TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 FUNCIONES LINEAL Y CUADRÁTICA

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2

FUNCIONES LINEAL Y CUADRÁTICA

En este eje nos proponemos continuar desarrollando en los estudiantes la competencia básica de Reso-lución de Problemas y además las siguientes competencias específicas

1. Analizar una función o un fenómeno físico o químico sencillo a partir de su representación gráfica y/o a partir de sus ecuaciones matemáticas.

2. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos. 4. Transferir el conocimiento científico de Física, Química y Matemática a situaciones cotidianas.

Contenidos

conceptuales Habilidades y destrezas Indicadores de Logro Inherentes a la Resolución de Problemas

vistos en el TP 1 Funciones lineal y cua-drática. Ecua-ciones de primer y se-gundo grado. ƒ Observación, clasifica-ción y análisis (determi-nación de dominio, ima-gen, ceros e intervalos donde son positivas o ne-gativas) de las funciones lineales y cuadráticas; ƒ Representación gráfica de

distintos tipos de rectas y parábolas.

ƒ Resolución y verificación de ecuaciones de 1er y 2º grado.

ƒ Análisis de las soluciones de la ecuación de 2º gra-do.

• Reconoce distintos tipos de funciones lineales, afines y cuadráticas a partir de la gráfica y/o por sus ecuaciones ma-temáticas.

• Interpreta representaciones gráficas.

• Representa gráficamente a través de esquemas, tablas, dia-gramas, etc.

• Utiliza escalas adecuadas.

• Indica las magnitudes y unidades correspondientes. • Identifica datos e incógnitas.

• Completa la información necesaria recurriendo a otras fuen-tes: observación, experimentación, textos, Internet y otras. • Plantea y usa ecuaciones adecuadas.

• Usa la notación adecuada.

• Opera con números reales en forma correcta.

• Usa y realiza las conversiones de unidades necesarias. • Analiza las soluciones aritméticas halladas, vinculándolas

con el problema planteado.

• Comunica el/los resultado/s en forma adecuada.

¿Qué es una función? Sólo a los efectos de unificar lenguajes, propongo las siguientes definiciones: Una función de un conjunto A en un conjunto B dada por y = f(x) es una regla que asigna a cada valor ‘x’ de A, un solo valor ‘y’ en B. Esta ‘y’ se llama imagen de ‘x’ y puede ser la asignación de más de una ‘x’. Una función es una relación de A en B que cumple principios de existencia y de unicidad.

Aunque hay otras notaciones, nosotros usaremos la simbología siguiente: f : A Æ B / y = f(x) ‘A’ es el conjunto de partida y ‘B’ el conjunto de llegada.

‘x’ es la variable independiente e ‘y’ la variable dependiente.

Se llama dominio natural (D) de f al mayor conjunto de valores que puede tomar ‘x’ de manera que ‘y’ tenga resultado real en su expresión. D = A para que se cumpla el principio de existencia. A veces es necesario adoptar un dominio menor que se llama dominio restringido, ¿qué pasa con A en esos casos?

Se llama conjunto imagen o rango (I o R) de la función al conjunto de valores que toma ‘y’ co-mo resultado de los valores que toma ‘x’. I ⊆ B, es decir, no son necesariamente iguales.

Las funciones de variable real se representan gráficamente, entre otros sistemas, en un par de ejes coordenados cartesianos, donde la punta de flecha asigna el sentido positivo del eje. Por lo tanto es

x y 1 x y 1 x y 1 x y 1

incorrecto representar ejes con doble flecha.

En un diagrama de ejes coordenados cartesianos, y = f(x) represen-ta la disrepresen-tancia entre el eje ‘x’ y el punto asignado como imagen de esa x. Por ejemplo, en la función y = f(x) = 2x, la imagen de x = 2 es y = f(2) = 4, siendo la función positiva.

Si x = –1, la función es negativa, y = f(–1) = –2, que representa una distancia de 2 unidades, pero ahora medida hacia abajo del eje x.

1) Siendo A = [–3; 6], determina si las siguientes relaciones de A en  son funciones de x o no. En caso de serlo, encuentra su conjunto imagen.

a) b)

c) d)

2) Determina la fórmula que define cada una de las siguientes funciones, identifica variable indepen-diente y variable depenindepen-diente. Realiza un esquema. Encuentra dominio e imagen.

a) L(r) es la longitud de las circunferencias concéntricas que se forman cuando se arroja una piedra al agua, en el punto central de una pileta rectangular de 25 m de ancho por 50 m de largo, sin que re-bote.

b) V(x) es el volumen de un cubo de arista menor o igual que 30. c) f(x) es la longitud del lado AB en el triángulo de la figura.

Función lineal: f(x) = m x, o y =m x

Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, ‘m’ se llama………. Función afín: f(x) = m x + b, o y = m x + b es la ecuación de la recta “pendiente-ordenada al ori-gen” y su gráfica está desplazada ‘b’ unidades hacia arriba o hacia abajo, y corta al eje ‘x’ en un punto que se denomina cero.

En símbolos: x1 es un cero de f(x) ⇔ y = f(x1) = 0

Los ceros separan el eje ’x’ en intervalos donde la función es positiva (P) y donde es negativa (N). 7 x A B y x 4 -1 -2 f(-1) = -2 f(2) = 4 2

3) Escribe la ecuación de las rectas; determina el cero, los intervalos donde la función es positiva (P) y donde es negativa (N). Representa gráficamente:

a) m = 3; b = 2 b) m = –2; b = –1 c) m =

½

Otras ecuaciones para la recta:

4) Rectas especiales (aunque dos de ellas no son funciones): x = 0; y = 0; y = x; x = a; y = b a) Identifica las dos primeras y representa gráficamente la tercera, ¿cómo se llama?

b) Para las ecuaciones x = a e y = b determina cuatro ecuaciones y representa en un mismo gráfico, ¾ Toma dos valores para ‘a’: la suma de letras de tu primer nombre y su opuesto;

¾ Y dos valores para ‘b’: la suma de letras de tu apellido y su opuesto

5) Ecuación punto-pendiente: es la que utiliza la pendiente y las coordenadas de un punto P1(x1, y1):

y = m (x – x1) + y1

La ecuación de la recta que pasa por P(–2,1) y tiene pendiente 3 es………. su ordenada al origen vale……….., el cero es…..…., P =………., N =……….

6) Ecuación conociendo las coordenadas de dos puntos P1 y P2: y = 1 2 1 2 x x y y − − _(x–x 1) + y1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (5, –2) y (–1, 2) es………... su ordenada al origen vale……….., el cero es…..…., P =………., N =……….

7) Ecuación general: A x + B y + C = 0. Escribe la ecuación de la recta anterior en forma general. 8) Ecuación segmentaria: 1

b y a x_{+ =}

donde a y b representan los puntos donde la recta corta a los ejes ‘x’ e ‘y’ respectivamente.

a) Grafica en forma segmentaria, encuentra la ecuación segmentaria y luego lleva a la ecuación general, la recta que corta al eje ‘x’ en (–2) y al eje ‘y’ en 3

b) Escribe la recta del ejercicio 5 en forma segmentaria.

Para ello observa que en el primer miembro solamente figuran los términos que contienen ‘x’ e ‘y’, eso es lo primero a lograr.

Luego debes transformar el 2º miembro en ‘1’, ¿cómo lo puedes hacer?

c) ¿Cuánto miden la longitud de la base y la altura de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos se encuentran sobre los ejes, y cuya hipotenusa pasa por el punto (–2; 3)?

Recuerda y aplica las estrategias para resolver problemas. Realiza un gráfico, identifica datos e incóg-nitas, ¿por dónde pasa la hipotenusa?, ¿cómo es un triángulo isósceles?, ¿cómo tiene entonces que cor-tar la hipotenusa a los dos ejes?

9) Encuentra la imagen de las rectas del ejercicio anterior si el dominio se restringe al intervalo [–1; 3) en cada caso.

10) Encuentra una ecuación para cada recta: a) Pasa por (3; –4) y tiene pendiente –2 b) Con ordenada al origen 4 y pendiente –3/2 c) Pasa por (4; –1) y (–3; 2)

d) Pasa por (–2; 0) y (–2; 4)

11) La relación entre la temperatura medida en grados centígrados o Celsius y la temperatura medida en grados Fahrenheit está dada por la fórmula: ºC =

9 5 (ºF – 32) y b a x

a) Identifica variable independiente y variable dependiente b) Realiza la gráfica consignando ºF en eje de abscisas

c) Determina el intervalo de temperaturas Fahrenheit de manera que la temperatura Celsius quede comprendida entre 10º y 30º.

12) Una población que tenía 20 000 personas en 1995, va aumentando siempre de la misma manera como se muestra en la tabla. Construye una gráfica y estima la cantidad de personas que habrá este año (suponiendo que se mantiene la tendencia). Encuentra una fórmula general para calcular la cantidad de personas en función del tiempo. ¿Cuándo se superarán las 100 000 personas?

t [años] 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 …

P [miles de personas] 20 24 28 32

Rectas paralelas y perpendiculares. Completa:

Dos rectas L1 y L2 son paralelas cuando m1 y m2 son...

Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares cuando m1 y m2 son...

13) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2; 2) y es: a) Paralela a y = 4 – x

b) Perpendicular a y = 3x + 4 c) Paralela a 2x + 3y – 2 = 0

d) Perpendicular a la recta que pasa por (–1;2) y (3;1) e) Perpendicular a x = 3

Ecuaciones se obtienen cuando se iguala una función a cero. Resolver una ecuación es……… ……….…

14) Si la solución de la ecuación “7[2–(k – 4x)] + k = (–2x + k).14” es x = 1, entonces k debe ser igual a...

15) El último mes1 Matías ganó $250 incluyendo el pago por horas extras. El sueldo asciende a $200 más que lo recibido por horas extras. ¿Cuál es el salario sin horas extras? (No caigas en la tentación de responder $200 porque en ese caso, sería $150 más que las h-e y no $200)

16) En 1998 la edad de un profesor coincidía con las dos últimas cifras del año de su nacimiento. A su abuelo, que nació en el siglo anterior, si viviera le hubiera ocurrido lo mismo. ¿Cuántos años tenía el profesor en 1998 y cuántos tendría el abuelo?

17) Se pinta de blanco la mitad de un poste. La tercera parte de lo que queda se pinta de azul y las tres quintas partes del resto se pinta de rojo. Determina:

a) ¿Qué parte del poste fue pintada? (Expresa como fracción de la longitud total L) b) ¿Qué fracción del poste quedó sin pintar?

c) Si quedan 30 cm sin pintar, ¿cuál es la longitud total del poste? d) ¿Qué fracción del poste está pintada de azul y qué longitud tiene? e) ¿Qué fracción del poste y cuántos metros, están pintados de rojo?

Función cuadrática: f(x) = a x2 + b x + c, su gráfica se llama: ... Sus ramas están dirigidas hacia arriba si..., o hacia abajo si...

1

Las coordenadas del vértice V(h, k) se pueden obtener calculando h =

a 2

b

− y k = f(h) Para obtener sus ceros se iguala la función a cero, obteniendo la ecuación de segundo grado: a x2 + b x + c = 0; la fórmula para calcular sus raíces es (completa): x1,2 =

± − b

18) Grafica y determina: D, I, ordenada al origen, el conjunto de ceros (O) y los intervalos donde las funciones son positivas (P) y donde son negativas (N).

a) f1(x) = x2 + 2 b) f2(x) = (x +1)2 + 2 c) f3(x) = x2 −1

d) g1(x) = 4 − x2 e) g2 (x) = 2 x2 f) g2 (x) = 1/3 x2

19) Ídem para

a) f(x) = x2 – 4x – 5 b) g(x) = x2 – 2x –3 c) h(x) = x2 + 4x

Análisis de la ecuación de 2º grado

• El tipo de raíces que tenga (reales distintas, reales iguales o complejas conjugadas), depende del discriminante: Δ = b2 _{– 4 a c (Δ > 0, Δ = 0, ó Δ < 0 respectivamente)}

• Una vez conocidas las raíces se puede reconstruir la ecuación: a⋅ (x - x1)⋅ (x - x2) = 0

• Las propiedades de las raíces son: x1 + x2 = −

a b

y x1⋅ x2 =

a c

20) Resuelve las ecuaciones y verifica con las propiedades de las raíces.

a) 2 x2 – 8x – 10 = 0 b) x2 + 4x + 4 = 0 c) y = x2 – 4x + 5 21) Analiza, sin resolver, qué tipo de raíces tienen las siguientes ecuaciones:

a) 5 x2 – 10 x + 5 = 0 b) 2 x2 – 8 x + 10 = 0 c) 3 x2 + 9 x – 2 = 0 22) Encuentra para qué valores de m la ecuación 2m x2 – 4x –3 = m x2 + 3x – 4 tiene

a) raíces reales distintas b) raíces reales iguales c) raíces complejas conjugadas 23) Utilizando las propiedades, reconstruye la ecuación cuyas raíces son:

a) x1 = –2 y x2 = 5 b) x1 = 1 + 3 y x2 = 1 – 3 c) x1 = 2 + i y x2 = 2 – i

24) Determina a b

sabiendo que en la ecuación reducida x2 + a b x + a c = 0, x1=3 y a c =–6 25) Calcula los puntos de intersección entre la parábola y = x2 –6x +5 y la recta y – x +1 = 0 26) ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular, cuya superficie es de 4 800 m2 sabiendo que el largo es el triple del ancho?

a) Realiza un esquema interpretativo.

b) Determina el área del terreno en función del ancho ‘a’. c) Calcula las dimensiones

27) Una ventana tiene la forma de un rectángulo con una semicircunferencia en la parte superior, cuyo diámetro mide lo mismo que la base del rectángulo. La altura del rectángulo es el doble de la base.

a) Realiza un esquema interpretativo.

b) Expresa el área de la ventana en función de la base e identifica el término cuadrático, el térmi-no lineal y el térmitérmi-no independiente.

28) Un cuadrado tiene los vértices de la base en el eje ‘x’ en puntos de abscisas 2 y –2, y los dos vérti-ces superiores en una parábola. Calcula el valor de k y grafica ubicando el cuadrado en la parábola, si su ecuación es y = –

3 1

x2 + k.

29) Se quieren calcular las dimensiones mínimas de una chapa rectangular con la que se va a construir un tarro cilíndrico con base pero sin tapa, de un litro de capacidad, cuya altura mide lo mismo que el diámetro de la base.

a) Realiza un esquema interpretativo.

b) Expresa el área del tarro en función de una sola variable, diámetro de la base o altura. c) Calcula las dimensiones del tarro

d) Calcula las dimensiones mínimas de la chapa para construirlo AUTOEVALUACIÓN

1) Calcula el diámetro aproximado de un depósito cilíndrico que tiene una capacidad de 392,7 m3, y su altura es igual al radio.

2) Se va a construir una caja abierta, recortando un cuadrado de 4 dm de lado de cada una de las esqui-nas de una lámina cuadrada de hojalata. Si el volumen de la caja debe ser de 900 dm3, ¿cuál deberá ser el tamaño de la lámina?

3) En una plaza cuadrada se ha construido una vereda alrededor que ocupa la veinteava parte de la su-perficie total. Se está construyendo una fuente circular en el centro que utiliza una treintava parte de la misma. Se reservaron 2 112 m2 para espacio verde.

a). Plantea una sola ecuación correspondiente a la superficie total b). Calcula el área total

c). Calcula cuánto mide el lado de la plaza

4) Una lámina metálica de 16 cm de ancho se dobla para hacer una canaleta abierta de sección trans-versal rectangular de 30 cm2 de área. Halla la profundidad y el ancho de la canaleta. ¿Cuántas solucio-nes hay?

5) ¿Cuáles son las dimensiones de un campo petrolífero rectangular, cuya área es de 2.450 m2 sabiendo que el largo es el doble del ancho?

6) Encuentra la ecuación de la recta que a) Pasa por (2; –3) y tiene pendiente 4

b) Pasa por (–1: 4) y forma 135º con el eje ‘x’

c) pasa por (2; –3) y es perpendicular a 3x – 2 y + 5 = 0

7) ¿Son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos, las rectas 2x + y = 3 ; x – 4y = 5? 8) Para que la recta y = kx −1 sea paralela a 1

2 y 1 x ₌ − + − , debe ser k =……..

9) Para que la recta mx − y + 4 = 0 sea perpendicular a la recta 6y − 2x = 0, debe ser m =…….. 10) Para que la ecuación 2x2 – 5mx + 2 = 0 tenga raíces reales iguales, m debe ser igual a:

11) Determina: dominio D, conjunto Imagen I, conjunto de ceros O, intersección con el eje y, interva-los donde es positiva P y donde es negativa N. Representa gráficamente.

a) f(x) x2 + 2x – 3 b) g(x) = x2 + 3x – 10

12) Se ha inaugurado 1/3 de la longitud total de un oleoducto; se está instalando ¼ del mismo y aún faltan 1200 m. ¿Cuál es la longitud total del oleoducto? (Plantea la ecuación antes de resolver)

13) Calcula el valor de k para que uno de los puntos de intersección entre las parábolas y = x2 – k x +3 e y = –x2 + 4x + 5 k tenga por abscisa x = –3