Clase08(MTALA).pps

Máquinas de Turing

Autómatas Linealmente Acotados

Motivación

-¿Es posible diseñar un AP que reconozca el lenguaje L

₁

?

L

₁

= { a

n

b

n

c

n

/ n > 0 }

abc

aabbcc

aaabbbccc

…

No se pueden comparar las c´s,

ya que la pila quedo vacía

No existe estrategia para reconocer este tipo de lenguajes con un AP

a

a

…

1)

A

A

Z0

b

b

c

c

a

a

…

2)

_b

_b

_c

_c

Apilamos una A con cada a

Desapilamos una A con cada b

Posible estrategia

Es necesario agregar algo a los AP para incrementar

su poder computacional

1) Leer y reemplazar símbolos en la cinta de entrada

2) Agregar movimientos a la cabeza lectora (Izq., Der., o No moverse)

Estados de MT



Cantidad finita.



Un estado inicial.



Estados finales o de aceptación.

Dada una cadena x en la cinta de

entrada, si la MT lee toda la cadena y:



_{termina en}

_{estado final}

_{estado final}



cadena aceptada

cadena aceptada



termina en

estado no final

estado no final



cadena rechazada

cadena rechazada

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

mecanismo de control

cinta de entrada

(espacio infinito a izquierda y derecha, o sólo a derecha) contiene cadena a ser leída

cabeza lectora

(se mueve Derecha, Izquierda, No mueve)

indicador de estado

a

a

b

Máquinas de Turing

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

mecanismo de control

Varias cintas (cada una un espacio ilimitado)

Una cabeza lectora independiente para cada cinta

indicador de estado

a

a

b

b

c

c

cabeza lectora cinta de entrada

cabeza lectora cinta 1

cabeza lectora cinta k

Máquinas de Turing Multicinta

Uso de las cintas

L

₁

= { a

n

_b

n

_c

n

_{/ n > 0 }}

a

a

Marco inicio con X

Copio una A con cada a leída

hasta llegar a b y blanco

b

b

c

c

X

A

A

Retrocedo una A con cada b

leída. Si |A| = |b|



se lee c y X

a

a

b

b

c

c

X

A

A

Avanza una A con cada c

leída. Si |A| = |c|



se lee

blanco y blanco

a

a

b

b

c

c

Máquina de Turing

Formalmente, una MT reconocedora determinística se define como una 7-upla

MT= <E, A, C,



, e

₀

, B, F>



_{E es un conjunto finito de estados; E}

_

_



_{A es el alfabeto de entrada}





es la función de transición de estados



: E

x

C



E

x

C

x

{I, D, N} 1-cinta



: E

x

C

k



E

x

(C

x

{I, D, N})

k

k-cintas



e

₀

es el estado inicial; e

₀



E



F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F



E



_{C es el alfabeto de la cinta C = A}

_

_{B}

_

_Auxiliares

A



C

Auxiliares



A=



Transiciones de MT (1 cinta)

donde a, b, c,

Y



C;

e

_i

, e

_j



E



_

_{es la función de transición de estados}



_{: E}

_x

_C



_E

_x

_C

_x

_{I,D,N}

1)



(e

_i

,

a)

=

(e

_j

,Y,

D

)

a

e

_i

a b b c c

2)



(e

_i

,

a)

=

(e

_j

, Y,

I



3)



(e

_i

,

a)

=

(e

_j

,Y,

N



a

e

_j

Y b b c c

a

e

_i

a b b c c

a

e

_i

a b b c c

a

e

_j

Y b b c c

a

Relación de Transición formal





_{es la función de transición de estados}

x

₁

x

₂

… x

_k-1

e

_i

x

_k

x

_k+1

…. x

_n

|



x

₁

x

₂

… x

_k-1

Y e

_j

x

_k+1

…. x

_n

si (e

_i

, x

_k

) = (e

_j

,Y, D)

x

₁

x

₂

… x

_k-1

e

_i

x

_k

x

_k+1

…. x

_n

|



x

₁

x

₂

…

e

_j

x

_k-1

Y

x

_k+1

…. x

_n

si (e

_i

, x

_k

) = (e

_j

,Y, I)

x

₁

x

₂

… x

_k-1

e

_i

x

_k

x

_k+1

…. x

_n

|



x

₁

x

₂

… x

_k-1

e

_j

Y

x

_k+1

…. x

_n

si (e

_i

, x

_k

) = (e

_j

,Y, N)

donde x

₁

, …, x

_n

,

Y



C;

e

_i

, e

_j



E



: E

x

C



E

x

C

x

{I,D,N} (1 cinta)

Transiciones de MT (k-cintas)

donde a, b, c,

A



C;

e

_i

, e

_j



E





_{es la función de transición de estados}



_{: E}

_x

_C

k



E

_x

(C

_x

{I,D,N})

k



(e

_i

,

c

,

A)

=

(e

j

, (c,D), (A,I)

)

Ejemplo 2-cintas

En cada cinta: se lee la celda apuntada por la cabeza lectora,

se reemplaza el símbolo leído y se hace un movimiento

a a b b c c

e

_j

A A

a

e

_i

a b b c c

Máquinas de Turing Reconocedoras

Cadena aceptada por MT

Una cadena





A

*

es aceptada por MT = <E,

A

,

C,



e

0

, B, F> sí y sólo sí

e

₀



|



*



_



e

_f



_

Los lenguajes aceptados por las

Máquinas de Turing

Máquinas de Turing

se denominan

Lenguajes Estructurados por frases o Recursivos

Lenguajes Estructurados por frases o Recursivos

enumerables

enumerables

o de

Tipo 0

Tipo 0

.

Luego, el lenguaje aceptado por MT es:

L(MT) = {



/

e

₀



|



*



_

e

_f



_

y





A* y e

_f



F y



_





_





C

*

_}

|



MT empezando en e

₀

con la cabeza lectora

apuntando al primer símbolo de



, luego de varias

transiciones termina de leer toda la cadena



, y

llega a un estado e

_f



F

;

en la cinta pueden quedar

las cadenas



₁

,



₂



C

*

_{con la cabeza lectora}

apuntando al primer símbolo de



₂

Autómatas Linealmente Acotados (ALA)

Dado un lenguaje L, sensible al contexto, definido sobre un alfabeto A

y una cadena x arbitraria, determinar si x



L o x



L.

AUTOMATA

LINEALMENTE ACOTADO

Cadena x

SI

NO

Lenguaje Sensibles al Contexto

• Dos puntos de vista:



Como dispositivo

reconocedor

reconocedor

de la pertenencia de una

cadena a un lenguaje sensible al contexto.

Autómatas Linealmente Acotados (ALA)

Estados del ALA



Cantidad finita.



Un estado inicial.



Estados finales o de aceptación.

Dada una cadena x en la cinta de

entrada, si el ALA lee toda la cadena y:



termina en el

estado final

estado final



cadena aceptada

cadena aceptada



termina en el

estado no final

estado no final



cadena rechazada

cadena rechazada

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

mecanismo de control

cinta de entrada

(espacio acotado entre # y $) contiene cadena a ser leída

cabeza lectora

(se mueve Derecha, Izquierda, No mueve)

excepciones * si esta apuntando a # no puede mover Izq.

* si está apuntando a $ no puede mover

Der

indicador de estado

#

a

a

b

b

c

c

$

Autómatas Linealmente Acotados Multicinta

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

mecanismo de control

Varias cintas (cada una en espacio acotado entre # y $)

Una cabeza lectora independiente para cada cinta

indicador de estado

#

a

a

b

b

c

c

$

#

$

#

$

cabeza lectora cinta de entrada

cabeza lectora cinta 1

cabeza lectora cinta k

Autómata Linealmente Acotado

Formalmente, un ALA reconocedor determinístico se define como una 9-upla

ALA= <E, A, C,



, e

₀

, B, F,

#

,

$

> donde

#

,

$

inicio y fin de espacio



_{E es un conjunto finito de estados; E}

_

_



A es el alfabeto de entrada



_

_{es la función de transición de estados}



: E

x

C



E

x

C

x

{I,D,N} 1-cinta (*)



: E

x

C

k



E

x

(C

x

{I,D,N})

k

k-cintas (*)



e

₀

es el estado inicial; e

₀



E



_{F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F}

_

_E



_{C es el alfabeto de cinta. C=A}

_

_{{B, $, #}}

_

_Auxiliares

A



C

Auxiliares



A=





_{B es el blanco B}

_

_C

• En la práctica vamos a usar MT para reconocer

lenguajes Sensibles al Contexto (tipo 1). Sin

embargo, se debe aclarar que lo correcto es

diseñar un ALA para este tipo de lenguajes.

• La razón es que si modelaran con ALA se

tendría que calcular el espacio de cinta

necesario entre # y $ y no es un tema que se

estudia en esta materia.

Máquinas de Turing

• MT multi-cinta y MT 1-cinta

Son modelos equivalentes. Todo lo que se puede hacer

con un modelo de k-cintas también se puede diseñar

con un modelo de 1-cinta.

Reconocimiento de lenguajes

Estado

actual

C

1

C

2

C

1

C

2

Nuevo

estado

L = { a

n

_b

n

_c

2

n

_{/ n > 0 }}

e

₀

a

B

a

N

X

D

e

₁

e

₁

a

B

a

D

A

D

e

₁

b

B

b

N

B

I

e

₂

e

₂

b

A

b

D

A

I

e

₂

c

X

c

N

X

D

e

₃

e

₃

c

A

c

D

A

N

e

₄

e

₄

c

A

c

D

A

D

e

₃

B

B

B

N

B

N

e

₅

e

₅

-

-

-

-

-

-

-a

a

b

b

c

c

c

c

X

X

A

X

A

A

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₃

e

₄

e

₃

Estado actual

MT=<{e

₀

,e

₁

,e

₂

,e

₃

,e

₄

,e

₅

},{a, b, c},{X, A, B, a, b, c},



, e

₀

, B, {e

₅

}>

Estado

actual

C

1

C

2

C

1

C

2

Nuevo

estado

L = { wcw / w



{a,b}* }

e

₀

c

B

c

D

B

N

e

₄

a

B

a

N

X

D

e

₁

b

B

b

N

X

D

e

₁

e

₁

a

B

a

D

A

D

e

₁

b

B

b

D

V

D

e

₁

c

B

c

N

B

I

e

₂

c

V

c

N

V

I

e

₂

e

₂

c

A

c

N

A

I

e

₂

c

X

c

D

X

D

e

₃

a

b

c

a

b

X

e

₃

a

A

a

D

A

D

e

₃

b

V

b

D

V

D

e

₃

B

B

B

N

B

N

e

₅

e

₄

B

B

B

N

B

N

e

₅

e

-

-

-

-

-

-

-{c, abcab,bbcbb…..}

Copia a o b

hasta c

retrocede

A o V

hasta X

compara

igualdad

después de c hay blanco?

c

marca X

marca X

c

marca X

marca X

a

b

c

a

b

X

A

V

a

b

c

a

b

X

A

V

Máquina de Turing (determinística y no det.)





: E

x

C

k



E

x

(C

x

{I,D,N})

K

k-cintas

(determinística)





: E

x

C

k



P

_f

(E

x

(C

x

{I,D,N})

k

) k-cintas (no determinística)

Formalmente, una MT se define como una 7-upla

MT= <E, A, C,



, e

₀

, B, F>

P

_f

: subconjuntos

finitos

e

₁

(a, D) (X, D) (X, D)

Ejemplo no det



(e

₁

, a, X, X) =

e

₂

(A, N) (Y, D) (Y, D)

…

a, A, X, Y



C y e

₁

,e

₂



E

Existe equivalencia entre el modelo MT

determinístico y MT no determinístico



Estado

actual

C

1

C

2

C

1

C

2

Nuevo

estado

L = { ww / w



{a,b}* }

e

₀

B

B

B

N

B

N

e

₄

a

B

a

N

X

D

e

₁

b

B

b

N

X

D

e

₁

e

₁

a

B

a

D

A

D

e

₁

b

B

b

D

V

D

e

₁

a

B

a

N

B

I

e

₂

a

X

a

N

X

D

e

₃

b

B

b

N

B

I

e

₂

a

V

a

N

V

I

e

₂

a

b

a

b

X

e

₂

a

A

a

N

A

I

e

₂

b

X

b

N

X

D

e

₃

e

₃

a

A

a

D

A

D

e

₃

e

-

-

-

-

-

-

-{



, abab,bbbb, abaaba…..}

Copia a o b

retrocede

a o b

hasta X

compara

igualdad

B

marca X

marca X

a

b

a

b

X

A

V

a

b

a

b

X

A

V

a

b

a

b

X

A

V

b

V

b

D

V

D

e

₃

B

B

B

N

B

N

e

₄

No copia

mas

b

V

b

N

V

I

e

₂

L = { ww / w



{a,b}* }

{



, abab,bbbb, abaaba…..}

X

a

b

a

b

a

b

a

b

X

1

1

X

a

b

a

b

X

a

b

a

b

a

b

a

b

X

1

1

X

a

b

a

b

Comparar la 2da w en C

₃

y la 1er w en C

₄

C

₁

: la cadena de entrada ww

C

₂

: Calcular en unario longitud=|ww| / 2

C

₃

: Copiar la cadena ww

C

₄

: Copiar la cadena ww

Usar la longitud unaria de C

₂

para

posicionar al principio de la 2da w de C

₃

y al principio de la 1er w en C

₄

Máquinas de Turing: Cálculo de Funciones

Ejemplo:

Diseñar una MT que calcule el producto de dos números

naturales n, m mayores que 0, codificados en unario.

Inicialmente n y m se encuentran en la cinta de entrada

C

₁

, separados por un símbolo 0, en este orden.

El resultado n

_*

m queda en C

₂

.

1

1

0

1

1

1

Configuración inicial

C1

C2

1

1

0

1

1

1

X

1

1

1

1

1

Configuración final

C1

Estado

actual

C

1

C

2

C

1

C

2

Nuevo

estado

e

₀

1

B

1

N

X

D

e

₁

e

₁

1

B

Z

D

B

N

e

₂

0

B

0

N

B

N

e

₆

e

₂

1

B

1

D

B

N

e

₂

e

₆

-

-

-

-

-

-

-Marca un 1 de n con Z

Si marcó todo n con Z, termina

C

1

empieza con 1 y

marca C

₂

0

B

0

D

B

N

e

₃

e

₃

1

B

1

D

1

D

e

₄

e

₅

1

B

1

I

B

N

e

₅

0

B

0

I

B

N

e

₅

Z

B

Z

D

B

N

e

₁

e

₄

1

B

1

D

1

D

e

₄

B

B

B

I

B

N

e

₅

Avanza hasta fin de n

C

2

empieza con 1

empieza a copiar m en C

₂

Copia resto de m en C

₂

Retrocede C

₁

hasta Z

MT=<{e

₀

,e

₁

,e

₂

,e

₃

,e

₄

,e

₅

, e

₆

},{0, 1},{B, X, Z, 0, 1},



, e

₀

, B, {e

₆

}>