falta un cuarto que hay que hallar) simple (intervienen solo dos magnitudes) directa. 2.2.- Problema: Seis barras de pan cuestan 4,20 €. ¿Cuánto costarán 12 barras? ¿Cómo se resuelve? De varias maneras:
Por una tabla y una proporción direct Directa
Cantidad 6 12 Prcio € 4,20 x
€
40
,
8
6
12
20
,
4
12
20
,
4
6
x
x
Por una regla de tres y una proporción: Cantidad --D-Precio €
6 barras 4,20 € 12 barras x
€ 40 , 8 6
20 , 4 12 20
, 4 12
6
x
x
Reduciendo a la unidad: Si 6 barras cuestan 4,20 €
1 barra costará= 0,70€ 6
20 , 4
3 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
3.1.- Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Ej: la velocidad (km/h) y el tiempo (h)
veloc(km/h) 90 180 60 y tiempo (h) 2 1 x 10
¿Cómo se calcula x e y?
Cuando son inversas se cumple: a1 b1 a2 b2 B
A
:
horas x
x 3
60 2 90 60
2
90 ; y y 18km/h 10
2 90 10
2
90
Estos problemas se denominan de regla de tres simple inversa.
3.2.- Problema: Con un consumo de 5 horas diarias un depósito de gas dura 18 días. ¿Cuánto duraría con un consumo de 3 horas diarias?
¿Cómo se resuelve?
De varias maneras:
Por medio de una tabla inversa: Consumo diario (h) 5 3
Duración (días) 18 x x x 3 30días
18 5 3
18
5
Por una regla de tres inversa:
días x
x
x días I
horas
30 3
18 5 18
5 3 18
3
5
Por reducción a la unidad: Funcionando 5 horas diarias dura 18 días
Si funcionará 1hora diaria duraría = 51890días; como funciona 3 horas diarias
durará = 30días 3
4.- PORCENTAJES 4.1.- Ideas previas:
Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razón que tiene por consecuente 100. También se puede decir que es un nº decimal:
; 100
% x
x Ej: 0,05; 100
5 %
5 0,20;
100 20 %
20 0,50
100 50 %
50
Expresar un determinado tanto por ciento de una cantidad es dividir dicha cantidad en 100 partes iguales y coger, tomar, indicar, señalar… el tanto indicado.
¿Cómo se calcula? Multiplicando el porcentaje por la cantidad y dividiendo
entre 100. ?;
100 500 500
%de x
x Ej: 125
100 500 25 500 %
25 de .
También se puede calcular:
125 500 25 , 0 500 100
25 500 %
25 de
Problema: ¿Cuál es el precio final de un turismo de 12000 € si debemos de pagar el 21 % de IVA?
Datos Planteamiento Solución:
valor12000 € de 2520€deIVA 100
12000 21
12000 %
21 El precio final 14520 €
21 % de IVA Precio final= 12000 + 2520 = 14520 Precio final = ?
4.2.- Relación entre porcentaje, fracción y decimal. ;
25 , 0 4 1 100
25 %
25 0,5;
2 1 100
50 %
50 0,75;
4 3 100
75 %
75
; 1 100 100 %
100 0,1; 10
1 100
10 %
10 0,2
5 1 100
20 %
20
4.3.- PROBLEMAS DE PORCENTAJES Se pueden resolver de dos maneras:
Mediante una ecuación:
x%deCantidadTotalCantidadParcial
o (Lo resolveremos cuando veamos el tema de ecuaciones)Problema 1º: El 35 % de los habitantes de un pueblo utilizan gafas. Si el nº de habitantes es 3600, ¿cuántos usan gafas?
x s usarángafa de
usangafas de
Parte Total
36000
35 100
tes habi x
x
x 100 1260 tan
35 3600 35
3600 100 3600
35 100
Problema 2º:De un total de 150 alumn@s de ESO han aprobado la 1ª y 2ª Evaluación de Matemáticas 90. ¿Qué porcentaje han tenido evaluación positiva?
x aprobarán de
aprueban de
Parte Total
100
90
150 60
150 90 100 90
100 150 100
90 150
x x
x %
Problema 3º: El 80 % del censo electoral han ido a votar. Si han votado 24000, ¿cuántos votantes forma el total del censo electoral?
32000 80
24000 100
24000 80 100
24000 80 100
24000 80 tan 100
x x
x xhanvotado
vo de
5.- REPARTOS PROPORCIONALES
5.1.- Directamente proporcionales: Consiste en repartir una cantidad total de una magnitud entre varias cantidades de otra magnitud.
Problema: Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
año z
y x
/ € 5 , 12 36 450 16 12
8 .De esta
serie de razones iguales se cogen proporciones y se hallan x, y y z
€ 200 36
450 16 36
450 16 €; 150 36
450 12 36
450 12 €; 100 36
450 8 36
450
8
x y y z z
x
o se plantean las siguientes ecuaciones y se resuelven:
€ 200 16 5 , 12 5
, 12 16 €; 150 12 5 , 12 5
, 12 12 €; 100 8 5 , 12 5
, 12
8 z
z y
y x
x
5.2.- Inversamente proporcionales: Consiste en repartir una cantidad total de una magnitud en parte directamente proporcionales a las inversas de las cantidades de la otra magnitud.
Problema: Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando
anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?
1º Escribimos los inversos y reducimos a común denominador:
480 15 , 480
20 , 480
24 32
1 , 24
1 , 20
1
2º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores
59 5900 15
20 24 15 20
24
y z x y z
x
€ 2400 59
5900 24 59
5900
24
x
x
€; 2000 59
5900 20 59
5900
20
y
y
1500€
59 5900 15 59
5900
15
z
