1 1. a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:
≥ ; ≥ ; − + ≤ ; + ≤ ; ≤ .
b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 2x+2y+1 en la región anterior e indique dónde se alcanza.
[Sol.:a)A(0,0);B(4,0);C(4,2);D(2,4);E(0,3); b) 13 ] (Andalucía, 2006) 2. En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de matecados, que se envasan en dos tipos
de cajas del modo siguiente:
• Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4€ • Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Preco: 6€
1. ¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta?
[Solución: 105 cajas de tipo 1 y 15 cajas de tipo 2; 510 euros ] (Cantabria, 2006)
3. En una tienda de artículos deportivos se pueden adquirir, entre otros productos, raquetas de bádminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de estrategia comercial, se decide vender al día, como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis. Considerando que el número total de raquetas vendidas no puede ser mayor que 7:
1. Representa la región factible. 2. Calcula ese beneficio máximo.
[Solución: beneficio máximo: 165 € diarios ] (Castilla-La Mancha, 2006)
4. En una factoría se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas.
Cada unidad de producto A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir.
2 5. La función objetivo de un problema de programación lineal es f(x,y)=ax-by+c, con a, b, c números
positivos. Encuentra en cuál de los dos puntos A o B del gráfico, la función objetivo presenta un valor mayor. Razona la respuesta.
[Solución: ] (Cataluña, 2006)
6. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26 300 barriles de gasolina 95, 40 600 barriles de gasolina 98 y 29 500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste.
[S: 90 000 !"##$ %# $ # ; 23 000 !"##$ %# " ; % : 7 795 000 €] (C. Valenciana, 2006)
3 7. Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo
necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiere 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada procesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si solo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide, justificando la respuesta:
a) ¿Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos?
[Sol: ") 60 $ . / 30 $ 0 !) 15 300€] (Extremadura, 2006)
8. Un granjero dispone de un máximo de 45 hectáreas en las que quiere sembrar dos tipos de cultivo, A y B, esperando obtener un beneficio de 120 € por hectárea de A y 180 € por hectárea de B. Calcula que va a tener, como máximo, 600 horas de trabajo disponibles durante la estación de siembra y que va a necesitar 10 horas por hectárea de A y 40 horas por hectárea de B. Además, el tipo de cultivo exige que las hectáreas dedicadas al cultivo tipo B no superen a las del tipo A.
a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al enunciado. b) Dibuja la región factible y calcula sus vértices.
c) ¿Cuántas hectáreas debe sembrar de cada tipo de cultivo para maximizar los beneficios? Calcula dicho beneficio máximo.
[Sol: 1234á6278 92 3:;4<=> ? @ A 1234á6278 92 3:;4<=> B; AC € D2E2F<3<>] (Galicia, 2006) 9. En una tienda naturista preparan dos tipos de paquetes de vinagre, A y B. Cada paquete del tipo A
contiene 2 botellas de vinagre de vino y 4 botellas de vinagre de manzana, y cada paquete del tipo B contiene 3 botellas de vinagre de vino y 2 botellas de vinagre de manzana. Con cada paquete del tipo A obtienen un beneficio de 3 €, y con cada paquete del tipo B, uno de 2 €. Disponen de 800 botellas de vinagre de vino y de 1000 botellas de vinagre de manzana.
a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo han de preparar para poder obtener un beneficio máximo? (2 puntos). b) ¿Cuál es este beneficio máximo? (0,5 puntos)
[Sol: 7) GCA H7I:2428 4<H> ? @ GA H7I:2428 4<H> B; D2E2F<3<> J A € ] (Islas Baleares, 2006) 10.Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1 800 kilos de avellanas y 420 kilos de almendras para
hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: -La caja A tiene 6 kilos de avellanas y 3 de almendras y las vende a 80 euros. -La caja B tiene 10 kilos de avellanas y 1 de almendras y las vende a 90 euros. a) Representar la región factible.
b) ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?
[Sol: 100 %"K" $ . / 120 %"K" $ 0 ] (Islas Canarias, 2006)
11.Una fábrica de conservas recibe el encargo de preparar dos tipos de lotes de fruta en almíbar. Dispone para ello de 7 500 botes de melocotón, 6 000 botes de piña y 6 500 botes de pera. Los lotes de tipo A están formados por 2 botes de melocotón, 2 botes de piña y 2 botes de pera y se venden a 20 euros. Los del tipo B, están formados por 3 botes de melocotón, 2 botes de piña y 1 bote de pera y se venden a 25 euros. Plantea y resuelve el problema de programación lineal que nos proporciona el número de lotes de cada tipo que debe producir la fábrica para que los ingresos sean máximos.
4 12.Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello
hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?
[Sol: Y 4<H> ? @ 4<H> B; AG 2:6>8 ] (Madrid, 2006)
13.Una persona tiene 500 000 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones de tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7 %. Decide invertir como máximo 300 000 euros en las del tipo B e invertir en las del tipo A por lo menos tanto como en las del tipo B. ¿Cómo debería invertir sus 500 000 euros para maximizar sus intereses anuales?
[Sol: Y 2:6>8 4<H> ? @ 4<H> B ] (Murcia, 2006)
14.Una empresa fabrica dos tipos de tipos de productos P1 y P2 que se venden a 50 euros y 40 euros la
unidad, respectivamente. Para ello alquila dos máquinas, M1 y M2 al precio de 5 euros por hora y 6 euros
por hora, respectivamente. Las horas de funcionamiento de cada máquina necesarias para la fabricación de una unidad de cada producto así como la disponibilidad máxima semanal de cada máquina vienen dadas por la siguiente tabla:
Producto P1 Producto P2 Disponibilidad
M1 2 horas 4 horas 80 horas
M2 4 horas 2 horas 100 horas
El coste del material utilizado en la fabricación de una unidad del producto P1 es de 10 euros y en una
unidad del producto P2, es de 8 euros. Se desea saber cuántas unidades de cada producto se han de fabricar
para maximizar el beneficio.
i) Plantea el problema. (4 puntos) ii) Resolución gráfica. (4 puntos)
iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el precio de P2 se reduce en 2 euros. (2 puntos)
[S: D) Z :E<97928 92 [G G :E<97928 92 [ D2E2F<3<> G € \ ;3) Z A :E<97928 92 [G :E<97928 92 [ D2E2F<3<> A € \ ] (Navarra, 2006)
15.En la remodelación de un centro de enseñanza se quiere habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capacidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos 1 aula grande, y no más de 15 pequeñas.
a) ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se puede habilitar? Si se quiere que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea la mayor posible, ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total?
5 16.Represente gráficamente la región limitada por las siguientes restricciones:
+ ≤ ; + ≤ G ; − + ≤ Y ; ≥ y determine sus vértices.
b)(1 punto) Calcule el máximo de la función f(x,y) = 4x+2y-3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.
[Solución: a) A(1,4); B(7/5,22/5); C(2,2) ; b) cd
c edc,ffcg ] (Andalucía, 2008)
17.Una tienda de informática lanza una promoción destinada a comercializar dos modelos de ordenadores portátiles: modelo A y modelo B. Cada unidad del modelo A se vende a 1000 euros y cada unidad del B a 800 euros. Se trata de una promoción destinada a un número limitado de unidades: solo afecta a 30 ordenadores del modelo A y 40 del modelo B. El objetivo de la tienda es vender del modelo A al menos el doble de unidades que del B y obtener unos ingresos mínimos de 30000 euros. ¿Cuántas unidades de cada modelo deberá vender para obtener unos ingresos mínimos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?
[Solución: 30 unidades de A; 15 unidades de B; 42000€ ]
18.Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de “Consumo razonable” y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos de euro por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en
3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3.
b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27.
1) Dibuja la región factible.
2) Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. 3) ¿Cuál es ese beneficio máximo?
[Solución: 4 mensajes; 7 llamadas; 2,35 € ] (Castilla-La Mancha, 2008)
19.Una fábrica de papel tiene almacenados 4000 kg de pasta de papel normal y 3000 kg de pasta de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos diferentes de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,1 kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja del segundo tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,3 kg de pasta de papel reciclado. Los beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente, 5€ para el primer tipo y 6€ para el segundo tipo de caja. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricarse para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo obtenido?
[Solución: 15000 cajas del 1º tipo; 5000 cajas del 2º tipo; 105.000 € de ganancia ] (Castilla-León, 2008)
6 20.Considera el sistema de inecuaciones siguiente: \
≥ ≥ + Y ≤ GJ
+ ≤ G h
a) Representa gráficamente la región de soluciones. (1 punto)
b) Determina el máximo de la función f(x,y)=3x+5y en esa región y para qué valores se alcanza dicho máximo. (0,5 puntos)
c) Determina el máximo de la función f(x,y) =3x+3y en esa región y para qué valores se alcanza dicho máximo. (0,5 puntos)
[S.: i) já . = YJ, O OL UW NM m , ); R) jí . = Y , O OL POnVO NM o, RM m , ); omG , ) ] (Cataluña, 2008)
21. En un problema de programación lineal, la región de soluciones es el cuadrado de vértices (1,1),
(1,3),(3,3) y (3,1), y la función objetivo es B(x,y) =3x+2y.
a) Determina en qué punto es máxima la función objetivo y cuál es ese valor máximo. (1 punto) b) Da un conjunto de inecuaciones que determine la región de soluciones. (1 punto)
[Solución: S) mY, Y)RM Vá TVM = GA; i) pG ≤ ≤ YG ≤ ≤ Y\ ] (Cataluña, 2008) 22. a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: q
Y + ≥ A
− ≥ −G
A + ≤ G
− ≤ A \
b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.
c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f(x,y) 3x-y en dicha región . Determina dicho valor mínimo. [Sol: S) rmG, G); e ,Yg ; om , −G); smY, − ) ; i) O rmG, G), RM tSLMX ] ]
(Comunidad Valenciana, 2008)
23. Una hamburguesería necesita diariamente un mínimo de 180 kilogramos de carne de cerdo y 120
kilogramos de carne de ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden suministrarle la carne requerida pero ha de ser en lotes. El lote del matadero A contiene 6 kilogramos de carne de cerdo y 2 kilogramos de carne de carne de ternera, siendo su coste 35€. Determinar , justificando la respuesta:
a) El número de lotes que debe adquirir la hamburguesería en cada matadero con objeto de garantizar sus necesidades diarias con el mínimo coste.
b) El valor de dicho coste diario mínimo.
7 24. Un proyecto de jardinería puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y
G2 . Se trata de ajardinar tres zonas: A, B y C.
En la siguiente tabla se recoge el número de unidades que puede ajardinar cada grupo en cada zona durante una semana:
Zona A Zona B Zona C
Grupo G1 4 10 7
Grupo G2 10 5 7
Se necesita ajardinar un mínimo de 40 unidades en la zona A, 50 unidades en la zona B y 49 unidades en la zona C, estimándose el coste semanal en 3.300 € para el grupo G1 y en 4.000 € para el grupo G2.
¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? Expresar la función objetivo y las restricciones del problema. Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.
[Sol: A 82^7E78 vG ; POVS SP w ; RMPNO Ví TVM: A € ] (Galicia, 2008)
25. En Navidad, un colmado quiere preparar dos tipos de lotes, L1 y L2. Cada lote del tipo L1 está formado
por 4 barras de turrón, 2 botellas de cava y 2 paquetes de café, y cada lote del tipo L2 está formado por 2
barras de turrón, 2 botellas de cava y 4 paquetes de café.
Con cada lote del tipo L1 se obtiene un beneficio de 4,50 €, y con cada lote del tipo L2 uno de 3 €. El
colmado dispone de 300 barras de turrón, 180 botellas de cava y de 300 paquetes de café.
¿Cuántos lotes de cada tipo se tienen que preparar para obtener un beneficio máximo? (2,5 puntos).
[Sol: ;>428 xG Y LMNOP y ] (Baleares, 2008)
26. En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de
180 unidades. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y de cada lavadora es de 375 euros:
a) Formular el correspondiente problema. b) Representar la región factible.
c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?
[Sol: 50 z #" / 30 "z" #" ] (Canarias, 2008)
27. Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de problemas para que resuelvan, como máximo, 70
problemas. Los problemas están clasificados en dos grupos. Los del grupo A valen 5 puntos cada uno y los del grupo B, 7 puntos. Para resolver un problema del tipo A se necesitan 2 minutos y para resolver un problema del tipo B, 3 minutos. Si los alumnos disponen de dos horas y media para resolver los problemas, ¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacer para obtener la puntuación máxima? ¿Cuál es dicha puntuación máxima? [Sol: 60 $ .; 10 $ 0; 370 ] (La Rioja, 2008)
8 28. Un distribuidor de aceite compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden
el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo. [Sol:
4>E2;7978 92 ?; 4>E2;7978 92 B, 3>842 = G € ] (Madrid, 2008)
29. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 euros y sortijas adornadas a 6 euros. Las máquinas
condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total.
a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.
b) Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuántas utilidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos?
[Sol: D) 82E3<;;78 @ Y 79>6E7978, <Ea6287E9> C € ] (Murcia, 2008)
30. Una empresa fabrica dos tipos de piezas: A y B. Cada pieza debe pasar por tres departamentos con
limitaciones de tiempo. Las horas necesarias para cada pieza y sus beneficios son:
Dpto 1 Dpto 2 Dpto 3 Beneficios
Pieza A 2 5 2 11 euros
Pieza B 6 2 2 7 euros
Horas disponibles 66 50 26
Calcular la producción que maximiza el beneficio. a) Plantea el problema. (4 puntos)
b) Resolución gráfica. (4 puntos)
c) Analiza gráficamente qué ocurre si el beneficio de B se reduce en 4 euros. (2 puntos)
[S: i) J 4<H> ? @ A 4<H> B; D2E2F<3<> = G Y€; 3) G 92 ? @ 92 B ] (Navarra, 2008)
31. Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de una ciudad, se quiere colocar al menos 20 piezas entre
farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se coloquen sean jardineras.
a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan?
9 32. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0,05 euros por
cada impreso repartido, mientras que la empresa B le paga 0,07 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de A, en la que caben 120, y otra para los de B, en la que caben 100. Por experiencia sabe también que cada día puede repartir, a lo sumo, 150 impresos. ¿Cuántos impresos debe repartir de cada clase para que su ganancia diaria sea máxima? ¿A cuánto ascendería dicha ganancia?
[Sol: A 92 ? @ G 92 B, a7E7 }~A€ ] (País Vasco, 2008)
33. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote
de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 euros.
a) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo. (3 puntos)
b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido? En caso negativo, diga cuántos no ha plantado y de qué tipo son. (0,5 puntos)
[Sol: 7) G 92 ?a6>; 92 •2628, 3>842 YY €; D) E> H;7E47 A ^7E|7E>8 ] (Zaragoza, 2008) 34. a) (1,5 puntos) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones:
+ ≥ ; − ≤ ; ≤ ; ≥ .
b)(1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función F(x,y) = x+y en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan.
c) (0,5 puntos)¿Pertenece el punto e€
•,‚•g al recinto anterior? Justifique la respuesta.
[Solución: a) A(0,2); B(0,4); C(4,4); D(1,1); máximo en (4,4), valiendo 8; mínimo, que vale 2, en el
segmento AD; b) ƒ„ ] (Andalucía, 2009)
35. Maximizar la función 5x-3y con las siguientes restricciones: q
… + 3/ ≥ 4 2… + / ≤ 4 0 ≤ … ≤ 2 0 ≤ / ≤ 3 \ [Solución: el máximo se alcanza en (8/5, 4/5 ) y vale 28/5 ] (Cantabria, 2009)
36. Una confitería realiza una oferta a sus clientes a través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva 3
tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es 52, y el de cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 euros, y uno del tipo B, 8,5 euros. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea la mayor posible. 3) Calcula esa ganancia máxima.
10 37. Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos mezclando dos componentes químicos A
y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120 litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y que el beneficio obtenido por un litro del producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros.
Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
[Solución: 100 litros plástico 1 ; 120 litros plástico 2; beneficio máximo 2440 € ] (Castilla-León, 2009)
38. Considera el sistema de inecuaciones siguiente: \
≥ ≥ + A ≤ G
Y + ≤ G
h
a) Dibuja la región de soluciones del sistema. (1 punto)
b) Determina el máximo de la función f(x,y) =x+3y sometida a las restricciones anteriores. (1 punto)
11 39. La figura siguiente representa la región de soluciones de un sistema de inecuaciones lineales:
a) Halla el sistema de inecuaciones que determina esta región. (1 punto)
b) Determina el valor máximo de la función f1 (x,y) =x+y+1 en esta región, y di en qué puntos se
alcanza este máximo. (1 punto)
c) Halla el valor de a para que la función f2 (x,y)=ax+2y+3 alcanza el máximo en el segmento de
extremos (4,2) y (5,0). (1 punto)
d) Determina los valores de a para los cuales f2 (x,y) = ax+2y+3 alcanza el máximo solo en el punto
(4,2). (1 punto)
[Solución: i) C, O os; R) S = ; Q) < " < 4 ] (Cataluña, 2009)
40. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 40 kg de manzanas y 230 kg de peras. Para ello, prepara
dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 kg de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros, y 3 euros, por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?
12 41. Una empresa de ocio y tiempo libre organiza cada verano dos tipos de actividades (de playa y de
montaña). Para cada actividad de playa necesita 1 monitor y 3 acompañantes y para cada actividad de montaña necesita 2 monitores y 3 acompañantes. El beneficio obtenido por cada actividad de playa es de 800 euros y por cada actividad de montaña es de 900 euros. Si solo dispone de 50 monitores y 90 acompañantes y como máximo puede organizar 20 actividades de montaña, determinar justificando la respuesta:
a) El número de actividades de cada tipo que debe organizar dicha empresa con objeto de obtener unos beneficios máximos.
b) El valor de dichos beneficios máximos.
[Sol: ") 20 "/" / 15 "ñ" !) 29500€] (Extremadura, 2009)
42. Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para
producir dos tipos de polímeros, P1 y P2 . Una planta debe tener una capacidad de producción de, por lo
menos, 100 unidades de P1 y, por lo menos, 420 unidades de P2 cada día. Cada cámara de tipo A cuesta 600
000 euros y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día; una cámara de tipo B tiene
un diseño más económico, cuesta 300 000 euros, y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de
P2 por día. Debido al proceso de diseño, es necesario tener por lo menos 4 cámaras de cada tipo en una
planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el gasto satisfaciendo el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.
[Sol: 3á^7678 92; 4<H> ? @ G 3á^7678 92; 4<H> B; 3>842 2:6>8 ] (Galicia, 2009) 43. Un librero compra libros de dos editoriales. La editorial A ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia
ficción y 5 históricas por 60€, y la editorial B ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y 10 históricas por 180 €. El librero quiere comprar un mínimo de 2500 novelas de ciencia ficción y un mínimo de 3500 novelas históricas. Además, por motivos personales, el librero ha prometido a la editorial B que al menos el 25% del número total de paquetes que comprará serán de B.
a) ¿Cuántos paquetes tiene que comprar el librero de cada editorial para minimizar el coste, satisfacer los mínimos y cumplir la promesa? (2 puntos)
b) ¿Cuánto le costarán en total las novelas? (0,5 puntos)
[Sol: H7I:2428 92 ? @ G H7I:2428 92 B ] (Baleares, 2009)
44. En una pastelería se preparan dos tipos de roscones. Para cada unidad del primero se necesitan 5 huevos
y 1,5 kilos de harina y para cada unidad del segundo son necesarios 8 huevos y 4 kilos de harina. Hay que fabricar al menos 16 unidades del tipo A. Los del tipo A se venden a 10 € y los del tipo B a 14 €. Se dispone de 400 huevos y 160 kilos de harina y se quiere determinar el número de roscones de cada tipo que se han de producir para maximizar los ingresos
a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos?
c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina?
13 45. Una carpintería fabrica dos modelos distintos de mesas. El proceso de fabricación se basa en dos tareas:
corte de piezas y ensamblaje. Una mesa del primer modelo requiere 15 minutos para cortar las piezas y 50 minutos para ensamblarlas. Para el segundo modelo, esos tiempos son de 20 y 25 minutos, respectivamente.
Por cuestiones de plantilla, el tiempo diario dedicado a cortar piezas no puede superar los 1250 minutos. Además, cada día necesita fabricar un mínimo de 8 mesas del primer modelo.
a) Determina la región factible calculando sus vértices. (2 puntos)
b) Si vende las mesas del primer modelo a 150 euros y las del segundo a 300 euros, ¿cuántas mesas de cada modelo debe hacer al día para conseguir unos ingresos mínimos? (1 punto)
[Sol: i) J VOPSP QOL Gº QOL º ] (La Rioja, 2009)
46. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por
tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo.
[Sol: J 4>E2;7978 92 4<H> ? @ 4>E2;7978 92 4<H> B; 3>842 ^íE<^> € ] (Madrid, 2009) 47. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina
C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2 que en cada bote contienen las siguientes unidades
de esas vitaminas:
A B C
P1 4 1 6
P2 1 6 10
Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del producto P2 es de 160 euros,
averiguar:
c) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? d) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible?
[S: )^29<> D>42 92 [G RM QMP iMNOP QO Š ; i) W TQ r, G , A W TQ Y QO o ] (Murcia, 2009) 48. Una empresa de muebles fabrica dos modelos de armarios. Cada armario del primer modelo requiere 5
horas para su montaje, 1 hora de pulido y 1 hora para su embalaje y deja un beneficio de 300 euros. Cada armario del segundo modelo necesita 2 horas para el montaje, 1 hora de pulido y 2 horas de embalaje y su beneficio es de 400 euros. La empresa dispone de 40 horas para montaje, 10 horas para el pulido y 16 horas para el embalaje. ¿Cuál es la producción que maximiza el beneficio?
i) Plantear el problema. (4 puntos)
ii) Resolución gráfica. (4 puntos)
iii) Analizar gráficamente qué ocurre si el beneficio de cada armario del primer modelo aumenta en
100 euros. (2 puntos)
[S: <<) 76^76<>8 92; Gº @ 92; º; <<<) D2E2F<3<> ^á‹<^> 2E :E ;79>: m , ), mA, A) m , ) ] (Navarra, 2009)
14 49. Una ONG va a realizar un envío compuesto de botes de alimentos y de medicamentos. Como mínimo se
han de mandar 4 lotes de medicamentos, pero por problemas de caducidad no pueden mandarse más de 8 lotes de estos medicamentos. Para realizar el transporte se emplean 4 contenedores para cada lote de alimentos y 2 para cada lote de medicamentos. El servicio de transporte exige que al menos se envíe un total de 24 contenedores, pero que no se superen los 32.
a) ¿Qué combinaciones de lotes de cada tipo pueden enviarse? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. ¿Pueden enviarse 4 lotes de alimentos y 5 de medicamentos?
b) Si la ONG quiere maximizar el número total de lotes enviados, ¿qué combinación debe elegir?
[S:S) mY, ); mY, C); mY, J); m , ); m , A); m , ); m , C); m , J); mA, ); mA, A); mA, ); m , ) SI; D) ;>428 92 7;<^2E4>8 @ J ;>428 92 ^29<37^2E4>8 ] (Oviedo, 2009)
50. Un empresario desea invertir 36 000 euros, a lo sumo, en la fabricación de ordenadores de dos tipos: los
de tipo A, cuyo coste unitario sería de 400 euros y que se venderían a 430 euros (la unidad), y los de tipo B cuyo coste y precio de venta por unidad serían de 300 y 340 euros, respectivamente. Si, por diversas razones, no puede fabricar más de 100 aparatos en total, y no puede haber más de tipo B que de tipo A, ¿cuántos debe fabricar de cada tipo para que el beneficio sea máximo?
[Sol: A >692E79>628 92 3797 4<H> ] (País Vasco, 2009)
51. Sea Œ = •m…, /) / … + 3/ ≤ 9 , 2… + / ≤ 8 , … ≥ 0 , / ≥ 0•
a) Represente gráficamente el conjunto T (1 punto)
b) Consideramos la función f(x,y)=3x+3y. Calcular, si existen, los puntos del conjunto T que dan el valor máximo y el valor mínimo de la función. (1,75 puntos).
c) ¿Cuál sería la respuesta al apartado anterior si eliminamos en el conjunto T la restricción / ≥ 0 ? (0,75 puntos)
[S: D) ^íE<^> 2E m , )@ ^á‹<^> 2E mY, ); ^á‹<^> 2E mY, ), 8<E ^íE<^>. ] (Zaragoza, 2009) 52. Una conservera dispone diariamente de 350 kg de mejillones que debe envasar en latas de dos tamaños:
normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de mejillones y suponen un beneficio de 30 pts por lata. Las de tamaño familiar, llevan 440 gr de mejillones y su beneficio es de 100 pts por lata. Por razones de producción, al menos el 70 % de las latas deben ser de tamaño familiar. ¿Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo?
[Solución: 300 latas de tamaño normal y 700 de tamaño familiar ] (Madrid, 1995)
53. Una empresa produce dos artículos A y B tiene dos fábricas. En la primera, producir una unidad del
artículo A cuesta 6 días-operario y una del B cuesta 2 días-operario, estando limitada la producción total a 300 días-operario. En la segunda fábrica, producir una unidad del A cuesta 2 días-operario y una del B también 2 días-operario, estando limitada la producción a 140 días-operario. Sabiendo que el beneficio por unidad del artículo A es de 600 pesetas y del B de 300 pesetas por unidad, calcular la producción de A y B para obtener un beneficio máximo. [Solución: 40 del tipo A y 30 del tipo B ] (Madrid, 1995)
15 54. Una cooperativa debe construir al menos 45 000 metros cuadrados de viviendas. Debe construir
viviendas de dos tipos. Las de tipo A son de 150 metros cuadrados y su coste es de 10 millones de pesetas. Las de tipo B tienen una superficie de 250 metros cuadrados y su coste es de 20 millones de pesetas. En total no pueden construirse más de 250 viviendas, y de las de tipo B se hará, a lo más, el doble que de las de tipo A. ¿Cuántas deben edificarse de cada tipo para que el coste sea mínimo?
[Solución: 175 de tipo A y 75 de tipo B ] (Madrid, 1995)
55. Una empresa tiene dos centros de producción que fabrican tres tipos de productos: A, B y C. Sus
compromisos comerciales les obligan a entregar semanalmente al menos 18 unidades del tipo A, 16 del tipo B y 6 del tipo C. El primer centro de producción le cuesta diariamente 106 pesetas y produce, también directamente, las siguientes unidades: 9 de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro de producción le cuesta diariamente 8.103 pesetas y produce 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. ¿Cuántos días por semana debe trabajar cada centro de producción para que, cumpliendo sus compromisos comerciales, se reduzcan al mínimo los costes de producción?
[Solución: el 1º un día a la semana; en el 2º, tres días ] (Madrid, 1995)
56. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un
20% de alcohol y el resto de agua, y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto de agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y de la colonia B es 2000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo.
[Solución: 100 de A y 150 de B ] (Madrid, 1995)
57. Os alumnos dun colexio, teñen 120 camisetas, ll0 pañuelos e 70 gorros. Co fin de obter diñeiro para a
viaxe de fin de curso, vanos poñer á venda en dous paquetes distintos; polo primeiro (dúas camisetas, un pañuelo e un gorro) cobrarán 600 pesetas; e polo segundo (unha camiseta, dous pañuelos e un gorro) 700 pesetas. ¿Cantos paquetes de cada tipo deberán vender para obte-lo máximo beneficio? (Galicia, 2001)
58. Representa-lo recinto que cumpre as seguintes restriccións:
0 < y, 0 < x < 10, x < y, y - 2x < 6, 3x + 4y > 24.
Maximiza-la función F(x, y) = x + y + 1 coas restriccións anteriores. (Galicia, 2002)
59. Un empresario fabrica dous productos A e B. A fabricación dun kilogramo de A necesita 4 horas de
traballo e un gasto de 60 euros en material, obténdose un beneficio de 45 euros. A fabricación dun kilogramo de B necesita 8 horas de traballo e un gasto de 48 euros en material, obténdose un beneficio de 33 euros.
Cada semana o empresario dispón de 200 horas de traballo. Ademais, asinou un contrato que o obriga a fabricar un mínimo de 15 kg. de A e 10 kg. de B. Se non pode gastar máis de 1920 euros en material, ¿cantos kilogramos por semana debe fabricar de cada producto para obte-lo máximo beneficio posible?
(Galicia, 2003)
60. Un concesionario de coches comercializa dous modelos de automóbiles: un de gama alta, có que gaña 1000 euros por unidade vendida e o outro de gama baixa cuns beneficios por unidade vendida de 600 euros. Por razóns de mercado, a venda anual destes modelos está suxeita ás seguintes restriccións:
• O número de modelos de gama alta vendidos non será menor de 50 nin maior de 150 coches.
• O número de modelos de gama baixa vendidos terá que ser maior ou igual ó de modelos de gama alta vendidos.
• O concesionario pode vender ata un máximo de 500 automóbiles dos dous modelos ó ano.
a) Formula-las restriccións e representar graficamente a rexión factible. b) ¿Cantos automóbiles de cada modelo debe vender anualmente co fin de maximiza-los beneficios? (Galicia, 2004)
16 61. Unha empresa fabrica dous tipos de televisores (T21 e T14) de 21 e 14 pulgadas, a un custo por televisor
de 100 e 50 euros, respectivamente. Sábese que o número de televisores T21 fabricados diariamente non
supera en 4 unidades ós T14, e que entrambos non se superan diariamente os 30 televisores. Tamén se sabe
que o proceso produtivo non permite fabricar diariamente menos de 2 televisores T21 nin menos de 5
televisores T14.
a) Formula-lo sistema de inecuacións asociado ó enunciado. b) Debuxa-la rexión factible e calcula-los seus
vértices. c) Calcular cantos televisores T21 e T14 maximizan e cantos minimizan o custo de produción diaria. (Galicia, 2005)
62. Mario´s Pizza é un produtor de pizzas conxeladas de dous tipos A e B. Obtén un beneficio de 1 euro por
cada pizza A que produza e de 1´50 euros por cada pizza de tipo B. Cada pizza inclúe unha combinación de pasta de fariña e de mestura de recheo, segundo se indica no seguinte cadro:
PASTA DE FARIÑA MESTURA DE RECHEO BENEFICIO
PIZZA A ½ Kg 1/8 Kg 1€
PIEZZA B ½ Kg ¼ Kg 1,5 €
Nun día calquera, disponse dun máximo de 75 kg. de pasta de fariña e de 25 kg. de mestura de recheo e con base á demanda no pasado, Mario´s debe vender diariamente polo menos 50 pizzas tipo A e polo menos 25 pizzas tipo B.
(a) Formular o sistema de inecuacións, representar graficamente a rexión factible e calcular os seus vértices. (b) ¿Cantas pizzas A e B deberá fabricar diariamente para maximizar os beneficios? Calcular os devanditos
beneficios. (Galicia, 2007)
63. Un alfarero elabora dos tipos de piezas: botijos y cántaros, en cantidades reducidas. Sabe que no puede
producir más de 8 piezas diarias ni tampoco más de 4 cántaros diarios. También, por motivos de producción, desea que el número de botijos no supere el número de cántaros en más de dos piezas. Si obtiene un beneficio de 6 euros por cada botijo y de 4 euros por cada cántaro, ¿Cuántas piezas de cada tipo deberá elaborar cada día para obtener un beneficio máximo?, ¿Cuál será este beneficio? Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices. (Galicia, SEPTIEMBRE 2009)
64. Una empresa de transportes tiene que trasladar bloques de granito desde una cantera a un aserradero de
piedra. Para eso dispone de un máximo de 8 camiones de tipo A y un máximo de 12 camiones de tipo B. Cada camión de tipo A necesita un operario y puede transportar 24 toneladas de granito con un coste de 150 euros, mientras que cada camión de tipo B necesita dos operarios y puede transportar 12 toneladas de granito con un gasto de 300 euros. Se sabe que se necesitarán un mínimo de 15 operarios, que se transportarán un mínimo de 108 toneladas de granito y que el número de camiones de tipo A utilizados no será superior al número de camiones de tipo B.
a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.
b) Calcula todas las posibilidades que tiene la empresa de distribuir los camiones para minimizar el
gasto. (Galicia, 2010)
65. Una pequeña empresa desea contratar trabajadores de dos categorías laborales: I y II. Pretende que el
número total de trabajadores contratados no sea inferior a 9 ni superior a 12 y, además, el número de trabajadores de la categoría I no podrá ser inferior al doble de trabajadores de la categoría II. EL coste laboral de un trabajador de la categoría I está estimado en 1400 euros al mes y el de uno de la categoría II en 1100 euros al mes.
a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al anunciado. Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
b) Calcula el número de trabajadores de cada categoría laboral que la empresa debe contratar para minimizar los costes laborales mensuales. (Galicia, SEPTIEMBRE 2010)
17 66.Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes:
+ ≤ GA ; ≤ ; ≤ ≤ ; ≥
a) Represente gráficamente dicho recinto. (1 punto) b) Calcule sus vértices. (1 punto)
c) Determine el máximo valor de la función F(x,y) =8x+5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. (0,5 puntos)
[Solución: a); b) ; c) 105, en (10,5) ] (Andalucía, JUNIO 2010)
67.La editorial de una pequeña población pone en marcha una campaña de promoción local lanzando al mercado en dos formatos, libro de tapa dura y edición de lujo con ilustraciones, una nueva novela de su último escritor contratado. Se dispone de 150 horas en el departamento de impresión y de 240 horas en el departamento de encuadernación. Los ingresos obtenidos por cada libro de tapa dura vendido son de 20 euros y los ingresos por cada libro de la edición de lujo son de 45 euros. Las horas que un libro de cada formato requiere en cada departamento se muestran en la siguiente tabla:
TAPA DURA LUJO
IMPRESIÓN 2 horas 5 horas
ENCUADERNACIÓN 4 horas 7 horas
¿Cuántos libros de cada formato se deben editar para obtener los máximos ingresos en cada
campaña? ¿A cuánto ascienden esos ingresos? (3,5 puntos)
[Solución: 25 en tapa dura y 20 de lujo; ingresos=1400€] (Cantabria, JUNIO 2010)
68.Una fábrica de ordenadores va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 300 euros y el del modelo de lujo 1000 euros, disponiendo para esta operación de lanzamiento de 28000 euros. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos el doble de ordenadores del modelo básico que del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 50 ordenadores del básico. Además se quiere fabricar no menos de 10 ordenadores de lujo.
a) Representa la región factible. (1,5 puntos)
b) ¿Cuántos ordenadores debe fabricar si quiere maximizar el número total de ordenadores fabricados? (0,5 puntos)
c) Si fabrica el máximo número de ordenadores posibles, ¿agota el presupuesto disponible? (0,5 puntos)
[Solución: a) ; b) 50 básicos y 13 de lujo; c) se agota el presupuesto ] (Castilla-La Mancha, JUNIO 2010)
18 69.Considera el triángulo ABC que se muestra en la figura siguiente:
e) Escribe el sistema de inecuaciones que determinan el triángulo ABC y el interior de este. (1 punto) f) Indica los puntos de la región sombreada en los que la función z=2x+y alcanza el valor máximo. (1
punto)
[Solución: S) ; i) O LMP UW NMP QOL POnVO NM o ] (Cataluña, JUNIO 2010)
70. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada
grande requiere para su elaboración 500 gr de masa y 250 gr de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 gr de masa y 250 gr de relleno. Se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros.
a) ¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo?
b) ¿Cuál es el beneficio máximo?
[Sol: S) nXS QOP UO•WOñSP; i) G € ] (Comunidad Valenciana, JUNIO 2010)
19 71.Un agricultor dispone de 24 hectáreas de tierra para plantar manzanos y perales. Cada año se requiere
para cada hectárea de manzanos 100 m3 de agua y 150 jornadas de trabajo, y para cada hectárea de perales 200 m3 de agua y 50 jornadas de trabajo. Solo se dispone en total, para cada año, de 4000 m3 de agua y 3000 jornadas de trabajo. Sabiendo que el beneficio anual por hectárea de manzanos es de 2000 euros y por hectárea de perales de 3600 euros, determinar justificando las respuestas:
c) El número de hectáreas que dicho agricultor tiene que plantar de cada especie (manzanos y perales) con objeto de obtener los beneficios máximos anuales.
d) El valor de dichos beneficios máximos anuales.
[Sol: ") 8 ℎ % á# " " ’" / 16 ℎ % á# " #" ; !)73600 # ] (Extremadura, JUNIO 2010)
72.Una empresa de transportes tiene que trasladar bloques de granito desde una cantera a un aserradero de piedra. Para eso dispone de un máximo de 8 camiones de tipo A y un máximo de 12 camiones de tipo B. Cada camión de tipo A necesita un operario y puede transportar 24 toneladas de granito con un coste de 150 euros, mientras que cada camión de tipo B necesita dos operarios y puede transportar 12 toneladas de granito con un gasto de 300 euros. Se sabe que se necesitarán un mínimo de 15 operarios, que se transportarán un mínimo de 108 toneladas de granito y que el número de camiones de tipo A utilizados no será superior al número de camiones de tipo B.
c) Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.
d) Calcula todas las posibilidades que tiene la empresa de distribuir los camiones para minimizar el gasto.
[Sol: ") ; !) m1,7); m3,6); m5,5) ] (Galicia, JUNIO 2010)
73.Un comerciante prepara dos tipos de lotes, L1 y L2 . Cada lote del tipo L1 está formado por una botella de
vino tinto, dos de rosado y una de blanco, y cada lote del tipo L2 está formado por dos botellas de vino
tinto, una de rosado y una de blanco. Con cada lote del tipo L1 se obtiene un beneficio de 6 euros y con
cada lote del tipo L2 un beneficio de 4 euros. El comerciante dispone de 1000 botellas de vino tinto,
1000 de rosado y 600 de blanco, ¿cuántos lotes de cada tipo se han de preparar para obtener el máximo beneficio? (10 puntos)
[Sol: 400 de tipo L1 y 200 de tipo L2 ] (Islas Baleares, JUNIO 2010)
74.Una empresa debe tener, como máximo, 140 trabajadores de dos tipos: transportistas y empleados de almacén. Por cada transportista debe haber como máximo 4 empleados de almacén y estos últimos deben ser, a lo sumo, 80. Por cada transportista, la empresa recibe una subvención de 1200 € y por cada empleado de almacén, una subvención de 1800 €.
a) ¿Se cumplen las condiciones anteriores con 30 transportistas y 70 empleados de almacén?
b) ¿Cuál es el número óptimo de transportistas y empleados de almacén para obtener la mayor subvención posible?
[Sol: a) SI ; !) 60 #" # $ " / 80 " " "%é ]
20 75. Una empresa fabrica dos variedades diferentes de un mismo producto. Entre las dos, debe producir un
mínimo de 200 unidades y un máximo de 400. El beneficio obtenido por unidad de la primera variedad es de 200 euros, necesitando 30 horas de trabajo para fabricarla. El beneficio obtenido por unidad de la segunda variedad es de 100 euros, necesitando 20 horas de trabajo para fabricarla.
i) Si las horas de producción no pueden superar las 6000, calcula el número de unidades de cada tipo que se deben producir para obtener beneficio máximo. (1,5 puntos)
ii) Si no hay restricciones sobre el número de horas de producción, pero se necesita un beneficio de, al menos, 60000 euros, calcula las unidades de cada tipo que se deben fabricar para que el número de horas de producción sea mínimo. (1,5 puntos)
[Sol: $) 200 $ " . / $ " 0; $$) 300 $ " . / $ " 0] (La Rioja, junio 2010) 76. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un club de fútbol dispone de un máximo de 2 millones de euros para fichajes de futbolistas españoles y extranjeros. Se estima que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al 10% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de españoles, mientras que el importe total de las camisetas vendidas con el nombre de futbolistas extranjeros es igual al 15% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de extranjeros. Los estatutos del club limitan a un máximo de 800000 euros la inversión total en fichajes extranjeros y exigen que la cantidad total invertida en fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de 50000 euros. Además, la cantidad total invertida en fichajes de españoles ha de ser mayor o igual que la invertida en fichajes extranjeros. ¿Qué cantidad debe invertir el club en cada tipo de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máximo? Calcúlese dicho importe máximo. Justifíquese.
[Sol: G € OPUSñMLOP, J € O O NXS —OXMP ]
(Madrid, junio 2010) 77.Podemos comprar dos clases de abono, A o B. Cada kilo contiene las unidades de potasio (K), fósforo
(P) y nitrógeno (N) indicados en la tabla, y se da el precio del kilo. Potasio K) Fósforo (P) Nitrógeno (N) Precio
Marca A 4 6 1 15
Marca B 1 10 6 20
¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga al menos 4 unidades de K, al menos 23 de P y al menos 6 de N?
i) Plantear el problema (4 puntos) ii) Resolución gráfica (4 puntos)
iii) Analizar gráficamente qué ocurre si el precio de A se reduce a 12. (2 puntos)
[Sol:
<) ; <<)G˜a 4<H> ? @ ˜a 4<H> B ; <<<)623478 92 E<=2; H767;2;78 7 @ = −YA‹, 8>;:3<óE 82a^2E4> B•, 3>E B eG, g ; • e ,GGG g ]
21 78.El aforo máximo de un circo es de 300 personas. Se exige que cada niño vaya acompañado al menos por
un adulto. Por otro lado, una subvención recibida obliga a que el número de adultos entre el público sea como mucho el doble que el de niños. El circo gana 30 € por adulto y 15 € por niño.
c) ¿Cuántas entradas de adulto y cuántas de niño se podrán vender en total para la próxima sesión? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
d) ¿Cuántas entradas de cada tipo debe vender el circo para maximizar sus ganancias? ¿Y para maximizar el número de niños entre el público?
[S: QO SQWLNM G QO TñM ;
D) QO SQWLNM G QO TñM; úVOXM VS TVM TñMP GA ]
(Oviedo, junio 2010) 79. Una mueblería fabrica mesas y sillas. La fabricación de una mesa requiere de 1 hora de corte, 4 horas de
ensamble y 3 horas de acabado, generando un beneficio de 100 €. La fabricación de una silla requiere de 2 horas de corte, 4 de ensamble y 1 de acabado, generando un beneficio de 50 €. Cada día se dispone de un máximo de 14 horas de corte, 32 horas de ensamble y 18 de acabado.
a) ¿Cuántos artículos de cada tipo puede fabricar cada día esta mueblería? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) Si vende cuanto produce, ¿cuántos artículos de cada tipo debe fabricar diariamente para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
[Sol: 7) ; D) A ^2878 @ Y 8<;;78; A € ]
(Oviedo, junio 2010) 80. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar gráficamente el recinto del plano definido por las desigualdades siguientes:
0 ≤ y ≤ 1 ; y − 1 ≤ x ≤ 2
b) Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=-x+2y en dicho recinto, así como los puntos en los que alcanza tales valores.
[Sol: 7) ; D) ^á‹<^> 2E m , G)@ ^íE<^> 2E m , ) ]
22 81. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40
plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar cuesta 80 € y el de uno pequeño 60 €.
a) ¿Cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible? (2 puntos)
b) Si la empresa dispusiera de 5 conductores más, ¿cuál sería el número de autocares de cada tipo que habría que contrastar para que la excursión fuera lo más barata posible? (1,5 puntos)
[S: 7) A 92 H;7|78 @ 92 A H;7|78 ; D) A H2I:2ñ>8 @ a67E928 ]
(Zaragoza, junio 2010) 82. Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: … + / ≤ 20, 3… + 5/ ≤ 70, … ≥ 0 , / ≥ 0
a) Razone si el punto de coordenadas (4,1; 11,7) pertenece al recinto. (0,5 puntos)
b) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. (1,25 puntos)
c) ¿Dónde alcanzará la función F(x,y) =0,6x + y sus valores extremos y cuáles serán estos?(0,75 puntos)
[Solución: a) ƒ„ ; b) A(0,0); B(20,0) ; C(15,5) ; D(0,14) ; c) máximo vale 14, en el segmento CD; mínimo vale 0, en (0,0) ] (Andalucía, junio 2011) 83. Una perfumería desea liquidar 100 frascos de perfume y 150 barras de labios que han quedado
descatalogados en sus firmas. Para ello lanza dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de un frasco de perfume y una barra de labios que se vende a 20 €. La oferta B consiste en un frasco de perfume y dos barras de labios, y se vende a 40 €. No desea ofrecer menos de 10 lotes de la oferta A ni menos de 20 de la oferta B.
a) ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? (2,5 puntos)
b) ¿Cambiaría la respuesta al apartado a) si eliminamos el hecho de que desee ofrecer al menos 20 lotes de la oferta B? (1 punto)
[S: 7) A ;>428 92 ? @ A ;>428 92 B ; D) •ž ] (Aragón, junio 2011)
84. Una compañía minera extrae dos tipos de carbón, hulla y antracita, de forma que todo el carbón extraído
es vendido. Por exigencias gubernamentales, debe extraer diariamente al menos el triple de camiones de hulla que de antracita. Además, por la propia infraestructura de la compañía, como mucho se pueden extraer 80 camiones de carbón en un día y al menos 10 de ellos deben ser de antracita.
e) ¿Cuántos camiones de cada tipo se pueden extraer en un día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita?
f) Si la ganancia por cada camión de hulla es de 4000 € y por cada camión de antracita es de 6000 €, ¿cuántos camiones de cada tipo debería extraer en un día para maximizar sus ganancias?
23 85. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que: la cantidad invertida
en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los 12000 euros y la suma de las cantidades invertidas no puede exceder de 15000 euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10% y el ofrecido por las acciones de tipo B es del 11%.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible. (0,5 puntos)
[Solución: a) ; b) 3000 de tipo A y 12000 de tipo B] (Castilla-La Mancha, junio 2011)
86. Considera la región sombreada de la figura siguiente:
a) Determina el sistema de inecuaciones que delimita. (1 punto)
b) Calcula el valor máximo de la función z=x+2y en esta región e indica para qué valores se alcanza dicho máximo. (1 punto)
24 87. En una granja hay un total de 9000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es
de 48 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos (Ay B) que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase de A contiene 3 unidades de hidrato de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. Sabiendo que cada envase de A cuesta 0,24 euros y que cada envase de B cuesta 0,20 euros, determinar justificando la respuesta:
e) El número de envases de cada tipo que deben de adquirir los responsables de la granja con objeto de que el coste sea mínimo y se cubran las necesidades de consumo mensuales de todos los conejos.
f) El valor de dicho coste mensual mínimo.
[Sol:") 6 z" # % .; 12 z" # % 0 m # % K ) ; !)34560 # / ]
(Extremadura, junio 2011)
88. Una asesoría laboral tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Para el próximo año quiere conseguir como clientes al menos a 5 empresas y a un número de particulares que, como mínimo, debe de superar en 4 al doble del número de empresas. Además, el número total de clientes anuales no debe superar los 40 clientes. Espera que cada empresa le produzca 800 euros de ingresos anuales y cada particular 600 euros anuales.
e) Expresa las restricciones del problema. Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
f) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? A cuánto ascenderían dichos ingresos?
[S:!)12 clientes empresas y 28 clientes particulares. Los ingresos son de 26400 euros ](Galicia, junio 2011) 89. Un tren de mercancías puede arrastrar un máximo de 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y
motocicletas. Para los coches ha de dedicar un mínimo de 12 vagones, y para las motocicletas, no menos de la mitad de los vagones dedicados a los coches.
Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 euros por cada vagón de motos, ¿cómo se han de distribuir los vagones para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál es este ingreso? Se ha de plantear el problema como un problema de programación lineal, representar gráficamente su conjunto factible de soluciones y resolverlo. (10 puntos)
[Sol: 12960 euros; 18 vagones para coches y 9 vagones para motocicletas ] (Islas Baleres, junio 2011) 90. Las autoridades sanitarias de una determinada comunidad autónoma planifican la contratación de
personal sanitario para la puesta en marcha de puntos de atención continua (PAC). En la comunidad hay dos zonas claramente diferenciadas, que llamaremos A y B, y cada una necesita una dotación específica. Cada PAC de la zona A requiere 3 médicos y 3 enfermeras, y una inversión de 30 millones de euros. En la zona B, cada centro necesita 2 médicos y 4 enfermeras, y una inversión de 10 millones de euros. Para llevar a
término tal proyecto, se dispone de un máximo de 30 médicos, de un máximo de 48 enfermeras y de un máximo de 240 millones de euros.
a) ¿Cuál es el número máximo de PAC que pueden ponerse en funcionamiento? Plantea el problema como un problema de programación lineal y representa gráficamente su conjunto de soluciones (8 puntos)
b) ¿Cuántos en cada zona? (2 puntos)
25 91. Para fabricar robots de juguete se dispone de 120 microchips y 180 conectores. Para cada modelo
Robonet, que da un beneficio por unidad de 75€ y del que se deben fabricar al menos 5 unidades, se necesitan 3 microchips y 4 conectores. Para cada modelo Robotic, que da un beneficio por unidad de 90€ y del que se deben fabricar al menos 6 unidades, se necesitan 5 microchips y 8 conectores.
c) ¿Cuántos robots de cada tipo deben fabricarse para que los beneficios sean máximos? d) En la producción óptima, ¿cuántos microchips y conectores sobraron?
[Sol: a) 30 tipo Robonets y 6 tipo Robotic ; !) !#" $%# %ℎ$ ; !#" 12 % % # ] (Islas Canarias, junio 2011)
92. En una empresa se fabrican dos modelos de un mismo producto, a los que nos vamos a referir como
modelo 1 y modelo 2. Por cada unidad del modelo 1 se obtienen 600 euros de beneficio, mientras que del modelo 2 se obtienen 900 euros por unidad. La fabricación está sujeta a las siguientes restricciones:
-Se necesita fabricar entre 50 y 100 unidades del modelo 2.
-Las unidades del modelo 1 deben igualar o superar a las del modelo 2.
-El número total de unidades fabricadas no debe superar las 200.
Plantea un sistema de inecuaciones (desigualdades) definido por las restricciones. (1,25 puntos)
Dibuja la región factible (calculando sus vértices). (1,25 puntos)
Calcula las unidades de cada modelo que deben fabricarse para maximizar el beneficio. (0,5 puntos)
[Sol: 100 $ " 1; 100 $ " 2; ! ª$%$ : 150000 €] (La Rioja, junio 2011)
93. (3 puntos) Una cadena de supermercados compra naranjas a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores
A y B venden las naranjas a 1000 y 1500 euros por tonelada, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para satisfacer su demanda, la cadena debe comprar en total como mínimo 6 toneladas. La cadena debe comprar como máximo al distribuidor A el doble de naranjas que al distribuidor B. ¿Qué cantidad de naranjas debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo.
26 94. Un fabricante de juguetes produce dos juegos: Batallas y Dibujos. Los beneficios unitarios de cada juego
y las horas que requieren en cada una de las secciones de la fábrica se dan en la siguiente tabla:
ELABORACIÓN ENSAMBLAJE EMBALAJE BENEFICIOS
BATALLAS 4 1 1 45 euros
DIBUJOS 2 2 1 30 euros
Si se dispone de 36 horas de elaboración, 16 horas de ensamblaje y 10 de embalaje, ¿cuál es la producción que maximiza el beneficio?
a) Plantear el problema. (4 puntos) b) Resolución gráfica. (4 puntos)
c) Analizar gráficamente qué ocurre si el beneficio del juego Batallas se reduce en 15 euros. (2 euros) [Sol: el beneficio máximo se obtiene en los puntos (4,6); (5,5); (6,4); (7,3) y (8,2)]
(Navarra, junio 2011)
95. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un hipermercado necesita, como mínimo, 6 cajas de manzanas, 8 de peras y 10 de naranjas. Para abastecerse puede acudir a dos proveedores A y B que suministran fruta en contenedores. Cada contenedor de A se compone de 1 caja de manzanas, 2 de peras y 1 de naranjas y cuesta 60 euros, mientras que cada contenedor de B se compone de 1 caja de manzanas, 1 de peras y 5 de naranjas, y cuesta 75 euros.
Averiguar cuántos contenedores debe pedir al hipermercado a cada proveedor para cubrir sus necesidades con el mínimo coste posible, y a cuánto ascendería dicho coste.
[Sol: A 3>E42E29>628 92; H6>=229>6 ? @ G 3>E42E29>6 92; H6>=229>6 B; YCA 2:6>8 ] (País Vasco, junio 2011)
96. Una tienda de informática vende, entre otros productos, ordenadores portátiles e impresoras, pudiendo
almacenar un máximo de 150 unidades en total. Para atender la demanda de sus clientes debe tener en stock por lo menos 20 portátiles y por lo menos 50 impresoras. Además, para lograr un precio competitivo, el proveedor le exige que el número de impresoras que compre tiene que ser igual o superior en 20 unidades al número de portátiles.
a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y caclula sus vértices.
b) Si en la venta de cada portátil obtiene un beneficio de 80 € y en la de cada impresora de 20 €, ¿cuántas unidades de cada tipo debe vender para obtener un beneficio máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo? (Galicia, septiembre 2011)
97. Consideremos el siguiente sistema de inecuaciones … ≥ 1 . / ≥ … ; … + / ≤ 10 , 3/ − 2… ≤ 10.
a) Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
b) ¿En qué punto o puntos de esa región alcanza los valores máximo y mínimo la función f(x,y) = 2x-2y+7? (Galicia, junio 2012)
27 98. Se considera la función f(x,y)=x+2y sujeta a las restricciones:
… + / ≤ 9; / − … ≤ 5 ; 2/ ≥ 4 − … ; 0 ≤ … ≤ 8 ; / ≥ 0.
a) Representa la región R del plano determinado por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices. b) Calcula los puntos de R donde la función alcanza sus valores máximo y mínimo. Calcula esos valores. c) Responde al apartado anterior si se elimina la restricción / ≥ 0 del anterior conjunto de restricciones.
[S: a) q .m6,3) 0m2,7) m0,2) m4,0) ; !) p í $ m0,2)/ «m4,0), % z" # 4 á…$ 0m2,7), % z" # 14 \\ ; R) M S‡ORNS SL XOPWLNSQM ] (Galicia, septiembre 2012)
99.Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones:
/ + 2… ≥ 2 ; 2/ − 3… ≥ −3 ; 3/ − … ≤ 6
d) Represente gráficamente dicho recinto. (1 punto) e) Calcule sus vértices. (1 punto)
f) Obtenga el valor mínimo de la función F(x,y)=2x-y en el recinto anterior, así como dónde lo alcanza.
[Solución: a) ; b) rmG, ) ; mY, Y) ; om , ) ; R) tSLMX: − , O OL UW NM m , ) ] (Andalucía, junio 2012)
100. Se va a organizar una planta en una empresa de electrodomésticos donde van a trabajar mecánicos y electricistas. Por necesidad del mercado es necesario que haya mayor o igual número de electricistas que de mecánicos, y que el número de electricistas no supere al doble del de mecánicos. Se necesitan al menos 20 electricistas y no hay más de 30 mecánicos disponibles.
a) Plantear un problema lineal que nos permita averiguar cuántos trabajadores de cada clase se deben contratar para maximizar el beneficio que obtiene la empresa por mes, sabiendo que por cada mecánico se obtienen 2000 € de beneficio mensual, y por cada electricista 2.500 (1 punto)
b) Calcular cuántos mecánicos y cuántos electricistas se deben contratar para obtener un beneficio máximo, si el beneficio mensual que se obtiene por cada trabajador es el expuesto en el apartado a) (1, 5 puntos)
c) Si cada mecánico y cada electricista cuestan a la empresa 300 € mensuales y podemos disponer de todos los mecánicos que se necesiten, ¿cuántos trabajadores de cada clase habrá de contratar la empresa para que el coste sea mínimo? (1 punto)
[S: a) ¬ -® -¯x: nº mecánicos ; y: nº electricistasy ≥ x y ≤ 2x y ≥ 20 0 ≤ x ≤ 30
; Fmx, y) = 2000x + 2500y\ ; b) 30 mecánicos y 60 electricistas ; c) 10 mecánicos y 20 electricistas ] (Aragón, junio 2012)
