Capi1 lola alumnos 0708[1]

(1)

Tema I : Funciones reales de

variable real. Límites y continuidad

1. La recta real : intervalos y entornos.

3. Funciones elementales y sus gráficas.

4. Límites de funciones reales de variable real. 5. Continuidad. Teoremas fundamentales. 2. Funciones reales de variable real.

Conjuntos Numéricos

Números naturales

:

{

}

=

, 2, 1,0,1,2,

− −

Números enteros

:

{

}

=

0,1,2,3,

Números racionales

: =⎧_⎨ ∈ ≠ ⎫_⎬ ⎩p,siendo p,q , q 0q ⎭

Números Irracionales

: no pueden ser expresados

en forma de fracción

Números reales

:

=

{

∪

I

}

I

⊂

Símbolos matemáticos

⊂

estar contenido

⊆

estar contenido o ser igual

∈

pertenece

∉

no pertenece

∃

existe

∀

para todo

<

≤

>

≥

menor

menor o igual

mayor

mayor o igual

⇔

si y solo si

•INTERVALOS FINITOS O SEGMENTOS:

dados a,b ∈

R

.

Intervalo cerrado

: [a,b]={x∈R

/

a ≤

x ≤

b}

Intervalo abierto

: (a,b)={x∈R

/

a < x < b}

Int. semiabierto dcha

: [a,b)={x∈R

/

a ≤

x < b}

Int. semiabierto izda

: (a,b]={x∈R

/

a < x ≤

b}

•INTERVALOS NO FINITOS O SEMIRRECTAS: dado a ∈

R

,

semirrectas con origen en a

,

[a,+∞)={x∈R

/

x≥a}

(a,+∞)={x∈R

/

x>a}

semirrectas con extremo en a

,

(-∞,a]={x∈R

/

x≤a}

(-∞,a)={x∈R

/

x<a}

CONJUNTOS ABIERTOS:

intervalos abiertos

R

+

=(0,+∞); R

0+

=[0,+∞); R

-

=(-∞,0); R

0-

=(-∞,0]

•ENTORNO: dados a∈

R

, ε > 0

Entorno de centro a y radio

ε

: (a -

ε, a + ε)

Entorno a la derecha de a

:

(a, a + ε)

(2)

f: A → B, x→ y=f(x)

x∈A, y=f(x)∈B,

cuando A,B ⊆

R

, función real de variable real. Una función es una correspondencia entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo conjunto.

2.FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: _•DOMINIO: _{conjunto de puntos en los que tiene} sentido su expresión matemática.

f: A →

B,

Dom(f)=A ⊆ R

x

→

y=f(x)

OPERACIONES CON FUNCIONES: f: A → R,

g: A →

R

,

x→y=f(x) x→y=g(x)

• Suma:

f(x) + g(x)

•

Producto

:

f(x). g(x)

• Cociente: f(x) / g(x),

g(x)

≠

0

OPERACIONES CON FUNCIONES

• Composición:

f:A

→

B, g:B

→

C, g f:A

→

C

(g f)(x)=g(f(x))

• Función inversa:

f: A →

B , f

-1

_{: B →}

_A,

(f

-1

_{f)(x) =x, ∀x∈A,}

Las gráficas de f(x), f-1_{(x) son simétricas} respecto a la recta y=x.

Funciones inversas

Bisectriz y=x

=

y x

= 2

y x

Monotonía: Crecimiento o decrecimiento

x y

f(x)

x y

f(y) _f(x)

f(y)

f(x) < f(y)

f(x) > f(y)

f

f creciente

f decreciente

Acotación

x

f(x

)

M

m

(3)

a b c d e m

Máximos y minimos locales y globales

Máximos locales: b,d,m. Maximo global: m

Mínimos locales: a,c,e. Mínimo global: c

f:[a,m]

f(x)

a _c m

Máximos y minimos globales

vs

Acotación

Maximo global: m Acotada superiormente

Mínimo global: c Acotada inferiormente

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

•f es convexa⇔ el segmento que une dos puntos cualesquiera de su gráfica queda por encima de la misma.

•f es cóncava ⇔el segmento que une dos puntos cualesquiera de su gráfica queda por debajo de la misma

3.FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS.

n

Función lineal

:

f(x)=ax+b

, recta

n

Función cuadrática

:

f(x)=ax

2

_+bx+c

_,

_parábola

n

Función racional

:

f(x) =P (x) Q (x)

n

Función potencial

:

_{f(x ) = x}

r

n

Función exponencial

:

_{f(x) = a}

x

,

_{a > 0}

n

Función exponencial natural

:

_{f(x) = e}

x

n

Función logarítmo neperiano

:

f(x) = ln x

Cociente de polinomios

3.FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS.

n Función lineal :

f(x)=ax+b

,

a,b∈

R

Dom(f)=R. Gráfica: recta

a:

pendiente de la recta a>0 recta creciente a<0 recta decreciente

b:

ordenada en el origen (punto de corte con el eje OY )

Distintas formas de ecuación de la recta:

• forma explícita: y = ax + b,

• forma implícita: Ax + By + C = 0

• forma punto (x0,y0), pendiente (a):

y- y0= a (x- x0)

• pasa por dos puntos (x0,y0) y (x1,y1)

(4)

Caso particular: Función valor absoluto

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

≥

= =

−

<

x, si x 0

f(x) x

x, si x 0

n Función cuadrática

f(x)=ax

2

_{+bx+c, a≠0}

Dom(f)=R. Gráfica: parábola a>0 es convexa ∪ con mínimo global en x=-b/2a. a<0 es cóncava ∩ con máximo global en x=-b/2a.

9 x=-b/2a eje de simetría de la parábola

nFunción polinómica

de grado 3 (cúbica) Ej.: y=x3

nFunción polinómica

de grado 4 Ej.: y=x4

Funciones racionales

y = f(x) = P(x)

_Q(x)

P(x) y Q(x) son polinomios

Dom (f) =

R

- {valores que anulen el denominador}

Caso particular: _{f(x)= 1x} Hipérbola equilátera

Dom (f) =

R

- {0}

Funciones potenciales

y = f(x) = x

r

Dom (f): depende de los valores de p y de q

Si r ∈Z, se tienen funciones polinómicas o racionales

Si r = p/q

y = f(x) = x

p/q

=

Casos particulares:

=

f(x) x

=

1 f(x)

x

q

_x

p

+

−

⋅

=

m n m n

m

m n n

m n mn

a a

a

_a

a

(a )

a

−

⋅

=

⋅

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

n n n

n n

n

n n

(a b)

a b

a

b

1 a

a

(5)

Función exponencial

y = f(x) = a

x

, a > 0

Dom (f) = R; f(x) > 0; f(0) = 1

y = f(x) = C e

kx

, ( C y k son constantes)

Caso particular: función exponencial natural

y = f(x) = e

x

El número e= lim (1+1/n)

n

= 2.7182…

El modelo exponencial:

Función logarítmo neperiano

y = f(x) = lnx =

log x = Lx

Dom (f) = R+;

y = lnx

⇔

e

y

= x

Propiedades de los logarítmos neperianos:

Ln 1 =0

e Ln x= x

Ln e x= x

Ln (x·y) = Ln x + Ln y Ln (x/y) = Ln x – Ln y

Ln xn = n·Ln x

Las funciones exponencial y logarítmica son inversas:

sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante y=x.

x

y=e

y=ln x

y=x

4.LÍMITES DE FUNCIONES f: A → R, a ∈ R

Si existe el límite de una función es único →

x a

lim

f(x) = L

Las imágenes de puntos_{próximos a “a” estan} próximas a “L”

Si x está en un entorno de “a”

⇒

f(x) está en un entorno de “L”

Unicidad del límite

LÍMITES LATERALES

∃ lím _x

f(x

)

→a

∃ lím f(x)

∃

lím

f(x)

x→a+

x→a

-lím f(x)=

x→a+

lím f(x)=

x→a-

lím f(x)=L

x→a

OPERACIONES CON LÍMITES:

Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + lim g(x)

x→a x→a

x→a

¡Indeterminación!:

∞

-

∞

Lim [f(x)•g(x)] = Lim f(x)•lim g(x)

x→a x→a

x→a

(6)

Lim [f(x)

/

g(x)] = Lim f(x)

/

lim g(x)

x→a x→a

x→a

¡Indeterminación!:

0/0

∞

/

∞

Lim [f(x)]

g(x)

= [Lim f(x)]

xlim g(x)→a x→a

x→a

¡Indeterminación!:

1 ∞

0

0 ∞

0 Limite de la función logarítmo neperiano

Expresiones determinadas:

Lim [Ln f(x)] = Ln [Lim f(x)]

x→a x→a

Ln 0 = -

∞

Ln 1 = 0

Ln

∞

=

∞

Lim a

x

=

x→+∞

0, si 0 < a < 1

+

∞

, si a>1

Limite de la función exponencial

ASÍNTOTAS:

Rectas a las que se aproxima la función cuando x tiende a un determinado valor

Asíntota vertical:

Asíntota horizontal:

Asíntota oblícua:

x = k

y = b

y = mx + n

Se obtienen:

lím f(x) =

∞

x→k

X Y

x=k

k

Asíntota vertical: x = k

Estudiar límites laterales y signo del límite

Se obtienen:

lím f(x) = b

x→±∞

X Y

y=b b

Asíntota horizontal: y = b

Estudiar limite en

±∞

y signo del límite

Estudiar el límite en

±∞

y signo del límite

X Y

y=mx+n

Asíntota oblícua: y = mx+n

Se obtienen:

x

f ( x )

m

lim

x

→ ±∞

=

(

)

x

n lim f ( x ) m x

→ ± ∞

(7)

ASÍNTOTAS: Rectas a las que se aproxima la función cuando x tiende a un determinado valor Asíntota vertical: x=k

Se obtienen: lím f(x) = ∞

estudiar lím.laterales y signo del lím.x→k

Asíntota horizontal: y=b Se obtienen: lím f(x) = b estudiar en ±∞y signo del límite

Asíntota oblícua: y=mx+n m=lím f(x)/x ; n=lím(f(x)-mx) estudiar en ±∞y signo del límite

x→±∞

x→±∞ x→±∞

X Y

x=k

k

y=b b

y=mx+n

5.CONTINUIDAD de una función en un punto f: A → R, a ∈A,

f es continua en a⇔ lím f(x)=f(a)_x_→_a

∗f continua a la derecha de a ⇔ lím f(x)=f(a) x→a+

x→a

-∗f continua a la izquierda de a ⇔ lím f(x)=f(a)

f es continua en a⇔ lo es a la izqda y a la dcha

∗f es continua en su dominio A si lo es ∀x∈A

∗f es continua en [a,b]⇔ es continua en (a,b), por la dcha en a y por la izqda en b.

Seanf,g: A → R, continuas en a ∈A, entonces

9f + g es continua en a

9 f·g es continua en a

9 f/g es continua en a, siendo g(a)≠0

9Si f es continua en a y g lo es en f(a), entonces g f es continua en a

9Si f es continua en a y admite inversa, entonces f-_{¹ es continua en f(a)}

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Tema I : Funciones reales de

variable real. Límites y continuidad

Conjuntos Numéricos

Números naturales

{

}

=

, 2, 1,0,1,2,

− −

Números enteros

{

}

=

0,1,2,3,

Números racionales

Números Irracionales

Números reales

=

{

∪

I

}

I

⊂

⊂

⊂

Símbolos matemáticos

⊂

estar contenido

⊆

estar contenido o ser igual

∈

pertenece

∉

no pertenece

∃

existe

∀

para todo

<

≤

>

≥

menor

menor o igual

mayor

mayor o igual

⇔

si y solo si

R

Intervalo cerrado

: [a,b]={x∈R

/

a ≤

x ≤

b}

Intervalo abierto

: (a,b)={x∈R

/

a < x < b}

Int. semiabierto dcha

: [a,b)={x∈R

/

a ≤

x < b}

Int. semiabierto izda

: (a,b]={x∈R

/

a < x ≤

b}

R



semirrectas con origen en a

,

[a,+∞)={x∈R

/

x≥a}

(a,+∞)={x∈R

/

_{: B →}

_A,

_{f)(x) =x, ∀x∈A,}