Estados coherentes de momento angular

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(1)Estados Coherentes de Momento Angular Ana Lucı́a Uribe Uribe. Asesor: Jagdish Luthra, Ph.D.. Departamento de Fı́sica Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Mayo 22 de 2006.

(2) Índice general 1. El estado de Bloch 1.1. Estados Coherentes del Oscilador Armónico . . . . . 1.1.1. El hamitoniano y la base del oscilador . . . . 1.1.2. Estados Coherentes . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El estado de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ecuación de valor propio . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Relación de incertidumbre . . . . . . . . . . . 1.2.4. Propiedades de Ortogonalidad y Completitud 2. La representación de Schwinger 2.1. Operadores de Momento Angular . . . . . 2.2. Correspondencia (n1 , n2 ) −→ (j, m) . . . . 2.3. Expansión del estado de Bloch en términos modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . de estados de . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . dos . . . . . .. 3 3 3 5 9 9 10 12 13 15 15 16 18 21. 3. El estado de Bloch generalizado 22 3.1. Otras definiciones de estados coherentes de momento angular 22 3.1.1. Estados de Atkins y Dobson . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2. El estado de Bhaumik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.3. Operadores de desplazamiento y otras definiciones . . 25 3.2. El estado de Bloch generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2. Relación de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.3. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Propiedades Radiativas 32 4.1. Gas de n átomos de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 1.

(3) 4.2. Super-radiancia . . . . . 4.2.1. Para el estado de 4.2.2. Para el estado de 4.2.3. Para el estado de 4.3. Emisión estimulada . . . 4.3.1. Para el estado de 4.3.2. Para el estado de 4.3.3. Para el estado de 4.4. Conclusiones Generales .. . . . . . . . . Dicke . . . . Bloch . . . . Bloch general . . . . . . . . Dicke . . . . Bloch . . . . Bloch general . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 34 34 35 36 39 39 39 40 40. A. Fórmulas útiles de conmutación. 43. B. Cálculo de los operadores rotados. 45. 2.

(4) Resumen En esta tesis se estudian algunas definiciones de estados coherentes para momento angular. Como la mayorı́a de trabajos sobre el tema, comenzamos por recordar los estados coherentes del oscilador armónico pues estos son el modelo a seguir y la motivación inicial para buscar la misma clase de estados para otros sistemas. También se estudia aquı́ la representación de los operadores de momento angular en términos de operadores de bosones y veremos que ésta interesante conexión entre el momento angular y los estados del oscilador puede ser usada para definir estados con propiedades de mı́nima incertidumbre y además tiene aplicaciones en la descripción de sistemas de átomos de dos niveles que interactúan con campos electromagnéticos. Se espera que el lector pueda vislumbrar la conexión entre estos temas y su importancia en la descripción de sistemas fı́sicos..

(5) Introducción Desde el surgimiento de la mecánica cuántica ha habido un gran interés en entender la relación entre esta teorı́a y la mecánica clásica. Se han estudiado los lı́mites clásicos de la mecánica cuántica, el punto de encuentro de las dos teorı́as y el rango de aplicación de cada una, entre otros aspectos. A medida que la teorı́a cuántica se empezó a aplicar a diferentes sistemas, surgió la pregunta de cual serı́a el estado cuántico del sistema que en promedio describiera el comportamiento clásico de este. En particular, alrededor de 1926, Schrödinger se hizo esta misma pregunta en relación al oscilador armónico cuántico. En las palabras de Schrödinger: “I was to produce a wave-packet,...,which was practically confined to a small special region, and which as a matter of fact revolves in precisely the harmonic ellipses described by classical mechanics for an arbitrary long time without dispersing! I believe that this is only a question of computational skill to acomplish the same thing for the electron in the hydrogen atom. The transition from microscopic characteristic oscillations to the macroscopic “orbits” of classical mechanics will then be clearly visible,... .”([3]). La solución a este problema en el caso del oscilador armónico llegó en la forma de lo que se llamó entonces estados coherentes. En estos estados especiales los valores esperados de la posición y la energı́a son precisamente los valores clásicos del oscilador. A partir de esta propiedad se obtiene que estos estados son además estados de mı́nima incertidumbre en las variables de posición y momento, que pueden ser generados a partir de un desplazamiento sobre el estado de vacı́o del sistema y que son estados propios del operador de destrucción a.. Desde la introducción de los estados coherentes para el oscilador armónico se han buscado estados con las mismas propiedades para sistemas de momento angular. Varios estados se han definido en analogı́a a los estados del 1.

(6) oscilador, ya sea mediante un operador de dezplazamiento sobre un estado especı́fico o mediante una ecuación de valor propio para el operador de destrucción. En el Capı́tulo 1 se estudia el estado de Bloch y su propiedad de ser un estado de mı́nima incertidumbre y veremos que es un estado completamente análogo a los estados coherentes del oscilador armónico.. Una forma de definir estados coherentes para momento angular es a través de la representación de Schwinger para los operadores de momento angular. Esta consiste en expresar las componentes del momento angular en términos de un par de operadores escalera del oscilador armónico teniendo en cuenta que las relaciones de conmutación se mantengan. Esta relación ha sido usada para definir varias clases de estados e incluso se han definido otras clases de representaciones y operadores que cumplen también con las reglas de conmutación. En el Capı́tulo 2 se estudia esta correspondencia y vemos como se expresan los estados de Bloch en términos de estados de dos modos del oscilador. En el Capı́tulo 3 se estudia lo que llamamos el estado de Bloch general, que se define usando la representación de Schwinger y de manera análoga al estado de Bloch. Antes de esto se revisan algunas definiciones anteriores de estados coherentes de momento angular, tanto para mostrar lo que se ha hecho previamente en el tema como para exponer la motivación que nos llevo a estudiar un estado definido de esta manera. Para el estado de Bloch general estudiamos la relación de incertidumbre y los parámetros que hacen que este estado sea de mı́nima incertidumbre, verificando que en los casos particulares obtengamos los resultados conocidos. Finalmente en el Capı́tulo 4 presentamos algunas aplicaciones de estos estados en el área de óptica cuántica. La teorı́a de momento angular es muy útil para modelar sistemas de átomos de dos niveles que interactuan con campos de radiación y la conección con los estados del oscilador es fundamental para entender la relación entre estos dos sistemas.. 2.

(7) Capı́tulo 1. El estado de Bloch 1.1.. Estados Coherentes del Oscilador Armónico. En esta sección se estudia la definición y algunas propiedades básicas de los estados coherentes del oscilador armónico. Estos estados han sido tratados a fondo más que todo en artı́culos o en libros avanzados de óptica cuántica ([1]) y es usual que en los trabajos acerca de estados coherentes para momento angular se de una introducción a estos estados, ya que son el modelo a seguir para tratar otros sistemas. Los resultados de esta sección serán de gran utilidad en el resto del documento ya que nos permitirán hacer analogı́as entre los resultados obtenidos para otros sistemas. Las aplicaciones de estos estados son extensas en el área de óptica cuántica, más especı́ficamente cuando se estudia la interacción de la radiación con la materia, pues es un modelo para la radiación coherente. El tratamiento de los operadores escalera y sus propiedades también serán útiles en la representación de Schwinger de los operadores de momento angular.. 1.1.1.. El hamitoniano y la base del oscilador. El hamiltoniano del oscilador armónico cuántico se puede expresar en términos de los operadores no hermiticos â y ↠como 1 H = h̄ω(↠â + ) 2. (1.1). donde los operadores â y ↠satisfacen las relaciones de conmutación [â, ↠] = 1,. [â, â] = [↠, ↠] = 0.. 3. (1.2).

(8) Este hamiltoniano describe un modo individual de la radiación electromagnética, por lo tanto para una descripción del campo total es necesario sumar sobre todos los modos de vibración. La base del espacio de Hilbert para este sistema son los conocidos estados de Fock |ni, donde n es entero y n ≥ 0 y cada estado |ni describe un campo con exactamente n fotones. Los valores propios del hamiltoniano son las energı́as del oscilador h̄ω(n+ 12 ). El estado base del oscilador, que representa el estado de vacı́o del campo, esta definido por â|ni = 0. (1.3) La acción de los operadores â y ↠sobre los estados |ni esta dada por √ √ ↠|ni = n + 1|n + 1i (1.4) â|ni = n|n − 1i, y es fácil ver que el operador â↠representa el número de fotones del modo de vibración ↠â|ni = n|ni. (1.5) De esta manera los operadores â y ↠representan la “destrucción” y la “creación” respectivamente de un fotón con frecuencia y polarización definidas. Usando estas propiedades, cualquier estado |ni puede ser construı́do a partir del estado de vacı́o usando el operador de creación ↠: (↠)n |ni = √ |0i n!. (1.6). No sobra recordar que estos estados forman una base completa para el espacio del oscilador y que además son ortogonales: ∞ X. hn|mi = δnm ,. |nihn| = 1.. (1.7). n=0. Aunque estos estados han sido usados para describir campos ópticos y lasers, no son los más adecuados para describir campos donde el número de fotones es grande. En general resulta que la descripción más precisa de un campo de radiación electromagnética, y más especı́ficamente de un laser, esta dada por una superposición de los estados |ni, donde el número de fotones no es fijo sino que esta sujeto a una distribución determinada (Ver [4],[3]).. 4.

(9) 1.1.2.. Estados Coherentes. La manera más usual de definir un estado coherente para el oscilador armónico (que usualmente es llamado estado de Glauber) es como el estado resultante de aplicar el operador unitario de desplazamiento D(α) = † ∗ eαâ −α â en el estado base del oscilador, es decir |αi = D(α)|0i.. (1.8). Aquı́ α es un parámetro complejo. A partir de esta definición es fácil ver que |αi es un estado propio del operador de destrucción â con valor propio α. Si aplicamos â a |αi tenemos â|αi = âD(α)|0i = D(α)D(−α)âD(α)|0i. (1.9). donde hemos usado el hecho de que D(α) es unitario. Para hallar D(−α)âD(α) usamos la ecuación (A.2) del Apéndice A y usando también las ecuaciones (1.2) y (2.18) la expresión queda â|αi = D(α)(â + [α∗ â − α↠, â] + · · ·)|0i = D(α)(â + α)|0i = D(α)α|0i = α|αi.. (1.10). Para el ket hα| tendremos entonces (trasponiendo la última ecuación) hα|↠= hα|α∗ . Como cualquier estado perteneciente al espacio de Hilbert del oscilador, |αi puede ser escrito como una combinación lineal de los estados de la base del espacio, es decir de los estados de Fock |ni |αi =. ∞ X. Cn |ni.. (1.11). n=0. Los coeficientes Cn se pueden hallar aplicando el operador a a la ecuación (1.11) y usando la ecuación (1.10) para obtener una relación de recurrencia de la siguente manera: â|αi = = =. ∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X. Cn â|ni √ Cn n|n − 1i Cn α|ni.. n=0. 5. (1.12).

(10) Entonces, igualando los coeficientes que acompañan a |ni,tenemos Cn+1 = √. α C0 . n+1. (1.13). Para n = 0, 1, 2 los coeficientes en términos de C0 son C1 = αC0 α α2 C2 = √ C1 = √ C0 2 2 α α3 C3 = √ C2 = √ C0 . 3 2·3 Generalizando para n, la forma de Cn es αn Cn = √ C0 . n!. (1.14). El primer coeficiente C0 se halla aplicando la condición de normalización para |αi, es decir hα|αi = =. ∞ X ∞ X (α∗ )n αm √ C0 √ C0 hn|mi n! m! n=0 m=0 ∞ X |α|2n n=0 |α|2. = e. n!. C02. C02. = 1.. (1.15). Entonces C0 es C0 = e−. |α|2 2. .. (1.16). Usando estos resultados obtenemos finalmente una expresión para la expansión del estado |αi en términos de los estados |ni: |αi = e−. α2 2. ∞ X αn √ |ni. n! n=0. (1.17). Nótese que este resultado lo hubieramos podido obtener más fácilmente usando el teorema de BCH del apéndice A debido a la simple relación de conmutación que tienen los operadores â y ↠. El estado |αi tiene muchas propiedades interesantes. Una de estas propiedades 6.

(11) es que son estados de mı́nima incertidumbre para las variables conjugadas x̂ y p̂. Otra propiedad muy interesante se hace visible cuando hallamos la probabilidad de que el estado |αi tenga exactamente n fotones. Ası́ como vamos a ver los estados coherentes son combinaciones lineales muy especiales de los estados |ni. Para vislumbrar el hecho de que estos estados cumplen con ∆x̂∆p̂ = h̄2 vamos a usar la representación de los operadores x̂ y p̂ en términos de los operadores escalera. Es decir r h̄ x̂ = (â + ↠) (1.18) 2ω r h̄ω p̂ = i (â − ↠) (1.19) 2 Ahora las incertidumbres están dadas por p hx̂2 i − hx̂i2 ∆x̂ = p hp̂2 i − hp̂i2 ∆p̂ =. (1.20) (1.21). Entonces, usando la ecuación de valores propios para |αi tengo que los valores esperados son hx̂i = hα|x̂|αi r h̄ (α + α∗ ) = 2ω hp̂i = hα|p̂|αi r h̄ω = (α − α∗ ) 2 hx̂2 i = hα|x̂2 |αi h̄ 2 = (α + (α∗ )2 + 1) 2ω hp̂2 i = hα|p̂2 |αi h̄ω 2 = (α + (α∗ )2 − 1) 2. (1.22). (1.23). (1.24). (1.25). Con estas ecuaciones, el lado izquierdo de la relación de incertidumbre queda h̄ h̄ω ((α2 +(α∗ )2 +2|α|2 +1)−(α+α∗ )2 ) ((α2 +(α∗ )2 −2|α|2 −1)−(α−α∗ )2 ) 2ω 2 (1.26) h̄2 lo cual es igual a 4 y es claro entonces que la igualdad se da en la relación de incertidumbre ∆x∆p = h̄2 . Este resultado es válido para cualquier instante 7.

(12) de tiempo y en este sentido se dice que el estado coherente es un paquete de onda que no se dispersa con el tiempo, pues las fluctuaciones en x̂ y p̂ son constantes a través del tiempo y su producto es además mı́nimo para cada instante. Ahora surge la pregunta de porqué estos estados son llamados estados coherentes. La respuesta esta relacionada con el número de fotones que “contiene” el estado coherente. Como el estado |αi es una combinación lineal de los estados |ni, que representan un estado con n fotones, la probabilidad de encontrar n fotones en el estado |αi es |hn|αi|2 = Cn2 =. |α|2n −|α|2 e . n!. (1.27). Esta función tiene la forma de una distribución de Poisson donde el número promedio de fotones esta dado por el exponente de la exponencial, es decir |α|2 . Esta distribución en el número de fotones es caracterı́stica de una onda electromagnética clásica o senosoidal. Podemos decir entonces que un estado cuántico coherente se comporta en promedio como una onda clásica, que tambien es llamada radiación coherente ([3]). Aunque este es el origen del término “coherente”, cuando se buscan estados coherentes para distintos sistemas a menudo se utiliza el término para denotar estados de mı́nima incertidumbre o estados definidos en forma análoga al estado |αi, es decir a través de un operador de desplazamiento o de una ecuación de valores propios ([4],[5]). El conjunto {|αi} no es ortogonal, pues para dos estados coherentes |αi y |βi la superposición entre ellos será siempre mayor que cero: − 12 (|α|2 +|β|2 ). hα|βi = e. ∞ X (αβ)n. n!. n=0 − 12 (|α|2 +|β|2 −2α∗ β). = e. .. (1.28). Aunque los estados coherentes no formen un conjunto ortogonal, si forman una base completa para el espacio de hilbert del oscilador. De hecho {|αi} es una base sobre-completa, lo que significa que hay más estados |αi de los necesarios para expandir un estado cualquiera del oscilador. Como α es un parámetro continuo, a diferencia de n, la condición de completitud se expresa Z ∞. |αihα|d2 α = π.. −∞. 8. (1.29).

(13) Los estados coherentes son un buen modelo para la radiación con una fase fija y una amplitud constante. La luz emitida por un laser ideal se comporta entonces como un estado coherente, donde la radiación es emitida ordenadamente (en fase).. 1.2.. El estado de Bloch. Mientras que los estados coherentes del oscilador son usados para describir un campo de radiación libre, los estados coherentes de momento angular son un buen modelo para un átomo libre (o una colección de átomos) con un número determinado de posibles niveles de energı́a. Un átomo de dos niveles puede ser descrito por un sistema con momento angular j = 12 , donde cualquier operador de interes se puede expresar en términos de las matrices de Pauli junto con la matriz identidad. Hay varias definiciones para los estados coherentes de momento angular que se nombraran más adelante, sin embargo la tratada en detalle en este capı́tulo es la de más interés para nosotros. A este estado lo llamaremos estado de Bloch tal como en [4]. En lo que resta del documento adoptaremos la convención h̄ = 1.. 1.2.1.. Definición. El álgebra de momento angular (las relaciones de conmutación) determinan la clase de estados que se pueden formar para un sistema con momento angular. Más adelante veremos que hay una correspondencia entre los estados de Bloch y los estados de Glauber que tiene su origen en la relación del grupo de rotación al grupo de translación que describe el movimiento del oscilador [4]. Los operadores de momento angular Jˆx , Jˆy y Jˆz cumplen con la regla de conmutación [Jˆi , Jˆj ] = ii,j,k Jˆk , (1.30) donde i,j,k es igual a 1 si la permutación entre i, j, k es par y es igual -1 de lo contrario. Los operadores escalera de momento angular de definen como Jˆ− = Jˆx − iJˆy Jˆ+ = Jˆx + iJˆy ,. 9. (1.31) (1.32).

(14) y cumplen con la reglas de conmutación [Jˆ± , Jˆz ] = ∓Jˆ± ,. [Jˆ− , Jˆ+ ] = −2Jˆz. (1.33). Para un sistema con momento angular j total fijo, definimos los estados de Dicke |mi como los estados propios del operador Jˆz con valor propio m. Estos son los estados usuales de momento angular donde −j ≤ m ≤ j. El estado |mi puede ser expresado en términos del estado base del sistema |−ji de la siguiente forma:  − 12 1 2j m+j |mi = Jˆ+ | − ji (1.34) (m + j)! m + j Ahora, el estado de Bloch, que denotaremos |θ, ϕi, se define análogamente al estado |αi mediante un operador unitario Rθ,ϕ que se aplica al estado base | − ji: |θ, ϕi = Rθ,ϕ | − ji. (1.35) Este operador tiene la misma forma del operador de desplazamiento D(α), pero aquı́ se usan los operadores escalera para momento angular. Entonces Rθ,ϕ es ˆ. Rθ,ϕ = eµJ+ −µ. ∗ Jˆ −. (1.36). donde µ es un parámetro complejo. Para ver el significado de θ y ϕ, Rθ,ϕ se puede reexpresar como un operador de rotación haciendo µ = 2θ e−iϕ . Entonces Rθ,ϕ queda θ. ˆ. ˆ. Rθ,ϕ = e 2 (J+ (cos ϕ−i sin ϕ)−J− (cos ϕ+i sin ϕ)) ˆ. θ. ˆ. ˆ. ˆ. = e 2 ((cos ϕ−i sin ϕ)(Jx +iJy )−(cos ϕ+i sin ϕ)(Jx −iJy )) ˆ. ˆ. = e−iθ(Jx sin ϕ−Jy cos ϕ) ˆ. = e−iθ(J·n̂) .. (1.37). Aquı́ n̂ = (sin ϕ, − cos ϕ, 0) es un vector unitario en el plano xy y Jˆ es el momento angular total. El ángulo θ representa el ángulo de rotación del vector Jˆ alrededor del eje de rotación n̂ ([2] Capı́tulo VI, Complemento BV I ).. 1.2.2.. Ecuación de valor propio. Para obtener la ecuación de valores propios para este estado, se definen los operadores Jˆn = Jˆ · n̂ = Jˆx sin ϕ − Jˆy cos ϕ Jˆk = Jˆx cos ϕ + Jˆy sin ϕ, 10. (1.38) (1.39).

(15) y Jˆ+ y Jˆ− se escriben Jˆ− = (Jˆk + iJˆn )e−iϕ .. Jˆ+ = (Jˆk − iJˆn )eiϕ ,. (1.40). Si queremos una ecuación para el estado |θ, ϕi similar a la ecuación (1.10), vale notar que si tenemos una expresión de la forma Jˆ− | − ji = (cte)| − ji, es equivalente a tener −1 −1 Jˆ− Rθ,ϕ |θ, ϕi = (cte)Rθ,ϕ |θ, ϕi −1 Rθ,ϕ Jˆ− Rθ,ϕ |θ, ϕi = (cte)|θ, ϕi.. (1.41). Entonces es posible definir una ecuación propia en términos de el operador −1 −1 (remplazando Jˆ− de la ecuación = Rθ,ϕ (Jˆk − iJˆn )eiϕ Rθ,ϕ rotado Rθ,ϕ Jˆ− Rθ,ϕ (B.3)), y el problema es ahora calcular Rθ,ϕ Jˆ− R−1 . El cálculo de esta exθ,ϕ. −1 −1 por y Rθ,ϕ Jˆn Rθ,ϕ presión es bastante largo e involucra calcular Rθ,ϕ Jˆk Rθ,ϕ 1 separado, ası́ que los detalles son expuestos en el apéndice B. Los resultados son: −1 = Jˆn Rθ,ϕ Jˆn Rθ,ϕ. (1.42). −1 Rθ,ϕ Jˆk Rθ,ϕ −1 Rθ,ϕ Jˆz Rθ,ϕ. = Jˆk cos θ + Jˆz sin θ. (1.43). = Jˆz cos θ − Jˆk sin θ,. (1.44). −1 y para Rθ,ϕ Jˆ− Rθ,ϕ : −1 = e−iϕ (Jˆ− eiϕ cos2 Rθ,ϕ Jˆ− Rθ,ϕ. θ θ − Jˆ+ e−iϕ sin2 + Jˆz sin θ). 2 2. (1.45). Entonces como Jˆ− | − ji = 0, la ecuación propia para el estado de Bloch |θ, ϕi es e−iϕ (Jˆ− eiϕ cos2. θ θ − Jˆ+ e−iϕ sin2 + Jˆz sin θ)|θ, ϕi = 0. 2 2. (1.46). Esta ecuación tiene una estructura mucho más complicada que su contraparte en el caso del oscilador armónico (↠− α∗ )(â − α)|αi = 0. Esto era de esperarse debido a las reglas de conmutación que tenemos es este caso, sin embargo las dos ecuaciones son análogas. −1 ˆ En el apendice B se calcula Rθ,ϕ J− Rθ,ϕ , pues esta expresión va ser útil mas adelante. −1 Sin embargo los resultados para Rθ,ϕ Jˆ− Rθ,ϕ se obtienen simplemente cambiando θ por −θ. 1. 11.

(16) 1.2.3.. Relación de incertidumbre. Una de las caracterı́sticas más interesantes del estado de Bloch es que es un estado de mı́nima incertidumbre. Recordemos que para cualesquiera operadores Â, B̂ y Ĉ que cumplan con la relación de conmutación [Â, B̂] = iĈ, se cumple la desigualdad ∆A∆B ≥ 12 |h[A, B]i| = 12 |hCi| para cualquier −1 estado. En este caso usamos los operadores rotados Jˆq0 = Rθ,ϕ Jˆq Rθ,ϕ , donde q es x, y, z, y la relación de incertidumbre es 1 ∆Jˆx0 ∆Jˆy0 ≥ |hJˆz 0 i|. 2. (1.47). Vamos a ver que para el estado |θ, ϕi se da la igualdad. El valor esperado del operador Jˆq0 en el estado |θ, ϕi es −1 |θ, ϕi hθ, ϕ|Jˆq0 |θ, ϕi = hθ, ϕ|Rθ,ϕ Jˆq Rθ,ϕ −1 −1 Rθ,ϕ | − ji = h−j|Rθ,ϕ Rθ,ϕ Jˆq Rθ,ϕ. = h−j|Jˆq | − ji.. (1.48). Teniendo en cuenta la ecuación (1.32), tenemos las expresiones p 1 1 hJˆx i = h−j| (Jˆ+ + Jˆ− )| − ji = h−j| 2j| − j + 1i = 0 (1.49) 2 2 1 2 2 hJˆx2 i = h−j| (Jˆ+ + Jˆ− + Jˆ− Jˆ+ + Jˆ+ Jˆ− )| − ji 4 p p 1 j = h−j| 2j 2j| − ji = (1.50) 4 2 p 1 1 hJˆy i = h−j| (Jˆ+ − Jˆ− )| − ji = − h−j| 2j| − j + 1i = 0 (1.51) 2i 2i 1 2 2 hJˆy2 i = −h−j| (Jˆ+ + Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ − Jˆ+ Jˆ− )| − ji 4 p p 1 j = h−j| 2j 2j| − ji = , (1.52) 4 2 y para Jˆz : hJˆz i = h−j|Jˆz | − ji = h−j|(−j)| − ji = −j. (1.53) q Entonces ∆Jˆx = ∆Jˆy = 2j y |hJˆz i| = j, por lo tanto hemos comprobado que se da la igualdad en la ecuación (1.47). Note que calcular las incertidumbres para el estado de Bloch |θ, ϕi con los operadores rotados es equivalente a calcular las incertidumbres para el estado de Dicke (con m = −j) con los operadores no rotados. Entonces no sólo vemos que el estado de Dicke 12.

(17) con m = −j es un estado de mı́nima incertidumbre por si sólo, sino que también cualquier rotación sobre este estado (la relación de incertidumbre es independiente de θ y ϕ) resulta en otro estado de mı́nima incertidumbre si además rotamos los operadores. Es fácil ver que hubiéramos obtenido el mismo resultado para m = j. Entonces este también es un estado con mı́nima incertidumbre en este sentido.. 1.2.4.. Propiedades de Ortogonalidad y Completitud. Vamos ahora a estudiar las propiedades de ortogonalidad y completitud de los estados de Bloch. Usando la ecuación (A.7) del apéndice A especı́ficamente para momento angular, podemos “desacoplar” el operador Rθ,ϕ y ası́ obtener una expresión más explı́cita para el estado |θ, ϕi. Usando esta relación el operador queda ˆ. Rθ,ϕ = eτ J+ eln(1+|τ |. 2 )Jˆ z. eτ. ∗ Jˆ −. .. (1.54). Podemos aplicar este operador al estado | − ji recordando que Jˆ− | − ji = 0 y que Jˆz | − ji = −j| − ji. El resultado de esta operación es ˆ. |θ, ϕi = eτ J+ eln(1+|τ |. 2 )Jˆ z. τ Jˆ+ ln(1+|τ |2 )Jˆz. = e. e. eτ. e. τ Jˆ+ ln(1+|τ |2 )−j. = e. e. e. | − ji. | − ji. 2 −j τ Jˆ+. = (1 + |τ | ). | − ji. | − ji. τ Jˆ+ − ln(1+|τ |2 )j. = e. ∗ Jˆ −. | − ji.. (1.55) ˆ. Aqui τ = e−iϕ tan 2θ . La acción del último operador eτ J+ sobre | − ji no es tan sencilla como la de los otros operadores, por lo tanto es necesario usar la expansión en serie de la exponencial ˆ. eτ J+. =. ∞ X (τ Jˆ+ )n n=0. y aplicar cada término |θ, ϕi = + =. n!. (τ Jˆ+ )2 = (1 + τ Jˆ+ + + · · ·), 2! por separado para obtener p (1 + |τ |2 )−j (| − ji + τ 2j| − j + 1i p √ τ 2 2j(2j − 1) 2| − j + 2i + · · ·) s 2j X (2j)!i! 2 −j i (1 + |τ | ) τ | − j + ii. (2j − i)! i=0. 13. (1.56). (1.57).

(18) Esta sumatoria tiene 2j términos ya que Jˆ+ |ji = 0. La superposición del estado |θ, ϕi sobre el estado |mi dado por la ecuación (1.34) se puede calcular a partir de la ecuación (1.57) de la siguiente manera: s  − 12 2j X 1 (2j)!i! 2j m+j hm|θ, ϕi = h−j| Jˆ− τi |−j+ii. (1.58) (m + j)! m + j (2j − i)! i=0. Al aplicar Jˆ− sobre el estado | − j + ii m + j veces, sólo sobrevivirá en la expresión el término para el cual −j + i − (m + j) = −j (es decir el término i = j + m), pues h−j| − ji = 1. Entonces tenemos s − 12  p 1 2j! 2j hm|θ, ϕi = τ j+m (j + m)! (m + j)! m + j (j − m)!  21  2j τ j+m (1 + |τ |2 )−j . (1.59) = m+j Esta superposición entre el estado de momento angular |mi y el estado de Bloch sirve para obtener la superposición entre los estados Bloch, usando P la propiedad de completitud de los estados de Dicke m |mihm| = 1. Si multiplicamos el lado izquierdo de la ecuación (1.59) por hθ, ϕ|mi y sumamos sobre todos los m0 s, tenemos X hθ, ϕ| |mihm|θ0 , ϕ0 i = hθ, ϕ|θ0 , ϕ0 i m. = (1 + |τ ∗ |2 )−j (1 + |τ 0 |2 )−j (τ ∗ τ 0 )j ∗ 2 −j. = (1 + |τ | ). 0 2 −j. (1 + |τ | ). j X. m=−j ∗ 0 2j. (1 + τ τ ). (τ ∗ τ 0 )m (1.60). Entonces los estados de Bloch no son ortogonales, tal como los estados coherentes del oscilador, donde la superposición entre ellos nunca era cero. La propiedad de completitud se obtiene nuevamente usando el hecho de que P |mihm| = 1. La integral sobre todo el álgulo sólido dΩ es m Z X dΩ (2j + 1) |θ, ϕihθ, ϕ| = |mihm| = 1 (1.61) 4π m. 14.

(19) Capı́tulo 2. La representación de Schwinger En este capı́tulo se estudia la correspondencia entre los estados del oscilador armónico y los estados de momento angular. Mediante una representación de los operadores de momento angular en términos de un par de operadores escalera, se vislumbra una correstondencia entre los estados en términos del momento angular total j y el número m, y los estados de dos modos del oscilador. Las aplicaciones en óptica cuántica y en fı́sica matemática son varias, en especial en relación con los estados coherentes para momento angular.. 2.1.. Operadores de Momento Angular. Cualquier representación de los operadores de momento angular tiene como requisito principal cumplir con las reglas de conmutación de estos operadores pues éstas son la base de toda la teorı́a cuántica de momento angular. Recordemos que estas reglas son [Jˆ± , Jˆz ] = ∓Jˆ± ,. [Jˆ− , Jˆ+ ] = −2Jˆz .. (2.1). Julian Scwhinger, en el año 1965, propuso una representación de estos operadores en términos de un conjunto de operadores escalera {â, ↠, b̂, b̂† } [6]. En esta representación Jˆ+ , Jˆ− y Jˆz se escriben Jˆ+ = ↠b̂ Jˆ− = b̂† â 1 † Jˆz = (â â − b̂† b̂). 2 15. (2.2) (2.3) (2.4).

(20) La primera relación de conmutación en la ecuación (2.1) se escribe entonces como para Jˆ+ ) 1 1 † † [↠b̂, (↠â − b̂† b̂)] = ([â , â â]b̂ − ↠[b̂, b̂† b̂]) 2 2 = −↠b̂ = −Jˆ+ .. (2.5). 1 1 † [b̂† â, (↠â − b̂† b̂)] = (b̂ [â, ↠â] − [b̂† , b̂† b̂]â) 2 2 = b̂† â = Jˆ− .. (2.6). Y para Jˆ−. Ahora para la segunda relación de conmutación en la ecuación (2.1): [b̂† â, ↠b̂] = b̂† [â, ↠b̂] + [b̂† , ↠b̂]â = b̂† b̂ − ↠â = −2Jˆz .. (2.7). Entonces ya hemos comprobado que esta representación para el momento angular en términos de dos operadores de bosones es válida, y reproduce las relaciones de conmutación que estos operadores deben cumplir. Las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) pueden ser interpretadas de la siguiente manera. Para un sistema de espı́n, el operador â disminuye el espı́n total en media unidad de momento angular o en un espı́n, pero sólo en la coordenada z (definida de acuerdo a algún marco de referencia). ↠aumenta en media unidad (o en un espı́n) la coordenada z del momento angular. Si ahora miramos la proyección opuesta del eje z, es decir con el eje z negativo apuntando hacia “arriba”, b̂ disminuye el valor de Jz en media unidad, y b̂† aumenta la misma cantidad en esta dirección [6]. Esto garantiza que Jˆ− reduce la ˆ componente z del momento angular en una p unidad y J+ aumenta la compoˆ nente z en una unidad según J± |mi = j(j + 1) − m(m ± 1)|m ± 1i (Ver la Figura 2.1).. 2.2.. Correspondencia (n1 , n2 ) −→ (j, m). Para cada operador escalera definimos el estado base según la acción del operador de destrucción, es decir como â|0i = 0,. b̂|0i = 0. 16. (2.8).

(21) Figura 2.1: Ejemplo de la acción de los operadores â y b̂ sobre el vector de momento angular para j = 1/2. La acción total de Jˆ∓ es la de reducir(a) o aumentar(b) la componente z en 1 Ası́ definimos los conjuntos {|n1 i} y {|n2 i}, donde n1 , n2 ∈ ℵ, como (↠)n1 |n1 i = √ |0i, n1 !. (b̂† )n2 |n2 i = √ |0i. n2 !. (2.9). Y se cumple que la acción de estos operadores sobre cualquier estado |n1 i y |n2 i es √ √ â|n1 i = n1 |n1 − 1i , ↠|n1 i = n1 + 1|n1 + 1i (2.10) √ √ † b̂|n2 i = n2 |n2 − 1i , b̂ |n2 i = n2 + 1|n2 + 1i. (2.11) Denotamos el producto tensorial |n1 i ⊗ |n2 i como |n1 , n2 i. Ahora, si queremos hallar una relación entre n1 , n2 , j y m basta con estudiar la acción de Jˆz y Jˆ2 sobre el estado |n1 , n2 i. Como ya conocemos cómo actúan estos operadores sobre los estados de Dicke |mi que son estados propios de estos operadores y conocemos los valores propios, podemos relacionar los resultados de tal manera que todas las operaciones sean con-. 17.

(22) sistentes. La acción de Jˆ2 sobre |n1 , n2 i es 1 Jˆ2 |n1 , n2 i = ( (Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+ ) + Jˆz2 )|n1 , n2 i 2 1 = ( (↠b̂b̂† â + b̂† â↠b̂ + 2(↠â − b̂† b̂)2 ))|n1 , n2 i 2 1 1 (n1 (n2 + 1) + n2 (n1 + 1)) + (n21 − 2n1 n2 + n22 )|n1 , n2 i = 2    4 n1 + n2 n1 + n2 = + 1 |n1 , n2 i. (2.12) 2 2 Entonces es interesante ver que podemos reproducir la acción Jˆ2 |mi = j(j + 1)|mi en términos de los estados |n1 , n2 i si hacemos j=. n1 + n2 . 2. (2.13). Proseguimos mirando ahora Jˆz : Jˆz |n1 , n2 i = =. 1 † (â â − b̂† b̂)|n1 , n2 i 2 n1 − n2 |n1 , n2 i. 2. (2.14). Igualmente ahora podemos reproducir la acción Jˆz |mi = m|mi en términos de los estados |n1 , n2 i si hacemos m=. n1 − n2 . 2. (2.15). Teniendo las ecuaciones (2.13) y (2.15) obtenemos las expresiones para n1 y n2 : n1 = j + m, n2 = j − m. (2.16) Si tenemos que el estado |n1 , n2 i es generado a partir del estado de vacı́o de dos modos |0, 0i según (↠)n1 (b̂† )n2 |n1 , n2 i = √ √ |0, 0i, n1 ! n2 !. (2.17). entonces usando las ecuación (2.16) tenemos que |mi1 es generado ası́: (↠)j+m (b̂† )j−m p |0, 0i. (j + m)! (j − m)!. |mi = p 1. (2.18). Recordemos que |mi es una abreviación de |j, mi que usamos en parte para mantener la distinción entre |j, mi y |n1 , n2 i. 18.

(23) 2.3.. Expansión del estado de Bloch en términos de estados de dos modos. El estado de Bloch |θ, ϕi definido en la ecuación (1.35) tiene una representación en términos de los estados |n1 , n2 i. Mediante una expansión de la forma X (2.19) Cn1 ,n2 |n1 , n2 i. |θ, ϕi = n1 ,n2. La forma de los coeficientes Cn1 ,n2 puede ser determinada estudiando algunos casos sencillos para después deducir una forma general para cualquier j. Aquı́ vamos a estudiar los casos j = 1/2 y j = 1, es decir vamos a hallar la forma explı́cita de |θ, ϕi, y usando los resultados de la sección anterior se determinarán los coeficientes Cn1 ,n2 para estos casos. Después se generalizará para todo j. Para j = 1/2 los operadores de momento angular son simplemente las matrices de Pauli σz y σ± . Entonces el estado |θ, ϕi es |θ, ϕi = eτ σ+ eλσz e−τ τ σ+ λσz. = e. e. −. | − 1/2i. | − 1/2i. −λ/2 τ σ+. = e. ∗σ. e. | − 1/2i.. (2.20). Recordemos que λ y τ están dados en la ecuación (A.7). Como | − 1/2i no es un estado propio de σ+ usamos la expansión en serie de la exponencial para obtener 1 2 2 τ σ+ + · · ·)| − 1/2i 2! = e−λ/2 (1 + τ σ)| − 1/2i. |θ, ϕi = e−λ/2 (1 + τ σ+ +. = e−λ/2 (| − 1/2i + τ |1/2i).. (2.21). Todos los términos de la serie después del segundo son cero debido a que σ+ |1/2i = 0. La exponencial e−λ /2 se expresa e−λ/2 = e− ln(1+|τ |. 2 )/2. = (1 + |τ |2 )−1/2 1 = p 1 + tan2 (θ/2) = cos (θ/2), 19. (2.22).

(24) y remplazando τ por e−iϕ tan (θ/2), |θ, ϕi queda |θ, ϕi = cos (θ/2)| − 1/2i + e−iϕ sin (θ/2)|1/2i.. (2.23). Ahora usando las ecuaciones (2.16), hallamos los valores de n1 y n2 que corresponden a los valores j = 1/2, m = −1/2 y j = 1/2, m = 1/2. Para el primer caso (m = −1/2) n1 = 0 y n2 = 1 y para el segundo caso (m = 1/2) se tiene que n1 = 1 y n2 = 0. Entonces la expansión de |θ, ϕi en términos de los estados de dos modos es |θ, ϕi = C0,1 |0, 1i + C1,0 |1, 0i = cos (θ/2)|0, 1i + e−iϕ sin (θ/2)|1, 0i.. (2.24). Para j = 1, el estado de Bloch es ˆ. ˆ. |θ, ϕi = eτ J+ eλJz eτ τ Jˆ+ λJˆz. = e. e. −λ τ Jˆ+. = e. e. ∗ Jˆ −. | − 1i. | − 1i. | − 1i.. (2.25). Como hicimos para el caso anterior, la exponencial se expande en serie para obtener 1 2 |θ, ϕi = e−λ (1 + τ Jˆ+ + τ 2 Jˆ+ + · · ·)| − 1i 2! 1 2 )| − 1i = e−λ (1 + τ + τ 2 Jˆ+ 2! √ = e−λ (| − 1i + 2τ |0i + τ 2 |1i). (2.26) √ √ Donde hemos usado que Jˆ+ | − 1i = 2|0i, Jˆ+ |0i = 2|1i y Jˆ+ |1i = 0. Si remplazamos τ y λ tenemos √ |θ, ϕi = cos2 (θ/2)| − 1i + 2e−iϕ sin (θ/2) cos (θ/2)|0i + e−2iϕ sin2 (θ/2)|1i.. (2.27). El estado esta expresado en términos de los estados de Dicke para m = 1, 0, −1. Para cada uno de estos valores de m, los valores correspondientes de n1 y n2 son n1 = 2, n2 = 0 para m = 1, n1 = 1, n2 = 1 para m = 0 y n1 = 0, n2 = 2 para m = −1. Entonces el estado queda |θ, ϕi = C0,2 |0, 2i + C1,1 |1, 1i + C2,0 |2, 0i √ = cos2 (θ/2)|0, 2i + 2e−iϕ sin (θ/2) cos (θ/2)|1, 1i + e−2iϕ sin2 (θ/2)|2, 0i. 20. (2.28).

(25) Ahora bien, si queremos hallar la forma general de esta expansión para cualquier valor de j es necesario notar ciertos patrones a partir de los dos primeros casos que calculamos. Primero, el estado de Bloch |θ, ϕi para un j cualquiera esta dado en términos del siguiente conjunto de estados de dos modos: {|0, 2ji, |1, 2j − 1i, |2, 2j − 2i, ..., |2j − 1, 1i, |2j, 0i}. (2.29) Hay exactamente 2j + 1 estados en la expansión, cada uno correspondiente a un posible valor de m. Segundo, la expansión general está multiplicada por un factor de e−λj como se ve en las ecuaciones (2.21) y (2.26). Tercero, los coeficientes están dados según la acción de las varias potencias de τ Jˆ+ sobre el estado | − ji teniendo en cuenta el factor del factorial que aparece en cada término. Teniendo en cuenta estos factores, la expansión general es |θ, ϕi =. 2j X. Ck,2j−k |k, 2j − ki,. (2.30). k=0. donde Ck,2j−k es −λj k. Ck,2j−k = e. . τ. (2j)!k! (2j − k)!. 1/2 .. (2.31). Esta expansión también puede ser expresada fácilmente en la base de los estados de Dicke |mi |θ, ϕi =. 2j X. Ck | − j + ki,. (2.32). k=0. donde Ck es Ck = e−λj τ k. 2.4.. . (2j)!k! (2j − k)!. 1/2 .. (2.33). Comentarios. Ahora ya esta bien definida la correspondencia entre los espacios de j y m y n1 y n2 . Vale mencionar que esta correspondencia esta muy relacionada con la representación en términos de grupos del espacio de las rotaciones y el espacio de las translaciones, aunque no es el objetivo de este trabajo estudiar esta correspondencia puramente matemática (aunque con interpretación fı́sica). Las relaciones halladas en este capı́tulo serán fundamentales más adelante en el documento y más que todo nos ayudarán a ver la aplicación de los estados de Bloch en problemas de interacción entre los átomos y la radiación. 21.

(26) Capı́tulo 3. El estado de Bloch generalizado En este capı́tulo se define el estado de Bloch generalizado a partir de las relaciones de Schwinger. Estamos interesados en ver bajo que condiciones este es un estado de mı́nima incertidumbre. Antes se estudian definiciones anteriores de estados coherentes de momento angular con el fin de exponer la motivación que llevó a la definición que presentamos aquı́.. 3.1.. Otras definiciones de estados coherentes de momento angular. Desde que Schwinger hizo la construcción de los operadores de momento angular en términos de operadores de bosones, se ha intentado usar esta representación para definir estados de mı́nima incertidumbre para momento angular. Aunque es posible definirlos sin usar esta representación (como es el caso del estado de Bloch) es muy interesante explorar esta correspondencia por medio de estos estados. Además, el uso del formalismo de Schwinger es fundamental para entender la relación de estos estados con sistemas de átomos interactuando con un campo de radiación como veremos más adelante.. 3.1.1.. Estados de Atkins y Dobson. Estos estados fueron definidos por P. W. Atkins y J. C. Dobson en [6]. Es una de las primeras definiciones disponibles. Estos estados que se denotan |α, βi se definen como estados propios de â y b̂. Los valores propios se denotan. 22.

(27) α y β de tal manera que a|α, βi = α|α, βi,. b|α, βi = β|α, βi.. (3.1). Estas ecuaciones tienen sus correspondientes ecuaciones adjuntas para ↠y b̂† . Para encontrar la forma explı́cita se expresan como una combinación lineal de los estados |n1 , n2 i ası́: X (3.2) Cn1 ,n2 |n1 , n2 i |α, βi = n1 ,n2. Aplicando las condiciones en la ecuación (3.1) se obtienen las relaciones de recurrencia para los coeficientes Cn1 ,n2 y |α, βi queda |α, βi = e−(|α|. 2 +|β|2 )/2. X αn1 β n2 √ |n1 , n2 i. n1 !n2 ! n ,n 1. (3.3). 2. El término de la exponencial es simplemente un factor de normalización. En términos de los estados de Dicke |mi, |α, βi se escribe (simplemente usando las ecuaciones (2.16)): −(|α|2 +|β|2 )/2. |α, βi = e. j ∞ X X. αj+m β j−m p. j=0 m=−j. (j + m)!(j − m)!. |j, mi.. (3.4). Este estado definido de esta manera es un estado de mı́nima incertidumbre. 3.1.2.. El estado de Bhaumik. Estos estados que están definidos en [7] y que denotaremos |β, γi son también interesantes de estudiar pues se definen en términos de dos operadores nuevos Iˆ±,z y K̂±,z que están dados por los operadores de escalera de bosones de la siguiente manera: K̂+ = ↠b̂† ,. (3.5). K̂− = âb̂, 1 † (â â + b̂† b̂ + 1). K̂z = 2. (3.6) (3.7). ˆ Y para I: Iˆ+ = ↠↠,. Iˆ− = ââ,. Iˆz = 2↠â.. (3.8). Lo importante de estos operadores es que cumplen con el álgebra de las reglas de conmutación de momento angular, por lo tanto representan operadores 23.

(28) escalera que modifican el valor del momento angular. Por ejemplo K̂± se define de tal manera que aumente(+) o disminuya(-) el valor del momento angular j en una unidad y Iˆ± se define de tal manera que aumente(+) o disminuya(-) en una unidad los valores de j y m. Esto se puede expresar matemáticamente como p K̂− |j, mi = (j − m)(j + m)|j − 1, mi. (3.9) Y la acción de Iˆ se expresa p Iˆ− |j, mi = (j + m)(j + m − 1)|j − 1, m − 1i.. (3.10). Estas expresiones se pueden obtener usando la ecuación (2.18). Estos operadores son interesantes por que nos muestran que usando la representación de Schwinger se pueden definir operadores que copien la acción de Jˆ± sobre m pero para j y también para los dos, es decir que actúen sobre j o sobre j y m juntos. Los estados coherentes para momento angular se definen en este caso como estados propios simultaneos de los dos operadores, es decir Iˆ− |β, γi = β|β, γi,. (3.11). K̂− |β, γi = γ|β, γi.. (3.12). Para hallar la forma explı́cita usamos el mismo método que hemos aplicado anteriormente. Si escribimos |β, γi como una combinación lineal de los estados |j, mi j ∞ X X |β, γi = Cj,m (β, γ)|j, mi, (3.13) j=0 m=−j. y aplicamos las condiciones en la ecuación (3.12) a esta expansión, hallamos nuevamente las relaciones de recurrencia para los coeficientes Cj,m (β, γ) y obtenemos 1. |β, γi = p. cosh (|β|2 + |γ|2 )/|β|. X j,m. β m γ j−m |j, mi. ((j + m)(j − m))1/2. (3.14). Estos estados cumplen con la relación de mı́nima incertidumbre en las tres componentes del momento angular y también describen lı́mites clásicos en problemas de rotaciones.. 24.

(29) 3.1.3.. Operadores de desplazamiento y otras definiciones. En general si se tiene un conjunto de operadores K̂+ , K̂− y K̂q (q = x, y, z) que cumplan con [K̂x , K̂y ] = −iK̂z ,. [K̂z , K̂± ] = ±K̂± ,. (3.15). K̂+ = K̂x + iK̂y ,. K̂− = K̂x − iK̂y ,. (3.16). y se pueden definir estados de dos maneras. Una posibilidad es definir estados a partir de una ecuación de valor propio, es decir estados de la forma K̂− |ζi = ∗ ζ|ζi. Otra posibilidad es aplicar el operador de desplazamiento eζ K̂+ −ζ K̂− en un estado determinado |ψ0 i. En el caso del oscilador armónico, donde se † ∗ cumple que â|αi = α|αi y |αi = eâ α−α â |0i, estas dos definiciones llevan al mismo resultado, sin embargo en general esto no se cumple y es necesario hacer una distinción entre los estados definidos mediante la ecuación de eigenvalores y el operador de desplazamiento. En este caso general la relación de incertidumbre asociada a las relaciones de conmutación de la ecuación (3.15) serı́a 1 (∆K̂x )(∆K̂y ) ≥ |hK̂z i|. (3.17) 2 Algunos de los estados más importantes que han sido definidos son mencionados en las primeras páginas de [8]. Algunas de estas definiciones son: 1 2 â con |ψ0 i = |0i, 2 1 2 = â con |ψ0 i = |αi, 2 = âb̂ con |ψ0 i = |0, 0i,. K̂− =. (3.18). K̂−. (3.19). K̂−. K̂− = âb̂. con. |ψ0 i = |α, βi.. (3.20) (3.21). Aquı́ |αi se refiere a los estados coherentes del oscilador armónico estudiado inicialmente. Estos son todos estados definidos a partir de la acción del operador de desplazamiento. Algunos otros estados definidos a partir de la ecuación de valor propio son estados con K̂− = 21 a2 y K̂− = âb̂.. 3.2.. El estado de Bloch generalizado. En este capı́tulo se estudia otra posible definición de estado coherente de momento angular. A este estado se le llama estado de Bloch generalizado 25.

(30) porque se define a partir de la acción del operador de desplazamiento Rθ,ϕ sobre un estado general de Dicke |mi. El caso particular en que m = −j corresponderia entonces al estado de Bloch. Además se ha querido incorporar al desarrollo la representación de Schwinger de la cuantización de los operadores de momento angular. Esto con el fin de poder analizar los resultados desde el punto de vista de la óptica cuántica y para tener presente la correspondencia que hay entre un sistema de momento angular(por ejemplo un sistema de espines) y un sistema de átomos de dos niveles.. 3.2.1.. Definición. Se han definido estados basados en la acción de operadores de desplazamiento sobre distintos estados. Por ejemplo, en la ecuación (3.21) se opera sobre un estado coherente de dos parámetros α y β. También existen estados simplemente definidos como un desplazamiento sobre el estado base de dos modos |0, 0i. En este trabajo surgió la pregunta de que estado resulta al operar Rθ,ϕ sobre el estado de dos modos |n1 , n2 i (en analogı́a con el estado |α, βi) pero usando naturalmente la representación en términos de † ∗ † operadores escalera, es decir Rθ,ϕ = eµâ b̂−µ b̂ â . A falta de un mejor nombre, este estado se denotara como |µi. Entonces |µi es |µi = eµâ. † b̂−µ∗ b̂† â. |n1 , n2 i.. (3.22). Recordemos que µ es un parámetro complejo de depende de los ángulos θ y ϕ según la ecuación µ = 2θ e−iϕ . Dado que m, n1 y n2 están relacionados por la ecuación (2.15), si hacemos n1 = 0 en la ecuación (3.22) se obtiene el estado |θ, ϕi. Nótese que la ecuación de valor propio serı́a en este caso la misma obtenida para el estado de Bloch en el Capı́tulo 1.. 3.2.2.. Relación de incertidumbre. En un principio podrı́amos definir la relación de incertidumbre por medio de los operadores rotados −1 ˆ Jˆx0 = Rθ,ϕ Jx Rθ,ϕ , −1 ˆ Jˆy0 = Rθ,ϕ Jy Rθ,ϕ , −1 Jˆz 0 = Rθ,ϕ Jˆz Rθ,ϕ .. 26. (3.23).

(31) Ası́ el valor esperado de las componentes del momento angular(rotadas) en el estado |µi serı́a: hJˆx0 i = hµ|Jˆx0 |µi −1 ˆ = hn1 , n2 |Rθ,ϕ Jx0 Rθ,ϕ |n1 , n2 i −1 −1 = hn1 , n2 |Rθ,ϕ Rθ,ϕ Jˆx Rθ,ϕ Rθ,ϕ |n1 , n2 i. = hn1 , n2 |Jˆx |n1 , n2 i.. (3.24). Aplicando el mismo procedimiento obtenemos hJˆx20 i = hn1 , n2 |Jˆx2 |n1 , n2 i. ˆ Usando estos resultados Igualmente serı́a para las demás componentes de J. la incertidumbre en Jˆx0 es (∆Jˆx0 )2 = hJˆx20 i − hJˆx0 i2  1 = hn1 , n2 |(↠b̂ + b̂† â)2 |n1 , n2 i − (hn1 , n2 |(↠b̂ + b̂† â)|n1 , n2 i)2 4 1 = (2n1 n2 + n1 + n2 ). (3.25) 4 Para ∆Jˆy0 se obtiene exactamente el mismo resultado. Ahora, el valor esperado de la componente z del momento angular(rotado) en el estado |µi es hJˆz 0 i = =. 1 hn1 , n2 |(↠â − b̂† b̂)|n1 , n2 i 2 1 (n1 − n2 ). 2. (3.26). Entonces si tenemos una relación de incertidumbre de la forma 1 ∆Jˆx0 ∆Jˆy0 ≥ |hJˆz 0 i|, 4. (3.27). 1 1 (2n1 n2 + n1 + n2 ) ≥ |n1 − n2 |. 4 4. (3.28). para el estado |µi queda. En el caso en que n1 = 0, es decir m = −j, esta relación de vuelve una igualdad tal como en el estado de Bloch. Es interesante que el estado con n2 = 0 (m = j), que es más energético, es también un estado de mı́nima incertidumbre. El caso de n1 = n2 (m=0) no cumple la igualdad, por lo tanto no es un estado de mı́nima incertidumbre o definido al máximo. Estos resultados son obtenidos hallando la incertidumbre con los operadores rotados, que según la ecuación (3.24), es simplemente equivalente a hallar la 27.

(32) incertidumbre de los estados no rotados, es decir de | − ji o |n1 , n2 i. Pero ahora nos interesa hallar las condiciones de mı́nima incertidumbre en el estado general |µi si no aplicamos también una rotación sobre los operadores. Para este caso el valor esperado de las componentes del momento angular es hJˆx i = hµ|Jˆx |µi −1 ˆ = hn1 , n2 |Rθ,ϕ Jx Rθ,ϕ |n1 , n2 i. = hn1 , n2 |Jˆx0 |n1 , n2 i.. (3.29). Igualmente para la componente y y la componente z. Ahora nótese que obtenemos que este cálculo es equivalente a tener el operador rotado sobre el estado inicial |n1 , n2 i. Para el cuadrado de las componentes el valor esperado es hJˆx i = hµ|Jˆx |µi −1 ˆ = hn1 , n2 |Rθ,ϕ Jx Rθ,ϕ |n1 , n2 i. = hn1 , n2 |Jˆx20 |n1 , n2 i,. (3.30). donde también tenemos expresiones iguales para las otras componentes. El problema es ahora hallar las expresiones para los operadores rotados. Este cálculo, que involucra los teoremas de conmutación que se encuentran en el Apéndice A, es bastante largo y por esto se expone en el Apéndice B. La rotación de Jˆx da 1 θ θ θ θ −1 ˆ Rθ,ϕ Jx Rθ,ϕ = (Jˆ+ (cos2 −e−2iϕ sin2 )+Jˆ+ (cos2 −e2iϕ sin2 )−2Jˆz sin θ cos ϕ). 2 2 2 2 2 (3.31) La de Jˆy es 1 θ θ θ θ −1 ˆ Rθ,ϕ Jy Rθ,ϕ = (Jˆ+ (cos2 +e−2iϕ sin2 )−Jˆ− (cos2 +e2iϕ sin2 )−2Jˆz sin θ sin ϕ). 2i 2 2 2 2 (3.32) Y para Jˆz : −1 ˆ Rθ,ϕ Jz Rθ,ϕ = Jˆz cos θ + (Jˆx cos ϕ + Jˆy sin ϕ) sin θ.. 28. (3.33).

(33) Usando estos resultados y aplicando estas funciones (en términos de â y b̂) sobre |n1 , n2 i obtenemos: hJˆx i2 = hJˆy i2 = hJˆz i2 =. 1 (n1 − n2 )2 sin2 θ cos2 ϕ, 4 1 (n1 − n2 )2 sin2 θ sin2 ϕ, 4 1 (n1 − n2 )2 cos2 θ 4. (3.34). Y los otros términos son hJˆx2 i = + hJˆy2 i = +. 1 (f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)(2n1 n2 + n1 + n2 ) 4 1 g(θ, ϕ)(n1 − n2 )2 ), 4 1 (f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ)(2n1 n2 + n1 + n2 ) 4 1 h(θ, ϕ)(n1 − n2 )2 ). 4. (3.35). (3.36). Las funciones f± (θ, ϕ), g(θ, ϕ) y h(θ, ϕ) son θ θ ± e−2iϕ sin2 , 2 2 g(θ, ϕ) = 2 sin θ cos ϕ,. f± (θ, ϕ) = cos2. h(θ, ϕ) = 2 sin θ sin ϕ.. (3.37) (3.38) (3.39). Con estas funciones ya podemos hallar las incertidumbres ∆Jˆx y ∆Jˆy . Es interesate ver que en este caso donde no usamos los operadores rotados, las ˆ 2 para incertidumbres son funciones de θ, ϕ, n1 y n2 . Calculando hJˆ2 i − hJi Jˆx y Jˆy , tenemos ∆Jˆx = ∆Jˆy =. 1/2 1 f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)(2n1 n2 + n1 + n2 ) , 2 1/2 1 f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ)(2n1 n2 + n1 + n2 ) , 2. (3.40) (3.41). Entonces la relación de incertidumbre queda 1/2 1 1 (2n1 n2 +n1 +n2 ) ≥ |(n1 −n2 ) cos θ| f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ) 4 2 (3.42) Ahora nos preguntamos, bajo que condiciones se da la igualdad en esta relación? Hay varios casos para analizar y como veremos estos nos devuelven el resultado anterior para el estado de Bloch. 29.

(34) ♣ Caso θ = 0: En este caso f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ) = 1 por lo tanto la relación de incertidumbre queda: 1 1 (2n1 n2 + n1 + n2 ) ≥ |n1 − n2 |. 4 4. (3.43). Esta es la misma relación que teniamos en el caso del estado general con los operadores rotados, es decir resulta de calcular los valores esperados hn1 , n2 |Jˆq |n1 , n2 i. El caso de mı́nima incertidumbre se obtiene como vimos antes para n1 = 0 (m=-j) o para n2 = 0 (m=j). Este es justamente el caso en que tenemos el estado de Bloch |θ, ϕi. ♣ Caso n1 = n2 6= 0: En este caso el lado derecho de la relación de incertidumbre es cero y la expresión 2n1 n2 + n1 + n2 nunca es cero. Entonces los estados de mı́nima incertidumbre se dan en el caso en que f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ) = 0. En la Figura 3.1 se ven los valores de θ y ϕ en los que la función se hace cero, por lo tanto estos puntos corresponden a puntos de mı́nima incertidumbre. En este caso m = 0, y a diferencia del caso en el que usamos los operadores. Figura 3.1: Gráfica de la función f− (θ, ϕ)f−∗ (θ, ϕ)f+ (θ, ϕ)f+∗ (θ, ϕ). Los puntos donde la función se hace cero corresponden a puntos donde se da la igualdad en la relación de incertidumbre. rotados y en el caso del estado de Bloch, aquı́ para ciertos valores de θ y ϕ se puede hallar un estado de mı́nima incertidumbre en el cual m = 0.. 30.

(35) ♣ Caso n1 6= n2 6= 0 : Para estos valores de n1 y n2 no hay ningún valor de θ y ϕ que haga el producto de la derecha de la ecuación (3.42) igual a 1 4 |(n1 − n2 ) cos θ|.. 3.2.3.. Comentarios. Resumiendo, hemos definido un estado |µi como una rotación sobre un estado general |n1 , n2 i usando la represetación del momento angular en términos de operadores escalera. Este estado es análogo a una una rotación sobre un estado con cualquier valor de j y m. El estado de Bloch se obtiene en el caso particular en el que m = −j o n1 = 0. Además hemos calculado los valores esperados de las componentes del momento angular sobre el estado |µi y a partir de estas hemos calculado las incertidumbres de dos formas. Primero definimos la relación de incertidumbre en términos de los operadores rotados, tan como se toma en [4] y como hicimos en el Capı́tulo 1. Entonces transformamos los operadores y los estados y encontramos que esto era equivalente a tener simplemente los estados y operarores sin transformar, como se ve en la ecuación (3.24). Para este caso se comprobó que los resutados para el estado general |µi devuelven los resultados para el estado de Bloch |θ, ϕi. Después definimos la relación de incertidumbre en términos de los operadores no rotados, y de nuevo obtuvimos una relación más general en términos de θ y ϕ que también se reducı́a a el caso conocido para los valores de θ = 0. En este caso los operadores no estaban transformados bajo la rotación, pero el caso es equivalente a tener los operadores transformados sobre el estado sólo |n1 , n2 i como se ve en la ecuación (3.30) Además encontramos que para el caso en que n1 = n2 6= 0, es decir m = 0, hay valores de θ y ϕ en los que |µi puede ser un estado de mı́nima incertidumbre.. 31.

(36) Capı́tulo 4. Propiedades Radiativas Hemos mencionado en capı́tulos anteriores que los estados estudiados son usados en áreas como la óptica cuántica en varios contextos. La teorı́a de momento angular se presta para modelar sistemas de átomos de dos niveles interactuando con la radiación. Los Hamiltonianos pertinentes a estos sistemas tienen en general una representación en términos de operadores de momento angular. Ası́ la teorı́a que conocemos puede ser aplicada si conocemos como se relaciona el modelo con el sistema. Aquı́ es donde entra en juego la representación de Schwinger en términos de bosones, que nos permite conectar valores como j y m al número de átomos involucrados y al número de átomos que están en el estado base o en el estado excitado. En este capı́tulo vamos a estudiar un sistema de este tipo y nos vamos a concentrar en describir algunas caracterı́sticas como la emisión espontánea y estimulada cuando el sistema se encuentra en los estados presentados en los capı́tulos anteriores.. 4.1.. Gas de n átomos de dos niveles. Si consideramos en primera estancia un sólo átomo de dos niveles, |−i y |+i, que esta haciendo transiciones entre estos dos niveles, es equivalente a tener un sistema de espin 1/2 (un electrón), donde los dos posibles valores de m, 1/2 y −1/2 representan los dos niveles |+i y |−i. Según las ecuaciones (2.16) si el electrón esta en el estado m = 1/2, tenemos que n1 = 1 y n2 = 0. En cambio si el electrón tiene m = −1/2, tenemos que n1 = 0 y n2 = 1. El primer caso corresponde al átomo excitado y el segundo corresponde al átomo en el estado base. Por lo tanto n1 y n2 se pueden interpretar como el número de átomos en el estado excitado y el número de átomos en el. 32.

(37) estado base respectivamente. Si llamamos n a la suma de estos dos, es decir n = n1 + n2 , tenemos entonces el número de átomos totales, en este caso 1. Los operadores que describen el comportamiento de este átomo también se pueden expresar usando los operadores de momento angular, que son en este caso las matrices de Pauli. Los proyectores |+ih−|, |−ih+|, |+ih+| y |−ih−| que son fundamentales en los cálculos de poblaciones y ratas de emisión, se escriben([1]) σ̂z = |+ih+| − |−ih−|,. (4.1). σ̂+ = |+ih−|,. (4.2). σ̂− = |−ih+|.. (4.3). Ahora consideremos un sistema de dos átomos de dos niveles. Para dos espines, sabemos que el momento angular total es j = 1 y que los tres valores de m total posibles (1,0,-1) representan las tres posibles configuraciones que pueden tomar las orientaciones de los dos espines (si no distinguimos entre electrones). El caso m = 1 corresponde a los dos espines “arriba”, el caso m = 0 corresponde a uno “arriba” y otro “abajo”, y el caso m = −1 corresponde a los dos “abajo”. Entonces si los dos electrones representan los dos átomos de dos niveles, todas las posibles transiciones que hagan los átomos entre estos niveles se representan como cambios en el valor de m total del sistema de momento angular total. Recordemos del Capı́tulo 2 que para j = 1, m = 1, 0, −1 representan a n1 = 2, 1, 0 y n2 = 0, 1, 2 respectivamente. Este análisis se puede generalizar para n átomos de dos niveles. El problema se convierte en uno de suma de momento angular. El momento angular total es j = n2 y hay 2j + 1 posibles valores de m. Los operadores del conjunto de los n átomos se escriben Jˆq = Jˆ± =. n X i=1 n X. σq(i) , (i). σ± .. (q = x, y, z),. (4.4) (4.5). i=1. El problema que vamos a considerar ahora es el de los n átomos interactuando con un campo electromagnético. Los n átomos estan localizados 33.

(38) en un contenedor que tiene dimensiones pequeñas en comparación con la longitud de onda de la luz que incide. Además consideramos que están lo suficientemente separados tal que sus funciones de onda individuales no se sobrelapen y ası́ no es necesario simetrizar la función de onda total. Bajo la aproximación dipolar, el Hamiltoniano tı́pico de interacción es ([1]) Ĥ =. ωˆ Jz − µe · E(Jˆ+ + Jˆ− ), 2. (4.6). donde ω es la diferencia en frecuencias entre los dos niveles de cada átomo y seguimos con la convención de h̄ = 1. E es el campo eléctrico y µe es el dipolo eléctrico. El primer término es el Hamiltoniano del gas y el segundo es propiamente el de la interaccı́on con el campo. Nótese que aquı́ no estamos teniendo en cuenta la posición de los átomos y que el valor del campo es el mismo para todos ellos, debido precisamente a que el contenedor es pequeño tal que el valor del campo no varie considerablemente a través de su longitud. Por esta razón el valor de µe · E sale sólo como una constante en el Hamiltoniano de interacción, entonces podemos remplazar este término por una constante g de acoplamiento que puede representar cualquier interacción constante. Para los cálculos que vamos a hacer aquı́ el valor de esta constante no es necesario como vamos a ver en la próxima sección.. 4.2.. Super-radiancia. Nos interesa hallar ahora la probabilidad de emisión espontánea para un gas de n átomos que se encuentre inicialmente en los estados mencionados anteriormente. Más especı́ficamente nos interesa saber cuando esta probabilidad de emisión espontánea es máxima, es decir cuando se da la superradiancia.. 4.2.1.. Para el estado de Dicke. Si el sistema de átomos esta inicialmente en un estado |mi, la probabilidad I de que decaiga espontáneamente a un estado |m − 1i es proporcional a I ∝ |hm − 1|(Jˆ+ + Jˆ− )|mi|2 . (4.7) Llamaremos a la constante de proporcionalidad I0 (esta constante va a depender dep la magnitud de la interacción y de ω). Usando Jˆ− |mi = (j + m)(j − m + 1)|m − 1i la intensidad (ası́ es llamada usualmente) queda [4] I = I0 (j + m)(j − m + 1). (4.8) 34.

(39) Se pueden hacer varias observaciones acerca de esta expresión. Primero, se hace cero en el caso en que m = −j. Sabemos que en este caso n1 = 0 entonces todos los átomos están en el estado base y no pueden decaer a ningun nivel inferior. Por esta razón no puede haber emisión espontánea en este caso. Segundo, si j = 1/2, es decir tenemos un sólo átomo, I = I0 . Entonces I0 es simplemente la probabilidad de emisión espontánea para un sólo átomo en el estado excitado. Tercero, esta probabilidad es máxima para j grande en m = 0. Esto se aprecia mejor gráficamente en la Figura 4.1. A este estado se le llama un estado superradiante y corresponde a  n n I = I0 j(j + 1) = I0 +1 . (4.9) 2 2. Figura 4.1: Gráfica de I/I0 para j = 2(azul), j = 8(verde), j = 12(roja). A medida que j aumenta, el máximo de la intensidad tiende a centrarse en m = 0. Esto corresponde a los estados superradiantes si j es grande. 4.2.2.. Para el estado de Bloch. Ahora consideramos el caso en el cual el gas esta inicialmente en el estado de Bloch |θ, ϕi, es decir en una superposición finita de estados |mi. Queremos hallar ahora la probabilidad de emisión espontánea si el gas decae. 35.

(40) a un estado cualquiera |mi. La probabilidad es X I = I0 |hm|Jˆ− |θ, ϕi|2 , m. = I0. X. hθ, ϕ|Jˆ+ |mihm|Jˆ− |θ, ϕi,. m. = I0 hθ, ϕ|Jˆ+. X. |mihm|Jˆ− |θ, ϕi,. m. = I0 hθ, ϕ|Jˆ+ Jˆ− |θ, ϕi, −1 ˆ ˆ = I0 h−j|Rθ,ϕ J+ J− Rθ,ϕ | − ji, −1 ˆ −1 ˆ = I0 h−j|Rθ,ϕ J+ Rθ,ϕ Rθ,ϕ J− Rθ,ϕ | − ji.. (4.10). Hemos usado la propiedad de completitud de los estados de Dicke y el hecho de que R es unitario. Volvemos entonces a las expresiones para los operadores rotados que se encuentran en el Apéndice B. Para Jˆ+ y Jˆ− tenemos que θ θ −1 ˆ −1 ˆ J− Rθ,ϕ ) = (eiϕ (Jˆ+ e−iϕ cos2 − Jˆ− eiϕ sin2 − Jˆz sin θ)) J+ Rθ,ϕ )(Rθ,ϕ (Rθ,ϕ 2 2 θ θ −iϕ −iϕ 2 iϕ · (e (−Jˆ+ e sin + Jˆ− e cos2 2 2 − Jˆz sin θ)), (4.11) entonces I queda I = I0 h−j|(Jˆ+ Jˆ− cos4 = I0 (2j sin4. θ θ + Jˆ− Jˆ+ sin4 + Jˆz2 sin2 θ)| − ji 2 2. θ + j 2 sin2 θ). 2. (4.12). Esta es la probabilidad de emisión espontánea para un gas inicialmente en un estado de Bloch [4]. Ahora si el número de átomos es fijo, j es fijo. Tenemos también una dependencia de el ángulo θ. Para j grande esta expresión tiende a hacerse máxima en θ = π/2. Esto también se observa mejor gráficamente en la Figura 4.2. Como θ nos da una idea de la orientación del momento angular con respecto a un eje z, este resultado es consistente con el de la sección anterior, pues esta orientación corresponderia a m = 0.. 4.2.3.. Para el estado de Bloch general. Ahora vamos a considerar que el estado inicial del gas es el estado µ estudiado en el Capı́tulo 3. Este estado decae espontáneamente a un estado 36.

(41) Figura 4.2: Gráfica de I/I0 para j = 4(azul), j = 8(verde), j = 10(roja). A medida que j aumenta, el máximo de la intensidad tiende a centrarse en θ = π/2. Esto corresponde a los estados superradiantes si j es grande |n01 , n02 i con probabilidad X I = I0 |hn01 , n02 |Jˆ− |µi|2 , n01 ,n02. = I0. X. hµ|Jˆ+ |n01 , n02 ihn01 , n02 |Jˆ− |µi,. n01 ,n02. = I0 hθ, ϕ|Jˆ+. X. |n01 , n02 ihn01 , n02 |Jˆ− |µi,. n01 ,n02. = I0 hµ|Jˆ+ Jˆ− |µi, −1 ˆ ˆ = I0 hn1 , n2 |Rθ,ϕ J+ J− Rθ,ϕ |n1 , n2 i, −1 ˆ −1 ˆ = I0 hn1 , n2 |Rθ,ϕ J+ Rθ,ϕ Rθ,ϕ J− Rθ,ϕ |n1 , n2 i.. 37. (4.13).

(42) Los operadores son los mismos de la ecuación (4.11), por lo tanto si los expresamos usando â y b̂ tenemos I = I0 hn1 , n2 |(↠b̂b̂† â cos4. θ θ + b̂† â↠b̂ sin4 2 2. 1 † (â â − b̂† b̂)2 sin2 θ)|n1 , n2 i 4 θ θ = I0 (n1 (n2 + 1) cos4 + n2 (n1 + 1) sin4 2 2 1 2 + (n + n22 − 2n1 n2 ) sin2 θ). 4 1. +. (4.14). Esta es la probabilidad de emisión espontánea para un gas en el estado µ que decae a un estado |n01 , n02 i cualquiera. Primero se ve que en el caso particular n1 = 0(m = −j), tenemos I = I0 (n2 sin4. θ 1 2 2 + n sin θ) 2 4 2. (4.15). Este es exactamente el resultado para el estado de Bloch donde j = n2 /2. Volviendo al resultado general de la ecuación (4.14), para en caso en que n2 = 0(m = j) el resultado es el mismo que para m = −j sino que el valor de θ en el que la intensidad se hace máxima tiende a π/2 por la derecha. Esto se ve en la Figura 4.3. Además cuando n1 = n2 (m=0), vemos que el máximo tiende a ser en θ = 0. Para j grandes los resultados para m = −j y m = j son prácticamente los mismos, el máximo se encuentra ya en θ = π/2 como se ve en la Figura 4.4.. 38.

(43) Figura 4.3: Gráfica de I/I0 para n1 = 10, n2 = 0(rojo), n1 = 0, n2 = 10(verde), n1 = n2 = 10(azul). A medida que j aumenta, el máximo de la intensidad tiende a centrarse en θ = π/2 desde la derecha y desde la izquierda para los dos primeros casos respectivamente. Esto corresponde a los estados superradiantes si j es grande. Además hay un máximo en θ = 0 para n1 = n2 = 10. Figura 4.4: Gráfica de I/I0 para n1 = 10000, n2 = 0. El máximo ya se ve centrado en θ = π/2. La gráfica es idéntica en el caso n1 = 0, n2 = 10000.. 39.

(44) 4.3.. Emisión estimulada. En esta sección hallamos la probabilidad de emisión estimulada para los tres estados estudiados en la sección anterior y veremos que como es de esperarse depende de la diferencia de poblaciones entre los dos niveles.. 4.3.1.. Para el estado de Dicke. Para el gas en un estado |mi, la probabilidad de emisión estimulada ya incluye la acción de Jˆ+ y la de Jˆ− . Para hallar esta probabilidad seguimos el procedimiento usado en [4]. Esta probabilidad es I = I0 |hm − 1|Jˆ− |mi|2 − |hm + 1|Jˆ+ |mi|2 = (j + m)(j − m + 1) − (j − m)(j + m + 1) = 2m.. (4.16). Si hacemos la identificación m = (n1 − n2 )/2, esto simplemente es proporcional a la inversión de población.. 4.3.2.. Para el estado de Bloch. La probabilidad de emisión estimulada para el estado de Bloch es  X I = I0 |hm|Jˆ− |θ, ϕi|2 − |hm|Jˆ+ |θ, ϕi|2 m. = hθ, ϕ|Jˆ+ Jˆ− |θ, ϕi − hθ, ϕ|Jˆ− Jˆ+ |θ, ϕi = h−j|R−1 Jˆ+ Rθ,ϕ R−1 Jˆ− Rθ,ϕ | − ji − h−j|R−1 Jˆ− Rθ,ϕ R−1 Jˆ+ Rθ,ϕ | − ji θ,ϕ. θ,ϕ. θ,ϕ. θ θ = 2j(sin4 − cos4 ) 2 2 = −2j cos θ.. θ,ϕ. (4.17). En el caso en que m = −j cos θ este resultado es igual al obtenido para en estado de Dicke en la ecuación (4.16). Este es el resultado obtenido en [4].. 40.

(45) 4.3.3.. Para el estado de Bloch general. En analogı́a a lo que se hizo en la sección anterior, la intensidad de emisión estimulada es  X  I = I0 |hn01 , n02 |Jˆ− |µi|2 − |hn01 , n02 |Jˆ+ |µi|2 n01 ,n02. = hµ|Jˆ+ Jˆ− |µi − hµ|Jˆ− Jˆ+ |µi = hn1 , n2 |R−1 Jˆ+ Rθ,ϕ R−1 Jˆ− Rθ,ϕ |n1 , n2 i − hn1 , n2 |R−1 Jˆ− Rθ,ϕ R−1 Jˆ+ Rθ,ϕ |n1 , n2 i θ,ϕ. θ,ϕ. θ,ϕ. θ,ϕ. = (n1 − n2 ) cos θ.. (4.18). Como esperábamos la intensidad es la diferencia de poblaciones entre los niveles excitado y base. Otra vez, este es el mismo resultado que se obtiene para los dos estados anteriores. En el caso de Dicke y este último resultado, se obtiene un resultado general para cualquier valor de m. En el caso del estado de Bloch, el resultado corresponde al caso particular en que m = j cos θ.. 4.4.. Conclusiones Generales. Los estados coherentes del oscilador armónico tienen muchas caracterı́sticas interesantes de estudiar y por esta razón han sido usados ampliamente en muchas áreas de la fı́sica. Estos estados cumplen con ∆x∆p = 1/2 para todo tiempo y este sentido son estados cuánticos determinados al máximo, lo que hace que se consideren los estados que reconstruyen el comportamiento clásico del oscilador. Estos estados son un punto de encuentro entre la descripción clásica y cuántica de este sistema, ya sea un oscilador mecánico o un modelo para describir radiación electromagnética coherente. La búsqueda de esta clase de estados en otros sistemas se sigue inmediatamente para momento angular. Las relaciones de conmutación entre las componentes del momento angular determinan enteramente la clase de estados que se pueden formar usando estos operadores. Teniendo la base de los estados de Dicke que se definen por ser estados propios comunes de Jˆ y Jˆz , se pueden definir transformaciones sobre estos estados (ası́ como se definieron transformaciones sobre el estado base del oscilador) que tengan propiedades de mı́nima incertidumbre y ası́ sean estados “clásicos” dentro del formalismo cuántico. Los estados de Bloch son un ejemplo de estos estados y se obtienen a partir de una rotación sobre el estado base de los estados de Dicke (en el subespacio de j constante). Cumplen con la relación de mı́nima incertidumbre para los operadores rotados, lo cual es de esperarse pues 41.

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