ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Teoría de Ecuaciones
Igualdad
Una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.
miembro 2do
miembro 1er
B
A
Clases de Igualdad
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales
Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas.
Ejm.: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”
Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas.
Ejm.: 2x + 1 = x + 7 se verifica sólo si: x = 6
2(6) + 1 = 6 + 7 una
es
es es
Ecuaciones
Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables.
Así: 25,
3 3 x x
5 queda satisfecha sólo cuando: x = 6.
es
Conceptos Fundamentales
Solución o Raíz Conjunto Solución Resolución de una Ecuación
Ecuaciones Equivalentes
Aquellos valores que asumen las incógnitas las cuales verifican o satisfacen una deter- minada ecuación.
Conjunto formado por todas las soluciones.
Efectuar en ellas todas las operaciones nece- sarias para obtener sus soluciones.
Ecuaciones son equivalen- tes si todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda ecuación e inversamamente.
Dada la ecuación:
x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6 Para: x = 1 -4 = -4 Para: x = 2 -12 = -12 Para: x = 3 -18 = -18 Luego las raíces o soluciones son:
x = 1; x = 2; x = 3 así
Como las soluciones de la ecuación:
x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6 Son: x = 1; x = 2; x = 3 Entonces el conjunto solución (C.S.) es:
C.S. = {1; 2; 3}
así
Conseguirlo se le trans- forma sucesivamente en otras equivalentes.
para
Conseguirlo que ella sea sencilla y permita hallar el valor de la incógnita.
hasta
Las ecuaciones:
x 2 36 x 5
; 3 14
x 2 2
x
son equivalentes puesto que ambas ecuaciones se verifican solamente para:
x = 12
así
son es el es dos
Ecuación de Primer Grado
ax + b = 0 Forma General
Análisis de sus Raíces
a x b R b 0
a
solución única (compatible determinada)
Forma General
si
a = 0 b = 0 0x = 0
“x” admite cualquier solución (compatible indeterminada)
si
a = 0 b 0 0x = -b No existe ningún valor “x” que multiplicado por cero da como
resultado –b.
(Incompatible o absurdar)
Teoremas
Transposición
Forma General
a + b = c a = c – b
ab = c a = bc
ba = c a = bc
Cancelación
a + c = b + c a = b, si: c R
ac = bc a = b, si: c 0
c
b c
a a = b, si: c 0
si si
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicios Resueltos
1. Resolver: 40
15 x 9 5
x 3 3
x
2
Resolución:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores: 15
) 40 ( 15 15
x 15 9 5
x 15 3 3
x
15 2
5(2x) + 3(3x) = 9x + 600 10x + 9x = 9x + 600 eliminando 9x: 10x = 600 x = 60
2. Resolver:
3 x 1 1 3 x
1
Resolución:
Tener presente que el denominador es diferente de cero.
Es decir: x – 3 0 x 3 …(1) Reduciendo la ecuación:
3 x
1 3 x
3 x 1
Cancelando (x – 3): 1 + x – 3 = 1
x = 3 … (2)
De (1) y (2) se observa una contradicción.
Concluimos: la ecuación no tiene solución o es incompatible.
3. Resolver: x x57
Resolución:
x 7 5
x
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
2 2 2
x x 14 49 5 x ) x 7 ( 5
x
x2 – 15x + 44 = 0
x -11
x -4
Verificando en la ecuación original:
7 5 x
x
Si: x = 11 11 1157 11 + 4 = 7 (Falso) Si: x = 4 4 457 4 + 3 = 7
(Verdadero)
La única solución es: x = 4 4. Resolver: (x - 2)(x - 4) = 5x(x – 4)
Resolución:
Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro:
(x - 2)(x - 4) – 5x(x - 4) = 0 Extraemos el factor común (x – 4):
(x - 4)[(x - 2) – 5x] = 0 x – 4 = 0 (x – 2) – 5x = 0 Despejando para c/u se tiene:
x = 4 x = -1/2 Entonces tiene dos soluciones.
1. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
2. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 12
3. Resolver: 11
3 x 2 xx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
4. Resolver: 3
1 x
5 x
5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
5. Resolver: 8
10 x 5 9 8
x
7
a) 110 b) 100 c) 120
d) 160 e) 162
6. Resolver: x 2
7 1 x 2
x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
Donde: x = 11 x = 4
7. Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
8. Resolver: x 17
5 x 4 x 3 x 2
x
a) 60 b) 61 c) -60
d) -61 e) 62
9. Resolver: x 2
5 1 x 3 3
3 x
10
a) 11
23 b)
24 13 c) 13
24
d) 26 13 e) 1321
10. Resolver: 1
4 36 x 5 2
x 12 3
2
x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 8
11. Resolver: 2
2 14 x 4
8 x 3
2 x
5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
12. Resolver: 0
3 2 2 4
3 x 5 3
5 x
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros.
Búsquese la longitud de la pieza.
a) 40 m b) 60 c) 80
d) 120 e) 160
14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?
a) S/. 20 b) 22 c) 24
d) 25 e) 50
15. Resolver: 1
x 1 b a b x 1 a b
a
a) a – b b) a + b c) a2–ab+b2 d) a2 + b2 e) a2 – b2
TAREA DOMICILIARIA Nº 2
1. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
2. Resolver: 8
9 x 364
a) 1 b) 60 c) 62
d) 63 e) 68
3. Resolver:
3 5 x
16 x
3
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 16
4. Resolver: 15
6 x 5 4
x 3 2
x
a) 1 b) 12 c) 18
d) 36 e) 40
5. Resolver:
2 11 x 2 2
x 2 x 19
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
6. Resolver: 3x 14
3 7 x 2 2
7 x
5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 7
7. Resolver:
15 1 x 2 3 5
4 x 3
4
x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10.
Hallar o indicar la mayor de las partes.
a) 12 b) 18 c) 22
d) 24 e) 28
9. Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
a) $35 b) 30 c) 20
d) 10 e) 60
10. Resolver:
9 48 7 1 5 x 6 7 3 x 1 6
5
a) 4 b) 5 c) 6
d) 10 e) 12