CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que equidistan de un punto fijo “O”
llamado centro.
Elementos asociados
O: Centro T: Pto. De tangencia OP: Radio LT: Recta tangente R: Long. Del radio
T
L : Recta secante
MN : Cuerda PB: Arco
AB: Diámetro EF : Flecha o sagita
PROPIEDADES BÁSICAS
En los 3 primeros casos, por lo general, el alumno debe realizar el trazo de la línea punteada, con la finalidad de aprovechar los datos gráficos y numéricos que existan.
Teorema de Poncelet Teorema de Pitot
a + b = c + r
2
a + c = b + d
POSICIONES RELATIVAS DE 2
CIRCUNFERENCIAS
C. Exteriores C. Secantes
C. Interiores Tangentes exteriores
Tangentes interiores ortogonales
Rectas tangentes comunes
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central Ángulo inscrito
Semi inscrito Ángulo interior
ÁNGULO EXTERIOR EX – INSCRITO 2 a b x 2 a b x ARCO CAPAZ
Es un arco de circunferencia que contiene los vértices de los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de dicho arco.
APBArco capaz
ABCuerda capaz
PROPIEDADES
x 180 m ATP m PTB
CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE
C. Inscrito C. Inscriptible
Recuerda
El cuadrilátero es llamado Inscrito (CICLICO) si por sus 4 vértices pasa una circunferencia. Y será llamado Inscriptible si por sus 4 vértices puede pasar una circunferencia.
PROPIEDADES
180
PRACTICA DE CLASE
01. “O” es centro del diámetro AB̅̅̅̅, hallar “”
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 60º E) 75º
02. Si “O” es centro y AO = NT, hallar “x”
03. En la semicircunferencia mostrada “O” es centro, AO = MN, hallar “”
A) 10º B) 15º C) 20º
D) 5º E) 30º
04. En la figura "O" es centro, T es un punto de tangencia y mTĈ = 40°. Calcular "x".
A) 35º B) 50º C) 40º
D) 70º E) 80º
05. Del gráfico m AED = 260º; calcular “x” si A, B y D son puntos de tangencia.
A) 50º B) 40º C) 30º
D) 20º E) 45º
06. En la figura AB = BC, hallar “x”
A) 71º B) 72º C) 73º
D) 74º E) 76º
07. Si P y T son puntos de tangencia calcule mAT̂ .
A) 140° B) 120° C) 135°
D) 110° E) 70°
08. Dos cuerdas AB y CD de un círculo se cortan en un punto P. El ángulo ADC mide 40°, el arco ADB mide 180° y el arco DBC mide 220°. La medida del ángulo DPB, es:
a) 70° b) 100° c) 90°
d) 80° e) 75°
09. Desde un punto exterior a “P” se traza la tangente PA a una circunferencia y la secante PBC que forma en P un ángulo de 50°, el arco BC mide 120°. El valor del ángulo formado por AC y BC, es:
a) 35° b) 40° c) 45°
d) 50° e) 60°
10. Del punto “P” (exterior) se trazan las secantes PFA y PHB de manera que AB es el diámetro del circulo siendo “O” el centro del circulo tal que P = 50°. El valor del ángulo FOH, es:
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 90°
11. De acuerdo a la figura; los puntos A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcular el doble de “x”.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 60°
12. En la semicircunferencia de diámetro AC y centro O, se traza el radio OB perpendicular al diámetro. En el arco AB̂ se toma un punto D de modo que los ángulos DAO y DBO son iguales. El valor del ángulo DCA son iguales. El valor del ángulo DCA es:
a) 20°30ˈ b) 22°30ˈ c) 25°5ˈ
d) 28°30ˈ e) 26,5°
13. En la circunferencia de centro O y diámetro DE se trazan dos rectas tangentes PA y PB perpendiculares entre sí en el punto P; de modo que A y B son puntos de tangencia con la circunferencia. Luego se traza una paralela a AP pasando por E y cortando a BP en el punto F de modo que BF = FP, el valor del arco MD̂ es: (M pertenece a la circunferencia).
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 75° e) 55°
14. Del gráfico, hallar “x”. (D, R, O → puntos de tangencia)
a) 27°30ʹ b) 26°30ʹ c) 45°30ʹ
d) 53° e) 75°
15. En la figura mostrada, al calcular el valor de “x”, se obtiene:
a) 9° b) 10° c) 12°
d) 14° e) 15°
16. Del gráfico calcular “x” si: AC̅̅̅̅ ∥ ME̅̅̅̅.
A) 30º B) 15º C) 45º
D) 26,5º E) 22,5º
17. En la figura mostrada, mAB̂ = 𝛽 y C, E y G son puntos de tangencia. Calcule x.
A) 90º - /4 B) 75º - /2 C) 90º - /2 D) 90º - /3 E) 45º - /2
18. Dado un cuadrante AOB de centro O y una circunferencia tangente a OB̅̅̅̅ en B que intersecta a dicho cuadrante en C, tal que la prolongación de AC̅̅̅̅ intersecta a la circunferencia en E. Además OE̅̅̅̅ intersecta a la circunferencia y al cuadrante en G y F respectivamente. Calcule la mGB̂ , si mBF̂ = 18°.
A) 65º B) 75º C) 53º
D) 60º E) 54º
19. En la figura hallar: 𝛼1+ 𝛼2+ 𝛼3+ 𝛼4+ 𝛼5 , si: mAB̂ = 𝛼1; mBĈ = 𝛼2; mCD̂ = 𝛼3; mDÊ = 𝛼4 y mEF̂ = 𝛼5.
A) 360º B) 540º C) 720º
D) 900º E) 450º
20. Del gráfico hallar “x” si: QM = MT y HN = NJ (M, N, P puntos de tangencia)
A) 30º B) 45º C) 53º
D) 60º E) 75º
21. Del grafico calcule 𝛼 + 𝛽 + 𝜔 + 𝜃
22. De la figura mostrada calcular “x”
A) 30º B) 40º C) 45º
D) 50º E) 60º
23. En el gráfico, calcular el valor de “x”.
a) 25° b) 30° c) 45°
d) 60° e) 75°
24. A y B son puntos de tangencia. Hallar “x”
A) 10º B) 15º C) 20º
D) 30º E) 35º
25. Se tienen dos circunferencias congruentes y secantes en B y M; por B se traza la recta secante a las circunferencias en los puntos A y C, luego en la circunferencia que contiene el punto A se traza la cuerda BQ que interseca a la otra circunferencia en P; si AQ = 7 cm; calcule PC.
A) 6,5 cm B) 7 cm C) 6 cm
D) 5,5 cm E) 5 cm
26. En el lado BC de un cuadrado se ubica el punto M; luego con centro en B, se traza una circunferencia tangente a 𝐴𝑀 y a 𝐷𝑀⃡ en Q y T respectivamente. Calcular m 𝑄𝑇̂ .
A) 45º B) 92º C) 53º
D) 74º E) 75º
27. En una circunferencia de diámetro AB se ubica el punto E y luego se traza 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵, tal que AH = 2 y HB = 8; luego se ubica en dicha
semicircunferencia el punto F, tal que EF = 5. Calcule la medida del arco FB.
A) 72º B) 69º C) 68º
D) 67º E) 70º
28. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las rectas tangentes PA y PB (A y B puntos de tangencia) tal que m ∢ APB = 40º; en el mayor arco AB se ubica un punto R, siendo M y N los puntos medios de los menores arcos AR y RB respectivamente. Calcule la medida del ángulo determinado por los segmentos AM y BN.
A) 15º B) 18º C) 20º
D) 16º E) 19º
29. En el gráfico mostrado √5 r = 2R, calcule m EĜ .
A) 45º B) 53º C) 56º
D) 60º E) 65º
30. Según el gráfico, calcule x si A, B y C son puntos de tangencia.
A) 45º B) 60º C) 53º
D) 40º E) 37º
31. En una semicircunferencia de diámetro AB, se ubican los puntos P y Q tal que m 𝐴𝑃̂ = 90º y 𝐴𝑄 intersecta a 𝑃𝐵 en M; luego en 𝐴𝐵 se ubica el punto L, tal que m ∢ AQL = 45º y AM = 2(LB). Calcule m ∢PAM.
A) 19º B) 18º C) 14º
D) 16º E) 15º
33. Según la figura m CBD̂ = 200º y CP = R, calcule m MAB̂
A) 220° B) 210° C) 212°
D) 216° E) 215°
34. En la figura: T es punto de tangencia y m TE = 80º, calcular “x” A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º 35. En la figura: m AB̂ = 80º y m, DEĜ = 100º Hallar la m BFC A) 20º B) 15º C) 30º D) 10º E) 25º 36. Calcular “x” A) 10º B) 15º C) 18º D) 20º E) 24º
37. Si ABCD es un cuadrado, calcular “x” sabiendo que P y Q son puntos de tangencia.
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
38. El triángulo ABC es equilátero, AM = MB, BN = NC, el angulo “x” mide:
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
39. De la figura A, B, C, D, E y F son puntos de tangencia. Si: mEL̂ = m LF̂, calcule x.
A) 38º B) 42º C) 45º
D) 49º E) 53º
40. En el gráfico, B y D son puntos de tangencia y ABCD es un paralelogramo. El valor de 𝑥, es:
A) b+c−a2 B) a+b−c2 C) a+c−b2 D) a+b−2c2 E) 2a + b + 2c
42. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B, en el cual las bisectrices de los ángulos internos A y C cortan a los catetos BC̅̅̅̅ y AB̅̅̅̅ en E y F respectivamente. Si la proyección de EF̅̅̅̅ sobre la hipotenusa mide 5,4, hallar la medida del inradio del triángulo ABC.
A) 1,8 B) 2,7 C) 1,35
D) 5,4 E) 3,6
43. Calcular AB. Si AP = PB.
A) 18 B) 20 C) 22
D) 24 E) 26
44. De la figura, calcular AB.
A) 26 B) 30 C) 32
D) 34 E) 40
45. Hallar TC, si BE = DP y los perímetros de los triángulos ABC y ADE mide 40 y 24 respectivamente.
A) 9 B) 8 C) 6
D) 5 E) 4
46. Calcular “x + y + z” si: mAM̂ = mMB̂ , mBN̂ = mNĈ y mAP̂ = mPĈ
A) 28 B) 20 C) 32
D) 35 E) 36
47. La mediana de un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia mide 18 y su ángulo agudo mide 53º. Hallar el radio de la circunferencia inscrita.
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 8
48. Si AB = 13 y BC = 6. Calcular AE sabiendo que el trapecio ABCD es isósceles y MF̅̅̅̅ ∥ CD̅̅̅̅. (M, E, N, P, Q puntos de tangencia)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
49. En la figura, calcular “r” siendo H punto de tangencia y CH– BC = 6.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
50. Si ABCD es cuadrado y AM = MB; hallar “x”. (T
A) 70º B) 60º C) 56º
D) 45º E) 42º
51. En una circunferencia que es tangente a tres lados de un romboide se tiene que sus alturas miden 8 y 10. Hallar la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado.
A) 6 B) 12 C) 9
D) 10 E) 8
52. Calcular “x” si ABCD es un cuadrado, BE = EA = 5 y CG = 2.
A) 45º B) 50º C) 53º
D) 59º E) 60º
