Magnitudes y su medida.

2. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA

¿Qué es y cómo se mide una magnitud? ¿Cómo se expresan e interpretan los resultados?

En el trabajo científico, la realización de medidas (temperaturas, tiempos, concentraciones, lon-gitudes, etc.) para obtener datos cuantitativos, tiene una gran importancia. Por ejemplo, sabemos que fenómenos caloríficos como la fusión o la dilatación eran conocidos desde la antigüedad, pero no fue hasta finales del siglo XVIII cuando fue posible comenzar un estudio científico sobre el calor, gracias a la invención de instrumentos como el termómetro. No es de extrañar, pues, que un científico como B. Thompson resaltara la importancia del proceso de medida, afirmando que:

A lo largo de este curso realizaremos algunos trabajos experimentales en los que tendréis ocasión de utilizar distintos aparatos con los que medir. Por ello, conviene que antes nos planteemos al-gunas preguntas relacionadas con el proceso de medida:

 ¿Qué es medir? ¿Es posible conocer el valor exacto de una medida?

 ¿Cómo podemos obtener información acerca de lo fiable que es un resultado?  ¿Cómo se expresa correctamente el resultado de una medida?

 ¿Qué técnicas se pueden utilizar para recoger los datos de las medidas y para interpretarlos?

1. MAGNITUD, UNIDAD Y VALOR

A.1.Con objeto de establecer en qué consiste el proceso de medida, proceded a medir, de alguna forma, la anchura de vuestra mesa de trabajo y, a continuación, indicad qué magnitud se ha medido, qué unidad de medida se ha utilizado y qué valor se ha obtenido.

Una magnitud se puede considerar, en principio, como algo que se puede medir. En la actividad propuesta la magnitud medida es una longitud. Además de la longitud existen otras muchas magnitudes como, por ejemplo: el peso, el volumen, la carga eléctrica, la fuerza, la concentra-ción de una disoluconcentra-ción, etc. Todas ellas se pueden medir. En cambio el dolor, el placer o el mie-do, no son (al menos por el momento) magnitudes porque, aunque se trata de sensaciones que una persona puede experimentar con mayor o menor intensidad, no existe forma de saber si, por ejemplo, un cierto dolor es doble o triple que otro.

Medir una magnitud consiste en comparar una determinada cantidad de esa magnitud (por ejem-plo, la longitud que tiene el ancho de la mesa) con otra cantidad, de esa misma magnitud, que se toma como unidad (por ejemplo, el centímetro). El número de veces que está contenida la canti-dad que tomamos como unicanti-dad, en la canticanti-dad que deseamos medir, constituye el valor de esa medida. En consecuencia, conviene tener en cuenta que:

"Solo cuando es posible medir y expresar de forma numérica aquello de lo que se habla, se puede decir que se sabe algo acerca de ello"

A.2.Construid una tabla de dos columnas (magnitudes, unidades) y distribuid en ella convenien-temente emparejados los siguientes términos: velocidad, metro, longitud, tiempo, superficie, grado centígrado, g/cm3, newton, m2, kilogramo, volumen, m/s, segundo, litro, masa, densidad, peso, amperio, temperatura.

2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

En septiembre de 1999 la NASA perdió una sonda espacial no tripulada que debía de haber colo-cado en órbita en el planeta Marte. Según los medios de comunicación, este desafortunado suce-so se debió a que, al realizar los cálculos, se mezclaron medidas realizadas en unidades diferen-tes (pulgadas y centímetros).

Para evitar confusiones como la anterior y facilitar la comprensión de los resultados de las medi-das así como su comparación, hace tiempo que los científicos llegaron a unos acuerdos interna-cionales sobre las unidades de medida a utilizar (con sus correspondientes múltiplos y divisores) para medir cada magnitud. De esta forma se elaboró el Sistema Internacional de Unidades

(S.I.), que es el que nosotros usaremos en la mayoría de los casos. (En ocasiones, manejaremos unidades que, aunque no pertenecen al sistema internacional, son muy conocidas, debido a que se utilizan mucho en la vida cotidiana, como el litro, el km/h, el gramo, etc.).

En la tabla siguiente se dan algunas magnitudes, su símbolo y su unidad internacional

Magnitud Símbolo internacional Unidad internacional

Longitud l metro (m)

Masa m kilogramo (kg)

Tiempo t segundo (s)

Superficie S metro cuadrado (m2)

Volumen V metro cúbico (m3)

Densidad  kg/m3

Aceleración a m/s2

Fuerza F newton (N)

Trabajo W julio (J)

Calor Q julio (J)

Temperatura T kelvin (K)

Intensidad de corriente eléctrica I amperio (A)

Resistencia eléctrica R ohmio ()

Frecuencia f hertzio (Hz)

Carga eléctrica q culombio (C)

Cantidad de sustancia n mol (mol)

Las magnitudes longitud, masa y tiempo se consideran magnitudes fundamentales porque no se han definido a partir de otras. En cambio, la superficie y el volumen se han definido a partir de la longitud, la velocidad a partir de longitud y tiempo, la densidad a partir de masa y volumen, etc., por eso se consideran magnitudes derivadas.

3. OTRAS UNIDADES DIFERENTES A LAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

A pesar de que conviene utilizar el Sistema Internacional siempre que sea posible, hay muchas situaciones en las que se utilizan múltiplos y submúltiplos.

El múltiplo o el submúltiplo se forman anteponiendo un prefijo a la unidad del Sistema Interna-cional. Por ejemplo centí-metro significa la centésima parte del metro y su símbolo es

cm

c

m

Conviene recordar los siguientes significados:

Prefijo Símbolo Significado

giga (mil millones) G 1000 000 000 = 109

mega (un millón) M 1 000 000 = 106

kilo (mil) k 1000 = 103

hecto (cien) h 100 = 102

deca (diez) da 10

deci (décima parte) d 1/10 = 0’1 = 10-1

centi (centésima parte) c 1/100 = 0’01 = 10-2

mili (milésima parte) m 1/1000 = 0’001 = 10-3

micro (millonésima parte)  1/1 000 000 = 0’000001 = 10-6

nano (una milésima parte de la millonésima parte)

n _{1/1000 000 000 = 0’000000001 = 10}-9

En el caso particular de la unidad de tiempo se suelen utilizar múltiplos que no se forman con un prefijo, sino con un nombre distinto. Así:

1 minuto = 1 min = 60 s; 1 hora = 1 h = 3600 s; 1 día = 86 400 s; etc.

De acuerdo con lo anterior, una frecuencia de, por ejemplo 1000 MHz, supone una frecuencia de 1000 millones de hertzios (Hz), es decir: de 1 gigahertzio = 1 GHz.

A.4.Expresad las siguientes cantidades en unidades internacionales, utilizando potencias de 10.

a) 85 km; b) 2’5 GHz; c) 250 MHz; d) 0’7 km; e) 26 hm; f) 690 dam; g) 125 años.

A.5.Expresad las siguientes cantidades en unidades internacionales, utilizando potencias de 10.

a) 85 mm; b) 7 cm; c) 3 mm; d) 250 g; e) 8 m; f) 0’005 g; g) 250 m_; h) 600 nm

A.6.Explicad qué unidad de longitud se suele utilizar para medir:

a) El diámetro de una pequeña moneda b) La anchura de la mesa de trabajo c) La longitud del aula

d) La distancia entre Valencia y Madrid

La respuesta a la actividad anterior permite comprender la necesidad de conocer cómo se puede pasar de unas unidades de medida a otras. No obstante, antes es conveniente que revisemos el significado de algunas de las unidades de medida más frecuentemente utilizadas.

A.7.Señalad algo concreto que aproximadamente pueda tener:

a) Una longitud de: 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km. b) Una superficie de: 1mm2, 1cm2, 1dm2, 1m2. c) Un volumen de: 1cm3, 1dm3 = 1_, 1 m3.

b) Una masa de: 1 g, 1 kg, 1 t ( t = tonelada = 1000 kg).

A.8.Proceded a medir aproximadamente (en la unidad que más convenga), lo siguiente:

a) El grosor y el diámetro de una moneda de 1euro; la anchura y longitud de la mesa de traba-jo; la longitud, anchura y altura del aula.

b) La superficie de la mesa de trabajo, la superficie del aula.

c) El volumen de un dado pequeño, el volumen de una caja de leche, el volumen del aula. d) La masa de una moneda de 1 euro, la masa de 1_ de agua.

La realización de las dos actividades anteriores permite familiarizarse con algunas unidades de medida que se usan habitualmente. Una cuestión importante es cómo podemos transformar el resultado de la medida de una cierta magnitud a otras unidades distintas (pero, por supuesto, de la misma magnitud) de las que viene expresado. Por ejemplo: ¿Cuántos milímetros de longitud mide el diámetro de una moneda de 1’5 cm de ancha? o bien ¿A cuantos m/s equivale una rapi-dez de 72 km/h? Saber hacer esto es fundamental cuando se quieren comparar datos de una magnitud dada, que están expresados en distintas unidades. Por ejemplo: ¿Qué rapidez es mayor, una de 40 m/s u otra de 108 km/h?

A continuación, estudiaremos cómo se hacen algunos cambios de unidades, pero antes conviene saber un par de cosas:

 Después de hacer una cambio de unidades hay que analizar el resultado para ver si es lógico o no. Por ejemplo: Si un estudiante calcula que 1 cm3 equivale a 1000 _, cuando analice este resultado ha de darse cuenta de que es absurdo, porque eso equivale a decir (aproximadamen-te) que dentro de un dado de jugar al parchís cabrían 1000 litros de agua.

km hm

km2

hm2 km

3 hm3

kg

hg damdag

m

dam2

m2

dam3

m3 _g

dm dm2 dm3 dg

cmcm2 cm3 cg

mmmm2 mm3 mg

4. CAMBIOS DE UNIDADES

Para cambiar unidades de longitud, superficie, volumen y masa, es útil recordar los siguientes esquemas (en los que se han resaltado en negrilla las unidades del sistema internacional):

En la escalera de la longitud, cada escalón es 10 veces mayor que el escalón inmediato inferior. En la escalera de la superficie, cada escalón es 100 veces (102) el escalón inmediato inferior. En la escalera del volumen, cada escalón es 1000 veces (103) el escalón inmediato inferior. En la escalera de la masa, cada escalón es 10 veces el escalón inmediato inferior.

La razón del “tamaño” de los escalones anteriores radica en el significado (ya visto antes) de los prefijos como potencias de 10. Así, por ejemplo:

1 km equivale a 103 m, porque 1 kilo = 1 k = 1000 = 103.

1 cm equivale a (1/100) m = 0’01m = 10-2 m, porque 1 centi = 1 c = 1/100 = 0’01 = 10-2 1 hm2 equivale a 10 000 m2 = 104 m2, porque 1 (hecto)2 = h2 es (100)2 = 10 000 = 104 1 hm3 equivale a 1 000 000 m3 = 106 m3, porque h3 es (100)3 = 1 000 000 = 106

1cm3 equivale a (1/1 000 000) m3 = 0’000 001 m3 = 10-6 m3, porque c3 = (0’01)3 = (10-2)3 = 10-6

A.9.Calculad: a) A cuántos m equivale una longitud de 180 cm. b) Cuántos kg son 2’5 g. c) Cuántos hm3 son 1000 _ . d) Cuántos mm hay en 5 km.

a) Como cada cm son 10-2 m, bastará multiplicar los cm que nos dan (180) por 10-2, con lo que:

l = 180·10-2 m = 18·10-1 m = 1’8 m

Al mismo resultado se puede llegar si dividimos los cm que tenemos (180) entre los cm que tiene 1 m (100), de esa forma sabremos cuántos grupos de 100 cm podemos formar, es decir, cuántos metros hay en los 180 cm.

l = 180/100 = 1’8 m

b)Como cada g son 10-3 kg, bastará multiplicar los g que nos dan (2’5) por 10-3, con lo que:

m = 2’5·10-3 kg

Al mismo resultado se llega dividiendo los g que tenemos (2’5) entre los g que tiene 1 kg (1000), así sabremos cuántos grupos de 1000 g podemos formar, es decir, cuántos kg hay en 2’5 g.

c) Como cada litro (dm3) son 10-9 hm3, bastará multiplicar los litros que nos dan (103) por 10-9, con lo que:

V = 103·10-9 hm3 = 10-6 hm3

Al mismo resultado se puede llegar si dividimos los litros que tenemos (103) entre los litros que tiene 1 hm3 (109) de esa forma sabremos cuántos grupos de 109 _ podemos formar, es decir, cuántos hm3 hay en los 1000 _.

V = 103/109 = 10-6 hm3

d) Como cada km son 106 mm, bastará multiplicar los km que nos dan (5) por 106, con lo que:

l = 5·106 mm

A.10.Rellenad las columnas de la derecha, realizando los cambios de unidades pertinentes

A.11.Calculad:

a) A cuántos segundos equivalen 1’5 horas b) A cuántas horas equivale 1 s

c) Cuántos segundos hay en un día.

Hasta ahora hemos venido manejando, principalmente, magnitudes fundamentales pero, natu-ralmente, también se suelen cambiar las unidades a muchas magnitudes derivadas, como vamos a ver a continuación:

A.12.Un vehículo se mueve con una rapidez de 72 km/h. ¿Cuál es su rapidez expresada en m/s?

Para realizar lo que se demanda en el enunciado basta con escribir la rapidez que se nos da y cambiar cada una de las unidades correspondientes:

v = 72 km  72



h

1 km

1 h

 72



1000 m

3600 s

72000 m 

3600 s

20 m s

También suele suceder que se nos plantee el problema inverso y tengamos que cambiar de unas unidades menores a otras mayores. El procedimiento es el mismo que anteriormente, pero recordando que para pasar de una unidad menor a otra

50 km m

0’5 m2 cm2

1 _ cm3

500 g kg

8 mm m

1 km2 _m2

250 cm3 

60 kg g

20 m km

48 dm2 _m2

1 hm3 

A.13.Una moto circula a 50 m/s ¿cuál es su rapidez en km/h?

 1 

  km

v = 50 m  50 1m  50 1000

 50  3600 km



180 km

s 1s _ 1 _

h 1000 h h

 3600 

A.14.Realizad los cambios de unidades necesarios para completar la siguiente tabla

50 km/h m/s 30 m/s km/h 2km/min km/h

13’6 g/cm3 g/_ 1600 g/_ g/cm3 6 g/cm3 kg/m3

A.15.A continuación se reproducen unos cambios de unidades. En todos ellos hay errores. Iden-tificadlos y, cuando sea posible, corregidlos:

a) 250 cm3 = 250 000 _ b) 4 hm2 = 400 m c) 0’05 cm = 5 m d) 20 m/s = 1’2 km/h e) 20 _ = 20 kg

Ahora que ya conocemos algunas magnitudes importantes, así como sus unidades correspondien-tes, podemos plantearnos cómo se mide una magnitud y cómo expresar el resultado, pero para eso conviene clarificar antes si tiene sentido o no hablar del valor exacto cuando se mide una magnitud.

5. ¿ES POSIBLE CONOCER EL VALOR EXACTO DE UNA MAGNITUD?

Cuando queremos conocer, por ejemplo, la longitud de una barra metálica, si repetimos la medi-da varias veces, podemos encontrarnos con dos situaciones: que todos los valores obtenidos sean los mismos o que no lo sean.

A.16.Con una cinta métrica o reglas, proceded a medir la anchura de una hoja DIN A4.

Cuan-do ya toCuan-dos hayáis realizaCuan-do la medida, el profesor escribirá en la pizarra los resultaCuan-dos obteni-dos (para usarlos después).

Al realizar la actividad anterior lo habitual es que todos los resultados no sean coincidentes sino que hayan valores distintos. No obstante, podría darse el caso (raro) de que todos los resultados fueran coincidentes. La actividad propuesta puede realizarse rápidamente si el profesor se asegu-ra previamente de que todos los alumnos disponen de este tipo de hojas de tamaño estándar.

A.17.Supongamos que la anchura obtenida en todos los casos hubiera sido de 210 mm. ¿Quiere

esto decir que la hoja mide exactamente 210 mm?

211 mm, pero no de que mide exactamente 210 mm porque nadie puede garantizar que el borde de la hoja coincide exactamente con la mitad justo de la rayita correspondiente al milímetro 210. Puede ser que le falte algo o puede ser que le sobre algo, pero no lo podemos ver con exac-titud porque la cinta métrica manejada (o las reglas) solo aprecia hasta los mm. Esta misma si-tuación se repetiría con un instrumento que apreciara décimas de mm, centésimas de mm, etc. Así pues:

Para escribir el resultado escribiríamos: l = 210 mm  1mm o bien: l = 21’0 cm  0’1 cm o en unidad internacional: l = 0’210 m  0’001 m. Con ello queremos indicar que la medida es precisa hasta el milímetro, pero que más allá no sabemos qué es lo que sigue (cuántas décimas de milí-metro, cuántas centésimas de milímilí-metro, etc.). No obstante estamos bastante seguros de que la anchura de la hoja está comprendida entre los 209 mm y los 211 mm.

A.18. Un alumno se sube a una balanza (calibrada en kg) y, tras mirar bien lo que marca, nos

dice que su masa es de 72 kg. Expresa el valor representativo acompañado de su imprecisión.

Si alguien nos dice que su masa es de 72 kg y que la ha obtenido con una balanza cuya sensibili-dad es de 1 kg, nosotros no sabemos si a la aguja de la balanza le faltaba un poco para llegar a la división nº 72 o bien se pasaba ligeramente de la misma. De lo que podemos estar bastante segu-ros es de que su masa está comprendida entre 71 kg y 73 kg. Por eso escribimos: 72 kg  1 kg

A.19.Unos alumnos miden el tiempo que tarda una bola en bajar rodando por un plano

inclina-do, pero sus cronómetros sólo aprecian hasta segundos y, a pesar de repetir la medida muchas veces, siempre obtienen un tiempo de 3 s. Expresad el resultado de la medida.

En este caso el resultado será: t = 3 s  1 s

Si los valores obtenidos el realizar varias veces la misma medida (por ejemplo, la longitud de una barra) no son iguales, deberemos pensar que hay circunstancias externas que están afectando el resultado de la medida (quizás ha influido una variación en la temperatura, o un observador ha medido mal, etc.). Con esto, no debemos interpretar que cualquier valor para la longitud de la barra sería igualmente probable. Por el contrario, podemos comprobar que, en muchos casos, la mayoría de los valores obtenidos se agrupan en torno a un valor central y que aquellos valores experimentales que se encuentran más lejos de ese valor central, son los que menos veces apare-cen (si alguno se aleja demasiado hay que descartarlo). Cuando el proceso de medida se ha reali-zado bien y se dispone de muchos valores, ese valor central coincide con el valor que más veces se repite (moda) y también con el valor medio o media aritmética de todos los valores de la serie de medidas realizadas. En lo que sigue designaremos al valor medio de una serie como el valor representativo de la medida realizada.

Así pues: no tiene sentido hablar del valor “exacto” o “verdadero” de una magnitud sino más bien del valor representativo.

A.20. Calculad el valor representativo de la serie de valores obtenidos al medir la anchura de una hoja DIN A4 (actividad A.16).

En la actividad anterior es posible que el valor más representativo haya salido con muchas cifras decimales, por lo que se plantea el problema de determinar con cuántas cifras decimales se debe expresar el resultado de una medida.

6. NÚMERO DE CIFRAS DECIMALES CON LAS QUE EXPRESAR UN RESULTADO

A.21. Al medir la longitud de una mesa con una cinta de sastre (que aprecia sólo hasta los

centímetros), un alumno ha escrito el siguiente resultado: 39’8 cm ¿Qué ha hecho mal?

Acabamos de ver que, cuando se procede a medir una magnitud, hemos de limitarnos siempre a lo que aprecie el aparato de medida utilizado (sensibilidad) y no podemos hacer estimaciones "a ojo", por mucho que nos fiemos de nuestros sentidos. Si el alumno viese que el borde de la mesa casi llega a la división número 40 de la cinta, no debe escribir 39’8 cm sino 40 cm. Análogamen-te ocurriría si el borde de la mesa sobrepasara sólo ligeramenAnálogamen-te a la división número 39 de la cinta (sin llegar a la mitad). En ese caso tampoco podría escribir, por ejemplo: 39’1 cm sino sim-plemente 39 cm.

Otra cuestión será la imprecisión del resultado. Si realizamos una sola medida (o si todas son coincidentes) sabemos que la imprecisión absoluta es del orden del centímetro y escribiremos el resultado (por ejemplo para una longitud de mesa que sobrepasara ligeramente los 39 cm ) como:

Longitud de la mesa: l = 39 cm  1 cm o, en unidades internacionales: l = 0’39 m  0,01 m

Ahora bien, ¿qué ocurre en aquellos casos en los que se mide varias veces una misma magnitud y los datos obtenidos no son coincidentes? ¿cómo se expresa entonces el valor representativo? ¿y la imprecisión absoluta? En lo que sigue del capítulo responderemos a estas cuestiones.

A.22. Un equipo de tres estudiantes ha medido el tiempo que empleaba una bola de acero en

bajar por un plano inclinado. El cronómetro que utilizaron apreciaba centésimas de segundo. Los resultados obtenidos fueron: 2’22 s; 2’25 s; 2’27 s. ¿Cómo podemos obtener el valor repre-sentativo del tiempo de bajada empleado por la bola?1

Una posibilidad es obtener el valor medio de la serie, para tratar de compensar los errores por exceso (aquellos que han parado el cronómetro un poco después de que la bola llegue al final del plano) con los errores por defecto (los que lo han parado un poco antes), ambos igualmente pro-bables.

tm = 2'22 _2'27 2'25 

3

= 2’246666667 s

Inmediatamente surge la cuestión de decidir con cuántas cifras decimales hemos de expresar el resultado anterior

La última cifra decimal del valor medio ha de ser, lógicamente, del mismo orden que marque la sensibilidad del aparato de medida utilizado.

Cuando el valor medio calculado a partir de una serie de medidas nos sale con más cifras deci-males de las que es capaz de apreciar el aparato de medida, se hace necesario "redondear", por lo que nos detendremos a continuación para ver cómo se redondea.

7. CRITERIOS PARA REDONDEAR EL VALOR MEDIO DE UNA SERIE DE MEDIDAS

Los criterios a seguir se conocen como "regla del cinco" y son los siguientes:

a)Una vez conocida la sensibilidad del aparato de medida utilizado, la última cifra decimal con que escribiremos el resultado final (valor medio) deberá ser del mismo orden que la sensibilidad.

b) Si el valor medio obtenido tiene más cifras decimales, nos fijaremos en la de orden (menor) que sigue a la última posible (determinada por la sensibilidad del aparato). Por ejemplo, si el aparato aprecia centésimas, nos fijaremos en la cifra del valor medio correspondiente a las milé-simas, tal y como se expone en el ejemplo siguiente:

Sensibilidad del aparato: 0’01 valor medio: 2’28461 nos fijamos en el 4 (milésimas)

c)Si dicha cifra es inferior a 5 se desprecia ella y todas las que le siguen.

Como en el ejemplo anterior, 4 es menor que 5, escribiremos como valor medio: 2’28

d)Si la cifra fuese 5 o mayor de 5, se aumenta en una unidad la inmediata anterior

Es decir, si el valor medio hubiera sido 2'28561 o, por ejemplo, 2'28761 escribiríamos 2'29

A.23. Un estudiante ha utilizado una cinta métrica calibrada en milímetros para medir la longitud de una barra, repitiendo la medida varias veces. El valor medio obtenido ha sido: 1’5629 m. Como sabe que el orden decimal del valor medio ha de ser igual que lo que aprecie el aparato, ha escrito como longitud de la barra 1’562 m ¿Qué ha hecho mal?

8. IMPRECISIÓN ABSOLUTA DE UNA SERIE DE MEDIDAS

Hemos visto que, cuando sólo se realiza una medida directa o bien se realizan varias, pero todos los valores obtenidos coinciden, tomaremos el valor obtenido como el más representativo y la imprecisión absoluta coincidirá con la sensibilidad del aparato

A.24.¿Cómo deberemos proceder para determinar la imprecisión absoluta que afectará al valor

medio de una serie de valores no todos coincidentes?

1’732 m 1’719 m 1’730 m 1’738 m 1’740 m 1’735 m 1’735 m 1’736 m 1’734 m

Como norma general expresaremos siempre la imprecisión absoluta con una sola cifra significa-tiva (es decir, distinta de 0), utilizando, si es necesario, la regla del 5 para redondear.

A.25. En una actividad anterior (A.22), se planteó la medida del tiempo de bajada de una bola por un plano inclinado mediante un cronómetro que apreciaba hasta centésimas de segundo. Los valores obtenidos habían sido 2’22 s; 2’25 s; y 2’27 s, y el valor medio resultó ser 2’246666667 s. Expresad dicho valor medio con el número adecuado de cifras decimales y ob-tened el valor correspondiente de la imprecisión absoluta.

Como el cronómetro aprecia centésimas de segundo, el valor medio no podrá tener más de dos cifras decimales. Dado que la tercera es mayor de 5 (es un 6), aumentaremos en una unidad la inmediata anterior, con lo que nos quedará un tiempo medio de 2’25 s como valor más represen-tativo de la serie de medidas realizada.

Las desviaciones (en valor absoluto) serán:

2’25 – 2’22 = 0’03 s; 2’25 – 2’25 = 0 s; 2’27 – 2’25 = 0’02 s

De acuerdo con lo anterior la desviación media será: 0'03 _0'02 0 

3

= 0’016666666 s

Siguiendo con la norma general de expresar la imprecisión con sólo una cifra distinta de 0, re-dondearemos el valor anterior a 0’02 s, y como 0’02 s es mayor que la sensibilidad del cronóme-tro (0’01 s), tomaremos 0’02 s como la imprecisión absoluta de la serie de medidas realizadas y expresaremos el resultado como:

tm = 2’25 s  0’02 s

El resultado anterior se interpreta diciendo que es bastante seguro que el tiempo empleado por la bola en descender por el plano esté comprendido entre 2’23 s y 2’27 s

A.26. Teniendo en cuenta que, en todos los resultados siguientes, la imprecisión está correcta-mente calculada (y es superior a la sensibilidad del instrumento de medida utilizado en cada caso), corregid lo que estiméis necesario.

a) (16'347  0'1) m; b) (8'4  0'08) s; c) (729  0'5) N; d) (0'9  1) g

A.27. Al medir la altura de un alumno por parte de distintos

compa-ñeros, utilizando una cinta métrica que apreciaba hasta los mm, se obtuvieron los siguientes valores (todos ellos expresados en m): 1'732, 1'719, 1'730, 1'738, 1'740, 1'735, 1'735, 1'736, 1'734. Escribid correctamente la altura de dicho alumno.

Rdo. h = 1’733 m  0’004 m

9. NÚMERO DE VECES QUE CONVIENE REPETIR UNA MISMA MEDIDA

Sin embargo cuando hay valores dispersos, como norma general diremos que, cuanto más dis-persos sean dichos valores, mayor tendrá que ser el número de veces que se repita la medida an-tes de obtener el valor medio. Existen procedimientos para determinar el número de medidas necesario en cada caso (que se estudiarán en cursos superiores). Aquí, si hay dispersión, nos li-mitaremos a repetir tres veces (como mínimo) cada medida, siempre y cuando los valores obte-nidos no sean muy diferentes.

Hasta este momento del curso hemos hecho ya una introducción elemental a la metodología científica y nos hemos detenido en estudiar cómo se miden las magnitudes, ya que un aspecto esencial del trabajo científico es precisamente la realización de experimentos para contrastar las hipótesis y, en esas experiencias, es necesario realizar medidas de diversas magnitudes.

No obstante, una vez se han realizado las medidas y disponemos de los resultados, es necesario analizarlos con el fin de comprobar si confirman o no las hipótesis realizadas. Una de las formas más habituales que utilizan los científicos para analizar resultados es la construcción e interpre-tación de gráficas.

10. CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

A.28. Dadas las siguientes relaciones entre magnitudes distintas: 1ª) A = 3·B; 2ª) C = 2·B2 3ª) D·E = 12. Se pide:

a) Interpretadlas físicamente de forma cualitativa, explicando qué le ocurre al valor de una magnitud cuando aumenta o disminuye el valor de la otra.

b) Proceded, siguiendo las indicaciones del profesor, a construir a partir de ellas las tablas y gráficas correspondientes.

La actividad anterior debe haber servido para que os familiaricéis con algunas de las relaciones más básicas entre distintas magnitudes, que al representarlas en unos ejes de coordenadas dan lugar a una línea recta (relación lineal), a una parábola (relación exponencial) o a una hipérbola. Para la construcción de gráficas seguid los criterios que se dan al respecto al final del tema.

11. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

Para realizar una primera aproximación al proceso de análisis de los resultados partiremos de una pequeña investigación como la que se expone a continuación.

Nos proponemos investigar qué relación existe entre el peso F de un cable y su longitud L.

El peso F del cable dependerá de: La longitud L, el grosor S y el tipo de material de que esté hecho. Si queremos investigar cómo varía el peso del cable con su longitud, hemos de mantener constantes los otros factores y utilizar siempre cables del mismo material y grosor. Esto se llama:

control de variables.

A.29. En las condiciones anteriores ¿qué relación cabe esperar entre F y L?

Peso de un cable en función de su longitud

F (N)

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5

L (m)

la relación matemática que las ligaría sería: F/L = k donde k sería una constante (siempre el mismo número). A todo esto se le llama hipótesis.

Así, por ejemplo, si k = 3 N/m y L = 6 m, F ha de valer 18 N. Si ahora duplicamos la longitud (L = 12 m), para que el cociente siga valiendo 3 N/m el peso se habrá elevado a 36 N (que es justo el doble de 18).

La expresión anterior también se puede escribir como: F = k · L

A.30.Con objeto de contrastar la hipótesis anterior, unos estudiantes han procedido a determi-nar la fuerza peso y la longitud de distintos trozos de cable (todos ellos hechos del mismo mate-rial y con el mismo grosor) y han recogido los datos en la siguiente tabla:

(L  0,01) m 0’40 1’21 2’05 2’81 3’50 4’00

(F  1) N 25 79 125 182 227 260

Analizad los resultados de la tabla anterior y decidir si confirman, o no, la hipótesis

En principio podemos pensar en dividir cada valor de F entre la longitud L correspondiente y ver si siempre sale lo mismo o no. Si lo hacemos así obtenemos:

25/0’40 = 62’5; 79/1’21 = 65’3; 125/2’05 = 60’1; 182/2’81 = 64’8; 227/3’50 = 64’9; 260/4’00 = 65’0

Los resultados son bastante parecidos (lo que confirma la hipótesis), aunque no iguales. Ello se debe a las imprecisiones que inevitablemente afectan a cualquier medida experimental.

Una forma más correcta de analizar los resultados es la representación gráfica de los mismos. Para ello se coloca en el eje de ordenadas la variable dependiente (en este caso F) y en el de ab-cisas la variable independiente (en este caso L). Al representar gráficamente los datos experi-mentales de la tabla, deberíais haber obtenido una gráfica como la siguiente:

Como vemos, se obtiene una línea recta que pasa por el origen. La gráfica permite visualizar rápidamente la relación que existe entre las dos variables. Siempre que salga una línea recta con una cierta pendiente, la relación es de proporcionalidad directa. En efecto, si analizamos la línea vemos fácilmente que, a medida que aumenta la longitud L lo va haciendo también el peso F, de forma que, a un mismo aumento de L, siempre le corresponde un mismo aumento de F.

La ecuación de la línea recta anterior es: F = k · L por lo que podemos concluir que los resulta-dos obteniresulta-dos están de acuerdo con la hipótesis de partida.

De la propia gráfica, si nos fijamos en cualquier punto de la recta, obtenemos fácilmente que k = 65 N/m y por tanto que F = 65·L. Esta relación matemática permite conocer el peso de cual-quier trozo de cable sin necesidad de medirlo:

A.31.¿Qué pesaría un trozo del cable anterior que tenga 7’5 m de longitud?

Bastará aplicar la ecuación sustituyendo L por 7’5 para obtener: F = 65·7’5 = 487’5 N

A.32.¿Qué longitud del cable anterior tendrá un peso de 1170 N? Rdo. 18 m

A.33.Los científicos afirman que para que no se produzcan cambios climáticos irreversibles las emisiones de CO2 deberían reducirse hasta que en 2050 sean la mitad de lo que emitíamos en

2010. En la tabla siguiente se dan algunos datos de emisiones globales de este gas (por el uso de combustibles fósiles) a nivel mundial en gigatoneladas. Construid una gráfica apropiada y ar-gumentad si, de seguir la tendencia, podrá conseguirse ese objetivo.

Año 1971 1990 1997 2001 2005 2007 2010 2011 2012

CO2 (Gt) 14'8 20'9 22'5 24'7 26'3 29'0 30'6

RECAPITULACIÓN

En este capítulo, dedicado al proceso de medida, hemos comenzado por clarificar los conceptos de magnitud, unidad y valor. A continuación, hemos estudiado el sistema internacional de unida-des.

En este texto se utilizan, fundamentalmente, unidades del sistema internacional pero, dado que también existen y se usan otras unidades, nos hemos detenido en practicar los cambios de unas unidades a otras (algo necesario cuando, por ejemplo, queremos comparar resultados expresados en distintas unidades).

En el capítulo se aborda también el problema que supone pensar que existen medidas exactas, intentando mostrar que no es posible conocer el valor exacto de, por ejemplo, la longitud de una mesa, la temperatura de un objeto o, cualquier otra medida que hagamos. Más concretamente: que no tiene sentido hablar de valores exactos sino más bien de valores representativos y de la imprecisión con que expresamos el valor de una medida. Un aspecto importante es el número de cifras con que damos el resultado de una medida y los criterios sobre el número de cifras decima-les con que expresarlo.

ANEXO: NORMAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

Cuando se trata de realizar una representación gráfica para interpretar la posible relación existen-te entre dos magnitudes físicas, exisexisten-ten una serie de normas que conviene existen-tener en cuenta. A con-tinuación veremos algunas de ellas:

 Utilizar papel milimetrado (o, en su defecto, cuadriculado).

 La gráfica ha de llevar un título lo suficientemente claro en la parte superior y, sobre ambos ejes y en los extremos de los mismos, se ha de indicar la magnitud representada, acompañada de la unidad utilizada para medirla.

 La variable independiente ha de ir en el eje de abcisas y la dependiente en ordenadas.

 Las escalas sobre ambos ejes han de ser fácilmente subdivisibles para permitir así una rápida y sencilla lectura. Así p.e. cada 7 cuadritos una unidad haría realmente difícil la ubicación de muchos valores. Es mejor que el número de cuadritos o milímetros que abarque cada unidad de la escala, sean 1, 2, 5, 10, 20, 50, etc., según convenga.

 Por supuesto, una vez fijada la escala, las unidades en un eje han de ser iguales entre sí (no vale que en el mismo eje una unidad abarque 5 milímetros y la siguiente 10).

 Las escalas utilizadas en cada eje no tienen que ser necesariamente iguales, pero es preciso tener cuidado y evitar utilizar escalas inadecuadas que hagan que la gráfica nos salga descen-trada, p.e. demasiado “pegada” a uno de los ejes. Así, si los valores de una de las magnitudes son muy pequeños, podemos tomar la escala del eje en el que se representan de modo que, por ejemplo, cada 20 cuadraditos equivalgan a una unidad. Por el contrario, si hemos de re-presentar valores muy grandes, podemos hacer que, por ejemplo, cada 10 cuadraditos equi-valgan a 1000 unidades.

 Los valores experimentales no se escriben sobre los ejes, excepto los que casualmente coin-ciden con las divisiones de las escalas.

 En cada uno de los ejes se indican valores enteros correspondientes a cada una de las escalas y tan solo los necesarios para facilitar una lectura cómoda y rápida. Dichos valores han de quedar así uniformemente espaciados y sin amontonarse demasiado (p.e. en lugar de 1,2,3,4,5, ..., se puede escribir 2, 4, 6 ...).

 Las escalas a utilizar han de proyectarse teniendo en cuenta (además de que se puedan subdi-vidir fácilmente), el intervalo de valores de que se dispone, al cual han de abarcar totalmente (aunque para ello, a veces, no se ponga el cero de la escala en el origen de coordenadas). Por otra parte dicha escala ha de ser la mayor posible en relación al tamaño que deba tener la gráfica, de forma que no se nos queden demasiados ejes "sobrantes".

 Es mejor realizar primero la gráfica a lápiz y sin apretar. Las líneas han de ser "finas" y "con-tinuas", nunca quebradas, promediando por los puntos experimentales obtenidos, sin que necesariamente tengan que pasar por todos ellos y sin que queden los posibles trazos que sue-len dibujarse para situar los puntos.

 Conocida la relación entre las dos magnitudes, dicha relación se enunciará en forma de ecua-ción en la parte superior de la gráfica.

2. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA. ACTIVIDADES DE REFUERZO

1. Indicad cinco magnitudes fundamentales del Sistema Internacional (SI) y cinco derivadas.

2.Escribid las siguientes cantidades en el SI de unidades:

27 cm; 31 mm; 2'4 hm; 4'16 g; 4 Gs; 7'3 Mm; 6'5 dg; 9 ns; 4'6 dam.

3.¿Cuál de estas cantidades es mayor?: a) 12 500 cm2 _{o 2m}2_{; b) 3 hm}3 _{o 6105 m}3_{; c) 2h} o 7150 s.

4.Expresad en el SI de unidades: a) 144 km/h; b) 21'4 g/dm2_{; c) 32 g/cm}3_{; d) 289 cm/s.}

5.Ordenad de mayor a menor las densidades siguientes: a) 15'4 g/cm3 b) 9600 kg/m3 c) 10 g/_

6.Redondead a las centésimas las siguientes cantidades:

a) 24'31742 g ; b) 0'2586 m; c) 3174'20009 s; d) 0’299143 _

7. Realizad las siguientes operaciones, dando la respuesta con el número correcto de cifras sig- nificativas:

a) 57'441 kg + 3'22 kg b) 6'17 dm - 4'1 cm

8.Para medir la masa de un cilindro se utiliza una balanza que aprecia cg, obteniéndose las me- didas siguientes expresadas en gramos: m1 = 115'43, m2 = 115'41, m3 = l 15'44, m4 = 115'40. Expresad correctamente la masa del cilindro.

9. Se ha medido la rapidez (v) de una motocicleta a intervalos de dos segundos, recogiendo los datos obtenidos en la siguiente tabla:

t (s) 0 2 4 6 8 10

v (m/s) 0 4’9 9'7 14'6 19’4 24'5

a) Representad gráficamente v-t. b) ¿Qué rapidez llevará a los 14 s si no cambia de movimiento?

segundo se reco- ge en la siguiente tabla:

t (s) 0 1 2 3 4 5

e (m) 0 3'0 12'1 26'8 47'9 74'0

a) Representad gráficamente la posición (e) frente al tiempo (t).