Sistemas de Comunicaci´
on
Examen
Instituto de Ingenier´ıa El´
ectrica
11 de diciembre de 2018
Indicaciones:• La prueba tiene una duraci´on total de 4 horas.
• Cada hoja entregada debe indicar nombre, n´umero de C.I., y n´umero de hoja. La hoja 1 debe indicar adem´as el total de hojas entregadas.
• Se deber´a utilizar ´unicamente un lado de las hojas.
• Cada problema o pregunta se deber´a comenzar en una hoja nueva. Se evaluar´a expl´ıcitamente la claridad, prolijidad y presentaci´on de las soluciones, desarrollos y justificaciones.
• Pueden utilizarse resultados te´oricos del curso sin hacer su deducci´on siempre que la letra no lo exija expl´ıcitamente. Se evaluar´a la correcta formulaci´on y validez de hip´otesis.
Problema 1
Se desea estudiar un sistema para la transmisi´on de una se˜nal de televisi´on monocrom´atica. La se˜nal a transmitir, xT V(t), corresponde a la suma de las componentes de audio xA(t) y de video xV(t). La
componentexV(t) consiste de la se˜nal de videoxv(t) modulada en USSB1con portadorafcvy se le suma
una portadora de igual frecuencia. La componentexA(t) consiste de la se˜nal de audioxa(t), modulada
en FM con portadora fca = fcv+fa y f∆ = 25 kHz. Para fijar ideas asumir que la se˜nal de audio
tiene un ancho de banda Wa = 10 kHz y una potencia Sa; la se˜nal de video tiene un ancho de banda
Wv= 4.2 MHz y una potenciaSv.
(a) Dar el diagrama de bloques del transmisor. Esbozar el espectro dexT V(t).
(b) Hallar los anchos de banda dexA(t),xV(t) yxT V(t). Dar condiciones parafa para que el sistema
sea realizable.
El rango de variaci´on de la portadora es fcv ∈ (54 MHz,88 MHz). Se utilizar´a un ´unico receptor
superheterodino para la primera etapa de la demodulaci´on. Luego, un detector sincr´onico para obtener la se˜nal de video y un conversor de FM en AM para obtener la se˜nal de audio. La frecuencia intermedia del receptor superheterodino esfF I = 43 MHz.
(c) Dar un diagrama de bloques del receptor que recupere la se˜nal de video y de audio, tomando en consideraci´on las demodulaciones USSB y FM.
(d) Calcular los posibles rangos de variaci´on del oscilador localfol.
(e) ¿Hubiera sido posible utilizar un receptor de envolvente en vez de un detector sincr´onico? Justifique. (f) ¿Qu´e beneficios ve en usar modulaci´on de banda lateral suprimida? ¿Se le ocurre alg´un argumento
en contra?
El canal cumple con las hip´otesis habituales, teniendo una atenuaci´onLe introduciendo un ruido AWGN de densidad espectral de potencia 12η.
(g) Hallar la m´ınima potencia de transmisi´on de la componente de audio,SA, que asegure unaSN RD≥
Γ.
(h) Encontrar expresiones para las componentes de se˜nal y de ruido a la salida del receptor.
1x
U SSB(t) =12Ac[x(t)cos(ωct)−xˆ(t)sen(ωct)], con ˆx(t) la transformada de Hilbert del mensaje. Esto es una
Problema 2
La armada nacional se encuentra estudiando un sistema costero para la recepci´on de se˜nales AIS en 162MHz, mediante el cual los buques comunican peri´odicamente su posici´on y cierta informaci´on adicional relevante para el control mar´ıtimo. La zonas a monitorear son las denominadas Alfa y Delta, indicadas en el mapa de la figura. Usted, en su calidad de experto en sistemas de comunicaci´on, es contratado para analizar la posibilidad de instalar una boya con un repetidor (indicado con una estrella), a los efectos de garantizar la recepci´on del AIS de todos los barcos ubicados en ambas zonas. Para la comparaci´on se asume que el AIS utiliza BPSK, transmitiendo bits equiprobables con pulso rectangular de amplitud
A/2 y tiempo de s´ımboloT.
Se desea comparar el uso de un repetidor regenerativo y un repetidor anal´ogico, adem´as de confirmar que ambas opciones son mejor que no usar ning´un repetidor. La atenuaci´on est´a dada por la ecuaci´on de propagaci´on en espacio libre2. Se asumir´a que el repetidor regenerativo en su etapa receptora es igual
al receptor final del sistema, que utiliza un filtro pasabajos de ancho de banda BR. Se asumir´a que la
ganancia del repetidor anal´ogico es igual a la atenuaci´on del tramo de canal previo. En ambos casos se asume que los repetidores introducen ruido AWGN, de media nula, yGn(f) =η/2.
(a) Realizar un diagrama de bloques del sistema asumiendo que un barco est´a ubicado en una de las zonas. Indicar cada una de las se˜nales, as´ı como los respectivos par´ametros de cada bloque. (b) Calcular la probabilidad de error en recepci´on para el caso sin repetidor.
(c) Repetir la parte anterior para el caso en que se utiliza un repetidor anal´ogico. ¿Es mejor al caso sin repetidor?
(d) Comparar la Pe cuando se sustituye el repetidor anal´ogico por un repetidor regenerativo. ¿Qu´e
opci´on le recomendar´ıa a la armada?
(e) Si en vez del pulso rectangular, se opta por un pulso de coseno elevado con coeficiente de rolloff
ρ= 0.5, ¿c´omo cambia el ancho de banda de transmisi´on? ¿qu´e ventaja tiene frente al otro pulso?
Soluci´
on
Problema 1
(a)
(b) El ancho de banda dexA(t) es:
WA= 2 f ∆ Wa + 2 Wa= 90kHz
El ancho de banda dexV(t) es:
WV =Wv = 4.2 M Hz
El ancho de banda dexT V(t) es:
WT V =fa+
WA
2
La condici´on para que sea realizable es que no se solapen los espectros de la se˜nal de audio y video. Entonces tenemos:
fa ≥WV +
WA
2
(c)
(d) Tenemos dos opciones:
fol = fcv+fF I ∈[97 MHz,131 MHz]
fol = fcv−fF I ∈[11 MHz,45 MHz]
Lo l´ogico es elegir la opci´on 1 por tener menor indice de variaci´on (1.3 : 1 en el primer caso y 4 : 1 en el segundo). De cualquier manera, este ´ultimo an´alisis no fue pedido en la letra.
(e) No, porque a diferencia de una se˜nal AM, la envolvente de una se˜nal SSB no es el mensaje sumado a una componente de continua ya que cuenta con componentes de fase y cuadratura. Del an´alisis realizado en la secci´on 4.4 del libro Communications Systems de A. Bruce Carlson et al. concluimos que la envolvente de una se˜nal SSB es:
A(t) =1 2Ac
p
x2(t) + ˆx2(t)
conx(t) el mensaje y ˆx(t) la transformada de Hilbert dex(t).
(f ) El beneficio principal de usar banda lateral suprimida es el ahorro de ancho de banda. Particu-larmente se baja a la mitad, respecto a la modulaci´on AM. Como contraparte tenemos que (1) no es posible utilizar un detector de envolvente y (2) debido a la no idealidad de los filtros puede que per-damos informaci´on en las bajas frecuencias. Como la se˜nal de televisi´on tiene componente de continua, es importante que eso no suceda. Es por eso que en rigor para transmitir televisi´on se utiliza modulaci´on de banda lateral vestigial, aunque esto genere cierto aumento en el ancho de banda requerido para la transmisi´on.
(g) LaSN RD de FM se puede aproximar por la siguiente expresi´on:
SN RD= 3SxD2γ= 3SxD2 SR ηWa = 3SaD2 SA ηLWa (1) Imponiendo queSN RD≥Γ se obtiene que
SA≥
ΓWaηL
3SaD2
(2) La aproximaci´on de la ecuaci´on 1 es v´alida, siempre y cuando la relaci´on se˜nal a ruido en recepci´on supere al umbral FM. Esto agrega una restricci´on m´as:
SN RR= SR ηBT = SA ηLWA ≥10 ⇒ SA≥10LηWA (3)
La potencia m´ınima debe cumplir las condiciones 2 y 3. Por lo tanto:
SAmin = max ΓWaηL 3SxD2 ,10LηWA
(h) La se˜nal de video tiene la forma
xV(t) =Ac
xv(t) cos(ωcvt)−xˆv(t) sin(ωcvt)
2 +Accos(ωcvt)
De esto y la descomposici´on en fase y cuadratura del ruido obtenemos una expresi´on para la se˜nal luego del filtro de recepci´on:
yv(t) = Ac+Ac xv(t) 2 +ni(t) cos(ωcvt)− Ac ˆ xv(t) 2 +nq(t) sin(ωcvt)
Luego de bajar a banda base, eliminar la continua y filtrar las componentes a 2fcv obtenemos:
˜
xv(t) =
Ac
2 xv(t) +ni(t)
donde el primer t´ermino corresponde a la se˜nal y el segundo al ruido. La potencia de se˜nal recibida, tomando en cuenta el efecto del canal, ser´a entonces:
SD=
A2
cSv
en tanto que la potencia del ruido ser´a la densidad espectral de potencia multiplicada por dos veces el ancho de banda del mensaje
N =ηWv
Finalmente, la relaci´on se˜nal-a-ruido en detecci´on, que coincide con su valor en recepci´on es:
SN RD=SN RR=
A2
cSv
4LηWv
Problema 2
(a) Sin repetidor:Con repetidor:
(b) La probabilidad de error en recepci´on, si se tiene se˜nalizaci´on polar y ruido AWGN vale:
Pe=Q( p SN RR) Se tiene que: SR= ST L = σa2 L = 1 L(Ra(0)− 2 ma |{z} =0 ) = 1 L " 1 2 A 2 2 +1 2 −A 2 2# = A 2 4L NR=ηBR ⇒Pe=Q s A2 4LηBR !
(c) En este caso, la probabilidad de errorPa
e ser´a igual a:
Pea=QpSN Ra R
CalculoSRa yNRa, siendoL2la atenuaci´on del segundo tramo del canal:
SRa = A
2
NRa = 2BR η 2 g2 L2 +η 2 = 2ηBR Entonces: Pea=Q s A2 8L2ηBR !
Siendo 2L2menor queL, es claro notar que es mejor que el caso sin repetidor.
(d) Primero se observa que la probabilidad de error debida a la primera etapa, Pe1, y a la segunda
etapa,Pe2, son iguales, dado que ambos tramos de canal son id´enticos. Se busca hallarPed(probabilidad
de error en recepci´on al incluir un repetidor digital) a partir de Pe1 y Pe2. Se observa que habr´a
equivocaci´on en un s´ımbolo, siempre y cuando me equivoque solamente en uno de los tramos. Entonces, siendo el sistema binario y con un ´unico repetidor, se tiene que:
Ped=Pe1(1−Pe2) +Pe2(1−Pe1) =Pe1+Pe2−2Pe1Pe2
Como Pe1 =Pe2, luegoPed = 2Pe1−2Pe21. Por lo general, Pe1 1, y en consecuencia Ped ≈2Pe1. El
valor dePe1 es: Pe1=Q s A2 4L1ηBR !
De esta forma, se tiene que:
Ped≈2Q s
A2
4L1ηBR
!
Comparando con el caso del repetidor anal´ogico, siendoL1=L2, se tiene que:
Ped ≈2Qp2SN Ra R
Por lo tanto, queremos saber si:
Pea ≷Ped⇔2Qp2SN Ra R ≷QpSN Ra R
Se puede ver que siSN Ra
R>0.45 entonces es mejor el caso del repetidor digital.
(e) El ancho de banda de transmisi´on aumenta, si se considera el criterio de dejar pasar la mitar del l´obulo principal para el caso del pulso rectangular. En ese caso el ancho de banda de transmisi´on de BPSK es 1/T, mientras que para el pulso de coseno elevado ser´ıa (1 +ρ)1/T.
La ventaja es que este pulso garantiza que no haya ISI, a diferencia del rectangular donde no tenemos forma de evitarlo con ancho de banda limitado.
