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Problemas resueltos Capítulos 2, 3, 4, 5. Texto: ANALISIS VECTORIAL Autor: MURRAY R. SPIEGEL Editorial: Mc- Graw Hill

*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve introduccion a los mismos.

Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran.

(Palabras repetidas hallar demostar).*

Problemas Capitulo 2 Ejercicios: 1.-Demostrar que A ⋅ B = B ⋅ A Solución: A ⋅ B = AB cosθ = BA cos θ = B ⋅ A

Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa

2.-Demostrar que A ⋅ B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el valor unitario en la dirección y sentido de B

Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquel en los puntos

G y H , respctivamente, por lo tanto.

Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH = EF = A cosθ = A ⋅ b 3.-(Lleva figura)

Demostrar que A ⋅B + C = A ⋅ B + A ⋅ C

Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A + proyección de C sobre A B + C ⋅ a = B ⋅ a + C ⋅ a

Multiplicando por A.

B + C ⋅ Aa = B ⋅ Aa + C ⋅ Aa yB + C ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A

Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar

A ⋅B + C = A ⋅ B + A ⋅ C

Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma

4.-Demostrar queA + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D del problema 3, A + B ⋅ C + D =

A ⋅C + D + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D

luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria.

5.-Hallar los escalares siguientes:

ai ⋅i = i i cos 0∘ = 111 = 1 bj ⋅k = j k cos 90∘ = 110 = 0 ck ⋅j = k j cos 90∘ = 110 = 0 dj ⋅ 2i − 3j + kk = 2j ⋅i − 3i ⋅i +j ⋅k = 0 − 3 = e 2i −j ⋅ 3i +k = 6i ⋅i + 2i ⋅k − 3j ⋅i −j ⋅k = 6 + 0 − 0 − 0 = 6

6.-Si A = A1  i + A = j + AK y B = B ⋅i + B ⋅j + B ⋅k, demostrar que A ⋅ B = A1B1+ A2B2+ A3B3 A ⋅ B = A1  i + A2  j + A3  k ⋅ B1  i B2  j B3  k = A1  i B1  i + A2  j B2  j + A3  kB3  k = _{iA1B1 +}_{jA2B2 +}_kA3B3 = A1B1+ A2B2+ A3B3

Ya quei ⋅i = j ⋅j = k ⋅k = 1 y todos los demas productos escalares son nulos

7.-Siendo A = Ai + A2

 j + A3



k, demostrar que A = A ⋅ A = A2+ A22+ A32

A ⋅ A = AA cos 0∘ = A2 _{= luego A = A ⋅ A}

Tambien, A ⋅ A = A1  i + A2  j + A3  k × A1  i + A2  j + A3  k = A1A1 + A2A2 + A3A3 = A12+ A22+ A32

Del problema 6 tomamos B = A

Por lo tanto, A = A ⋅ A = A12+ A22+ A32 es le modelo de A

8.-Hallar el angulo formado por los vectores A = 2i + 2j + 2k y B = 6i − 3j + 2k A ⋅ B = AB cosθ, A = 22+ 22+ −12 = 3, B = 62+ −32+ 22 = 7 A ⋅ B = 26 + 2−3 + −12 = 12 − 6 − 2 = 4

Por lo tanto, cosθA⋅B AB =

4

37 = 214 = 0. 1905 de donde θ = 79

∘_{, aproximadamente}

9.-Si A ⋅ B = 0, A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B

Si A ⋅ B = AB cosθ = 0, entonces cos θ = 0, 0 sin θ = 90∘aproximadamente; θ = 90∘_{; A ⋅ B = 0}

10.-Hallar el valor de ade forma que A = 2i + aj +k y B = 4i − 2j − 2k sean perpendiculares. Del problema 9, A y B son perpendiculares si A ⋅ B = 0

Por lo tanto, A ⋅ B = 24 + 0−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0, de donde, a es igual a 3. −2a = −8 + 2

a = −6₋₂ a = 3

11.-Demostrar que los vectores A = 3i − 2j +k, B = i − 3j + 5k, C = 2i +j − 4k forman un triangulo rectángulo

(GRÁFICA)

Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1 y 2

b La resultante de los vectores 1 + 2 + 3 es el vector nulo. Como indican las figuras, pueden ocurrir que dos vectores

tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial que A = B + C y, por lo tanto,

los vectores forman un triangulo.

Como A ⋅ B = 31 + −2−3 + 15 = 14, A ⋅ C = 32 + −2−1 + 1−4 = 0, y B ⋅ C = 12 + −31 + 5−4 = −21, se deduce que A y C son perpendiculares y que ...

12.-Hallar los angulos que forma el vector A = 3i − 6j + 2k con los ejes coordenados Sean x,β yϰ los angulos que forma A con los semiejes positivos x, y, z respectivamente. ...

13.-Hallar la proyección del vector A = i − 2j +ksegún la dirección de B = 4i − 4j + 7k ...

14.-Demostrar el teorema del coseno de un trinagulo cualquiera ...

15.-Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares...

16.-Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por A = 2i − 6j − 3k y B = 4i + 3j −k.

Solución. Sea C = C1i + C2j + C3k un vector perpendicular al plano formado por A y B.

El vector C es perpendicular a A y a B. Luego

C ⋅ A = 2C1− 6C2− 3C3 = 0, o sea 12C1− 6C2 = 3C3 C ⋅ B = 4C1+ 3C2− C3 = 0, o sea 24C1+ 3C2 = C3 c C = C3 1₂  i −1 3  j +k C₃2 1 2 2_{+ −1} 3 2_+12 = ± 3 7  i − 2₇j + 6₇k Multiplicar por+2 en 2 2C1− 6C2 = 3C3 8C1+ 6C2 = 2C3 10C1 = 5C3 C1 = 1₂C3 C2 = −1₃C3 C = C3 1₂  i − 1₃j +k

17.-Hallar el trabajo realizado por la fuerza de F = 2i −j −k al desplazar un sólido puntual a lo largo de un vector r = 3i + 2j − 5k.

Solución:

Trabajo realizado:(Módulo de la fuerza en la dirección y sentido del moviemiento.)*(Desplazamiento)

= F cos θγ = F ⋅ γ

= ₂₅_{i −}_{j −}_{k ⋅ 3}_{i + 2}_{j − 5}_{k = 6 − 2 + 5 = 9} (IMAGEN)

18.-Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector A = 2i + 3j + 6k y que pasa por el extremo del vector

B = i + 5j + 3k f ⋅ g ⋅ bz

Sea γel vector de posición del puntoP, y Q el extremo de B como PQ = B − γ es perpendicular a A,B −γ ⋅ A = 0, o sea,

γ ⋅ A = B ⋅ A es la ecuación vectorial del plano buscado. En coordenadas rectangulares, xi + yj + zk ⋅ 2i + 3j + 6k = i + 5j + 3k ⋅ 2i + 3j + 6k

2x + 3y + 6z = 2 + 15 + 18 = 35 2x + 3y + 6z = 35

19.-Del problema 18 (anterior) hallar la distancia del origen al plano. La distancia del origen al plano es igual a la proyeción de

8 = A_A = 2  i +3j +6k 22_+32_+62 = 2 7  i + 3₇j + 6₇k.

Luego la proyección de B sobre A = B ⋅ a = i + 5j + 3k ⋅ 2₇i + 3₇j + 6₇k = 2 7 + 15 7 + 18 7 = 35 7 = 5

20.-Siendo A un vector cualquiera, demostrar que A = A ⋅i i + A ⋅j j + A ⋅k k Como A = A1  i + A2  j + A3  k, A ⋅i = A1  i ⋅j + A2  j ⋅i + A3  k ⋅i = A1 A ⋅j = A2; A ⋅  k = A3 A = A1  i + A2  j + A3  k = A ⋅i i + A ⋅j j + A ⋅k k. 21.-Demostrar que A× B = −B × A (GRAFICA)

El modulo de A× B = C es Ab sin θ y su dirección y sentido son tales que A, B y C forman un triedro a derechas A

El modulo de B× A = D es BA sin θ y su direccion y sentido son tales que B, A y D forman un triedor a izquierdasB

Por lo tanto D tiene el mismo sentido contrario, es decir C = −D, o sea , A× B = −B × A El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

22.-Siendo A× B = 0 y A y B no nulos demostrar que A es paralelo a B. Solución:

Si A× B = AB sin θ u = 0, se tiene , sin θ = 0 y θ = 0∘ ó 180∘

23.-Demostrar que |A× B|2+ |A ⋅ B|2 = |A|2|B|2

|A× B|2+ |A ⋅ B|2 = |AB sin θu|2+ |AB cos θ|2 = A2_B2_sin2_{θ + A}2_B2_cos2_θ

= A2_B2 _{= |A|}2

|B|2

(a)i ×j = k (f)j ×j = 0 (b)j ×k = i (g)i ×k = −j (c)k ×i = j (h) 2j × 3k = 6i (d)k ×j = −i (i) 3i × −2k = 6j (e)i ×i = 0 (j) 2j ×i − 3k = −5k

25.-Demostrar que A× B + C = A × B + A × C en el caso en que A es perpendicular a B y tambien cuando lo sea en C.

(GRAFICA)

Como A es perpendicular a AB, A× B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y cuyo modulo es AB sin 90∘ = AB,

o sea, el modulo de AB. Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante un angulo de 90∘Hasta la

posicion que se indica en la figura.

A× C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y al girar al vector resultante un angulo de 90∘hasta la posición indicada

en la figura.

De la misma A× B + C es resuleto el vector que se obtiene.

26.-Demostrar que A× B + C = A ×B + A × C en el caso general en que A, B, y C no sean coplanares ni paralelos.

Descomponiendo B en sus componentes, peprpendiculares a A, B1, y paralelo a A, B11, se tiene,

B = B1+ B11

Llamandoθ al angulo formado por A y B, B1 = B sin θ, por lo tanto, el modulo de A × B, es

AB sinθ, es decir, igual que el de

A× B. la dirección ysentido de A × B, son tambien las mismas de A × B. Por consiguiente, A× B1 = A × B.

Análogamente si se descompone en C en los vectores C11y C1paralelo y perpendicular,

respectivamente a A se obtiene, A× C1 = A × C.

Tambien, como B + C = B1+ B11+ C1+ C11 = B1+ C1 + B11+ C11 se deduce,

Ahora tambien, B, y C, son vectores perpendiculares a A y, A× B1+ C1 = A× B1+ A × C1

A× B + C = A × B + A × C

Por lo tanto, que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. Multiplicando por −1, y

teniendo en cuenta ,B + C× A = B × A + C × A 27.-Siendo A = A1  i + A2  j + A3  k y B = B1  i + B2  j + B3  k, demostrar que A× B =  i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3 A× B = A1  i + A2  j + A3  k × B1  i + B2  j + B3  k = A1  i B1  i + B2  j + B3  k + A2  j × B1  i + B2  j + B3  k + A3  k B1  i + B2  j + B3  k = A1B1  i ×i + A1B2  i ×j + A1B3  i ×k + A2B1  j ×i + A2B2  j ×j + A2B3  j ×k + A3B1  k× = A1B2  k + A1B3  j − A2B1  k + A2B3  i + A3B1  j − A3B2  i = A2B3− A3B2  i +A3B1− A1B3  j +A1B2− A2B1  k =  i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3 28.-Dados A = 2i − 3j −k y B = i + 4j − 2k, hallar aA× B, bB × A, cA + B × A − B, aA × B =

2i − 3j −k × i + 4j − 2k =  i j k 2 −3 −1 1 4 −2 = _{i6 + 4 −}_{j−4 + 1 +}_{k8 + 3 = 10}_{i +} bB× A = i + 4j − 2k × 2i − 3j −k =  i j k 1 4 −2 2 −3 −1 = _{i−4 − 6 −}_{j−1 + 4 +}_k−3 cA + B× A − B A + B = 3i +j − 3k,A − B = i − 7j +k

A + B× A − B = 3i +j − 3k × i − 7j +k =  i j k 3 1 −3 1 −7 1 = _{i1 − 21 −}_{j3 + 3 +}

29.-Si A = 3i −j + 2k, B = 2i +j −k y C = i − 2j + 2k, hallaraA× B × C, bA × B × C aA× B A× B = 3i −j + 2k × 2i +j −k =  i j k 3 −1 2 −2 1 1 = _{i1 − 2 −}_{j−3 − 4 +}_{k3 + 2 =} A× B × C = −i + 7j + 5k × i − 2j + 2k =  i j k −1 7 5 1 −2 2 = _{i14 + 10 −}_{j−2 − 5 +}_k2 bA× B × C B× C = 2i +j −k × i − 2j + 2k =  i j k 2 1 −1 1 −2 2 = _{i2 − 2 −}_{j4 + 1 +}_{k−4 − 1 = −5} A× B × C = 3i −j + 2k × −5j − 5k =  i j k 3 −1 2 0 −5 −5 = _{i5 + 10 −}_{j−15 +}_k−15

30.-Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es |A× B|. Area del Paralelogramo = h|B|

= |A|sin θ|B| (dibujo de paralelogramo)

= |A × B|

31.-Hallar el area del trinagulo cuyos vertices son los puntos P1, 3, 2, Q2, −1, 3, R1, 2, 3 PQ = 2 − 1i +−1 − 3j +1 − 2k = i − 4j −k

PR = −1 − 1i +2 − 3j +3 − 2k = −2i −j +k

Area del triangulo = 1₂|PQ× PR| = 1₂ i − 4j −k × −2i −j +k

= 1 2  i j k 1 −4 −1 −2 −1 1 = 1 2 −5  i +j − 9k = 1₂ −52+ 12+ −92 = 1₂ 107

32.-Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por A = 2i − 6j − 3k y B = 4i + 3j −k

A× B Es un vector perpendicular al plano formado por A y B

A× B =  i j k 2 −6 −3 4 3 −1 = _{i6 + 9 −}_{j−2 + 12 +}_{k6 + 24 = 15}_{i − 10}_{j + 30}_k

El vector unitario en la dirección y sentido de A× B es

A×B |A×B| = 15i −10j +30k 152_+−102_+302 = 15 35  i − 10 35  j + 30 35  k = 2 7  i − 2 7  j + 6 7  k

33.-Deducir el teorema de los senos en un triangulo plano

Sean a, b, y c los lados del triangulo ABC que se representa en la figura en estas condiciones a + b + c = 0. Multiplicando por

ax, bx, cx, sucesivamente, se obitiene:

a× b = b × c = c × a

es decir, ab sin C = bc sin A = ca sin B (Dibujo)

o bien, sin A

a = sin B_b = sin Cc

modulos son respectivamente, las

áreas de F1, F2, F3, F4, cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el

exterior de tetraedro.

Demostrar que: V1+ V2+ V3+ V4 = 0

El area de un triangulo de lados R y S es:

1 2|R× S|

Los vectores asociados con c/u de las caras del tetraedro son:

V1 = 1₂A× B, V2 = 1₂B× C, V3 = 1₂C× A, V4 = 1₂C − A× B − A

Luego V1+ V2+ V3+ V4 = 1₂A× B + B × C + C × A + C − A × B − A = 1

2A× B + B × C + C × A + C × B − C × A − A × B + A × A =

35.-Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P. El modulo del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es

igual al modulo de la fuerza F, multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F. Por lo tanto, llamando r al vector que

une P con el origen Q de F, resulta,

M = Fr sinθ = rF sin θ = |r × F|

El sentido de F corresponde al avance de un sacacorchos en P con el sentido de rotacion tal que lleve a coincidir el primer vector

con el segundo, por el menor de los angulos que lo forman.

(Dibujo)

36.-Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por D con una velocidad angularω. Demostrar que la velocidad lineal v de un

punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por v = ω × r, siendo ω un vector de moduloω y cuya dirección y

sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento.

Como el punto P describe una circunferencia de radio r seaθ, el modulo de la velocidad lineal r esωr sin θ = |ω × r| por

consiguiente, v es perpendicular aω y a r de forma que r, ω, v, formen un triedro a derechas. Luego viene el mismo modulo,

instantanea.

(Dibujo)

37.-Demostrar que el valor absoluto de A ⋅B× C es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B, y C.

Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma direccion y sentido que B× C, y h la distancia del extremo

de A al paralelogramo I

Volumen del paralelepípedo = harea del paralelegramo I = A − n|B × C|

= A ⋅ |B × C|n = A ⋅ B × C

Si A, B y C no forman un triedro a derechas, A ⋅ n < 0 y el volumen = |AB× C| 38.-A = 38.-A1  i + A2  j + A3  k, B = B1  i + B2  j + B3  k, C = C1  i + C2  j + C3  k. Demostrar que: A ⋅ B× C = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 B× C =  i j k B1 B2 B3 C1 C2 C3 = _{iB2C3− B3C2 −}_{jB1C3− B3C1 +}_{kB1C2− B2C1} A ⋅ B× C = A1  i + A2  j + A3  k ⋅ B2C3− B3C2  i −B1C3− B3C1  j +B1C2− B2C1  k = A1B2C3− B3C2 + A2B1C3− B3C1 + A3B1C2− B2C1 = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 39.-Hallar 2i − 3j ⋅ i +j −k × 3i −k  i j k 1 1 −1 3 0 −1 = _{i−1 −}_{j−1 + 3 +}_{k−3 = −}_{i − 2}_{j − 3}_k 2i − 3j ⋅ −i − 2j − 3k = −2 + 6 = 4

40.-Demostrar que A ⋅B× C = C ⋅ A × B = A × B ⋅ C

En el producto A ⋅B× C se puede suprimir el parentesis y escribir A ⋅ B × C, ya que en este caso no existe ambigüedad y las

unicas interpretaciones posibles son de A ⋅B× C y A ⋅ B × C, pero esta ultima carece de sentido ya que no esta definido el

producto vectorial C.

La igualdad A ⋅B× C = A × B ⋅ C se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial son permutables.

41.-Demostrar que A ⋅B× C =

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

Teniendo en cuenta que un determinante si se permuan entre si dos lineas A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 = − B1 B2 A3 A1 A2 B3 C1 C2 C3 = B1 B2 B3 C1 C2 C3 A1 A2 A3 = B ⋅ C × A A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 = − C1 C2 C3 B1 B2 B3 A1 A2 A3 = C1 C2 C3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 = C ⋅ A × B

42.-Demostrar que AA× C = A × A ⋅ C = 0

43.-Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A, B, y C sean coplanarios es que A ⋅ B× C = 0

A ⋅ B× C = A ⋅ B × C

Si A, B, y C son coplanarios, en el volumen del paralelepipedoformado por los vectores A, B y C, el cero, y por lo tanto los

vectores son coplanarios.

44.-Sean r1 = x1  i + y1  j + z1  k, r2 = x2  i + y2  j + z2  k, r3 = x3  i + y3  j + z3  k, los vectores de posición de los puntos

P1x1, y1, z1, P2x2, y2, z2, P3x3, y3, z3 hallar la ecuación del plano que pasa por P1, P2y P3.

Sea r = xi + yj + zk el vector de posición de un punto génerico del plano. Considerando los vectores P1P2 = r2− r1,

P1P3 = r3− r1y P1P = r − r1. que son complementarios.

En coordenadas rectangulares, x − x1  i +y − y1  j +z − z1  k − x2− x1  i +y2− y1  j +z2− z1  k × x3− x1  i +y o bien, x − x1 y − y1 z − z1 x2− x1 y2− y1 z2− z1 x3− x1 y3− y1 z3− z1 = 0

45.-Hallar la ecuación del plano formado por los puntos P12, −1, 1, P23, 2, −1, P3−1, 3, 2.

Los vectores de posición de P1, P2, P3y de un punto cualquiera Px, y, z son respectivamente.

r1 = 2  i −j +k, r2 = 3  i + 2j −k, r3 = −  i + 3j + 2k y r = xi + yj + zk.

Los vectores PP1 = r − r1, P2P1 = r2− r1, P3P1 = r3− r1, están situados en el plano pedido,

luego r − r1 ⋅ r2− r1× r3− r1 = 0 es decir, x − 2i +y + 1j +z − 1k ⋅ i + 3j − 2k × −3i + 4j +k = 0 x − 2i +y + 1j +z − 1k ⋅ 11i + 3j + 13k = 0 11x − 2 + 5y + 1 + 13z − 1 = 0 o bien, 11x + 5y + 13z = 30.

46.-Sean, a, b, y c los vectores de posición de los puntos P, Q y R no alineados. Demostrar que a× b + b × c + c × a es un vector

perpendicular al plano formado por P, Q y R.

Llamemos r al vector de posición de un punto genérico del plano formado por P, Q y R. Los vectores r − a, b − a, y c − a son coplanarios.

Luego a× b + b × c + c × a es perpendicular a r − a y también al plano formado por P, Q y R.

47.-Demotrar queaA× B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ B. bA× B × C = BA ⋅ C − AB ⋅ C. a Sean A = A1  i + A2  j + A3  k, B = B1  i + B2  j + B3  k, C = C1  i + C2  j + C3  k Se tiene A× B × C = A1  i + A2  j + A3  k ×  i j k B1 B2 B3 C1 C2 C3 = _A1_{i + A2}_{j + A3}_{k × B2C3− B3C2}_{i +B3C1− B1C3}_{j +B1C2− B2}

=  i j k A1 A2 A3 B2C3− B3C2 B3C1− B1C3 B1C2− B2C1 = _{iA2B1C2− A2B2C1− A3B3C1+ A3B1C3 + A3B2C3− A3B3C2− A1B1C2+ A1B2C1}_j +A1B3C1− A1B1C3− A2B2C3+ A2B3C2  k

Tambien, BA ⋅ C − CA ⋅ B

= _B1_{i + B2}_{j + B3}_{k A1C1+ A2C2+ A3C3 − C1}_{i + C2}_{j + C3}_{k A1B1+ A2B2+ A3B3} = A2B1C2+ A3B1C3− A2C1B2− A3B1C3  i +B2A1C1+ B2A3C3− C2A1B1− C2A3B3  j +B3

bA× B × C = −C × A × B = −AC ⋅ B − BC ⋅ A = BA ⋅ C − AB ⋅ C habiendo sustituido

A, B y C dea por C, A y B respectivamente.

48.-Demostrar que:

A× B ⋅ C × D = A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C. X ⋅C× D = X × C ⋅ D Sea X = A × B luego

A× B ⋅ C × D = A × B × C − D = BA ⋅ C − AB ⋅ C ⋅ D = A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C

49.-Demostrar que A× B × C + B × C × A + C × A × B = 0 A× B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ B

B× C × A = CB ⋅ A − AB ⋅ C C× A × B = AC ⋅ B − BC ⋅ A

50.-Demostrar que:

A× B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × C X× C × D = CX ⋅ D − DX ⋅ C. Sea X = A × B, entonces,

A× B × C × D = CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C = CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C

A× B × Y = BA ⋅ Y − AB ⋅ Y. Sea Y = C × D, entonces, A× B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D

51.- El problema no esta en el cuaderno de apuntes original

52.-Demostrar que:A× B ⋅ B × C × C × A = A ⋅ B × C2 X× C × A = CX ⋅ A − AX ⋅ C. Sean X = B × C; entonces B× C × C × A = CB × C ⋅ A − AB × C ⋅ C

= CA ⋅ B × C − AB × C ⋅ C = CA × B ⋅ C Por lo tantoA× B ⋅ B × C × C × A = A × B ⋅ CA ⋅ B × C

= A × B ⋅ CA ⋅ B × C = A ⋅ B × C2

53.-Dados los vectores a1 ₌ b×c

a⋅b×c ⋅ b1 = a⋅b×cc×a y c1 = a⋅b×ca×b , demostrar que si a ⋅ b× c ≠ 0

a a1_{⋅ a = b}1_{⋅ b = c}1_{⋅ c = 1,}

b a1_{⋅ b = a}1_{⋅ c =, b}1_{⋅ a = b}1_{⋅ c = 0, c}1_{⋅ a = c}1_{⋅ b = 0}

c si a ⋅ b× c = v, entonces a1_{⋅ b}1_{× c}1 ₌ 1 v.

da1_{, b}1_{y c}1_{no son coplanarios si a, b y c no lo son}

a a1_{⋅ a = a ⋅ a}1 _{= a ⋅} b×c

a⋅b×c = a⋅b×ca⋅b×c = 1

b1_{⋅ b = b ⋅ b}1 _{= b ⋅} c×a

a⋅b×c = b⋅c×aa⋅b×c = a⋅b×ca⋅b×c = 1

c1_{⋅ b = c ⋅ c}1 _{= c ⋅} a×b

a⋅b×c = c⋅a×ba⋅b×c = a⋅b×ca⋅b×c = 1

b a1_{⋅ b = b ⋅ a}1 _{= b ⋅} b×c

a⋅b×c = b⋅b×ca⋅b×c = b⋅b×ca⋅b×c = 0

c a1 ₌ b×c v , b1 = c×av , c1 = a×bv Luego a1_{⋅ b}1_{× c}1 ₌ b×c⋅c×a×a×b v3 = a×b⋅b×c×c×a v3 = a⋅b×c v3 = v2 v3 = 1 v Por lo tanto a1_{⋅ b}1_{× c}1 _{≠ 0}

54.-Demostrar que todo el vector r se puede expresar en función de los vectoresreciprocos del problema 53 en la forma:

r = r ⋅ a1_{a + r ⋅ b}1_{b + r ⋅ c}1_c

BA ⋅ C× D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × C entonces,

D = AB⋅C×D_A⋅B×C − BA⋅C×D_A⋅B×C + CA⋅B×D_A⋅B×C

Sea A = a, B = b, C = c y D = r, en estas condiciones

r = _a⋅b×cr⋅b×c a + r⋅c×a_a⋅b×cb + r⋅a×b_a⋅b×cc = r ⋅ _a⋅b×cb×c a + r ⋅ _a⋅b×cc×a b + r ⋅ _a⋅b×ca×b c = r ⋅ a1_{a + r ⋅ b}1_b

55.-Hallar:a K ⋅ i +j , b i − 2k ⋅ j + 3k , c 2i −j + 3k ⋅ 3i + 2j −k a)k i +j = ki +kj prop. dist. como:i ⋅j = j ⋅k = k ⋅i = 0  ki +kj = 0 b) i − 2k ⋅ j + 3k = ij + 3ki − 2kj − 6k = −6 c) 2i −j + 3k ⋅ 3i + 2j −k = 6i − 2j + 3k = 1 56.-Si A = i + 3j − 2k y B = 4i − 2j + 4k, hallar:

aA ⋅ B, b|A|, c|B|, d 3A + 2B , e2A + B  ⋅ A − 2B  a)A ⋅ B = i + 3j − 2k ⋅ 4i − 2j + 4k = 4 − 6 − 8 = −10 b)|A| = 12_{+ 3}2_{− 2}2 _{= 14} c)|B| = 42_{− 2}2_{+ 4}2 _{= 36 = 6} d)|3A + 2B| = 3 i + 3j − 2k + 2 4i − 2j + 4k = 3i + 9j − 6k + 8i − 4j + 8k = sumamos 11i + 5j + 2k = 112_{+ 5}2_{+ 2}2 _{= 150} e)2A + B  ⋅ A − 2B 

57.-Hallar el ángulo formado poraA = 3i + 2j − 6k y B = 4i − 3j +k, bC = 4i − 2j + 4k y D = 3i − 6j − 2k.

a) A = 3i + 2j − 6k = |A||B| cosθ |A| = 32_{+ 2}2_{− 6}2 _{= 49}

B = 4i − 3j +k |B| = 42_{+ 3}2_{− 1}2 _{= 26}

A ⋅ B = 3i + 2j − 6k ⋅ 4i − 3j +k = 12i − 6j − 6k = 0 ∴ cosθ = A ⋅B

A B =

0

49 26

*lo que significa que el ángulo formado es de 90∘

b)|C||D| cosθ, C = 42_{− 2}2_{+ 4}2 _{= 36 = 6}

C ⋅ D = 4i − 2j + 4k ⋅ 3i − 6j − 2k = 12i + 12j − 8k = 16 ∴ cos θ = C⋅D C D = 16 67 = 1642 = 8 21 = 67 ∘₃₆′

58.-¿Para que valores son A = ai − 2j +k y B = 2ai + aj − 4k perpendicular?

59.-Hallar el valor de a de forma que A = 2i + aj +k y B = 4i − 2j − 2k sean perpendiculares si A ⋅ B = 0 ∴ A ⋅ B = 24 + a−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0 donde a = 3

60.-Hallar los ángulos que forma el vector A = 3i − 6j + 2k con los ejes coordenados.

Seanα, β, γ los ángulos que forman A con los semiejes positivos x, y, z, respectivamente. A ⋅i = A1 cosα = 32+ −62+ 22 cosα = 7 cos α

A ⋅i = 3i − 6j + 2k ⋅i = 3i ⋅i − 6j ⋅i + 2k ⋅i = 3 ∴ cosα = 3₇ = 0. 4286 = 64. 6∘ Así mismo cosβ = −6

7,β = 149 ∘

cosγ = 2₇,γ = 73. 4∘ dondeα, β, γ son cosenos directores

61.-Demostrar el teorema del coseno de un triangulo cualquiera

(Dibujo)

B + C = A,  C = A − B

C ⋅ C = A − B  ⋅ A ⋅ B  = A ⋅ A + B ⋅ B − 2A ⋅ B Ley de los cosenos C2 _{= A}2_{+ B}2_{− 2AB cos θ}

62.-Demostrar que las diaginales de un rombo son perpendiculares

(Dibujo)

OQ = O P + P Q = A B

O R + R P = O P, o bien, B + R P = A, donde, R P = A − B

luego OQ ⋅ R P = A + B  ⋅ A − B  = A2_{− B}2 _{= 0, ya que A = B ∴ OQ es perpendicular a}

63.-Hallar el valor unitario perpendicular al plano formado por A = 2i − 6j − 3k y B = 4i + 3j −k Sea C = C1  i + C2  j + C3 

k un vector perpendicular al plano formado por A y B. El vector C es perpendicular a A y a B, luego,

C ⋅ A = 2C1− 6C2− 3C3 = 0, o sea, 1 2C1− 6C2 = 3C3

C ⋅ B = 4C1− 3C2− C3 = 0, o sea, 2 4C1− 3C2 = C3

Si resolvemos el sistema formado por1 y 2; C1 = 1₂C3, C2 = −1₃C3,

C = 1 2  i − 1 3 

j +k ∴ el vector unitario de C es:

C |C| = C3= 1₂  i −1 3  j +k C₃2 1 2 2 + −1 3 2 +12 = 3 7  i − 2₇j + 6₇k

78.-Efectuar los productos indicados:

a)2j × 3i − 4k Resolviendo: a =  i j k 0 2 0 3 0 −4 = _{i−8 − 0 −}_{j0 +}_{k−6 = −8}_{i − 6}_k b) i + 2j ×k Solución: b =  i j k 1 2 0 0 0 1 = _{i2 − 0 −}_{j4 − 0 +}_{k0 − 0 = 2}_{i −}_j c) 2i − 4k × i + 2j Resolviendo: c =  i j k 2 0 −4 1 2 0 = _{i0 − 8 −}_{j0 + 4 +}_{k4 − 0 = −8}_{i − 4}_{j + 4}_k

d) 4i +j − 2k × 3i +k Solucionando: d =  i j k 4 1 −2 3 0 1 = _{i1 −}_{j4 + 6 +}_{k0 − 3 =} _{i − 10}_{j − 3}_k e) 2i +j −k × 3i − 2j + 4k Resolviendo: e =  i j k 2 1 −1 3 −2 4 = _{i4 − 2 −}_{j8 + 3 +}_{k−4 − 3 = 2}_{i − 11}_{j − 7}_k 79.-Si A = 3i −j − 2k y B = 2i + 3j +k, hallar: a)|A× B| Resolviendo: A× B =  i j k 3 −1 −2 2 3 1 = _{i−1 + 6 −}_{j3 + 4 +}_{k9 + 2 = 5}_{i − 7}_{j + 11}_k |A× B| = 52+ 72+ 112 = 195 b)A + 2B× 2A − B Solución: A + 2B = 3i −j − 2k + 4i + 6j + 2k = 7i + 5j = C 2A − B = 6i − 2j − 4k − 2i + 3j +k = 4i − 5j − 5k = D C× D =  i j k 7 5 0 4 −5 −5 = _{i25 −}_{j−35 +}_{k−35 − 20 = −25}_{i + 35}_{j − 55}_k c)|A + B× A − B| Respuesta: A + B = 3i −j − 2k + 2i + 3j +k = 5i + 2j − 2k = C A − B = 3i −j − 2k − 2i + 3j +k = i − 4j − 3k = D C× D =  i j k 5 2 −2 1 −4 −3 = _{i−6 − 8 −}_{j−15 + 2 +}_{k−20 − 0 = 14}_{i + 13}_{j − 22}_k

|C× D| = 142+ 132+ −222 = 849 80.-Si A = i − 2j − 3k, B = 2i +j −k y C = i + 3j − 2k, hallar: a)|A× B × C| Solución: A× B =  i j k 1 −2 −3 2 1 −1 = _{i2 + 3 −}_{j−1 + 6 +}_{k1 + 4 = 5}_{i − 5}_{j + 5}_k A× B × C =  i j k 5 −5 5 1 3 −2 = _{i+10 − 15 −}_{j−10 − 15 −}_{k15 + 5 = −5}_{i + 15}_{j + 20}_k |A× B × C| = 52+ 152+ 202 = 650 = 5 26 b)|A× B × C| Solución: B× C =  i j k 2 1 −1 1 3 −2 = _{i−2 + 3 −}_{j−4 + 1 +}_{k6 − 1 =} _{i + 3}_{j + 5}_k A× B × C =  i j k 1 −2 −3 1 3 5 = _{i−10 + 9 −}_{j5 + 3 +}_{k3 + 2 = −}_{i − 8}_{j + 5}_k |A× B × C| = −12+ −82+ 52 = 90 = 3 10 c)A ⋅B× C Solución:

considerando el producto B× C del inciso b tenemos; B× C = i + 3j + 5k

Entonces

A ⋅B× C = i − 2j − 3k ⋅ i + 3j + 5k = 1 − 6 − 15 = −20 d)A× B ⋅ C

Solución:

Tomando el producto A× B del inciso a, tenomos que: A× B = 5i − 5j + 5k

entonces;

A× B ⋅ C = 5i − 5j + 5k ⋅ i + 3j − 2k = 5 − 15 − 10 = −20 e)A× B × B × C

Resolviendo:

Considerando del inciso a y b, entonces: A× B = 5i − 5j + 5k = E B× C = i + 3j − 2k = F Luego, entonces: E× F =  i j k 5 −5 5 1 3 5 = _{i−25 − 15 −}_{j25 − 5 +}_{k15 + 5 = −40}_{i − 20}_{j + 20}_k f)A× BB ⋅ C Solución:

De acuerdo al inciso a el producto A× B es: A× B = 5i − 5j + 5k = E

B ⋅ C = 2i +j −k ⋅ i + 3j − 2k = 2 + 3 + 2 = 7 = F EF = 35i − 35j + 35k

82.-Hallar el area del paralelogramo cuyas diagonales son A = 3i +j − 2k y B = 3i +j − 2k.

Solución: A× B =  i j k 3 1 −2 1 −3 4 = _{i4 − 6 −}_{j12 + 2 +}_{k−9 − 1 = −2}_{i − 14}_{j − 10}_k

|A× B| = 22+ −142+ −102 = 300 = 5 3

83.-Hallar el área del triangulo cuyos vértices son3, −1, 21, −1, −3 y 4, −3, −1 PQ = 1 − 3i +−1 + 1j +−3 − 2k = −2i − 6k

PR = 4 − 3i +−3 − 1j +1 − 2k = i − 4j −k

Area del triangulo = 1₂|PQ× PR|

A = 1₂  i j k −2 0 −6 1 −4 1 = 1 2  i0 − 24 −j2 − 6 +k8 − 0 = 1₂ −24i − 8j + 8k = 1₂ −242+ 82+ 8

84.-Si A = 2i + j − 3k y B = i − 2j + k, hallar un vector de modulo 5 ⊥ a los vectores A y B.

92.-Hallar la constante a de forma que los vectores 2i −j +k, i + 2j − 3k y 3i + 4j + 5k sean coplanares.

93.-Siendo A = x1a + y1b + z1c, B = x2a + y2b + z2c y C = x3a + y3b + z3C dan que:

A ⋅ B× C = x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 a ⋅ b× c 94.-Demostrar que la A ⋅ B× C = A × B ⋅ C

95.-Los vectores de posoción, con respecto al origen de los puntos P, Q, R, son r1 = 3

 i − 2j −k, r2 =  i + 3j + 4k y r3 = 2 

i +j − 2k, respectivamente, hallar la distancia de P al plano OQR.

96.-Hallar la distancia desde el punto6, −4, 9 a la recta que pasa por 2, 1, 2 y 3, −1, 9

entre las rectas PQ y RS.

98.-Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto.

99.-Demostrar que las mediatrices de un triangulo se se cortan en un punto.

100.-Demostrar queA× B ⋅ C × D + B × C ⋅ A × D + C × A ⋅ B × D = 0

101.-Sea PQR un triangulo esférico cuyos lados p, q, r son arcos de circulo maximo. Deducir el teorema

del coseno de los triangulos esféricos cos p = cos q cos r − sin q sin r cos p

Ind.- Interpetar los dos miembros de la identidad

A× B ⋅ A × C = B ⋅ CA ⋅ A − A ⋅ CB ⋅ A

102.-Hallar un sistema de vectores reciproca al formado por 2i + 3j − k, i − j − 2k, −i + 2j + 2k

103.-Si a = _a⋅b×cb×c , b1 ₌ c×a

a⋅b×c, y c1 a×ba⋅b×c, denque a = b

1_×c1 a1_⋅b1_×c1 , b = c1_×a1 a1_⋅b1_×c1, c = a1_×b1 a1_⋅b1_×c1

104.-Siendo a, b, c y a1_{, b}1_{, c}1_{tales que a}1_{⋅ a = b}1_{⋅ b = c}1_{⋅ c = 1}

a1_{⋅ b = a}1_{⋅ c = b}1_{⋅ a = b}1_{⋅ c = c}1_{⋅ a = c}1_{⋅ b = 0}

demostrar que a1 ₌ b×c a⋅b×c

105.-Demostrar que que el unico sistema de vector que es reciproco de su

106.-Demostrar que soo existe un sistema de vectores reciprocos de un lado de vectores no coplanarios ni paralelos a, b, c.

Diferenciacion vectorial Problemas Resueltos

1.-Siendo Ru = xui + yuj + zuk y x, y2_{funciones derivables de un escalar u, demostrar}

que: dR du = dx du  i + dv_duj + dz_duk dR du = lim Δu→0 = Ru+Δu−Ru

Δu = Δu→0lim =

xu+Δui +yu+Δuj +zu+Δuk − xui +yuj +zuk

Δu = lim Δu→0 = xu+Δu−xu Δu 

i + yu+Δu−yu_Δu j + zu+Δu−zu_Δu k = _dudxi + dy_duj + dz_duk

2.-Siendo R = sin ti + cos tj + tk hallaradR_dt ,bd2R

dt2 ,c dR dt ,d d2_R dt2 , adR dt = d dtsin t  i + d dtcos t  j + d dtt  k = cos t i − sin tj +k bd2_R dt2 = d dt dR dt = d dtcos t 

i − _dtd sin tj + _dtd 1k = − sin ti − cos tj

c dR dt = cos t 2_{+ 1 − sin + 1}2_{+ 1}2 ₌ 2 d d2_R dt2 = −sin t 2_{+ − cos t}2 _{= 1}

3.-Una particula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = e−t, y = 2 cos 3t, z = 2 sin 3t

siendo t = el tiempo.

(a)Hallar su velocidad y su aceleracion en función del tiempo (ley de velocidades y aceleraciones)

(b)Hallar el modulo de la velocidad y de la aceleracion en el instatnte t = 0.

(a) El vector de posición r de la partícula es r = xi − yj + 2k = e−tj − 6 sin 3 +j + 6 cos 3 +k

La velocidad es y = dr_dt = −e−tj − 6 sin 3 +j + 6 cos 3 +k y la aceleración a = d2_r

dt2 = e

(b)En el instante r = 0, dr dt = −  i + 6k y d2_r dt2 =  i − 18j . Por lo tanto : Módulo de la velocidad en t = 0, −12+ 62 = 37 Módulo de la aceleración en t = 0, 12+ −183 = 325

4.-Una Partícula se mueve a lo largo de una curva x = 2t2_{, y = t}2_{− 4t, z = 3t − 5 siendo el t el}

tiempo. Hallar los componentes de la

velocidad y de la aceleración en el instante t = 1 y en la dirección i − 3j + 2k.

Velocidad = dr_dt = _2id 2t2_{i +t}2_{− 4f}_{j +3t − 5}_{k = 4t}_{i +2t − 4}_{j + 3}_{k = 4}_{i − 2}_{j + 3}_k

at t = 1

El vector unitario en la direccióni − 3j + 2k es

 i −3j +2k V12_+−32_+22 =  i −3j +2k 14

Luego la componente de la velocidad en la dirección dada es

4i −2j +3k ⋅ i −3j +2k 14 = 61+−2−3+32 14 = 16 14 = 8 14 7 Aceleración = d2r dt2 = d at dr at  = d at at  i +2t − 4j + 3k = 4i + 2j + 0k La componente de la aceleración dada es:

4i +2j +0k ⋅ i −2j +2k 14 = 41+2|−3|02 14 = −2 14 = − 14 7

5.-Las ecuaciones paramétricas de una curva C son x = xs, y = ys, z = 2ssiendo s la logitud del arco C medida desde el punto

fijo de ella. Llamando r al vector de posisción de un punto genérico de C. Demostrar que dr ds es

un vector unitario tangente a C.

El vector dr_ds = _dsd xi + xj + 2k dx_ds i + dy_dsj + d2_d3k es tangente a la curva x = x3, y = y5, z = z5.

dr ds = dx ds 2 + dy ds 2 + dz ds 2 = dx2+dy2+dz2 ds2 = 1

ya queas5+ dx2+ dy2+ dz2según se estudia

6.-(a) Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva x = r + 1, y = 4f − 3, z = 2f2_{− 6t}

(b) Hallar el vector tangente en el punto correspondiente al instante t = 2

(a) El vector tangente a la curva en uno de sus puntos es:

dr d2 =

d d2 2

2_{+ 1}_{i +4z − 3}_{j +2t}2_{− 6t}_{k = 2} _{i + 4}_{j +4f − 6}_k

El módulo del vector es dr

dz =

2+i +4j +4t−6k 2t2_+42_+4+62

= dr ds

Luego el vector tangente unitario pedido es T = 2f



i +4j +4+−6k 2t2_+42_{+4+−6}2

Obsérvese que, como dr_dz = ds_dt ⋅ T = _ds/dzdr/dt = dr_dz (b) En f = 2, el vector tangente unitario es T = 4

 i +2j +2k 42_+42_+22 = 2 3  i + 2₃j + 1₃k

7.-Siendo A y B funciones derivables de un escalar u demostrar:

(a) d duA ⋅ B  = A ⋅ dB du + dA du ⋅ B, (b) d duA× B  = A × dB du + dA du × B (a) d duA ⋅ B  = lim Δu→0 = A≠ΔA+13+ΔB−A⋅B

Δu = Δu→0lim = A⋅ΔB+ΔA⋅ΔBΔu = lim A ⋅ ABΔu + ΔAΔuB + ΔAΔuAB = A dBdu

Otro método d uA ⋅ B = _dud A1B1− A2B2− A3B3 = A1db_du + A2 dB2 du + A3 dB3 du + dA1 du B1+ dA2 du B2+ dA3 du B = A ⋅ dB du + dA du ⋅ B

(b) d duA× B = d du  i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3  i j k A1 A2 A3 dB1 du dB2 du dB3 du  i j k dA1 du dA2 du dA3 du B1 B2 B3 = A × dB du + dA du × B

8.-Dado A = 5t2_{i + t}_{j − t}3_{k y B = sin t}_{i − cos t}_{j .}

Hallar: (a) _dtd A ⋅ B, (b) _dtd A× B , (c) _dtd A ⋅ A (a) d dtA ⋅ B = A ⋅ dB dt + dA dt ⋅ B =

5t2_{i + tj − t}3_{k ⋅ cos t}_{i + sin t}_{j + 10t}_{i +}_{j − 3t}_{k ⋅ sin t}_{i − cos t}_j

= 5t2_cos_{t + t sin}_{i + 10t sin t − cos t = 5t}2_{− 1 cos t + 11t sin t}

(b)_dtd A× B  = A × db_dt + dA_dt × B =  i j k 6t2 _{2 −r}3 cos t sin t 0 +  i j k 10t t −3r2 sin t cos t 0

= _t2_{sin t}_{i − r}2_{cos t}_{j +6t}2_{sin t − t cos tk + −3r}2_{cos t}_{i − 3t}2_{sin t}_{j +10t cos t − sin tk =}

6t sin t − 3t2_{cos t}_{i −t}2_{cos t − 3t}2_{sin t}_{j +5t}2_{sin t − sin t = 11 + cos t}_k

(c)_dzd A ⋅ A = A ⋅ dA_dt − dA_dt ⋅ A = 2A ⋅ dA_dt = 2 5t2_{i − t}_{j − t}3_{k + 10t}_{i +}_{j − 3t}2_{k =}

100t3_{+ 20 + 6t}3

9.-Siendo A de módulo conbstante, demostrar que A y da

dt son perpendiculares, siempre que dA

dt ≠ 0

Como A es de módulo constante, A ⋅ A =constante. Luego, _dtd A ⋅ A = A ⋅ dA_dt + dA_dt ⋅ A = 2A ⋅ dA_dt = 0 Así pués, A ⋅ dA dt = 0 y A es perpendicular a dA dt simpre que dA dt ≠ 0

10.-Demostrar que _dud A ⋅ B× C = A ⋅ B × dc_du × c + dA_du ⋅ B × C, siendo A, B, C, funciones derivables de un escalar a d duA ⋅B× C = A ⋅ d duB× C + dA du ⋅ B × C = A ⋅ B × dc du + dB du × C + dA du ⋅ B × C = A ⋅ B × dC du + A ⋅ dB du × C + dA du ⋅ B × C

11.-Hallar _dtd V ⋅ _dudv × d2v dt2 d dt V − dv dt × d2_v dt2 = v ⋅ du dt × d3_y dt3 + vd2_v dt2 + dv dt ⋅ dv dt × d2_y dt2 = v ⋅ du dt × d3_v dt3 = 0 + 0 = v dv dt × d3_y dt3

12.-Una partícula se mueve de forma que su vector de posición viene dado por F = cosωti + sinωtj siendoωuna constante. Demostrar que a la velocidad v de la paritcula es perpendicular a r, |b| la

aceleracion a esta dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a su distancia al mismo cr × v = vector constante.

av = dr

dt = −ω sin ωt



i +ω cos ωtj

Se tiene r ⋅ v cosωti + sinωtj − −ω sin ωti +ω cos tj cosωt − ωsin ωt + sin ωtω cos ωt = 0

Luego r y v son perpendiculares.

bd2_r dt2 = dv dt ω2_cosωt_{i −ω}2_sinωt_j ω cos ωti + sinωtj = −ω2_r

El módulo es proporcional a |r| que es la distancia al origen

c

r× v = cos ωti + sinωtj × −ω sin ωti +ω cos tj =



i j k

cosωt sinωt 0 −ω sin ωt ω cos ωt 0

=

ωcos2_{ωt + sin}2_ωf_{k = ωk Vector constante.}

13.-Demostrar: A× d2B dt2 − d2_A dt2 × B = d dt A× dB dt − dA dt × B d dt A× dB dt − dA dt × B = d dt A× dB dt − d dt dA dt × B = A× d2_B dt2 + dA dt × dB dt − dA dt × dB dt − d2_A dt2 × B = A = d2_B dt2 − d2_A dt × B 14.-Demostrar que A ⋅ dA dt = AdA dt Sea A = A1  i + A2  j + A3  k luego A = A12+ A22+ A32 dA dt = 1 2A1 2_{+ A} 2 2_{+ A} 3 2_−12 _2AdA dr + 2A2 dA2 dt + 2A3 dA3 dt = AdA1 dt +A2 dA2 dt +A3 dA3 dt A₁2+A₂2+A₃2 12 = A⋅dAdt A1 es decir,

AdA_dt = AdA_dt

Si Aes un vector constante A ⋅ dA dt = 0

15.-Si A = 2x2_{y − x}4__{i +e}xy_{− y sin x}_{j +x}2_{cos yk, Hallar:} ∂A ∂x ⋅ ∂A ∂y ⋅ ∂2_A ∂x2 ⋅ ∂2_A ∂y2 ⋅ ∂2_A ∂x∂y ⋅ ∂2_A ∂y∂x ∂A ∂x = ∂x∂ 2x2y − x4  i + _∂x∂ exy_{− y sin x}_{j +} ∂ ∂xx2cos y  k = 4xy − 4x3__{i +yexy − y cos x}_{j + 2x cos y}_k

∂A

∂y = ∂y∂ 2x2y − x4



i − _∂y∂ exy_{− y sin x}_{j +} ∂

∂yx2cos y

 k = 2x2_{i +xe}xy _{− sin x}_{j −x}2_{sin y}_k

∂2_A ∂x2 = ∂ ∂x4xy − 4x3  i + _∂x∂ yexy_{− y cos x}_{j +} ∂ ∂x2x cos y  k = 4y − 12x2__{i +y}2_exy _{+ y sin x}_{j − 2 cos y}_k

∂2_A

∂y2 =

∂ ∂y2x2



i + _∂y∂ xexy _{− sin x}_{j −} ∂

∂yx2sin y

 k = 0 + x2_exy_{j − x}2_{cos y}_{k = x}2_exy_{j − x}2_{cos y}_k

∂2_A

∂x∂y = ∂y∂ ∂x∂ = ∂y∂ 2x2



i + _∂x∂ xexy _{− sin x}_{j −} ∂ ∂x



j +x2_{sin y}_{k =}

4xi +xyexy _{− cos x}_{j − 2x sin y}_k ∂2_A ∂y∂x = ∂ ∂y ∂ ∂x = ∂ ∂y4xy − 4x3 2₊ ∂

∂yyexy− y cos x



j + _∂y∂ 2 cos yk = 4xi +xyexy _{+ e}xy _{− cos x}_{j − 2x sin y}_k

16.-Siφx, y, z = xy2_{z y A = xz}_{i − xy}2_{j + yz}2_{k. Hallar} ∂3

∂x2_∂2 φA en el punto 2, −1, 1.

φA = xy2_{z xz}_{i − xy}2_{j + yz}2_{k = x}2_y2_z2_{k = 2x}2_y2_z_{i − x}2_y4_{j + 3xy}3_z2_k ∂2

∂x∂xφA  = ∂x∂ x2y2z2



i − x2_y4_z_{j + 3xy}3_z2_{k = 4xy}2_z_{i − 2xy}2_z_{i − 2xy}4_{j + 3y}3_z2_k ∂3 ∂x2_∂zφA = ∂ ∂x 4xy2z  i − 2xy4_{j + 3y}3_z2_{k = 4y}2_z_{i − 2y}4_j Para x = 2, y = −1, z = 1 se obtiene 4−12_1_{i − 2−1}4 j = 4i − 2j