1. Variables aleatorias

Variables aleatorias

Universidad de Puerto Rico

ESTA 3041

Prof. H´ector D. Torres Aponte

1.

Variables aleatorias

Definici´on 1.1. Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es un “outcome” num´erico de alg´un evento aleatorio.

Ejemplo 1.1. Sea X el n´umero de caras. Si su “outcome” es HT T H entonces X = 2. Los posibles valores para X son 1,2,3,4. Si lanzamos la moneda 4 veces mas, los valores de X cambian. Note que X es una variable aleatoria.

Existen dos tipos de variables aleatorias: discreta y continua. En variables aleatorias cuando nos referimos a discreto y continuo lo usamos en el mismo contexto que lo usabamos anteriormente (material del primer examen). Estas variables aleatoria tienen una probabili-dad y a esto se le conoce como distribuci´on de probabilidad.

Definici´on 1.2. La distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria X, nos indica que valores de X podemos obtener y con que probabilidad ocurren estos valores.

1.1.

Variables Aleatorias Discretas

Definici´on 1.3. La distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria discreta X nos enlista todos los posibles valores de X y su probabilidad, de tal forma podemos obtener la siguiente tabla:

Valor de X x1 x2 · · · xk

P (x) p1 p2 · · · pk

Los valores pi tienen que cumplir lo siguiente:

1. 0 ≤pi ≤1

2. Pk

i=1 = 1

Para encontrar la probabilidad de cualquier evento, sume todas las probabilidades pi de

los valores individuales xi.

Ejemplo 1.2. Considere que ciertos compradores de computadoras tienen la opci´on de es-coger el disco duro (HDD) que estar´a instalada en su maquina, estos tienen las siguientes opciones de tama˜no: 10GB, 20GB, 30GB o 40GB. Suponga que seleccionamos a un cliente al azar para preguntarle que tama˜no de HDD prefiere para su selecci´on de computadora.

Vemos que el tama˜no del HDD es nuestra variable aleatoria. Las valores de X cambian seg´un se repita dicho valor:

Tama˜no de HDD 10 20 30 40 Probabilidad 0.50 0.25 0.15 0.10 con esta tabla podemos hacer el siguiente histograma:

Probability 0.6 0.4 0.2 0.0 10 20 30 40 Outcome 0.5 0.3 0.1

La probabilidad de que un cliente seleccionado al azar prefiera al menos 30GB de HDD es:

P(30∪40) = P(X = 30) +P (X = 40) = 0.15 + 0.10

= 0.25

Ahora por ejemplo, considere que una moneda justa (ambas caras tienen el mismo peso) es lanzada 4 veces. La variable aleatoriaXes contar el n´umero de caras. ¿Como encontramos una distribuci´on para X?. Un moedelo razonable para esto comenzar´ıa diciendo que cada una de las opciones tiene la misma probabilidad dado que es una moneda justa. Pero el lanzarla 4 veces nos afecta este pensamiento.

Note que los posibles valores para X (# de caras) son 0,1,2,3,4. Estos no tienen la misma probabilidad de ocurrir, un ejemplo claro de esto es cuando:

X = 0 implica a que nuestro “outcome” esT T T T, entonces P (X = 0) = ₁₆1 . X = 2 esta opci´on ocurre 6 veces diferentes, entonces

P (X = 2) = cantidad de veces con 2 caras 16

= 6

16 = 3 8

a continuaci´on vemos una gr´afica que explica cuales son las opciones por cada caso: HT T H HT HT HT T T T HT H HHHT T HT T HHT T HHT H T T HT T HHT HT HH T T T T T T T H T T HH T HHH HHHH X=0 X=1 X=2 X=3 X=4

Vemos que existe 16 opciones en total. Ahora podemos calcular la probabilidad para cada uno de los valores de X.

P (X = 0) = 1 16 = 0.0625 P (X = 1) = 4 16 = 0.25 P (X = 2) = 6 16 = 0.375 P (X = 3) = 4 16 = 0.25 P (X = 4) = 1 16 = 0.0625

Vemos que la suma de todas las probabilidades suman 1, as´ı que la probabilidad es leg´ıtima. Entonces podemos hacer nuestra tabla de distribuci´on de la siguiente manera:

N´umeros de caras X 0 1 2 3 4

Probabilidad 0.625 0.25 0.375 0.25 0.625 Adem´as podemos hacer un histograma y obtenemos:

Probability 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 _{0 1 2 3 4} Outcome

Ahora, ¿Cual es la probabilidad de obtener al menos dos caras? Para esto tenemos que calcularP (X ≥2).

P (X ≥2) = P (X = 2) +P (X = 3) +P (X = 4) = 0.375 + 0.25 + 0.0625

= 0.6825

Si nos interesa saber cual es la probabilidad de obtener al menos una cara entonces, P (X ≥1) = 1−P (X = 0)

= 1−0.0625 = 0.9375

1.2.

Variables aleatorias continuas

Definici´on 1.4. La distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria continua es de-scrita por la curva de densidad. La probabilidad de un evento es el “´area” bajo la curva.

Por ejemplo, considere que la vida ´utilXde una llanta de 40,000 millas tiene una distribu-ci´on Normal con µ= 50,000 y σ = 5,500. Esto se resume utilizando la siguiente notaci´on, X ∼N(50000,5500), donde el s´ımbolo “∼” significa distribuye. La probabilidad de que una llanta seleccionada al azar tenga una vida ´util menor de 40,000 millas es:

P (X <40,000) = P X−50,000 550 < 40,000−50,000 5,500 = P(Z <−1.82) = 0.0344

Esto se puede representar con la siguiente gr´afica:

30,000 40,000 50,000 60,000 70,000

Area = 0.0344

1.3.

La media de una variable aleatoria

La media ¯x de un conjunto de observaciones es el promedio aritm´etico. Esta es diferente a la media de una variable aleatoria X. La media de una variable aleatoriaX es tambi´en el promedio de todos los posibles valores de X, pero tenemos que considerar que no todas las opciones son igualmente posibles.

Ejemplo 1.3. Suponga que estamos interesados en jugar “Pega 3”. Para esto se escogen 3 n´umeros, si el n´umero escogido es acertado ganamos $500. Tenemos que notar que existen 1,000 posibles combinaciones de n´umeros, desde 000,...,999. Sea X la cantidad de dinero que ganamos, la distribuci´on de probabilidad para X es:

Pago de X $0 $500 Probabilidad 0.999 0.001

¿Cual es el pago promedio al jugar muchas combinaciones de n´umeros? Si tomamos la media aritm´etica obtenemos 0+500

2 = $250. Pero esto no hace sentido porque ganar $500 es mucho

menos probable que ganar$0. Pero note que uno gana$500 utilizando una sola combinaci´on de n´umeros y $0 con el restante 999 combinaciones de n´umeros. Ahora si decimos que:

$500 1

1000 + $0 999

1000 = $0.50

Esta es la media de la variable aleatoria. Lo que quiere decir que a muchas jugadas el estado se queda con $0.50 de cada dolar apostado.

Definici´on 1.5. Suponga que X es una variable aleatoria discreta cuya distribuci´on es:

Valor de X x1 x2 · · · xk

Probabilidad p1 p2 · · · pk

la media de la variable aleatoria X que tambi´en se le conoce como el valor esperado se define como µX =x1p1+x2p2+· · ·xkpk = k X i=1 xipi

Ahora, considere el ejemplo de el generador de n´umeros aleatorios. Si X es una vari-able aleatoria identicamente distribuida (todas las opciones tienen la misma probabilidad) entonces tenemos la siguiente tabla de distribuci´on:

Primer d´ıgito X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Probabilidad 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ El valor esperado de X es:

µX = 1× 1 9 + 2× 1 9 + 3× 1 9+ 4× 1 9 + 5× 1 9 + 6× 1 9+ 7× 1 9 + 8× 1 9 + 9× 1 9 = 45× 1 9 = 5

Ahora, considere el mismo ejemplo pero en este caso utilizando la ley de Benford para n´umeros aleatorios. Sea V un n´umero aleatorio, utilizando la ley de Benford obtenemos la siguiente tabla de distribuci´on:

Primer d´ıgito V 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Probabilidad 0.301 0.176 0.125 0.097 0.079 0.067 0.058 0.051 0.046 Entonces tenemos que el valor esperado para la variable aleatoria V es:

µV = 1 (0.301) + 2 (0.176) + 3 (0.125) +· · ·+ 8 (0.051) + 9 (0.046)

= 3.441

Si hacemos un histograma para cada variable aleatoria X y V marcando en este µX y µV

0.4 0.0 1 Probability Outcomes 0.3 0.2 0.1 0 2 3 4 (a) 5 6 7 8 9 0.4 0.0 1 Probability Outcomes 0.3 0.2 0.1 0 2 3 4 (b) 5 6 7 8 9