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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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Academic year: 2020

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(1)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Teoría de Ecuaciones

Igualdad

Una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.









miembro 2do

miembro 1er

B

A 

Clases de Igualdad

Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas.

Ejm.: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas.

Ejm.: 2x + 1 = x + 7 se verifica sólo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7 una

es

es es

(2)

Ecuaciones

Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables.

Así: 25,

3 3 x x

5    queda satisfecha sólo cuando: x = 6.

es

Conceptos Fundamentales

Solución o Raíz Conjunto Solución Resolución de una Ecuación

Ecuaciones Equivalentes

Aquellos valores que asumen las incógnitas las cuales verifican o satisfacen una deter- minada ecuación.

Conjunto formado por todas las soluciones.

Efectuar en ellas todas las operaciones nece- sarias para obtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalen- tes si todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda ecuación e inversamamente.

Dada la ecuación:

x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6 Para: x = 1  -4 = -4 Para: x = 2  -12 = -12 Para: x = 3  -18 = -18 Luego las raíces o soluciones son:

x = 1; x = 2; x = 3 así

Como las soluciones de la ecuación:

x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6 Son: x = 1; x = 2; x = 3 Entonces el conjunto solución (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

así

Conseguirlo se le trans- forma sucesivamente en otras equivalentes.

para

Conseguirlo que ella sea sencilla y permita hallar el valor de la incógnita.

hasta

Las ecuaciones:

x 2 36 x 5

; 3 14

x 2 2

x   

son equivalentes puesto que ambas ecuaciones se verifican solamente para:

x = 12

así

son es el es dos

(3)

Ecuación de Primer Grado

ax + b = 0 Forma General

Análisis de sus Raíces

a x b R b 0

a    

solución única (compatible determinada)

Forma General

si

a = 0  b = 0  0x = 0

“x” admite cualquier solución (compatible indeterminada)

si

a = 0  b  0  0x = -b No existe ningún valor “x” que multiplicado por cero da como

resultado –b.

(Incompatible o absurdar)

Teoremas

Transposición

Forma General

 a + b = c  a = c – b

 ab = c  a = bc

 ba = c  a = bc

Cancelación

 a + c = b + c  a = b, si: c  R

 ac = bc  a = b, si: c  0

 c

b c

a   a = b, si: c  0

si si

(4)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicios Resueltos

1. Resolver: 40

15 x 9 5

x 3 3

x

2   

Resolución:

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores: 15

) 40 ( 15 15

x 15 9 5

x 15 3 3

x

15 2 

 

 



 

 



 

5(2x) + 3(3x) = 9x + 600 10x + 9x = 9x + 600 eliminando 9x: 10x = 600  x = 60

2. Resolver:

3 x 1 1 3 x

1

 

 

Resolución:

Tener presente que el denominador es diferente de cero.

Es decir: x – 3  0  x  3 …(1) Reduciendo la ecuación:

3 x

1 3 x

3 x 1

 

Cancelando (x – 3): 1 + x – 3 = 1

x = 3 … (2)

De (1) y (2) se observa una contradicción.

Concluimos: la ecuación no tiene solución o es incompatible.

3. Resolver: x x57

Resolución:

x 7 5

x  

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

2 2 2

x x 14 49 5 x ) x 7 ( 5

x       

x2 – 15x + 44 = 0

x -11

x -4

Verificando en la ecuación original:

7 5 x

x  

Si: x = 11 11 1157  11 + 4 = 7 (Falso) Si: x = 4 4 457  4 + 3 = 7

(Verdadero)

 La única solución es: x = 4 4. Resolver: (x - 2)(x - 4) = 5x(x – 4)

Resolución:

Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro:

(x - 2)(x - 4) – 5x(x - 4) = 0 Extraemos el factor común (x – 4):

(x - 4)[(x - 2) – 5x] = 0 x – 4 = 0  (x – 2) – 5x = 0 Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -1/2 Entonces tiene dos soluciones.

1. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

2. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 12

3. Resolver: 11

3 x 2 xx 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

4. Resolver: 3

1 x

5 x

5 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

5. Resolver: 8

10 x 5 9 8

x

7   

a) 110 b) 100 c) 120

d) 160 e) 162

6. Resolver: x 2

7 1 x 2

x   

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

Donde: x = 11  x = 4

(5)

7. Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

8. Resolver: x 17

5 x 4 x 3 x 2

x    

a) 60 b) 61 c) -60

d) -61 e) 62

9. Resolver: x 2

5 1 x 3 3

3 x

10   

  a) 11

23 b)

24 13 c) 13

24

d) 26 13 e) 1321

10. Resolver: 1

4 36 x 5 2

x 12 3

2

x     

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 8

11. Resolver: 2

2 14 x 4

8 x 3

2 x

5  

 

 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

12. Resolver: 0

3 2 2 4

3 x 5 3

5 x

2    

 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros.

Búsquese la longitud de la pieza.

a) 40 m b) 60 c) 80

d) 120 e) 160

14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

a) S/. 20 b) 22 c) 24

d) 25 e) 50

15. Resolver: 1

x 1 b a b x 1 a b

a 

 

 



 

 

a) a – b b) a + b c) a2–ab+b2 d) a2 + b2 e) a2 – b2

(6)

TAREA DOMICILIARIA Nº 2

1. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

2. Resolver: 8

9 x 364 

a) 1 b) 60 c) 62

d) 63 e) 68

3. Resolver:

3 5 x

16 x

3  

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 16

4. Resolver: 15

6 x 5 4

x 3 2

x  

a) 1 b) 12 c) 18

d) 36 e) 40

5. Resolver:

2 11 x 2 2

x 2 x 19

2 

 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

6. Resolver: 3x 14

3 7 x 2 2

7 x

5   

 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 7

7. Resolver:

15 1 x 2 3 5

4 x 3

4

x 

 

 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10.

Hallar o indicar la mayor de las partes.

a) 12 b) 18 c) 22

d) 24 e) 28

9. Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

a) $35 b) 30 c) 20

d) 10 e) 60

10. Resolver:

9 48 7 1 5 x 6 7 3 x 1 6

5 

 



 

 

a) 4 b) 5 c) 6

d) 10 e) 12

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