El principio del Trabajo Virtual y el principio de d Alambert

El principio del Trabajo Virtual y el principio de d’Alambert

En general, veremos que el formalismo de Newton es insuficiente para resolver sistemas mecánicos más generales.

Para ello utilizaremos el principio de trabajo virtual, el cual es objeto de estudio en este capítulo.

Constricciones

Escribamos la 2da Ley de Newton, aplicada a un sistema deNpartículas, mi



ri  Fi

coni  1, 2, . . . , N

En principio esto puede parecer que todo lo que debemos hacer es integrar un conjunto acoplado de3Necuaciones para obtener las 3Ncoordenadasri como una función del

tiempot.

Enseguida descubrimos que, además del hecho de que la integración no es factible en muchas situaciones, el conjunto de ecuaciones es incompleta.

En particular, las coordenadas pueden estar restringidas o constreñidas o tener ligaduras.

Por ejemplo:

a) Las partículas pueden estar requeridas a moverse en cierta superficies o curvas, como por ejemplo un bloque sobre un plano inclinado, o en un péndulo en un plano

b) Las partículas pueden estar conectadas por barras rígidas con masa despreciable, de manera que las distancias entre ellas permanezcan constantes,

|rirj|  dij

como partículas que forman un cuerpo rígido.

Constricciones tales como estas, pueden ser expresadas como un conjunto de ecuaciones de la forma

Glr1, r2, . . . , rN; t  0

paral  1, 2, . . . , 3Nf

y son llamadas restricciones o ligaduras holonómicas. El entero "f" es el número de grados de libertad del sistema.

Otros tipos de restricciones (llamadas "no holonómicas") tales como "partículas confinadas en un interior de una caja" o "ruedas rodando sobre una superficie", son difícil de manejar de una manera genérica y no serán consideradas por ahora.

Las restricciones producen dos efectos:

1. Las 3N coordenadasrj  xj, yj, zjno son todas independientes. Para un sistema con

f grados de libertad hay sólofcoordenadas independientes.

2. Hay fuerzas de restricciones o de ligadurasFi ligaduras como las superficies

restrictivas, curvas, varillas, etc., ejerciendo sobre las partículas movimientos en conformidad con estas ligaduras o restricciones.

Estas son inicialmente desconocidas y deben ser encontradas como parte de la solución del problema.

Si llamamos a todas las otras fuerzas fuerzas aplicadas y denotamos a ellas comoFi

miri  Fi

aplicada

Fi

ligaduras

coni  1, 2, . . , N

Junto con las ecuaciones de ligaduras, están dando un total de6Nf ecuaciones para los6Ndesconocidosri yFi

ligaduras

.

Hasta el momento no tenemos suficiente información para resolver el problema dinámico y debemos imponer posteriores condiciones.

En orden de descubrir como éstas deben ser, miremos a algunos ejemplos

complementarios, donde estas situaciones ocurren y veremos qué hacemos en aquellos casos.

Principio de Trabajo Virtual

Primero consideremos un bloque desplazándose sobre una plano inclinado sin rozamiento, cerca de la superficie de la tierra

El bloque está sujeto a dos fuerzas: la fuerzamgque la gravedad ejerce sobre el bloque, una fuerza aplicada, y la fuerzaNque el plano ejerce sobre el bloque, ella es una

fuerza de restricción o ligadura.

Si pensamos esto como un problema en dos dimensiones, hay cuatro elementosx,y, Nx,Ny. Para encontrarlas, tenemos dos ecuaciones desde la 2da Ley de Newton y una de

la ecuación de ligadura.

La cuarta ecuación necesaria es el enunciado de queNes perpendicular al plano inclinado.

Ahora deseamos decir que ésta es una manera la cual puede ser aplicado a una amplia variedad de situaciones.

Para este propósito, observemos que otra manera que tenemos de obtener el mismo resultado, es decir que la fuerza de ligadura, siendo perpendicular al desplazamiento, es una fuerza que no trabaja.

Veremos que esta idea, apropiadamente extendida, nos guiará a una condición general adicionada que debemos imponer sobre un sistema mecánico para tener un problema bien condicionado.

Consideremos dos partículas conectadas por una varilla rígida sin masa y posiblemente sujeta a fuerzas externas.

Queremos encontrar las coordenadasr1yr2 de las partículas y las fuerzas de

ligadurasF1 yF2 que la varilla ejerce sobre ellas, doce variables totalmente desconocidas.

Tenemos seis ecuaciones a partir de la 2da Ley y una ecaución de restricción.

Las restantes ecuaciones necesarias son

F1  F2

que son tres ecuaciones.

La fuerza que la varilla ejerce sobre la partícula 1 es igual y opuesta a la fuerza que actúa sobre la partícula 2, y

La fuerzas son dirigidas a lo largo de una linea que une ambas partículas

y esto son dos ecuaciones.

Resumamos los requerimientos. Observemos que para cualquier desplazamiento del sistema, mientras las fuerzas de ligaduraF1 yF2pueden trabajar individualmente, significa

que el trabajo neto

W  F1.r1F2.r2

realizado por todas las fuerzas de ligadura o restricción es de nuevo cero.

Para ver esto, notemos que el desplazamiento son de dos tipos: traslaciones, para los cuales r1  r2 y W  0 debido a que F1  F2

y el trabajo hecho por la fuerzaF1es igual y opuesto al realizado por laF2.

Y las rotaciones, para las cuales los desplazamientos son perpendiculares a la linea que une las dos partículas.

Posteriormente, por invertir los argumentos podemos obtener las precedentes cinco condiciones sobre las fuerzas de constricción desde el enunciado acerca del trabajo, pues ellos son equivalentes.

Dado que continuaremos para examinar una amplia variedad de situaciones, podemos intentar resumir nuestras observaciones por decir "el trabajo neto hecho por las fuerzas de

constricción es cero".

Pero esto no es muy cierto, pues las fuerzas de ligadura pueden realizar trabajo si la constricción es dependiente del tiempo, o si el plano inclinado en el primer ejemplo se está moviendo o la longitud de la varilla en el segundo ejemplo está variando.

la cual muestra una partícula restringida a una superficie.

Si la superficie se mueve en el intervalo de tiempotatdt, el desplazamiento realdr de la partícula tiene una componente normal a la superficie, en la dirección de la fuerza de ligadura, de esta manera la fuerza de ligadura, en esta situación, puede realizar trabajo.

Así, en orden de aplicar nuestra idea de trabajo, debemos modificar nuestra prescripción como sigue: congelar el sistema al mismo instante de tiempo t; entonces imagine el desplazamiento de la partícula una cantidadri consistente con las condiciones

de constricción. Esto es llamado un desplazamiento virtual.

Nosotros usamosri más quedri para distinguir el desplazamiento virtual,

estableciendo el resultado como sigue:

El Principio de trabajo Virtual

El trabajo total realizado por las fuerzas de restricción en un desplazamiento virtual es cero, Wconstricción _



No hemos dado una prueba del principio de trabajo virtual, sino más bien una indicación de algún tipo de situación en el cual el principio es válida.

Las fuerzas que no satisfacen el principio, deben considerarse "fuerzas aplicadas". Primero supongamos que no hay restricciones. Entonces todos losri son

independientes y la única manera queWconstricción _{puede ser cero para todosr} i, es si

Fi

constricción

 0; estas3Necuaciones dicen, correctamente, que en este caso no hay fuerzas de ligadura.

Ahora supongamos que hay una restricción. Las coordenadas están entonces conectadas por una ecuación de la forma

Gr1, r2, . . , rN; t  0

y el número de grados de libertad es3N1. Esto es,3N1delri  xi, yi, zison

independiente, y1es dependiente.

Si expresamos esta variable dependiente en términos de las variables independientes xj

indep

, el principio de trabajo virtual da





El coeficiente de cada uno de losxj

ind

debe anularse, dando3N1restricciones sobre lasF_iconstriccion , como es requerido.

Esto es claro, que este argumento puede ser fácilmente generalizado al caso donde hay 3Nf ecuaciones de restricción yfvariables independientes.

Cada vez que adicionamos una ecuación de restricción, reducimos el número de grados de libertad, el número de variables independientes , por uno y entonces reduce el número de condiciones sobre lasFi

constriccion

por uno; el número de ecuaciones restringidas más las condiciones sobre lasFi

constriccion

permanece fija a3N.

Para resumir, el principio de trabajo virtual provee las ecuaciones adicionales necesarias para hacer un problema mecánicamente bien condicionado.

Principio de d’Alambert y coordenadas generalizadas

Muy frecuentemente no estamos interesados en las fuerzas de ligaduras en si mismas. Entonces podemos usar la 2da Ley de Newton para eliminarlas desde las ecuaciones remanentes, poniendo Fi constriccion  mi.  ri Fi aplicada

en el principio de trabajo virtual.

Esto dice que el trabajo hecho por las fuerzas aplicadas, más el trabajo hecho por las así llamadas fuerzas inercialesmi.



A pesar de su simple apariencia, el principio de d’Alambert es extremadamente importante.

Junto con la ecuaciones de constricción, este contiene la 2da Ley de Newton, como también las condiciones necesarias sobre las fuerzas de ligaduras.

Esto forma la base para todos nuestros desarrollos en mecánica.

Más que usar un conjunto de3Nvariables no independientesri las cuales están

conectadas por3Nf ecuaciones de ligadura, esto es más conveniente usar un conjunto def 3Nvariables independientesqaa  1, 2, . . . , f, las coordenadas generalizadas,

para describir la configuración del sistema.

Nosotros tenemos una gran libertad en la elección de estas coordenadas.

Esencialmente, cualquier conjunto def variables independientes desde las cuales lasri

puede ser obtenidas por ecuaciones de la forma

ri  riq1, q2, . . , qf; t

coni  1, 2, . . . , N, servirán.

Para el caso del bloque en un plano inclinado, las coordenadas horizontalxo la vertical yo la distanciashacia abajo, pueden servir como coordenadas generalizadas. En términos de la última variable, las coordenadas cartesianas sonx  s. cosey  s. sin.

Para el caso del péndulo, las coordenadasxoy, o el ángulopueden servir como coordenadas generalizadas. En términos de la ultima variable, las coordenadas cartesianas sonx  l. cosey  l. sin.

Una vez que hemos introducido las coordenadas generalizadas para un sistema, la dinámica esta completamente contenida en el principio de d’Alambert.

Veamos como usar esto para algunos problemas simples en algún mecanismo.

Palanca - Subibaja

Una palanca (horizontal), esta en equilibrio estático bajo la aplicación de fuerzas (verticales)F1 a una distancial1 desde el fulcro (punto de apoyo de una palanca) yF2a una distancial2del fulcro.

¿Cual es la condición sobre estas cantidades para obtener equilibrio?

Aunque la respuesta es bien conocida, obtengamos ésta vía el Principio d’Alambert es instructivo.

Para hacer esto, imaginemos el subibaja sometido a un desplazamiento virtual, de una rotación en sentido de las agujas del reloj alrededor del punto de apoyo, un ángulo

La posiciónl1se moverál1.y la fuerza aplicadaF1hace un trabajoF1. l1.; y el extremol2 se moverá una distancial2.y la fuerza aplicadaF2hace un trabajoF2. l2..

En este problema de equilibrio estático no hay fuerzas inerciales, así el principio de d’Alambert produce

F1. l1.F2. l2.  0 o

F1. l1F2. l2.  0

el cual da la relación que es la condición bien conocida, pues debe ser independente del valor de

F1. l1  F2. l2

Plano inclinado

Un bloque de masamdesliza sobre un plano inclinado bajo la influencia de la gravedad. Nosotros tomamos como coordenada generalizada el desplazamiento hacia abajosen el plano

¿Cuál es la ecuación de movimiento?

Para aplicar el principio de d’Alambert, imagine que el bloque sufre un desplazamiento virtualshacia abajo del plano.

m. g. sin.s

La aceleración del bloque bajando el plano ess, así la fuerza inercial sobre ésta esm.s, y el trabajo realizado por la fuerza inercial esm.s.s.

El principio de d’Alambert dice

m. g. sin.sm.s.s  0

m. g. sinm.s .s  0 el cual produce el resultado bien conocido



s  g. sin

Péndulo plano

Una masamcolumpiándose, está suspendida desde el techo por una cuerda de longitudly puede oscilar hacia adelante y hacia atrás en un plano, bajo la influencia de la gravedadg.

El sistema tiene un grado de libertad, y nosotros podemos tomar como coordenada generalizada el desplazamiento angulardesde la vertical.

¿Cuál es la ecuación de movimiento?

incrementa por una pequeña.

La masa se moverá, verticalmente, un pequeño desplazamientol.. sin, y por ello, la fuerza aplicada, es decir la gravedad, realiza trabajo

m. g.l.. sin m. l.  l.  0 la cual se simplifica a     g_l sin

resultando la requerida ecuación de movimiento.

Ahora supongamos que el péndulo cuelga de un resorte, y cuya la longitud es dependiente del tiempo, estirándose o comprimiéndose.

Un desplazamiento virtual, al tiempotcongelado, es lo mismo que antes, una distancia lt.en la dirección, de manera que el trabajo hecho por la gravedad es el mismo.

Pero ahora la aceleración de la masa tiene una componente l.   2.l.   en la dirección de.

El principio de d’Alambert nos da

m. g l.. sin _ml.   2.l.  l.  0 el cual produce d dt m. l 2 _ _{ m. g. l. sin}

La cantidadm. l2_. _{es el momento angular de la masa alrededor del punto suporte.}

Sig  0, en cuyo caso el plano del péndulo se vuelve un plano rotor, éste permanece constante aún silcambia con el tiempo (en contraste a, digamos, la energía cinética).

Otra manera en la cual, la longitud del péndulo podría cambiar con el tiempo podría ser para la cuerda que pasa a través de un pequeño agujero en el techo y actúa sobre ella una fuerzaF

El sistema tiene ahora dos grados de libertad y puede tomar como coordinada generalizada al ángulo y tiene la longitudrdel péndulo (reemplazandol) .

Hay dos desplazamientos virtuales:

a) Si varíamos, manteniendorfijo. Esto es lo mismo como hemos hecho en el párrafo previo, y el principio de d’Alambert produce en la nueva notación

d dt m. r

2_. _{ m. g. r. sin}

b) Si variamosr, manteniendofijo. Imagine incrementandoruna cantidadr. La fuerza de la gravedad aplicada realiza un trabajo

m. g.r. cos

La fuerza aplicadaFhace un trabajo -F.r. La aceleración de la masa tiene una componente



r r.



en la dirección der, así el trabajo hecho por la fuerza inercial es m r r



2 .r

El principio de d’Alambert nos da

m. g.r. cosF.rm r r  2 .r  0 el cual produce m. r r  2  Fm. g. cos

Parag  0estos son simplemente la ecuación general para movimientos bajo una fuerza centralF.