1 NIVEL : BASICA SECUNDARIA MODALIDADA VIRTUAL GUIA # 2.
GRADO: 10º DOCENTE ESP. LISIS BONETT ARRIETA AREA: MATEMATICAS
CORREO ELECTRONICO: [email protected] TELEFONO DE CONTACTO: 324 290 3687
FECHA LIMITE DE ENVIO POR LOS ENTUDIANTES: 27 DE MARZO 2021
EJES TEMATICOS: - TEOREMA DE PITAGORAS Y RAZONES TRIGONOMETRICAS
DESEMPEÑOS: Soluciona un triángulo rectángulo a través del teorema de Pitágoras. Definir el concepto de razones trigonométricas y sus aplicaciones a la solución de triángulos rectángulos.
EVALUACIÓN: En nuestro SIEE aplicamos los tres tipos de evaluación: AUTO-CO Y HETEROEVALUACIÓN. Debido a que la guía se va a desarrollar en la modalidad virtual, sólo aplicaremos la auto evaluación, y la hetero-evaluación donde el docente valorará el trabajo realizado por el estudiante y procederá a hacer la retroalimentación de los contenidos manteniendo una interacción con el estudiante vía e-mail : [email protected] o en la plataforma SISMAC Y TAMBIEN PUEDES INGRESAR A LA PLATAFORMA SISMAC PARA VER Y ENVIAR TUS GUIAS CON TU USUARIO Y CONTRASEÑA
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PITAGORAS:
Pitágoras es uno de los personajes más conocidos de la historia. Fue un matemático y filósofo griego, que vivió entre los años 580 A.C y 495 a.C. Hizo grandes aportaciones en numerosos campos como la astronomía y la música además de, por supuesto, la filosofía y las matemáticas. Nació en la Isla de Samos, aunque durante su infancia vivió en diversos lugares porque su padre era mercader. Tuvo una buena educación y aprendió a tocar la lira. Aprendió de varios maestros influyentes, como Tales. En el año 535 A.C viajó a Egipto, donde se acercó a creencias religiosas que le llevaron a fundar una sociedad secreta en Italia. También fue en Egipto donde Pitágoras se acercó a la geometría, lo que le valió para formular el conocido Teorema de Pitágoras para calcular los lados de un triángulo rectángulo. Son muchos los expertos que consideran que Pitágoras fue el primer matemático más completo de la historia. Son muchos los misterios que rodean su vida, e incluso había quienes le consideraban un loco que escuchaba voces. De lo que no hay duda es que fue el primero en establecer una relación entre las matemáticas y la música. En el ámbito de la música, la aportación más importancia que hizo Pitágoras fue la formulación de las leyes de la armonía. Además, logró establecer intervalos proporcionales y la relación de disonancia o consonancia, creando así la escala musical.
TEOREMA DE PITAGORAS: Este teorema establece que si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa
2 Los catetos corresponden a los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa al lado de mayor longitud que siempre es opuesto al ángulo recto. Teniendo en cuenta los triángulos de la figura, simbólicamente el teorema de Pitágoras se denota así :
Este teorema se aplica únicamente a los triángulos rectángulos y nos permite encontrar uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos.
EJEMPLO: en el siguiente triangulo rectángulo hallar el valor de “c” si a= 3 y b= 4
Solución: Se trata de hallar el valor de la hipotenusa del triángulo por lo tanto aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: 𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 𝐜𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 𝐜𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 𝐜𝟐 = 25 √𝐜𝟐 = √𝟐𝟓 C = 5
EJEMPLO: determina el valor de la hipotenusa c si a = 5 y b= 12
𝐜𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 𝐜𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒 𝐜𝟐 = 𝟏𝟔𝟗 √𝐜𝟐 = √𝟏𝟔𝟗
3 EJEMPLO: determina la longitud del lado a.
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟕𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟔𝟐, 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ò𝒏 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒂 𝟕𝟐 − 𝟔𝟐 = 𝒂𝟐, 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟔𝟐 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒔𝒂 𝒂𝒍 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 − 𝟒𝟗 − 𝟑𝟔 = 𝒂𝟐 13 = 𝑎2 √𝟏𝟑 = √𝒂𝟐 3,6 = a
EJEMPLO: determina el valor de X en el triángulo rectángulo. 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟏𝟎𝟐 = 𝟖𝟐 + 𝒃𝟐 𝟏𝟎𝟐 − 𝟖𝟐 = 𝒃𝟐 𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 = 𝒃𝟐 𝟑𝟔 = 𝒃𝟐 √𝟑𝟔 = √𝒃𝟐 6 = b
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS ( solución de problemas)
Los dueños de una casa quieren convertir los escalones de la entrada en una rampa. El porche mide 3 pies por encima del suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a una distancia de 12 pies de la base del porche. ¿Qué tan larga será la rampa?
Para resolver un problema como este, es buena idea dibujar un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.
De acuerdo con el diagrama, los catetos del triángulo serán a = 3 y b = 12, la hipotenusa será el lado a buscar c
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 32 + 122 𝑐2 = 9 + 144 𝑐2 = 153 √𝑐2 = √153 𝑐 = 12,4
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Algunas aplicaciones de la trigonometría requieren el uso de triángulos rectángulos. Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos, y en las aplicaciones se debe calcular algún elemento del triángulo conociendo otros. Para hacerlo se emplean las razones trigonométricas. Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Consideremos el triángulo rectángulo de la figura de ángulos A, B, C ; siendo el ángulo C recto ( 90°) y los ángulos A y B agudos y complementarios, es decir A + B = 90°.
Teniendo en cuenta la posición del ángulo agudo que se va a considerar en el triángulo, los lados tomaran el nombre de cateto opuesto , cateto adyacente e hipotenusa el cual será siempre el lado de mayor longitud.
4 Para el triángulo rectángulo de la figura anterior, se pueden establecer seis razones entre los lados del
triángulo. Si se considera el ángulo α el lado a será el cateto opuesto, el lado b será el cateto adyacente y el lado c la hipotenusa; pero si se considera el ángulo β, entonces, el cateto adyacente será el lado a, el cateto opuesto será el lado b y el lado a la hipotenusa. Por lo tanto, si se considera el primer triangulo se pueden establecer las siguientes razones:
1.La razón es el cociente entre el cateto opuesto del ángulo α y la hipotenusa, se llama seno de α. Abreviadamente: 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑎
𝑐
2. La razón es el cociente entre el cateto adyacente del ángulo α y la hipotenusa, se llama coseno de α. Abreviadamente: 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑏
𝑐
3. La razón es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente al ángulo α, se llama tangente de α. Abreviadamente: 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 𝑎
𝑏
Así hemos definido las razones trigonométricas fundamentales y las razones restantes se denominan razones trigonométricas inversas y ellas son: cosecante ( csc ), secante ( sec ) y cotangente ( cot ). Estas razones inversas se establecen de la siguiente manera:
4. La razón es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo α, se llama cosecante. Abreviadamente: 𝐶𝑠𝑐 ∝= 𝑐
𝑎 .
5. La razón es el cociente entre la hipotenusa y cateto adyacente al ángulo α, se llama secante. Abreviadamente:
𝑆𝑒𝑐 ∝ =𝑐 𝑏.
6. La razón es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo α y el cateto opuesto al ángulo α, se llama cotangente. Abreviadamente: 𝐶𝑜𝑡 ∝ = 𝑏
𝑎
Las razones trigonométricas también nos permiten resolver problemas que involucren triángulos rectángulos como el que se ilustra a continuación.
CONSULTA ¿QUE ES UN ÁNGULO DE ELEVACION Y DE DEPRESION? DEFINE CADA UNO Y DESCRIBE CON UN GRAFICO CADA UNO.
5
EJEMPLO 1: Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.
Para resolver un problema de este tipo se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
a) representar un esquema de la situación dibujando el triángulo rectángulo que se origina, anotando los datos e indicando, con una letra, la variable que se desea calcular
b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione los valores conocidos y la variable que se desea calcular. En este caso se desea hallar el lado “c” que representa la longitud de la escalera y es la hipotenusa del triángulo que se forma, además se conoce el valor de “b” que es el cateto opuesto al ángulo de 60 grados. Por lo tanto, la razón trigonométrica que podemos usar es seno ya que: 𝑆𝑒𝑛 60 ° = 𝐶.𝑂
𝐻
𝑆𝑒𝑛 60° =
4,33 𝑚𝑐
c) De esta expresión se despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular. Aquí se despeja a “c” que al estar dividiendo pasa a multiplicar: 𝑐 ∗ 𝑆𝑒𝑛 60° = 4,33 𝑚
Se despeja el valor a buscar, en este caso es c que corresponde a la hipotenusa: 𝑐 = 4,33 𝑚 𝑆𝑒𝑛 60 ° d) Obtener el valor del ángulo por medio de la calculadora y se efectúa la operación
En calculadoras científicas se pueden utilizar las teclas sen, cos y tan para obtener aproximaciones de los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Es importante verificar el modo de función de la calculadora y cerciorarse que esté en modo “Deg” en caso de que los ángulos se midan en grados.
Para nuestro caso con la calculadora obtenemos que Sen 60° = 0,866 y al reemplazar en: 𝑐 = 4,33 𝑚
𝑠𝑒𝑛 60° =
4,33 𝑚
0,866 = 5𝑚 , 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎.
EJEMPLO 2
: Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la
punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
SOLUCION: De acuerdo a la figura, se debe determinar valor del ángulo B (Es el ángulo que forma el cable con el poste), por lo que los lados que se relacionan son la altura que es el cateto adyacente a y la hipotenusa c. La razón que relaciona estos dos lados es:
𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 𝑎 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 7,5𝑀 13,75𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 0,545 , 𝑠𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑎 𝐼𝑁𝑉 𝑂 𝑆𝐻𝐼𝐹 𝐶𝑂𝑆 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝐵 = 𝐼𝑁𝑉 𝐶𝑜𝑠−1 0,545 𝐵 = 56,97
≈
57 °6
EJEMPLO 3: Calcular el largo aproximado de la base del barco
El largo del barco será la hipotenusa del triángulo representado. La razón que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es seno
𝑆𝑒𝑛 36°50
′=
3,4 𝑚
ℎ
h Sen36°50
′= 3,4m
ℎ =
3,4 𝑚
𝑆𝑒𝑛 36° 50′
=
3,4 𝑚
0,6
ℎ = 5,66 𝑚, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜
EJEMPLO 4: Tres pueblos A, B y C, están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C
es de 9km. Si el ángulo que forman estas carreteras es de 120°, ¿a qué distancia están A y B?
𝐵𝐻 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑺𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝑩𝑯 𝑩𝑪 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝑩𝑯 𝟗𝒌𝒎 𝟗𝒌𝒎 ∗ 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝟎° = 𝑩𝑯 𝟗𝒌𝒎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟔 = 𝑩𝑯 𝟕, 𝟕𝟒𝒌𝒎 = 𝑩𝑯𝐶𝐻 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑪𝒐𝒔 𝟔𝟎° = 𝑪𝑯 𝟗𝒌𝒎 𝟗𝒌𝒎 ∗ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝟎° = 𝑪𝑯 𝟗𝒌𝒎 ∗ 𝟎, 𝟓 = 𝑪𝑯 𝟒, 𝟓 𝒌𝒎 = 𝑪𝑯 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑨𝑯 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝑨𝑪 𝒚 𝑪𝑯, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓: 𝑨𝑯 = 𝑨𝑪 + 𝑪𝑯 𝑨𝑯 = 𝟔𝒌𝒎 + 𝟒, 𝟓 𝒌𝒎 𝑨𝑯 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒌𝒎 𝑨𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑨𝑩 𝒒𝒖𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑨𝑯𝑩 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑷𝒊𝒕𝒂𝒈𝒐𝒓𝒂𝒔 ∶ 𝑨𝑩𝟐 = 𝑨𝑯𝟐 + 𝑩𝑯𝟐 𝑨𝑩𝟐 = (𝟏𝟎, 𝟓𝒌𝒎)𝟐 + (𝟕, 𝟕𝟒𝒌𝒎)𝟐 𝑨𝑩𝟐 = 𝟏𝟏𝟎, 𝟐𝟓𝒌𝒎𝟐 + 𝟓𝟗, 𝟗𝟎 𝒌𝒎𝟐 𝑨𝑩𝟐 = 𝟏𝟕𝟎, 𝟏𝟓 𝒌𝒎𝟐 √𝑨𝑩𝟐 = √𝟏𝟕𝟎, 𝟏𝟓 𝒌𝒎𝟐 𝑨𝑩 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟒𝟒 𝒌𝒎, 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒖𝒅𝒂𝒅 𝑨 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒖𝒅𝒂𝒅 𝑩.MOMENTO PARA EVALUAR
EJERCICIO 1. En cada uno de los siguientes triángulos aplica el teorema de Pitágoras, para hallar el valor del lado desconocido.
7 EJERCICIO 2. APLICACIÓN TEOREMA DE PITAGORAS
a) Un barco tiene una vela con forma de triángulo rectángulo. El lado más largo de la vela mide 17 yardas, y el lado de abajo de la vela mide 8 yardas. ¿Qué tan alta es la vela? (recuerda realizar un diagrama que represente la situación y también que el lado más largo en un triángulo es la hipotenusa) b) Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la
parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta
c) Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?
d) A una distancia de 2 metros de la base de una torre, vemos su bandera a una distancia de 5.39 metros en línea recta. ¿Cuál es la altura de la torre si la de la bandera es 1 metro?
EJERCICIO 3. APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
a) El extremo superior de una escalera está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si la escalera forma un ángulo de 51° con el suelo, ¿cuál es el largo de la escalera?
b) Una persona observa con un ángulo de 54° lo alto que es un edificio; si la persona mide 1,72 metros y esta ubicada a 18 metros de la base del edifico, ¿cual la altura del edificio?
8 c) Determina el valor de la distancia X
d) Desde un faro se observa un barco con un ángulo de depresión de 23°. Si el barco se encuentra a 700 m del pie del faro, ¿cuál es la altura del faro?
NOTA: SI TE ES POSIBLE OBSERVA LOS SIGUIENTES VIDEOS https://www.youtube.com/watch?v=dK17FacLiV4
https://www.youtube.com/watch?v=D8_VzxGvOuE https://www.youtube.com/watch?v=u-DAoaC5ItE
